有理函数的和可化为有理函数的不定积分

令 x 0
得
10 4 4 B 2 8 E x 1 4 9 3 B 1 9( D E) x 1 12 3 9 B 9 3( E D )
§4
不定积分的计算 （4）
三角函数有理式
R (sin x, cos x) dx
型的积分
例 1
求
sin x(1 cos x) dx
1 sin x
f='2*(1+sin(x))/(sin(x)*(1+cos(x))*(1+t^2))';
f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t^2)' ,'cos(x)'))
f1 = 1/2*(1+t^2+2*t)/t expand(f1)
ans = 1/2/t+1/2*t+1 1 sin x 1 t dx ( sin x(1 cos x ) 2t 2 1) dt
int(f1) ans = 1/4*t^2+t+1/2*log(t)
1 sin x t2 ln | t | dx t C sin x(1 cos x ) 4 2 例 2 求 3 sin x 3 cos x ) dx
dx


1
3
( x 1) 2 ( x 2)
dx
1 dx 2 /3 ( x 2)[ x 1) /( x 2)]
1 ( x 2)t 2 dx
f='y^3-(x-1)/(x+2)'; x=solve(f), dx=simplify(diff(x,'y'))
Mx N ( x 2 px q) n
例 1.
求不定积分

2x 1 dx 2 x 5x 6
将被积函数按部分分式分解 2x 1 A B x 2 5x 6 x 2 x 3 两边同乘 ( x 2)( x 3) 2 x 1 A( x 3) B( x 2) 比较同次项系数 A B 2 3 A 2 B 1 解此方程组 f1='A+B-2'; A = -3 由此得到 f2='3*A+2*B-1'; [A,B]=solve(f1,f2)
f4='3*C-4*E-8*D+4*B-9' ; f5='4*A-2*C-4*B-8*E+10' ; [A,B,C,D,E]=solve(f1,f2,f3,f4,f5) A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1
2 x 4 x 3 4 x 2 9 x 10 1 2 1 x 1 dx ( x5 x 4 5x3 2x 2 4x 8 x 2 x 2 ( x 2)2 x 2 x 1)dx ln | x 2 | 2 ln | x 2 | ln | x 2 | ( x 2) 2 x2 x 1 1 1 2x 1 ln( x 2 x 1) arctg C x 2 3 3
比较同次项系数得 B A D 2 E 2 D C B 3 A 1 3C 2 E 4D 3B A 4 3C 4 E 8D 4 B 9 4 A 2C 4 B 8E 10 解此方程组
f1='B+A+D-2'; f2='E+2*D+C-B+3*A+1'; f3='-3*C+2*E-4*D-3*B+A-4';
§3 有理函数的和可化为有理函数的不定积分 有理函数的不定积分 内容：1）有理函数的部分分式分解 2）有理函数的不定积分 难点：有理函数的部分分式分解 要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法：第一换元法，第二 换元法，分部积分法。灵活的应用它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 P( x ) a 0 x n a1 x n1 a n Q( x) b0 x m b1 x m 1 bm 先介绍代数学中两个定理：
解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 1 cos x d sin x 2 I dx csc xdx 2 2 1 cos x sin x 1 x ctgx c csc x ctgx c tg c. sin x 2 代换法是一种很灵活的方法.
就有
xபைடு நூலகம் 2arctgt.
dx 1 cos x . 2 2 x 1 t I dt dt t c tg c. 2 1t 2 1 1t2
t tg x 2
解法一 ( 用万能代换 )
解法二 ( 用初等化简 )
I
1 dx x x 2 x sec d ( ) tg c. x 2 cos 2 2 2 2 2
1 1 2x 1 arctg C x2 3 3
另一种方法是
2 x 4 x 3 4 x 2 9 x 10 A( x 2) 2 ( x 2 x 1) B( x 2)(x 2)(x 2 x 1) C ( x 2)(x 2 x 1) ( Dx E )(x 2)(x 2) 2
解
1 sec 2 x dtgx dx dx a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x a 2 tg 2 x b 2 a 2tg 2 x b 2
f='1/(a^2*t^2+b^2)'; int(f) ans = 1/b/a*atan(a*t/b)
dtgx 1 a arctg tgx C a 2tg 2 x b 2 ab b 1 x x2 dx x2
s='t-sqrt((x+2)/(x-2))';x=solve(f)
