(文章)一元一次方程中思想方法知多少
文章如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程
文章如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程解答：在数学学习中，一元一次方程中带有分数和绝对值的问题在中学阶段是比较常见的。
解决这类问题需要一定的思维和方法，本文将探讨如何解决带有分数和绝对值的一元一次方程。
一、分数的一元一次方程解法对于带有分数的一元一次方程，我们可以使用消元法、代入法或求通解的方法进行解决。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（1） 2x + 1/3 = 1 - 4x首先，我们可以通过消去分数来求解。
将等式两边乘以3以消去分母，得到：6x + 1 = 3 - 12x接下来，我们将x的项移到等式的一侧，常数项移到等式的另一侧，得到：6x + 12x = 3 - 1合并同类项，化简为：18x = 2最后，将方程两边除以18，得到：x = 2/18 = 1/9所以，方程的解为 x = 1/9。
二、绝对值的一元一次方程解法对于带有绝对值的一元一次方程，我们需要根据绝对值的定义分情况讨论。
分别考虑绝对值内外的正负情况，并求解方程。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（2） |2x - 3| = 5首先，我们需要将绝对值拆分为正负两种情况进行求解。
情况1：当2x - 3 ≥ 0 时，绝对值内部为正数，即：2x - 3 = 5求解上述方程可得：2x = 8x = 4情况2：当2x - 3 < 0 时，绝对值内部为负数，即：-(2x - 3) = 5根据负号的性质展开得到：-2x + 3 = 5求解上述方程可得：-2x = 2x = -1综上所述，方程的解为 x = 4 或 x = -1。
三、同时考虑分数和绝对值的一元一次方程解法当一元一次方程中同时存在分数和绝对值时，我们可以综合以上两种方法，进行求解。
举例来说，我们考虑如下的一元一次方程：（3）|3x + 2/5| + 1/3 = 2首先，我们需要将绝对值拆分为正负两种情况进行求解。
情况1：当3x + 2/5 ≥ 0 时，绝对值内部为正数，即：3x + 2/5 + 1/3 = 2求解上述方程可得：3x + 2/5 = 2 - 1/33x = 2 - 1/3 - 2/5得到通分后的方程：3x = 30/15 - 5/15 - 6/153x = 19/15x = 19/3/15/3 = 19/45情况2：当3x + 2/5 < 0 时，绝对值内部为负数，即：-(3x + 2/5) + 1/3 = 2根据负号的性质展开得到：-3x - 2/5 + 1/3 = 2求解上述方程可得：-3x = 2 - 1/3 + 2/5得到通分后的方程：-3x = 30/15 - 5/15 + 6/15-3x = 31/15x = 31/3/15/3 = 31/45综上所述，方程的解为 x = 19/45 或 x = 31/45。
初中数学解方程技巧总结
初中数学解方程技巧总结解方程是初中数学中的重要内容，也是学习数学的基础。
通过解方程，我们可以求解未知数的值，解决各类实际问题。
在这篇文章中，我将总结一些初中数学解方程的技巧，希望对大家的学习有所帮助。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学解方程的基础，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
1. 移项法移项法是一元一次方程的常用解法。
以ax + b = 0为例，我们可以将b移至方程的右侧，得到ax = -b。
然后再将方程两边同时除以a，即可得到x = -b/a。
这样就求得了一元一次方程的解。
2. 合并同类项法对于一元一次方程，我们可以利用合并同类项的法则来求解。
首先将方程中同类项进行合并，得到cx = d。
然后再将方程两边同时除以c，即可求解出x的值。
3. 代入法代入法是一种简便的解方程方法。
对于一元一次方程ax + b = c，我们可以先将c - b得到一个新的常数d，然后代入方程得到ax = d。
再将方程两边除以a，即可求解出x的值。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是高年级数学中的重点，它的一般形式为ax^2 + bx +c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
1. 因式分解法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以尝试将其因式分解成两个一元一次方程的乘积形式，即(ax + m)(x + n) = 0。
通过解方程ax + m = 0和x + n = 0，我们可以求得方程的解。
2. 公式法一元二次方程的根可以通过求解二次根式来得到。
一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
通过带入已知数值计算，即可得到方程的解。
三、实际问题解方程的方法解方程不仅仅是纸上的操作，它也可以应用于实际问题的解决。
以下是一些实际问题解方程的常用方法。
1. 建立方程对于问题中涉及到的未知数和已知条件，我们可以通过建立方程来解决。
一元一次方程 方法类型方法总结
一元一次方程专题总结本章的内容是等式和它的性质、方程和它的解、一元一次方程的解法及其应用。
其中一元一次方程的解法及其应用是本章的主要内容。
[思想方法总结]1．化归方法所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它先进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。
如本章解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程ax＝b(a≠0)，从而求出方程的解x ＝。
2．分析法和综合法分析法是从未知，看已知，逐步推向己知，即由果索因；综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因索果，研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合。
列方程解应用题就是运用了这种分析和综合的思想方法。
3．方程思想方法方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。
这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志。
本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用。
[学习方法总结]如何检验一个数是否是某个方程的解，是必须掌握的最基本的技能技巧。
检验某个给定的数是否为某方程的解，只要将该数代入方程，看能否使方程左、右两边相等，这种方法是一种重要的数学思想方法和解题方法，今后我们在学习二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程、无理方程等方程中，都可以用这种方法检验一个数(或一对数)是否是某个方程(或方程组)的解。
利用这种方法还可以检查所求的方程的解是否正确，从而检验自己的运算能力。
[注意事项总结]1．通过本章的学习，可以体会到对于解方程和列方程解应用题，代数解法具有居高临下、省时省力的优点。
所以，今后要从算术解法转到习惯于代数解法。
2．不要死记硬背例题题型和解法，而要努力学会分析问题的本领。
为此要适当做一些与例题不同类的题，通过老师的指导，自己去进行分析并解决它们。
3．要注意检验求得的结果是不是方程的解，方程的解是不是符合应用题题意的解。
列一元一次方程解应用题中的思想方法
