线性代数应用案例资料
《线性代数》一些生活例子ppt课件
8
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车 流量是多少呢？
BC段封闭将导致x6=t3=0,所以各路段 的车流量是：
其中 t1,t2 非负整数
且 t1 350,t2 150
0
9
例２
10
11
12
13
14
15
课堂练习：
16
1子
1
例１：如下图是某城市某区域单行道路网.据 统计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而 从路口B和C出来的车流量分别为每小时350辆和 150辆.（１）求出沿每一个道路每小时的车流量.
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车流量是多少呢？
解（１）如图所示，设沿这些道路每小时车流 量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,
19
鉴于出入每一个路口 的车流量是相等的， 于是有
2
3
这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组：
所提的问题就归结为求解上述线性方程组。
4
解
5
对应于系数矩阵的秩，即 秩（A）＝3
对应于增广矩阵的秩， 即秩（A）＝3
6
7
又由题意知，各个变量取值必须是 非负整数，于是t1,t2,t3必须是非负整数， 且满足条件：
线性代数应用案例
食物1
食物2
食物3
蛋白质
36
51
13
33
脂肪
0
7
1.1
3
碳水化合物
52
34
74
45
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组
利用matlab可以求得
x =
0.27722318361443
利用matlab可以求得
x =
1.52173913043478
2.39130434782609
0.65217391304348
矩阵的应用
案例1矩阵概念的引入
（1）线性方程组
的系数 按原来的位置构成一数表
该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
（2）某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线，下图所示表述了四城市间的航班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A和B。
行列式的应用
案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养
单位食物所含的营养
解：由题意可得迁移矩阵为
设2009年的初始人口为 ，2010年和2011年的人口分别为 ，则
即2011年的人口分布情况是：城市人口为6255380，农村人口为6544620.
(2)在某个地区，每年约有4%的城市人口移居到周围的农村，大约5%的农村人口移居到城市中。在2009年，城市中有400000居民，农村有600000居民。建立一个差分方程来描述这种情况，用 表示2009年的初始人口，然后估计两年之后，即2011年城市和农村的人口数量（忽略其他因素对人口规模的影响）
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题 0案例二. 配方问题 (3)案例三. 投入产出问题 (4)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6)案例五. CT图像的代数重建问题 (9)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11)案例七. 化学方程式配平问题 (14)案例八. 互付工资问题 (15)案例十. 电路设计问题 (18)案例十一. 平面图形的几何变换 (20)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22)(屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (26)案例十五. 人员流动问题 (26)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (28)案例十七. 选举问题 (30)案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300②x 2 + x 3 = 100 + 200③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=?其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-?→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ??由此可得 142434100600300x x x x x x -=-??+=??-=-?即142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?可得213141500200100x x x x x x =-+??=-??=+?, 123242500300600x x x x x x =-+??=-+??=-+?, 132343200300300x x x x x x =+??=-+??=+?, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=??+=?+=?+=?【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125?? ? ? ? →初等行变换101012000000?? ? ? ? ???, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ?+=++=++=++=+?? (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.。
线性代数的应用举例
三、人口迁徙模型
• 设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则 设在一个大城市中的总人口是固定的。 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有 的 市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市 市区居民搬到郊区去住，而有 的郊区居民搬到市 假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民 的居民住在市区， 区。假如开始时有 的居民住在市区 的居民 住在郊区， 住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多 年后市区和郊区的居民人口比例是多 少？30年、50年后又如何？ 年 年后又如何？ 年后又如何
x1
x4
D
260
x2
B 220 292
C 357
x3
单行道4节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交通图
320
• 问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都 问题：某城市有如图的交通图， 是单行道， 是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车 流量。 流量。 • 针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相 针对每一个十字路口， 等。 • 请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流 量xi（i=1,2,3,4） （ ）
一、药方配制问题
问题：某中药厂用 种中草药 种中草药（ ）， ），根据不同的比 问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比 例配制成了7种特效药 各用量成分见表1（单位： 种特效药， 例配制成了 种特效药，各用量成分见表 （单位：克） （1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和 ）某医院要购买这 种特效药，但药厂的第 号药和 种特效药 号药已经卖完， 第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两 号药已经卖完 种脱销的药品。 种脱销的药品。 种草药配制三种新的特效药， （2）现在该医院想用这 种草药配制三种新的特效药， ）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药 给出了三种新的特效药的成分， 表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？ 给出了三种新的特效药的成分 请问能否配制？ 如何配制？ 如何配制？
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
线性代数论文