x = 2*(1+t^2)/(-1+t^2) simplify(diff(x,'t')) ans = -8*t/(-1+t^2)^2
g='-8*t^2/(x*(t^2-1)^2)'; g1=simplify(subs(g,'x','2*(t^2+1)/(t^2-1)')) g1 = -4*t^2/(1+t^2)/(t^2-1)
f='2*(3-sin(x))/((3+cos(x))*(1+t^2))';
f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t ^2)','cos(x)')) f1 = (3+3*t^2-2*t)/(2+t^2)/(1+t^2) 利用部分分式展开，积分
clc,f=sym('A*(x+2)^2*(x^2-x+1)+B*(x-2)*(x+2)*(x^2-x+1)+C*(x-2)*(x^2x+1)+(D*x+E)*(x-2)*(x+2)^2');collect(f,'x') ans = (B+A+D)*x^4+(E+2*D+C-B+3*A)*x^3+(-3*C+2*E-4*D-3*B+A)*x^2+(3*C-4*E-8*D +4*B)*x+4*A-2*C-4*B-8*E
f=sym('x^5+x^4-5*x^3-2*x^2+4*x-8'); factor(f) ans =(x-2)*(x^2-x+1)*(x+2)^2 因此可分成部分分式 2 x 4 x 3 4 x 2 9 x 10 A B C Dx E x 5 x 4 5x 3 2 x 2 4 x 8 x 2 x 2 ( x 2) 2 x 2 x 1 两边同乘 ( x 2)( x 2) 2 ( x 2 x 1) ，比较同次项系数得 2 x 4 x 3 4 x 2 9 x 10 A( x 2) 2 ( x 2 x 1) B( x 2)( x 2)( x 2 x 1) C ( x 2)( x 2 x 1) ( Dx E )( x 2)( x 2) 2
g='(-6/(1+x)^2)/(1+t^2)^2';
g1=simplify(subs(g,'x','(2-t^2)/(1+t^2)'))
g1 = -2/3
2 x x 2 2 dt t C 3 3
2
(1 x)
1
dx
1 (1 x ) (1 x )( 2 x )
定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式 Q ( x ) 总那个 可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： Q ( x ) b0 ( x a) k ( x b) l ( x 2 px q ) s ( x 2 rx h ) v 定理 2 （ 部分分式展开定理） A1 A2 Ak P( x ) 2 k Q ( x) ( x a ) ( x a) ( x a) B1 B2 dx Bl ( x c) m ( x b ) ( x b) 2 ( x b) l 和 P x Q P x Q P 1 1 2 2 1 x Q1 x 2 px q ( x 2 px q ) 2 ( x 2 px q) s R x H1 R x H2 Rv x H v 21 2 2 x rx h ( x rx h ) 2 ( x 2 rx h) v 因此有理函数的积分问题就归结为
f2=int(f1) f2 =log(2+t^2)+3/2*2^(1/2)*atan(1/2*t*2^(1/2))-log(1+t^2) 3 sin x 3 2 2 2 2 dx ln( 2 t ) arctg t ln( 1 t )C 3 cos x ) 2 2 例3 求 1 a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x dx
[B = 5
2x 1 5 3 x 2 5x 6 x 3 x 2 2x 1 5 3 ( x 3) 5 x 2 5 x 6 dx ( x 3 x 2 )dx ln | (x 2)3 | C
也可直接用下面命令 b=[2,-1]; a=[1,-5,6];
int(g1) ans = -log(t-1)+log(1+t)-2*atan(t)
1 x
x2 t 1 dx ln | | 2arctg t C x2 t 1 1 2 x x
2
(1 x)
dx
1 (1 x ) (1 x )( 2 x )
dx
f='t^2-(2-x)/(1+x)';x=solve(f), dx=simplify x = -(t^2-2)/(1+t^2) dx = -6*t/(1+t^2)^2
[r,p,k]=residue(b,a)
r = 5
-3
2x 1 5 3 x 2 5x 6 x 3 x 2
例 2 解
2 x 4 x 3 4 x 2 9 x 10 x 5 x 4 5 x 3 2 x 2 4 x 8 dx 将分母分解因式
万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分， 令 t tg x x x 2 2t ， sin x 2 sin cos 2 2 1 t2 2 x sec 2 2tg 1t2 cos x , 2 1 t tgx 2t 1t2 ， dx 2 dt , 2 1 t
x ， 2