列一元一次方程解应用题中的思想方法1．一元一次方程的解法步骤及每一个解题步骤应注意什么？去分母：不漏乘加括号去括号：注意分配；括号前是负号时要变号移项：注意要变号合并同类项：系数化“1”：注意约分和不要丢“—”号自觉养成检验的习惯2．列方程解应用题的步骤有哪些？关键是什么？审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；列方程：根据相等关系列出方程；解方程：求出未知数的值；检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.关键：正确审清题意,找准“等量关系”众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，列一元一次方程解应用题也不例外，在列一元一次方程解应用题过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决列一元一次方程解应用题，现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.一、设k法.利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设出其中的平分为k，就能轻松地列出方程求解.例1一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长.二、数形结合思想.数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解析问题的思想方法.例2如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为________.分析通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，然后顺时针方向上的正方形边长依次大1.三、整体思想.在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.例3一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.四、分类思想.数学的思维是严密的，所以要求解许多的数学应用题时，为了使答案的完整，需要进行分情况来解决，从而有利于培养思维的慎密性.例4在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？分析因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论.五、逆向思维.数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算就显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法。
一元一次方程知识梳理1
第三章一元一次方程3.1 一元一次方程方程是含有未知数的等式。
方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；2）化简后方程中只含有一个未知数；3）经整理后方程中未知数的次数是1.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解(solution)。
等式的性质：1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等式不变（结果仍相等）.2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变.注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质2时，一定要注意0这个数.3.2 解一元一次方程（一）----合并同类项与移项一般步骤：移项→合并同类项→系数化1；（可以省略部分）了解无限循环小数化分数的方法，从而证明它是分数，也就是有理数。
3.3 解一元一次方程（二）----去括号与去分母一般步骤：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）→去括号→移项→合并同类项→系数化1；以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复使用. 因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选择方法. 在解方程时还要注意以下几点：①去分母，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆；②去括号遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号不要漏乘括号的项；不要弄错符号；③移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号）移项要变号；④不要丢项合并同类项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式.⑤把方程化成ax＝b（a≠0）的形式字母及其指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解不要分子、分母搞颠倒3.4 实际问题与一元一次方程一．概念梳理⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，②设出未知数（注意单位），③根据相等关系列出方程，④解这个方程，⑤检验并写出答案（包括单位名称）.⑵一些固定模型中的等量关系： ①数字问题：abc 表示一个三位数，则有10010abc a b c =++②行程问题：甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程甲走的时间=乙走的时间；甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程－乙走的路程=甲乙之间的距离③工程问题：各部分工作量之和 = 总工作量；④储蓄问题：本息和=本金+利息⑤商品销售问题：商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价或商品售价=商品成本价×（1+利润率）⑥产油量=油菜籽亩产量X 含油率X 种植面积二．思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a 的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.三．典型例题例1. 已知方程2x m －3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m －3=1，解得m=4.或m －3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x 的指数是（m －3）. 例2. 已知2x =-是方程ax 2－（2a －3）x+5=0的解，求a 的值.解：∵x=－2是方程ax 2－（2a －3）x+5=0的解∴将x=－2代入方程，得 a·（－2）2－（2a －3）·（－2）+5=0化简，得 4a+4a －6+5=0∴ a=81点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a 的一元一次方程就可以了.例3. 解方程2（x+1）－3（4x －3）=9（1－x ）.解：去括号，得 2x+2－12x+9=9－9x ，移项，得 2+9－9=12x －2x －9x.合并同类项，得 2=x ，即x=2.点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a 的形式.例4. 解方程 175321416181=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111351642x ⎡-⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得113142x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 方程两边乘以4，再移项合并同类项，得112x -=方程两边乘以2，再移项合并同类项，得x=3.说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
《一元一次方程》中的数学思想方法
＿＿ ‘
分析 ： 观察本题的数字及 括号的特点 ， 选择 数 加上 ４ 第 二 盘 的个 数减 去 ４ 第三 盘 的个 数 ， ，
由外向 内去括号 ，从 而可 以一次性 去掉中括号 乘 ４ 第 四盘的个数除 以 ４ 所得 的数 目一样 ， ， ， 问
和小括 号 ， 既简化了解题过程 ． 又可 避免一些常 原来 四盘苹果各多少个 ７
例 知 程 ＋（ ）丢求 ４已 方 ÷ ５一 ＝ ，
３ ０ ＋２ （一 ） 的值・ ） 看作 一 分析 ： 已知方 程 中的 （ 一 将
时， 种植 Ｉ 、 号 Ⅱ号稻谷 的收益相 同； （ ） 王去年 卖 给 国家 的稻 谷 共为 １７ ０ ２小 ０ １
千克．
点 评 ： 用方 程思想 解决 实际 问题 比用 其 运 它方法要简捷 得多． 三、 归思 想 化
个整体求 出结果 ， 再代入待求式 即可 ．
解 ： （一 把 ） 作一个 整体 ， 看 由已知方
化 归思想是指在解题 时 ，如果觉 得当前 的 程 ， 得 一丽１ ＝ 代 人 待 求 式 ， ３ ０ ＝１ ＝ 得 ＋２ 问题很难 ，可把它化 为 已经解决或较易解决 的
一
ｘ －
）＝ ＋ ２ １＝４ ：３ ０ ： ・
点评 ： 把某 式 子作 为 整体 来 看 ， 简便 运 可 算， 方便求 解．
五 、 设 元 法 巧
１ ８吾 ）Ｊ ＋ ＋＝
对 于有些应用题 ．还可 以问接设 未知数列
方 程来解答 ．
例 ５ 四盘苹果 共 １０个 。把 第一 盘的个 ０
＝２ 元 ） （ ；
把形 式 比较 复杂 的方程 逐 步化 简 为最 简 方程
ａ ＝ｂ ｎ ）从 而求出方程的解的过程． ｘ （ ≠０ 。
小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧
小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧解方程的方法与技巧解方程是小学六年级数学学习的重点之一，既涉及到基本的代数知识，又需要灵活运用数学思维和方法，因此很多同学在这方面会遇到一些困难。
本篇文章将详细介绍六年上册解方程的方法与技巧，供同学们参考。
一、解一元一次方程1.1 原理一元一次方程的一般形式为：ax+b=c，其中a、b、c都是已知数，x是未知数。
解方程的过程就是求出未知数x的值使得等式成立。
要解一元一次方程，可以运用两种主要的方法：以图形法和代数法。
1.2 图形法图形法是一种基本的解方程方法，它通过几何图形的方式来解决方程。
解一元一次方程时，把等式两边看成两调线段，转化成求相等长度，然后利用几何图形，选取合适的图形来解决问题。
通常利用平行四边形、三角形等图形求解。
1.3 代数法代数法是一种通用的解方程方法，它可以应用到各种类型的一元一次方程。
代数法是通过移项、相乘、去分、对等牵连等基本代数运算方法，将方程变成x=常数式、常数式x=常数式、常数式÷x=常数式等，从而得出解法。
还可以利用分配律、合并同类项、因式分解等代数方法进一步简化式子，尽可能让x的系数为1，使求解变得更加简单易懂。
1.4 解题技巧在解题时，需要注意以下几点：（1）方程两边进行的任何变形，都必须同步进行,确保等式两边都变化了。
（2）方程两边变化的符号必须相反。
（3）解出的结果必须带入原方程，验证等式是否成立。
（4）注意避免分母为0的情况。
（5）方程式中系数为整数时，方式好记，一般只需按基本代数运算法则逐步对变量x进行移动和运算即可。
上述技巧将大大方便同学们在解方程时的思维和操作。
二、解一元一次方程组2.1 原理一元一次方程组是由多个一元一次方程组成的，是一个比较高级的解方程形式。
解一元一次方程组的方法有代数解法和消元法两种。
2.2 代数解法代数解法就是通过我们刚才学过的代数知识，将方程组转换为一元一次方程求解，然后将解代入另一个方程中，不断验证得到结果。
一元一次方程思想方法总结
一元一次方程思想方法总结一元一次方程，也称为一次方程，是指方程中只包含一个未知数的一次幂，且未知数的系数为1的方程。
一元一次方程是数学中最基础且最常见的方程之一，它在实际生活中有广泛的应用。
在解一元一次方程时，我们可以运用一些思想方法来简化求解的过程，提高解题的效率。
下面将对一元一次方程的思想方法进行总结，以帮助我们更好地理解和掌握相关知识点。
一、消元法消元法是解一元一次方程的基本思想之一。
当方程中出现未知数的系数相等的情况时，我们可以通过相减或相加等操作将未知数进行消去，从而得到简化后的方程。
具体步骤如下：1. 观察方程，找出其中两个具有相同未知数系数的方程。
2. 对这两个方程进行相减或相加的操作，消去未知数。
3. 求解得到消去后的方程，从而得到未知数的解。
二、等式的逆运算等式的逆运算是指在方程两边同时进行相同的运算，使得方程依然成立的思想方法。
具体步骤如下：1. 观察方程，找出可以进行逆运算的运算法则。
2. 对方程两边同时进行相同的逆运算，得到等式。
3. 求解得到逆运算后的等式，从而得到未知数的解。
三、变形法变形法是指通过对方程的变形，使方程的形式更简洁、更易于求解的思想方法。
具体步骤如下：1. 观察方程，找出可以对方程进行的变形操作。
2. 对方程进行变形，使方程的形式更简单。
3. 求解得到变形后的方程，从而得到未知数的解。
四、代入法代入法是指将已知的数值代入方程中，求解未知数的思想方法。
具体步骤如下：1. 观察方程，找出可以使用代入法求解的情况。
2. 将已知的数值代入方程，得到另一个方程。
3. 求解得到代入后的方程，从而得到未知数的解。
五、分式法分式法是指通过将方程中的分式化简为整数，从而简化方程求解的思想方法。
具体步骤如下：1. 观察方程，找出其中包含分式的情况。
2. 化简方程中的分式，得到简化后的方程。
3. 求解得到化简后的方程，从而得到未知数的解。
以上是常见的几种解一元一次方程的思想方法的总结。
七年级一元一次方程和差倍分问题
七年级的数学学习中，一元一次方程和差倍分问题是一个比较基础但又非常重要的内容。
通过学习这些概念，学生可以初步掌握代数方程的求解方法，培养逻辑思维能力，为后续高中数学学习奠定基础。
在本篇文章中，我们将从简单到复杂，由浅入深地探讨这一主题，帮助你更好地理解和掌握相关知识。
一、一元一次方程在七年级数学学习中，一元一次方程往往是学生们第一次接触的代数内容。
一元一次方程指的是一个未知数的一次方程，通常写成ax+b=0的形式，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思想是通过逆运算将未知数的系数和常数项分别移到方程的两侧，以求得未知数的值。
以简单的例子来说明：求解方程2x+3=7。
我们需要将方程中的常数项3移到等号右侧，得到2x=7-3，即2x=4。
然后再将未知数的系数2除到等号右侧，得到x=4/2，即x=2。
通过这样的步骤，我们得到了方程的解x=2。
二、差倍分问题差倍分问题也是七年级数学学习中比较常见的问题类型，它是一种将一个整体按照两个条件进行分割的数学问题。
通常情况下，差倍分问题会给出整体的总数量，以及分割后的差值和倍数，要求求出原整体的数量。
举个简单的例子：假如有一组数，它的平均数是12，其中有30个数，如果把其中的每个数都减去2，然后再乘以3，那么这组新数的平均是多少？这个问题就可以通过差倍分的方法来解决。
三、结合一元一次方程和差倍分问题在实际生活中，差倍分问题往往需要通过一元一次方程来解决。
因为差倍分问题常常会给出整体数量的差值和倍数，通过设定未知数，建立一元一次方程，可以比较方便地求得原整体的数量。
举个例子：某班级的学生人数是x，如果男生比女生多8人，那么男生和女生的人数各是多少？这个问题就可以利用一元一次方程来解决。
设男生人数为x，女生人数为x-8，则男女生总数为x+x-8=2x-8。
根据题意，男女生总数应该等于班级总人数x，于是建立方程2x-8=x，解方程得到x=8，代入原式可得男生人数为8，女生人数为0。
一元一次方程中的数形结合思想
一元一次方程中的数形结合思想作者：吴强来源：《初中生世界·七年级》2014年第12期数形结合思想是重要的数学思想方法. 著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学教学时，利用代数和几何的双面工具实现数与形的相互转化，可以揭示数学知识的本质，有利于我们准确掌握数学知识.一、用线形示意图解决行程问题线形示意图通常可以画成直线或环形图，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程. 许多行程问题中的数量关系可以用线形图表示.例1 A、B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，速度为72千米/小时，乙车从B地出发开往A地，速度为48千米/小时，两车同时出发，多少小时后两车相遇？【分析】可以画出线形示意图：根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：甲车行的路程+乙车行的路程=总路程.解：设两车同时出发后x小时相遇.根据题意，得72x+48x=360.解这个方程，得x=3.答：两车同时出发3小时后相遇.【点评】线形示意图具有直观性，可以清晰地反映事物的发展规律或变化趋势.线形示意图用线段表示数量，可根据线段的和或差找出相等关系.变式一：若甲车出发30分钟后乙车再出发，求乙车出发几小时后两车相遇.【分析】可以画出线形示意图：根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：甲车前30分钟行的路程+甲车30分钟后行的路程+乙车行的路程=总路程.解：设乙车出发x小时后两车相遇.30分钟=0.5小时.根据题意，得72（x+0.5）+48x=360.解这个方程，得x=2.7.答：乙车出发2.7小时后两车相遇.变式二：两车同时出发，几小时后两车相距60千米？【分析】两车相距60千米要注意分为相遇前相距60千米和相遇后相距60千米两种情况. 可以画出线形示意图：情况一：根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：甲车行的路程+乙车行的路程+60 km=总路程.情况二：根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：甲车行的路程+乙车行的路程-60 km=总路程.解：情况一：设两车同时出发x小时后两车在相遇前相距60千米.根据题意，得72x+48x+60=360.解这个方程，得x=2.5.情况二：设两车同时出发x小时后两车在相遇后相距60千米.根据题意，得72x+48x-60=360.解这个方程，得x=3.5.答：两车同时出发，2.5小时或者3.5小时后两车相距60千米.二、用圆形示意图解决工程问题画圆形示意图时，用整个圆的面积表示工作量1. 先画一个圆，再画圆的几条半径，把圆分成几个扇形，用扇形面积来表示有关工作量.