论线性代数的应用实例线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
在日常学习、工作和生活中，有很多问题，运用线性代数的方法就可以使问题简化，以下举一些线性代数的应用实例。
一、药方配制问题问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？解:(1)把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。
若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含3u，6u的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。
可使用matlab软件进行运算：在Matlab窗口输入1 2 3 4 5 6 7[10;12;5;7;0;25;9;6;8];[2;0;3;9;1;5;4;5;2];[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; [12;25;0;5;25;5;25;10;0]; [20;35;5;15;5;35;2;10;0]; [38;60;14;47;33;55;39;35;6]; [100;55;0;35;6;50;25;10;20];u u u u u u u =======1234567 [,,,,,,]u u u u u u u u =[0u ,r]=rref(u )计算结果为0u =10100000120030000101000001100000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从矩阵中可以看出，有四个零行，r=1、2、4、5、7从最简行阶梯型0u 中可以看 出，R （u ）=5，向量组线性 相关，一个最大无关组为： 1u 2u 4u 5u 7u3u = 1u +22u 6u =32u +4u +5u故可以配制新药。
线性代数应用案例
行列式的应用案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养单位食物所含的营养所需营养食物1食物2食物3蛋白质36511333脂肪07 1.13碳水化合物52347445试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =0.277223183614430.391920861637010.23323088049177案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）服务者被服务者实际收入土建师电气师机械师土建师00.20.3500电气师0.100.4700机械师0.30.4600解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩利用matlab 可以求得x =1.0e+003*1.256484149855911.448126801152741.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
线性代数应用举例
0 0 0 0
2
2
1
1
方法各有两种。
不难看出，转机两次以下的航
2 4 4 4
线的航路矩阵为 At2= A+ A^2 + A^3
A
t2
1
2
3
3
0 0 0 0
程序为（ma4） A=[0,1,1,1; 0,0,1,1; 0,0,0,0; 1,1,0,0];
3
4
3
3
At2=A+A^2+A^3
例 4 行列式的几何应用
令 A = pΛp-1 其中Λ为对角矩阵，则有
A k=p Λ p -1 p Λ p -1 p Λ p -1p Λ kp -1
k
对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次
xk=Akx0=pΛkp-1x0
Λk 1
k
2
1k
2k
余下很容易计算。
MATLAB 程序
% 分析 n 年后城市人口分布(ma7)
clear
A=[0.95,0.15; 0.05,0.85];
运行结果为：
U = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 00000
x1 x4 9
x
2
x4
109
x 3 x 4 3 7
由于 U 的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实 际上只有三个独立。x4 可以任设，因为如果有一些车沿 此路口环行，对方程无影响，故方程组的解可如上表示.
[a3,b3]，求该三角形面积，则有：
S0.5absaa32
a1 a1
b2 b1 b3 b1
MATLAB写成S=abs(det([a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1]))
线性代数应用案例
线性代数应用案例案例1、指派问题某所大学打算在暑假期间对三幢教学大楼进行维修，该校让三个建筑公司对每幢大楼的修理费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）报价数目（万元）教学1楼教学2楼教学3楼建一公司 13 24 10建二公司 17 19 15建三公司 20 22 21在暑假期间每个建筑公司只能修理一幢教学大楼，因此该大学必须把各教学大楼指派给不同的建筑公司，为了使报价的总和最小，应指定建筑公司承包哪一幢教学大楼？解这个问题的效率矩阵为这里有3！＝6种可能指派，我们计算每种指派(方案)的费用。
下面对6种指派所对应矩阵的元素打方框，并计算它们的和。
由上面分析可见报价数的范围是从最小值49万元到最大值62万元。
由于从两种指派方案（4）与（6）得到最小报价总数49万元，因此，该大学应在下列两种方案中选定一种为建筑公司承包的项目：或案例2、交通问题设有A,B,C三国，它们的城市,之间的交通联接情况（不考虑国内交通）如图：根据上图，A国和B国城市之间交通联接情况可用矩阵表示，其中同样，B国和C国城市之间的交通情况可用矩阵用P来表示矩阵M与N的乘积，那么可算出案例3、圆锥曲线方程平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为这方程含有六个待定系数，用它们之中不为零的任意一个系数去除其它系数，实际上此方程只有五个独立的待定系数。
用与上面类似的方法，通过五个不同点：的一般圆锥曲线方程为：（9）例一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。
他五个不同时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764,0.648）（6.286,1.202）（6.759,1.823）（7.168,2.562）与（7.408，3.360）。
由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。
数学建模案例分析--线性代数建模案例20例
线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题1案例二. 配方问题4案例三. 投入产出问题6案例四. 平板的稳态温度分布问题7案例五. CT图像的代数重建问题11案例六. 平衡结构的梁受力计算13案例七. 化学方程式配平问题16案例八. 互付工资问题17案例九. 平衡价格问题19案例十. 电路设计问题20案例十一. 平面图形的几何变换22案例十二. 太空探测器轨道数据问题24案例十三. 应用矩阵编制Hill密码25案例十四. 显示器色彩制式转换问题27案例十五. 人员流动问题29案例十六. 金融公司支付基金的流动31案例十七. 选举问题33案例十八. 简单的种群增长问题34案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解36 案例二十. 最值问题38附录数学实验报告模板错误!未定义书签。
案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩ 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩(*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y z y x y z z x y -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩, 即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y z x y z x y z --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\bMatlab 执行后得 x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令T 1T 2 T 3 T 4 10080908060506050>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x’Matlab执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 15-16.Matlab实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5, x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组. 