线性代数难点

一.矩阵等价vs 向量组等价矩阵等价的充分必要条件是:同型且秩相等...经过初等变换之后的矩阵都是等价的... 向量组等价不可以推出矩阵等价...因为向量组

的等价...列向量的个数可以不一样也就是不满足同型. 向量组的等价: 两个向量

组等价说明:这两个向量组可以互相线性表示...所以r(A=r(B 但是两个向量组可以

有不同的线性相关性…很明显:一个秩不为n的n维列向量组等价与它的最大无关组…但是这两个向量组构成的矩阵不等价..原因是:不同型这两个向量组的线性相关性也

不一样....最大无关组…线性无关n维列向量组…线性相关....最后结论：川！两个等价不可以互推!!!!!二.A vs 伴随矩阵A* (1 当r(A=n 时r(A*=n (2 当r(A=n -1 时

r(A*=1 (3 当r(A<=n-2 时r(A*=0 证明如下: (1AA*=|A|E 因为r(A=n ,推出 A 可逆，

所以n=r(|A|E=r(AA*=r(A* (2r(A=n-1,推出|A|=0,且存在n-1 阶子式非 0,所以A*工0, r(A*>=1 又|A|E=0=AA* 所以：r(A+r(A*<=n 所以：r(A*=1 (3 当r(A<=n-2 时，A 的n-1阶子式全部为0,所以A*=0所以：r(A*=0 PS:上面的结论可以互推也就是说：逆命题

成立.三.特征值特征向量(1对于同一n阶矩阵A,不同特征值的特征向量线性无关．．(2当出现特征值为重根时,对应于重根特征值的特征向量,假设为X1,X2 线性组合：k1x1+k2x2(k1,k2不全为0仍然是A的特征向量(3不同特征值的特征向量之和一定不是 A 的特征向量(可以用反证法) (4对于某一个特征值的特征向量有无数个•只是我们在构造矩阵P时，只是用一个(通常是基础

解系)几何空间性质补充向量间关系的几何意义1。若向量a1,a2线性相关，则必有

a1//a2 2若向量a1,a2线性无关，则他们相交或异面3。若向量a1,a2,a3线性相关则

a1//a2//a3或他们共面4。若向量a1,a2,a3线性无关，贝U a1,a2,a3不共面ps:这个方面我数三的考纲不要求..所以只是加上baoyu.song兄弟的话…代数余子式(1代数余子

式是有符号的..用逆序数来确定代数余子式的+-号(2用代数余子式来求矩阵的伴随矩阵时,记得要把余子式的行变列,列变行(3矩阵一行或者(列的代数余子式与另一行(列对应的元素乘积为0 (4某一个代数余子式不受这个代数余子式的对应元素的影响....也就是跟他的元素无关了..例如:a11,与A11...即使改变a11的值，但是它的代数余子式不变... 合同矩阵VS 相似矩阵首先说明:这些矩阵都是在实对称矩阵的基础上才有以下结论(1 当A~B 时,矩阵A,B 有相同的特征值,根据正交变换可以矩阵A,B 有相同的二次型所以有相同的正负惯性系数 ......... 所以

.两矩阵合同结论:两实对称矩阵相似,可以推出两矩阵合同(2由实对称矩阵必可以对角化得到：存在正交矩阵P,使得P(TAP= A根据合同矩阵的定义得：任一个实对称矩阵必合同于一个对角矩阵