例2 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽尽，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现甲、丙同抽了6小时后，乙机加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才能把井里的水抽完？【分析】可以画出圆形示意图：根据圆形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：甲、丙合作时完成的工作量+乙机加入后甲、乙、丙完成的工作量=总工作量.工程中的等量关系是：工作量=工作效率×工作时间.如果把全部工作量看作1，那么甲单独抽水1小时完成全部工作量的，乙单独抽水1小时完成全部工作量的，丙单独抽水1小时完成全部工作量的.解：设从开始到结束，一共用了x小时才能把井里的水抽完.根据题意，得+×6+++×（x-6）=1.解这个方程，得x=12.答：从开始到结束，一共用了12小时才能把井里的水抽完.【议一议】解上述问题时，小明列出的方程是+×x+×（x-6）=1. 你能说出它的意义吗？【点评】圆形示意图可以表示出各部分数量和总体的关系.数与图形作为数学这门学科的两种重要载体与表达工具，彼此之间有着内在的本质联系，对充分认识数学内涵有着重要作用. 数形结合思想便是对数与形之间联系的形象表达，它作为一种重要的解题思想，在初中数学中有着重要的应用.（作者单位：江苏省常州外国语学校）。
数学方程解答技巧整理方法
数学方程解答技巧整理方法数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，而方程解答则是数学中最基础也是最重要的一部分。
解方程的过程可以锻炼我们的思维能力和逻辑思维能力，培养我们的分析和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将整理几种常见的数学方程解答技巧，希望能对广大学生有所帮助。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，通常可以表示为ax + b = 0。
解这类方程的基本思路是将未知数移项，使得方程变为x = c的形式。
具体的解题步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号右边，得到ax = -b；2. 将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
需要注意的是，如果方程中的系数a为0，则方程无解或有无穷多解。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0。
解这类方程的方法有多种，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元二次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
假设方程为(x - m)(x - n) = 0，其中m、n为已知常数，那么方程的解为x = m或x = n。
2. 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ = b^2 - 4ac的正负有关。
如果Δ > 0，则有两个不相等的实根；如果Δ = 0，则有两个相等的实根；如果Δ < 0，则无实根，但有两个共轭复根。
三、一元高次方程一元高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程、四次方程等。
解这类方程的方法有很多，下面介绍两种常用的解法。
1. 因式分解法如果一元高次方程可以因式分解，那么解方程就变得相对简单。
通过观察方程中的因式，将方程分解为若干个一元一次方程，然后分别解这些一元一次方程，最后得到方程的解。
2. 代换法对于一元高次方程，有时候可以通过代换的方法将其转化为一元一次方程。
六年级上解方程知识点
六年级上解方程知识点解方程是数学中一项重要的技巧，它能够帮助我们找到未知数的值。
在六年级上学期，我们将学习解一元一次方程和一元二次方程的基本知识。
下面是解方程的一些重要知识点。
一、解一元一次方程一元一次方程是只有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程的方法主要有逆运算法和等价变形法。
1. 逆运算法逆运算法是指通过对等式两边的操作来把含有未知数的项分离出来，最终求解未知数的值。
常用的逆运算有加减逆运算和乘除逆运算。
例如，对于方程3x + 5 = 14，我们可以先将5从等式中减去，得到3x = 9，然后再将3x除以3，得到x = 3，即未知数x的值为3。
2. 等价变形法等价变形法是指通过保持等式两边相等的性质，利用等式的性质和运算法则对方程进行变形，最终得到与原方程等价但更简单的方程。
例如，对于方程2x - 10 = 6，我们可以先将等式两边加上10，得到2x = 16，然后再将2x除以2，得到x = 8，即未知数x的值为8。
二、解一元二次方程一元二次方程是二次项、一次项和常数项组成的方程。
解一元二次方程的方法主要有因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法因式分解法是指将一元二次方程进行因式分解，然后令每个因子等于零，最终求解未知数的值。
例如，对于方程x^2 - 3x - 4 = 0，我们可以因式分解为(x - 4)(x+ 1) = 0，然后令x - 4 = 0和x + 1 = 0，解得x = 4和x = -1，即未知数x的值分别为4和-1。
2. 求根公式法求根公式法是指利用一元二次方程的求根公式，直接求解未知数的值。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，其中a、b、c分别是方程的系数。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以根据求根公式计算未知数x的值，得到x = 2和x = 3，即未知数x的值分别为2和3。
总结：解方程是数学中的重要技巧，通过解一元一次方程和一元二次方程，我们可以求解未知数的值。
初一上册数学一元一次方程知识点讲解
利润问题常用等量关系：售价-进价=利润
(5)配套问题：
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历||史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁||传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”||，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也||有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师||长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说||不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传||授知识的对象和本身明确的职责。(6)分配问题：
||课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使||运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死||”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天||花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“||积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮||流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教||师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名||言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑||中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增||色添辉。以上内容由查字典数学网独家专供，希望这篇初一上||册数学一元一次方程知识点讲解能够帮助到大家。
系数化为1---------除前面
10.列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:多用于和，差，倍，分问题
仔细读题，找出表||示相等关系的关键字，例如：大，小，多，少，是，共，合，为，完成，||增加，减少，配套-----，利用这些关键字列出||文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入||代数式，得到方程.