【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5,x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1; 1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0; 0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol =4.2305e-015. ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000 可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解. (2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2 = 2米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1杆2π/6π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2.此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4; >> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0; 0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2); 0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0]; >> x = A\b; x ’ Matlab 执行后得 ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业, 2007. 页码: 157- 158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组. (2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.【模型准备】某厂废水中含K, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:K + 2KOH + Cl 2 = KO+ 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KO +KOH +Cl 2 ===CO 2+N 2+KCl +H 2O.(注: 题目摘自XX 省XX 外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷) 【模型建立】设x 1KO ＋x 2KOH ＋x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋x 5N 2 ＋x 6KCl ＋x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x xx x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得 ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KO + 4KOH + 3Cl 2 ===2CO 2+ N 2+ 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s , 未知数的个数就是化学方程式中的项数n .当r(A ) = n -1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k 为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A ) ≤n -2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程. Matlab 实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO 4 + H 2SO 4—— K 2SO 4 + MnSO 4 + Fe 2(SO 4)3 + H 2O + S ↓ (2) Al 2(SO 4)3 + Na 2CO 3 + H 2O —— Al(OH)3↓+ CO 2↑+ Na 2SO 4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间, (3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得2610451044310x y z xx y z y x y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤k ≤ 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1,x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩. 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]; >> x = null(A,’r ’); format short, x ’ Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000 可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭石油电力钢铁制造运输0 0 0.2 0.1 0.2 0.2 煤炭0 0 0.1 0.1 0.2 0.1 石油0.5 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 电力0.4 0.1 0.2 0 0.1 0.4 钢铁0 0.1 0.3 0.6 0 0.2 制造0.1 0.7 0.1 0 0.4 0 运输等的平衡价格.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭,则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为v 2这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2, 但把R 1= 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现. 【模型假设】设平移变换为(x , y ) → (x +a , y +b )旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)放缩变换(沿x 轴方向放大s 倍, 沿y 轴方向放大t 倍)为(x , y ) → (sx , ty )【模型求解】R 2中的每个点(x , y )可以对应于R 3中的(x , y , 1). 它在xOy 平面上方1单E 12位的平面上. 我们称(x , y , 1)是(x , y )的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x , y ) → (x +a , y +b )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x +a , y +b , 1).于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ-y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译,: 人民邮电, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t=[1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x=sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26Matlab绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标;; 最后进行横(2) 编写Matlab程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, …, x k,它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令X k = [x1, …, x k]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T. 一旦接收到数据向量x k+1,必须计算出新矩阵G k+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k的负担不会因为k的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T=[x 1, …, x k ]T 1T k⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T1k +X =[X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T +x k +1T 1k +x =G k +x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n ⨯k 的矩阵, G k = X k X k T 是n ⨯n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k Tk x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 XX 通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.。
