广东省广州市天河区2020届高三数学一模试卷(理科)-学生版+解析版

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2020年4月广东省广州市普通高中2020届高三下学期综合测试(一)(一模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省广州市普通高中2020届高三毕业班下学期综合测试(一) (一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1.设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（）A. M N M ⋂=B. M N N ⋂=C. M N M ⋃=D. M N R ⋃=【答案】A【解析】【分析】由题意{}22,N xx x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解.【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈，所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足方程220z +=,则3z =（） A. ± B. -C. -D. ± 【答案】D【解析】220z +=,即22z =-,解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±,故选D 3.若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点,则实数k 的取值范围是（）A. [)3-+∞，B. (]3-∞-，C. ()0+∞，D.()-∞+∞，【答案】D【解析】【分析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤,解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-,半径为2,由题意可知圆心到直线的距离2d =≤,化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭, 故(),k ∈-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了计算能力,属于基础题. 4.已知1223p x q x +><<：，：,则p 是q 的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-,利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-, 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”；由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”；故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}，则()A. M∩N=MB. M∩N=NC. M∪N=MD. M∪N=R2.若复数z满足方程z2+2=0，则z3=()A. ±2√2B. −2√2C. −2√2iD. ±2√2i3.若直线kx−y+1=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (0,+∞)D. (−∞,+∞)4.已知p：|x+1|>2，q：2<x<3，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B−APQC的体积是()A. 16V B. 29V C. 13V D. 79V7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为()A. 514B. 914C. 37D. 478.已知直线l：y=x−2与x轴的交点为抛物线C：y2=2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为()A. 8B. 6C. 5D. 49. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5=4，若S n ≥4a n +8(n ∈N ∗)，则n 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知点P(x 0,y 0)是曲线C ：y =x 3−x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y =8x −11平行，则( )A. x 0=2B. x 0=−43C. x 0=2或x 0=−43D. x 0=−2或x 0=4311. 已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b =|F 1F 2|−2|OA|，则双曲线C 的离心率为( )A. 54B. 43C. 53D. 212. 已知函数f(x)={−x 2−x +1,x <0x 2−x +1,x ≥0，若F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=( )A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 在(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a =______．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，若向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，则实数k 的值为______．15. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2(n ∈N ∗)，且m +S 2019=−1009，a 1m >0，则1a 1+9m 的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）= 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC √3．(1)求角C的大小；(2)求b+2a的最大值．18.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A−BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．(1)求证：AH⊥平面BCDE；(2)求二面角B−AE−D的余弦值．20.已知⊙M过点A(√3,0)，且与⊙N：(x+√3)2+y2=16内切，设⊙M的圆心M的估轨迹为C，(1)求轨迹C的方程；(2)设直线l不经过点B(2,0)且与曲线C交于点P，Q两点，若直线PB与直线QB的斜，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，率之积为−12请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，g(x)=(a −13)x −1−lnx ．(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)用max{m,n}表示m ，n 中的最大值，f′(x)为f(x)的导函数，设函数ℎ(x)=max{f′(x),g(x)}，若ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n >ln3(n ∈N ∗)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ(θ为参数，且θ∈(π2,3π2))．(1)求C 1与C 2的普通方程，(2)若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB|的最小值．23. 已知函数f(x)=|3x −6|+|x +a|．(1)当a =1时，解不等式f(x)<3；(2)若不等式f(x)<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}={x|−2<x<2,x∈R}，∴M∩N={x|0<x<1,x∈R}=M，M∪N={x|−2<x<2,x∈R}=N．故选：A．求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选D．先求复数z，再求z3即可复数代数形式的运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆方程可整理为(x+1)2+(y−2)2=4，则圆心(−1,2)，半径r=2，≤2，整理得3k2−2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k2因为△=4−36<0，故不等式恒成立，所以k∈(−∞,+∞)，故选：D．整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k2本题考查直线与圆的位置关系、根的判别式，不等式解集等，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p：|x+1|>2，解得：x>1，或x<−3．