一元一次方程中的常见思想方法
一元一次方程中的常见思想方法数学思想是解题的灵魂，对数学思想方法的领悟与运用渗透在整个初中阶段的数学学习中，是克服题海战术，取得优异成绩的有效策略. 在列一元一次方程解应用题过程中，若能灵活运用数学思想方法来求解，往往能取得事半功倍的效果. 现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.一、四个基本思想1. 数形结合思想数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把图形和蕴含的数量关系巧妙地结合起来，使问题更直观，更容易解决.例1 如图1，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？【分析】通过观察图形可以发现，由大长方形的上下两条边可以得出两个小长方形的长等于一个小长方形的长+三个小长方形的宽，从而得出一个小长方形的长等于三个小长方形的宽；同样由大长方形的左右两条边也可以得出一个小长方形的长+一个小长方形的宽=60.解：设长方形地砖的宽为x cm，则长为3x cm，根据题意，得：x+3x=60，解得x=15，则3x=45.答：长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.2. 整体思想当一个问题中未知数较多，一个一个地求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的固定代数式看作一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.例2 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得到的数比原来的数的3倍多489，求原数.【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后四位数为一个整体，方便简捷.解：设后四位所组成的数是x，则原来是20 000+x，现在是10x+2，所以10x+2=3（20 000+x）+489，解得x=8 641.答：原五位数为28 641.3. 分类思想分类讨论思想就是把应用题中包含的各种可能情况按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例3 A和B两地相距1 890千米，甲乙两列火车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？【分析】两车相距135千米，存在两种情况，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以应进行分类讨论.解：设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米. 下面分两种情况：1. 当两车在相遇前相距135千米时，则根据题意，得120x+135+150x=1 890，解得x=6.5；2. 当两车在相遇后相距135千米时，则根据题意，得120x+150x=1 890+135，解得：x=7.5.答：经过6.5或7.5小时两车间的距离是135千米.4. 转化思想转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题. 一个难以直接解决的问题，可通过深入观察和研究，将其转化为简单问题迅速求解.例4 甲乙两人从相距50千米的两地同时相向而行，甲每小时走7千米，乙每小时走3千米，甲带一只小狗每小时走9千米，当狗一遇到乙时又返回甲处，一遇到甲时又返回乙处，直到两人相遇，求小狗走的路程.【分析】本题看似复杂，在解题时需根据题意理清：狗重复往返跑，直到甲乙两人相遇时狗才停住，因而小狗走的时间就恰好是甲乙相遇需要的时间，所以就将求小狗走的路程问题转化为求甲乙两人相遇的时间问题，这也是本题的突破口.解：设甲乙两人相遇时用了x小时，根据题意，得：（7+3）x=50，解得：x=5.则小狗走的路程是：9×5=45（千米）答：小狗走的路程为45千米.二、三个常用方法1. 设k法利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.例5 （2014?台湾）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积. 今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5. 若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（）A. 5.4B. 5.7C. 7.2D. 7.5【分析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3k、4k、5k，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出甲杯内水的高度.解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度分别为3k公分、4k公分、5k公分，根据题意，得：60×10+80×10+100×10=60×3k+80×4k+100×5k，解得：k=2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）. 故选C.2. 间接设法在列一元一次方程解应用题时，有时由于问题较复杂或特殊，直接设未知数不能解或是解的过程比较复杂，这时我们可以设与所求问题相关的量为未知数，便于列方程.例6 李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时行18千米，则比火车开出时间迟到15分钟.若李伟打算在火车开出前10分钟到达火车站.求李伟此时骑摩托车的速度该是多少？【分析】本题若用直接设法会相当复杂，所以采用间接设法，关键抓住“早”“迟”两个时间，再根据隐藏的数量关系――路程不变来列方程.3. 逆推法数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算会显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就会十分简便.例7 王大伯卖西瓜，第一天卖了全部的一半还多1个，第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完. 一共有多少个西瓜？【试一试】（2015?宁德）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截至2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？参考答案：【分析】设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意得出方程2x-2+x+5=57，解得即可.解：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意，得：2x-2+x+5=57，解得：x=18，∴2x-2=34.答：亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个.（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）。
第02讲一元一次方程的解法(知识解读真题演练课后巩固)(原卷版)