线性代数应用案例
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
0.39192086163701
0.23323088049177
案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）
服务者
被服务者
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
线性代数应用案例
线性代数应用案例之一：传球游戏（难度指数：**）
5个小朋友玩传球游戏。游戏规则：任何两个人之间都可以相互传球，但自己不能
给自己传。请用Matlab完成如下操作：
（1）把5个小朋友看成5个节点，构造这5个节点的邻接矩阵A；
（2）假设从第一个小朋友开始传球，经过四次传球后，球又回到第一个小朋友手
5
35
5
35
55
50
G
9
4
17
25
2
39
25
H
6
5
16
10
10
35
10
I
8
2
12
0
0
6
20
线性代数应用案例之六：药方配制问题
（1）某医院要买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号特效药已经卖完，请问能
否用其他特效药配制出这两种脱销的药品；
（2）现在该医院想用这9种草药配制三种新的特效药，表2中给出新药所需的成分
（1）根据数据矩阵画出字母的形状；
（2）取 =
1 0.25
作为变换矩阵对进行变换，并画出变换后的图形，和（1）
0
1
做个比较。
线性代数应用案例之四：交通流量分析（难度指数：***）
某城市有如图所示的9节点交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段
该路段的机动车流量。若针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两
每年有5%的市区居民搬到郊区，而有15%的郊区居民搬到市区。若开始有
700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区，请分析：
（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？
（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？
线性代数应用实例
线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式p(t) a 0 a-|t a 2t 2 a 3t 3 ,并求f (1.5)的近似值。
角军：令三次多项式函数 p(t) a 0 a 1t a 2t 2表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a 。
3 a o a 1 a 2 a 3 0 a o2a 1 4a 2 8a 3 1 a o3a 19a 227a 36对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入:2 32,a 3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t2t t ,故f(1.5)近似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5)2 (1.5)31.125。
在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点t i (i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj 时，就可以用n 次多项式p(t) a 。
a 1t a ?t 2卅 a n t n对f (t)进行插值。
在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为z 1o 根据这样的结 构图，也可以用类似于例 7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数，即输出 y 与输入 u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号 的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
t i0 1 2 3 f(t i )3-16得到x = 1 0 0 0 30 10 -20 0 1 0 -20 0 0 1 1 um ---2X 1y-i ---- 11 -- 1—z 1■ V1/4J 1 1/4■* x 2二―]X3z 1,.3/8图1某数字滤波器结构图>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到 a 0 3,a 12, a 2描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为d n yd n 1ydy」d mu」du 」an ，an 1 y b1 mbmbm 1u，a1 n a 2dt dtdt dt dty 及其各阶导数的初始值为 y (0)，y ⑴(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。
线性代数应用举例1
例3 求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解 的情况。
x1 5 x 2 x3 1 （1） 3x1 3x2 x3 2 ； 2 x 0 .5 x x 3 2 3 1
8 x1 x 2 x3 0 （2） 2 x1 x 2 x3 0 ； 3 x x x 0 1 2 3 5 x 2 x3 8 （4） 7 x 2 x3 10 x3 15
化简为标准的矩阵形式如下：
4 1 1 0
1 1 0 T1 30 4 0 1 T2 50 0 4 1 T3 60 1 1 4 T4 80
在MATLAB命令窗口输入： A=[4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4]; b=[30; 50; 60; 80]; U=rref([A,b])
线性代数中的几何背景
• • • • • • 一、方程及方程组的几何意义 二、行列式的几何意义 三、平面上线性变换的几何意义 四、二维矩阵特征值的几何意义 五、向量组的线性相关性的几何意义 六、二次型的正定性及其所对应的 二次曲面 f f x1 , x2
一、方程及方程组的几何意义
二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方 程组在几何上则表示两根直线的位置关系：
5 x1 7 x 2 x3 5 （3） x1 4 x 2 x3 12 ； x 4 x x 25 2 3 1
利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：
图3 三元非齐次线性方程组解的几何意义
从图3中可以看出： 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这 个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。 方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组 无解。 方程组（4）也无解。
线性代数案例库
第一单元 行列式案例1某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为60%，乙种产品的钢材利用率为70%，丙种产品的钢材利用率为80%．年进钢材总吨位为100吨，年产品总吨位为67吨。
此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品成品总重量是甲产品成品总重量的70%。
还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获得利润分别是1万元，1.5万元，2万元。
问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为,,x y z 吨，则由题意可列出方程组：1000.60.70.8670.60.70.70x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪⨯-=⎩， 将方程组化简，得100678670350x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩其系数行列式111678130350D ==≠-根据克莱姆法则，方程组有唯一解。
