线性代数 13个应用案例 【李尚志】

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6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
− sin θ x cos θ y
(~ x
0 ~ a22 ~ a
23
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 a ~ x y 0 ~ = 0 y 22 ~ ~ 0 0 a33 1 此时，曲线为椭圆 (ã11ã22 > 0) 或双曲线 (ã11ã22 < 0)
(
)
及其退化情形。
P’
相关知识点
1．向量内积的定义，欧几里得空间 2．向量内积的性质，向量的长度、角度 3． 向量的正交
解题方法
1．利用平面的单位法向量 2．利用点在平面上的投影
解题过程
解法一，利用平面Ω的单位法向量n
P ' = P − 2( P, n)n
n 满足 (n, A) = (n, B) = 0 和 (n, n) = 1，解线性方程 组可得
进一步的问题
对一般位置直线 l，结论如何？
4.平面上的直线方程
已知 A(a1,a2)，B(b1,b2) 是直角坐标平面上给定两 点。求平面上过 A，B 的直线 lA,B 的方程。
相关知识点
1．行列式的计算 2．行列式的应用
解题方法
三点共线当且仅当三角形面积为零。
解题过程
A，B，P 三点共线当且仅当由 AP 和 AB 所张成 的平行四边形或三角形面积为零。于是直线 lA,B 的方程为
2.平面上的旋转
求直角坐标平面上任意点 P(x,y) 绕原点沿逆时针 方向旋转角 α 后到达的点 P’(x’,y’) 的坐标。
相关知识点
1．线性变换的矩阵表示 2．矩阵运算的定义
解题方法
1．考虑基向量旋转之后的象 2．考虑点旋转后幅角的变化
解题过程
解法一：先求出基向量旋转之后的象
A = (1,0) ֏ A' = (cos α , sin α ) B ' = (− sin α , cos α ) P ' = xA'+ yB '
)
A−T (ξ − SA−1b) y = 0 T −1 c − ξ A b 1
A−T (ξ − SA−1b) T −1 c −ξ A b
S G = T ξ
ξ
A−T SA−1 ~ , G = (ξ − SA−1b)T A−1 c
相关知识点
1．矩阵的相合（合同）关系 2．二次型的标准形与规范形 3．二次型的应用
解题方法
利用坐标系的变换，化曲线方程为标准形， 从而决定曲线的类型和位置。
解题过程
第一步，将曲线方程写成矩阵形式
a11 y 1) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 x a23 y = 0 a33 1
~ a13 ~ x ~ ~ = 0, a ≠ 0 ~ a23 y 11 ~ a33 1
解题过程
第三步， 若ã22≠0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a ~ x x ~ = + a 11 ~ ~ ~23 a y y ~22 化曲线方程为
1. 平行四边形与三角形的面积
已知直角坐标平面上三点A(a1,a2), B(b1,b2), O(0,0)。 求以OA,OB为一组邻边的平行四边形OACB的面 积S
O A C B
及三角形OAB的面积S
B C
O A B
。
O
A
相关知识点
1．行列式的定义 2．行列式的性质 3．行列式的计算
解题方法
1．利用向量的运算计算面积。 2．利用行列式的几何意义计算面积。
解题过程
解法二，利用点经过轴对称之后幅角的变化。
x r cos θ = y r sin θ x′ r cos(2α − θ ) = y′ r sin(2α − θ ) sin 2α x cos 2α = sin 2α − cos 2α y
A = (1,0) ֏ A' = (cos 2α , sin 2α ) B ' = (sin 2α ,− cos 2α ) P ' = xA'+ yB ' sin 2α x − cos 2α y
֏ B = (0,1) P = xA + yB ֏ x' cos 2α = y ' sin 2α
第二步，证明行列式为1的正交变换都是旋转变换. 设A是正交变换且行列式为1，则存在特征向量 e3=Ae3 且 |e3| =1。将其扩充为标准正交基{e1,e2,e3}， 则 A 在 这 组 基 下 的 矩 阵 具 有 形 式
cos θ sin θ − sin θ cos θ 1
֏ B = (0,1) P = xA + yB ֏ x' cos α = y ' sin α
− sin α x cos α y
解题过程
解法二：利用点经过旋转后幅角的变化
x r cos θ = y r sin θ x′ r cos(θ + α ) = y′ r sin(θ + α ) cos α − sin α x = sin α cos α y
进一步的问题
推广到计算 n 维空间中 m 维平行多面体的体积。
7.欧氏空间中的旋转
设A是三维欧氏空间上的线性变换，求A是旋转变 换的充分必要条件。
相关知识点
1．线性变换的矩阵表示 2．正交矩阵，正交变换
3．矩阵的特征值和特征向量的定义
解题方法
1．先找出A是旋转变换的必要条件 2．再证明这也是充分条件
解题方法
通过寻找二次曲面在仿射变换下的不变量，化二 次曲面方程为标准形。
解题过程
首先，将曲面方程写成矩阵形式
(x
T
S 1 T ξ
)
ξ x
= 0 c 1
经过仿射变换 y = A x + b 后曲面方程变为
(y
记
T
A−T SA−1 1 (ξ − SA−1b)T A−1
3.平面上的轴对称
已知 l 是直角坐标平面上过原点的直线，l 的斜角 为α。求平面上任意点 P(x,y) 关于 l 的对称点 P’(x’,y’) 的坐标。
相关知识点
1．线性变换的矩阵表示 2．矩阵运算的定义
解题方法
1．考虑基向量关于轴对称的象 2．考虑点经过轴对称后幅角的变化
解题过程
解法一，先求出基向量的象。
解题过程
解法一：利用向量的运算
A = (a1 , a2 ) A' = (− a2 , a1 ) B = (b1 , b2 )
S OACB = 2 S OAB = OA ⋅ OD | OA′• OB | = OA′ = a1b2 − a2b1
→ →
解题过程
解法二：利用行列式的几何意义 三阶行列式的几何意义是行列式的三个行向量所围 成的平行六面体的“有向”体积；而二阶行列式的 几何意义是行列式的两个行向量围成的平行四边形 的有向面积。一般的n阶行列式可以看作由平行四 边形面积、平行六面体体积推广得到的“n维体 积”。 → → SOACB = 2SOAB = det( OA, OB ) = a1b2 − a2 b1
α n= , α = ( a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 )T |α |
解题过程
解法二，利用点 P 在平面上的投影 Q
P ' = 2Q − P
Q =λA +µB 满足 (Q−P, A) = (Q−P, B) = 0，解线性 方程组可得
a1 −1 T Q = M M M MP, M = a2 a 3