第02讲 一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1 解一元一次方程解一元一次方程的步骤：1. 去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意 ：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ab x =； （2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1 解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x +3＝3x ﹣15．【变式11】解方程：5x ﹣8＝2x ﹣3．【变式12】解方程：2x +2＝3x ﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【变式21】解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．【变式22】解方程：（1）；（2）．【变式23】解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．【题型2 一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【变式31】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【变式32】（2022秋•通川区校级期末）若关于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整数，则k的整数值有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18B．10C．﹣7D．7【变式41】（2023春•新乡期末）若和3﹣2x互为相反数，则x的值为（）A．﹣3B．3C．1D．﹣1【变式42】（2022秋•柳州期末）已知代数式5a+1与a﹣3的值相等，那么a ＝．【变式43】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式44】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【题型4 错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3B．﹣C．﹣8D．8【变式51】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8【变式52】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y ＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6【变式53】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3B．C．8D．﹣8【变式54】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5B．6C．7D．8【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【变式61】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【变式62】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求n m+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式71】（2022秋•东明县校级期末）规定一种运算法则：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1【变式72】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为．【变式73】（2022秋•滕州市校级期末）对于任意有理数a、b，规定一种新运算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x ﹣1）*（x﹣2）＝﹣3，则x的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1 1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7 2．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5B．﹣5C．7D．﹣7 3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2 5．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣36．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6 7．（2021•广元）解方程：+＝4．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023秋•北京期中）若x＝﹣1是关于x的方程x+3a＝5的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．2D．52．（2023秋•西丰县期中）方程3x+4＝2x﹣3移项后正确的是（）A．3x+2x＝4﹣3B．3x﹣2x＝4﹣3C．3x﹣2x＝﹣3﹣4D．3x+2x＝﹣3﹣43．（2023秋•同安区期中）下列哪个选项是方程5﹣3x＝8的解（）A．x＝﹣1B．x＝1C．D．4．（2022秋•白云区期末）如果方程2x＝2和方程的解相同，那么a的值为（）A．1B．5C．0D．﹣5 5．（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（）A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括号得x﹣6+2x＝1B．方程3x+2＝2x﹣2移项得3x﹣2x＝﹣2+2C．方程去分母得2x+1﹣1＝3xD．方程分母化为整数得6．（2022秋•武昌区期末）解方程﹣＝1，去分母正确的是（）A．3（x﹣1）﹣2（2+3x）＝1B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6C．3x﹣1﹣4x+3＝1D．3x﹣1﹣4x+3＝67．（2023春•惠城区期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．﹣6B．﹣7C．﹣14D．﹣19 8．（2022秋•滕州市校级期末）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.为例进行说明：设0.，由0.可知，10x＝7.777⋯，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝．于是，得0.，将0.写成分数的形式是（）A．B．C．D．9．（2022秋•丰宁县校级期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，则a 的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．0 10．（2022秋•金华期末）若和互为相反数，则x的值为（）A．B．C．D．11．（2023春•偃师市校级期末）关于x的一元一次方程2x m﹣2+n＝4的解是x＝1，则m+n的值是（）A．4B．5C．6D．7 12．（2023秋•西湖区期中）满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．5个13．（2022秋•兴化市期末）已知y1＝x+3，y2＝2﹣x，当y1＝y2时，x的值是（）A．2B．C．﹣2D．二．解答题（共5小题）14．（2023秋•西城区校级期中）解方程：（1）3x﹣4＝2x+5；（2）．15．