《参数方程的概念》

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（2）沿oy反方向作自由落体运动。
o
x
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
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动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋 转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、 斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．
(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出 参数的取值范围并标注出来．
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教学目标
1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数，求简单曲线
的参数方程
教学重点 曲线参数方程的定义及方法
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如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
投放点
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[悟一法] 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点 的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如 果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
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[通一类] 1．已知曲线xy＝＝s2isninθ＋θ＋31 (θ 为参数，0≤θ<π)，
则下列各点 A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)在曲线上的点是________． 解析：将 A(1,3)点代入方程得 θ＝0；将 B、C 点坐标代入方程， 方程无解，故 B、C 点不在曲线上． 答案：A(1,3)
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得: t x 1 2
y=t2
代入第二个方程得: y ( x 1)2 , (x1)24y为 所 求 .
2
动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别 为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数 方程。
2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一
样．如
x＝4t＋1 y＝2t
t∈R
和
x＝2m＋1 y＝m
(m∈R)
都表示直线 x＝2y＋1.
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[研一题]
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝32tt2－1 (t 为参数) (1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4,10)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关 系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2
12t
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[研一题] [例2] 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰 长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动， 求点P在第一象限的轨迹的参数方程． [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要 先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
垂 直 高 度 为 y， 所 以
x 100t,
y
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1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
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(1)把点 M1 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1， 得0－＝12＝t 3t2－1 ，∴t＝0. 即点 M1 在曲线 C 上． 把点 M2 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1，
.
得41＝ 0＝2t3t2－1 ，方程组无解． 即点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上， ∴2a＝＝23tt，2－1. ∴t＝1，a＝3×12－1＝2. 即 a 的值为 2.
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π－1gt2.
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(t 为参数)
(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意 义及其应用．
[解] (1)令 y＝0，则 2tsin π6－12gt2＝0. 解之得 t＝2g. ∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g.
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(2)y＝2tsin π6－12gt2＝－12gt2＋t ＝－12g(t2－2gt) ＝－12g[(t－1g)2－g12] ＝－12g(t－1g)2＋21g ∴当 t＝1g时，y 取最大值21g. 即炮弹在运动中达到的最大高度为21g.
(θ 为参数，0＜θ＜π2)．
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[悟一法] (1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系， 设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根 据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列 出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运
[通一类]
2.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA＝2a， 射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线 交于 B 点，作 PQ⊥OA 交 OA 于 D，PB∥OA， 试求点 P 的轨迹的参数方程． 解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由 PQ⊥OA，
PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos 2θ＝2acos 2θ，
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练习1
1、曲线
x 1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
y4t 3
B
)
A、（1，4）；B、( 2 5 , 0 ) ; C、 (1, 3); 16
D、 (
25 16
,
0
);
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训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
xy1at22.t,(t为参数,aR)
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
[读教材·填要点]
1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某
个变数 t 的函数xy＝＝gftt，， ①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程
组①所确定的点 M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么 方程组① 叫做
这条曲线的参数方程．
联系变量 x，y 的 变数t 叫做参变数，简称参数．
2．普通方程
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做
普通方程．
[小问题·大思维]
1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？ 提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
于点 Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ 为参数(0＜θ＜π2)，
则∠ABO＝π2－θ.
在 Rt△OAB 中，|OB|＝acos (π2－θ)＝asin θ.
在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ.
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法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴
于 Q.
如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP.
取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)．
∵|OA|＝ a2－t2，
∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ y＝t
a2－t2
，(0＜t＜a)
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以 P 点轨迹的参数方程为
x＝2acos 2θ y＝2atan θ
，θ∈(－π2，π2)．
曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容.实际问题为背
景考查曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[ 考题印证]
x＝2tcos π， 6
已知弹道曲线的参数方程为 y＝2tsin