解得123650,390,260D D D === 所以50,30,20x y z ===。
总利润为500.61300.7 1.5200.8293.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=万元。
案例2某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表1-1所示，求每类商品的销售利润率。
解：设A ，B ，C ，D 四类产品的利润率分别为1234,,,x x x x ，则由题意可列出方程组：123412341234123440608010027.44060709025.850608010028.95060909029.1x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，将方程组化简，得12341234123412342345 1.374679 2.5856810 2.895699 2.91x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩其系数行列式2345467960568105699D ==≠ 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。
《线性代数》一些生活例子教学资料
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车 流量是多少呢？
BC段封闭将导致x6=t3=0,所以各路段 的车流量是：
其中t1,t2 非负整数
且 t1 350,t2 1500例２Fra bibliotek课堂练习：
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解（１）如图所示，设沿这些道路每小时车流 量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,
鉴于出入每一个路口 的车流量是相等的， 于是有
这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组：
所提的问题就归结为求解上述线性方程组。
解
对应于系数矩阵的秩，即 秩（A）＝3
对应于增广矩阵的秩， 即秩（A）＝3
又由题意知，各个变量取值必须是 非负整数，于是t1,t2,t3必须是非负整数， 且满足条件：
《线性代数》一些生活例子
例１：如下图是某城市某区域单行道路网.据统 计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而从 路 口 B 和 C 出 来 的 车 流 量 分 别 为 每 小 时 350 辆 和 150辆.（１）求出沿每一个道路每小时的车流量.
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车流量是多少呢？
线性代数应用案例
行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得 x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得 x =1.0e+003 *1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得 x =1.521739130434782.39130434782609 0.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入 （1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n ==按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
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土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
40（kg）
50（kg）
60（kg）
70（kg）
1.5
60
80
70
20
1.6
30
120
150
90
1.7
10
15
80
150
1.8
0
2
5
10
如果只反映1.5米与体重的关系，则可以用（60 80 70 20）；如果只反映60kg与身高的关系，则可以用 。
案例5矩阵概念的应用——逻辑判断问题
甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：
利用matlab可以求得
x =
1.52173913043478
2.39130434782609
0.65217391304348
矩阵的应用
案例1矩阵概念的引入
（1）线性方程组
的系数 按原来的位置构成一数表
该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
（2）某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线，下图所示表述了四城市间的航班图，若从A到B有航班，则用带箭头的线连接A和B。
解：设矩阵
则矩阵
=
案例7逆矩阵的应用
一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿0.65元的燃料费，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。而提供一块钱的运输费铁路需支付煤矿0.55元的燃料费，0.10元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？
所需营养
食物1
食物2
食物3
蛋白质
36
51
13
33
脂肪
0
7
1.1
3
碳水化合物
52
34
74
45
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组
利用matlab可以求得
x =
0.27722318361443
0.39192086163701
0.23323088049177
案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）
服务者
被服务者
线性代数应用案例
行列式的应用
案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养
单位食物所含的营养
为了便于研究，表中√为1，空白为0，得到下列数表：
列表表示到站
A
B
C
D
行标表示发站
A
√
√
0
1
1
0
B
√
√
√
1
0
1
1
C
√
√
√
1
1
0
1
D
√
0
1
0
0
(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表
40
50
60
70
1.5
60
80
70
20
1.6
30
120
150
90
1.7
10
15
80
150
1.8
0
2
5
10
此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的4行4列的矩形数表，
案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g蛋白质和300mg维生素c，已知三种食物每100g中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
蔬菜
鱼
肉松
热量/cal
60
300
600
蛋白质/g
3
9Байду номын сангаас
6
维生素c/mg
90
60
30
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为 百克，根据题意，建立方程组
上述方程组可化为 ，其中
，
利用matlab求解，可知 ，所以方程组有唯一解，其解为
所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。
案例8求解线性方程组
（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
企
业
产
品
费
用
煤矿
发电厂
铁路
燃料费（元）
0
0.65
0.55
电力费（元）
0
0.05
0.10
运输费（元）
0.25
0.05
0
对于一个星期的周期，设 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路的总产值。
煤矿的总消耗为
电厂的总消耗为
铁路的总消耗为
则
联立三个方程并整理得方程组
案例6矩阵乘法的应用
某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：
美国
德国
日本
3000
1500
2000
1400
1300
800
单位价格（万元）
单位重量（吨）
单位体积（ ）
0.5
0.04
0.2
0.4
0.06
0.4
利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？