（2022秋•海沧区期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n＝3m﹣n．例如：（﹣1）※2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5．（1）若（x﹣2）※5x＝6，求x的值；（2）判断这种新运算“※”是否满足分配律a※（b+c）＝a※b+a※c，并说明理由．16．（2023秋•西城区校级期中）小亮在解关于x的一元一次方程+■＝3时，发现正整数■被污染了．（1）小亮猜■是5，则方程的解x＝；（2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？17．（2023秋•金州区校级期中）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5，当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝，当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣，故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣．（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2）已知|a+b+4|＝16，求a+b的值．18．（2023秋•东台市期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，请说明理由；（2）若关于x的方程3x+m＝0与方程4y﹣2＝y+10是“关好方程”，求m的值；（3）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．。
一元一次方程中的常见思想方法
好 是 甲 乙相 遇 需 要 的 时 间 ， 所 以就 将 求 小 狗 走 的路 程 问 题 转 化 为 求 甲 乙 两 人 相 遇
的 时 间 问题 ， 这 也 是本 题 的 突破 口．
解 ：设 甲乙两 人 相 遇 时 用 了 小时， 根
答： 原 五位 数 为 ２ ８ ６ ４ １ ．
Ｊ Ｉ ． ■慧 敦学
Ｃ Ｈ Ｕ ＺＨ ｏ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ Ｅ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ Ｉ Ｊｌ Ｅ
视 后 四位 数 为一 个 整 体 ， 方便 简捷 ．
解： 设 后 四位 所组 成 的数 是 ， 则 原 来 是
ｘ ） ＋ ４ ８ ９，
又返 回 乙处 ， 直到 两人 相遇 ， 求， Ｊ 、 狗走 的路 程 ．
１ ， ８ 块 相 同 的 长
方 形 地 砖 拼 成
一
个 大 长方 形 ，
每 块 长 方 形 地
砖的长和 宽分男 ｑ 是 多 少？
图１
那 么所 得 到 的 数 比 原 来 的 数 的 ３ 倍 多４ ８ ９ ，
求原 数 ．
【 分析 】 通 过观 察 图形可 以发现 ， 由大
３ ． 分 类思 想
分 类 讨 论 思 想 就 是 把 应 用 题 中包 含 的
各种 可能情况按 照某一标 准分成若 干类 ， 据题 意 ， 得： （ ７ ＋ ３ ） ｘ ＝ ５ ０ ， 然后 对每一类 分别进行解 决 ， 从 而 达 到 解 解得 ： ｘ ＝ ５ ．
决 整 个 问题 的 目的 ．
ＣＨ Ｕ ＺＨｏ Ｎ Ｇ Ｓ Ｈ ＥＮ Ｇ Ｓ Ｈｌ ＪＩ Ｅ
一
元一次 方程 中的常见思想 方法
陈 小 云
数 学思想 是解 题 的灵魂 ， 对 数 学 思 想 方 形 的 长 等 于 一 个 小 长 方 形 的长 ＋ 三 个 小 方 法 的领 悟 与运 用 渗透 在 整个 初 中阶段 长 方形 的宽 ， 从 而 得 出一 个 小 长 方 形 的 长
列一元一次方程解应用题中的思想方法
来解决 问题的思想方法．
答： 原六位数为 １ ４ ２ ８ ５ ７ ．
四 、分 类 思 想
数学 的思维 是严 密 的 ， 所 以 求 解 许 多
例２ 如图， 是一 块在 电脑 屏 幕 上 出现 的矩 形 色块 图 ， 由６
元 一 次 方 程 解 应 用 题 的 过 程 中也 蕴 含 着
【 分析 】 通 过 观 察 图形 可 以发 现 ， 除 了
的正 方形 ． 其 余５ 个正方形 中， 右 下 许多 数学 思 想 ， 如 果 能灵 活运 用 ， 往 往 能 边 长 为 １
顺 时针 方 向上 的 正 方 更 好 地 列 出 一 元 一 次 方 程 去 轻 松 解 答 应 角 的 两 个 大 小 相 等 ． 用题． 现 就 列 一 元 一 次 方 程 解 应 用 题 中 常 形 边 长 依 次 增 加 １ ．
角形 的周 长．
解 得 ＝ ４ ．
所以（ ＋ ２ ） ＋ （ ＋ ３ ） ＝ １ ３ ， （ ＋ ２ ） ＋ （ ＋ １ ） ＝ 答 ： 矩 形 的面 积 为 １ ４ ３ 平方单位．
５ ， 最 长 的边 比 最短 的边 长６ 厘米， 求 这 个 三 １ １ ． 即１ ３ ｘ ｌ １ ＝１ ４ ３ ．
【 分析 】 要求 三角形 的周 长 ， 若 知 道 三
边 即可 ． 由于 三 角形 三 条 边 长 的 比是２ ： ４ ： ５ ， 据 最 长 的 边 比最 短 的 边 长 ６ 厘米 ， 即 可 列 出方 程 求解 ．
三 、整体 思想 在研 究 应用 问题 时 ， 若 能将 所 要思 考 的 方程 ， 又便 于解 方 程 ． 例 ３ 一 个 六 位 数 左 端 的数 字是 １ ， 如
解读一元一次方程中的转化思想
读一元一次方程中的转化思想是数学中最基本最重要的数学思想方法．它的实质是将未知的问题已知化，复杂的问题简单化，生疏的问题熟悉化，抽象的问题具体化，实际的问题数学化，最终使问题得以解决．下面讲讲转化思想在一元一次方程中的应用．一、利用性质、法则转化例1解方程手+与≥=簪解：去分母，得7髫+3(髫一1)=8并一l；去括号，得：7x+3x一3=8冤一1：移项，合并得2z=2；化系数为l，得z=1．评注解一元一次方程的过程，实质上就是利用等式性质(去分母、移项得)和法则(去括号、合并同类项)将原方程转化成新的更简单的方程的过程，最后以最简形式戤=6(口≠O)出现，从而求出方程的解茗=旦(口≠0)，这种转化思想，在以后学习形式更复杂的方程，将体现得更加突出．在学习过程中一定要体会这种转化思想二、整体转化例2解方程÷(z一5)=3一÷(髫一5)．分析将(并一5)看成一整体，方程可视为关于(并一5)的一元一次方程，那么可直接移项、合并、运算、避免去分母、去括号的运算．解：移项。
得÷(石一5)+÷(z一5)=3；合并，得：聋一5=3：．’．菇=8评注用整体思想转化，回避去分母，去括号的运算，从而巧解方程．今后在解题中善于抓住方程的特点，从整体出发，可出奇制胜，简化一些不必要的运算．三、换元转化例3解方程3{2髫一l一[3(2z一1)+3]}=5分析按先去小、中、大括号后。
再进行合并，移项转化思想嗯缝令；瓤堕…．趣裴童剩刿．壹型．俎匿…燕蠢煮…喹戛峰运算，计算量大且易出错，抓住(2善一1)这个整体。
用换元法可简化运算．解：令(2茗一1)=t，则方程变形为：3[t一(3￡+3)]=5；去小括号，得3(一2l一3)=5；'．’．一6t一9=5；t=一÷；1，即2互一l=一{一；．‘．算=一÷评注抓住(2并一1)这一整体换元，不仅简化方程的形式，而且省去大括号运算，从而巧解方程．四、设元转化设元转化主要体现在解决实际问题时，通过设未知数，将实际问题转化成一元一次方程来求解．例4某商场将彩电按原价提高40％，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少?分析假设每台彩电原价是茗元，则提高40％后为(1+40％)并元，八折为(1+40％)茹·80％，也就是现售价为(1+40％)算·80％元．解：设每台彩电原价为菇元，根据售价比原价差为270，列方程，得：并(1+40％)·80％一茹=”0，解得茹=2250．例5如图，已知线段A B上有两点c、D，A c：C D=2：5；A D：加=5：6，CD=13，求A8．^C口口解：设A曰=茗，由Ac：c日=2：5，得：A c=÷石，c8=争，同理AD=齐，肋=年；由图形中等量关系cD=气々A D—A c，列方程夺一争213，解得茗=77·评注通过设未知数将实际问题中的数量关系转￡懿一一一一一一一一一一一一一一一一一一一·化为一元一次方程，将求几何图形的长度转化为求解一元一次方程五、数形结合转化数形结合转化主要体现就是用方程解应用题时，用数形结合的方法分析实际问题．借助画出的几何图形，让各个数量关系，十分清晰地展现在我们面前，从而速列方程，解决问题．克服实际问题具有抽象性、严谨性造成难找等量关系，即使找到相等关系，在分析各个量之间关系时，顾此失彼，丢三落四的现象．即抽象的问题具体化．例6某班有学生45人，选举2人作为学生会干部候选人，结果有40人赞成甲，37人赞成乙，对甲、乙都不赞成的人数是都赞成人数的音，问都赞成和都不赞成的人数各是多少?分析题中数量关系较抽象，不明显，难找等量关系，可借助下面图形分析．解：如图大圆表示赞成甲的人数，小图表示赞成乙的人数，两圆相交部分表示都赞成人数，长方形表示班级总人数45人，则阴影部分表示不赞成人数，设赞成人数为石，则都不赞成为扣人．由图形列方程：(40一茹)+(37一并)+并+寺石=45．解得茗=36；寺=4(人)．评注解应用题最好能画出图形(如线段图、列表)，借助直观，帮我们分析问题．六、用方程的概念转化例7如果4茹2+3省一5=‰2—2m+20矗是关于并的一元一次方程，那么，矗=——，方程的解是解析要判断方程是否是一元一次方程，首先应化为最简形式，原方程化为：(4一||})聋2+23茹+(一5—20||}) =o，由定义知4一后=o，l|}=4，把矗=4代人，解得戈=簧评注方程未知，要求解方程看似不可能，借方程的概念，化未知为已知，从而解决问题．七、用方程解的定义转化例8若关于茹的一元一次方程垒≠一生喾：1的解是戈=一l，则后=一解析将茹：一1代人得，二等生一二与逊：1，解得l|}=1评注由方程解的定义，代入原方程，将问题转化成关于l|}的一元一次方程．(上接7页)例12求证口3+÷口2+÷口一l对任何正整数Ⅱ都是整数，且被3除余2简析原式=÷[(口3+3n2+2口)+(83一口)一6] +2=÷[口(口+1)(口+2)+(Ⅱ一1)o(Ⅱ+1)一6]+2．又‘．’三个连续自然数的积必定是2和3的倍数，则一定能被6整除．习§么Ⅱ(Ⅱ+1)(o+2)+(口一1)a(口+1)一6是6的整数倍，且对于任何正整数n都是整数．则÷[n(口+1)(口+2)+(o一1)o(口+1)一6]是3的倍数．于是÷[8(口+1)(口+2)+(口一1)口(a+1)一6]+2被3除的余数是2．评注这类问题往往对原式先进行因式分解或局部因式分解为以茗)=A·曰或八髫)=A·口+P形式，其中A，日的次数低于八戈)的次数，口的次数低于A(鳓的次数，即余数为口，当n=0时以茹)能被A(B)整数，这是带有整除，余数问题的常用廨法．六、其他例13口，6，c为实数，且÷+÷+÷=了丢焉求证口，6，c中至少有两个互为相反数．简析‘．‘口，6，c都≠o'．．．尘!竽=了a鬲√．(o+6+c)(口6+6c+c口)=n6c，．·．口26+口62+矿c+nc2+ 6c2+6c2+2口6c=O，．·．(口+6)(6+c)(c+口)=O，．·．o+6 =0或6+c=O或c+o=0，则口，6，c中至少有两个数互为相反数．颡霹。
一元一次方程的加减原理与整理形式讲解
一元一次方程的加减原理与整理形式讲解在代数学中，一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。
解决一元一次方程的问题是我们学习数学的基本内容之一。
在这篇文章中，我将为大家详细讲解一元一次方程的加减原理以及整理形式，帮助大家更好地掌握和理解这一知识点。
一、一元一次方程的加减原理加减原理是解决一元一次方程的基本思想和方法之一。
它可以简化方程的形式，使得我们能够利用简单的操作来求解方程。
在一元一次方程中，含有未知数x的项可以通过加减运算进行整理。
我们可以将含有x的项都放在等号的一边，将常数项放在另一边，从而得到方程的标准形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过减去3来将常数项移到等号的另一边，得到2x = 4。
这样，方程的形式就更加简洁，我们可以更容易地求解出未知数x的值。
同样地，对于方程4x - 5 = 3x + 1，我们可以通过减去3x和加上5来将方程整理为x的系数为1的形式：x - 1 = 0。
通过加减原理，我们可以将一元一次方程整理为更简单、更易求解的形式，为我们应用后续的解方程方法奠定了基础。
二、一元一次方程的整理形式一元一次方程的整理形式是指将方程整理为形如ax = b的形式，其中a和b都是实数。
为了实现这个目标，我们可以通过加减原理进行操作，将方程两边的各项整理合并，使得未知数的系数为1，常数项位于等号的另一边。
例如，对于方程3(x - 2) + 2(x + 1) = 5x - 1，我们先要进行分配律，得到3x - 6 + 2x + 2 = 5x - 1，然后根据加减原理整理方程，得到5x - 4= 5x - 1。
观察这个方程，我们可以发现其中x的系数为1，没有未知数项。
这就是一元一次方程的整理形式，我们可以根据这个形式来解方程，进一步求解出未知数x的值。
需要注意的是，当我们整理方程后发现等号两边的表达式完全相同，即ax = ax，那么这个方程就是恒等方程，它的解是所有实数。
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方程中思想方法知多少
我们知道，方程的本身就是一种十分重要的数学思想方法，然而，方程中还蕴藏着许多其它的数学思想方法，为方便同学们学习，现举例说明.
一、类比思想
根据新旧知识的许多共同点或类似的特点，在学习新知识时借鉴旧知识的思想和方法.如我们在学习等式的性质时，借鉴“天平”的原理理解等式的性质，等式变性的思想就是使原本平衡的天平继续保持新的平衡的道理.
例1如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是.
分析:利用天平平衡时，天平的左右两盘的质量相等，即可找到相等关系.
解：当两个天平都平衡时，得2a＝3b，2b＝3c.由等式的性质，得4a＝6b，6b＝9c，即4a＝6b＝9c.由此使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是a.
二、整体思想
在解方程的许多情况下，遇到括号或去分母时，我们通常要将括号里面或分子、分母看成一个整体，或将方程中的某一项视为整体求解.
例2解方程1
2
[x－
1
2
(x－1)]＝
2
3
(x－1).
分析：用常规解法解该方程，显然过程比较复杂.注意到x－1可以看作一个整体，因此，可先解关于x－1的方程.
解：原方程可化为1
2
[(x－1)－
1
2
(x－1)+1]＝
2
3
(x－1).
去括号，得1
2
(x－1)－
1
4
(x－1)+
1
2
＝
2
3
(x－1).
移项，得1
2
(x－1)－
1
4
(x－1)－
2
3
(x－1)＝－
1
2
.
合并同类项，得－
5
12
(x－1)＝－
1
2
.
方程两边同乘以－
5
12
，得x－1＝1.2，即x＝2.2.
三、逆向思维
我们知道分数的运算法则是a
b
+
c
b
＝
a c
b
+
，反过来，
a c
b
+
＝
a
b
+
c
b
，这样运用逆向变
换的方法在解方程中经常用中.
例3解方程210
5
x+
＝
32
3
x
-
+1.
分析：若将210
5
x+
、
32
3
x
-
分别拆成两项的和，方程两边可以同时减去2，从而不必
去分母.
解：原方程可变形为2
5
x+2＝1－
2
3
x+1，即
2
5
x＝－
2
3
x，所以x＝0.。