q：2<x<3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．解出不等式p，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，∴f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．由题意可知f(x1)≤f(x)≤f(x2)，f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是半个周期．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题解决问题的能力．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．由题意画出图形，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B−APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．【解答】解：如图，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC −PQG 中，由等积法可得V B−APQC =23V ABC−PQG ， ∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1，∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B ．7.【答案】C【解析】解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37．故选：C ．基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C ：y 2=2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y =x −2，经过抛物线的焦点坐标，可得P =4，抛物线方程为：y 2=8x 由题意可得：{y 2=8x y =x −2，可得x 2−12x +4=0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2=8．故选：A．求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．9.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5=4，可得：13+d+13+4d=4，解得d=23，所以S n=n3+n(n−1)×13=n23，a n=13+(n−1)×23=2n−13，S n≥4a n+8(n∈N∗)，可得：n23≥8n−43+8，可得：n2−8n−20≥0，解得n≥10或n≤−2(舍去)，所以n的最小值为10．故选：C．利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和，数列与不等式相结合，考查转化首项以及计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则曲线C在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k=y′|x=x=3x02−2x0，∵曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0=2或x=−43，∵当x0=2时，切线和y=8x−11重合，∴x=−43．故选：B．先求出y=x3−x2+1的导数，得到曲线C在点P(x0,y0)处的切线斜率k，然后根据曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行得到关于x0的方程，解方程得到x0的值，再检验得到符合条件的x0．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题．由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|=2|OA|，而|BF1|=|PF1|−|PB|=|PF1|−|PF2|=2a，因为b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a，而b2=c2−a2所以c2−a2=4(c−a)2整理可得3c2−8ac+5a2=0，即3e2−8e+5=0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5，3故选：C．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，分段函数的图象，以及中心对称的函数的性质，属于中档题．本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点， ∴f(x)−1=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个根，即g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0与ℎ(x)=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且ℎ(x)关于原点对称，在区间[−1,1]上ℎ(x)max =1，ℎ(x)min =−1 又∵g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0∴在区间[−1,1]上g(x)max =g(−12)=14，g(x)min =g(12)=−14，且g(x)关于原点对称．∵根据g(x)和ℎ(x)函数图象特点易知在ℎ(x)一个周期内， g(x)和ℎ(x)图象有两个交点．∵T =11010∴在(0,1]内共有1010个周期， ∴g(x)和ℎ(x)图象共有2020个交点， ∵g(x)和ℎ(x)图象都关于原点对称，∴g(x)和ℎ(x)图象在[−1,0)U(0,1]共有4040个交点，再加上(0,0)这个交点．∵g(x)关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g(x 1)+g(x 2)=0，即f(x 1)−1+f(x 2)−1=0，即f(x 1)+f(x 2)=2，∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=40402×2+f(0)=4040+1=4041．故选：B ．13.【答案】5【解析】解：∵(x 2−1)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (x 2)5−r⋅(−1)r =(−1)r ⋅C 5r x 10−2r ，r =0，1， (5)∴(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中含x 3的系数为a ×(−1)4×C 54+C 53⋅(−1)3=5a −10．又∵5a −10=15，∴a =5．故答案为：5．先求得(x 2−1)5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ．本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．14.【答案】−10【解析】解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，即|e 1⃗⃗⃗ |=|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12；又向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，所以(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ )=|e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ |×|2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ |cos 5π6，即2×12+(4+k)×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×(−√32)； 8+5k =−√21⋅√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)，解得k =−10，所以实数k 的值为−10．根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可．本题考查了单位向量的定义与平面向量数量积的运算问题，是中档题．15.【答案】16【解析】解：由已知，a 2+a 3=−2； a 4+a 5=4； a 6+a 7=−6；⋮a 2018+a 2019=−2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019−a 1=−2018+1008=−1010；将S 2019=a 1−1010代入等式m +S 2019=−1009，得m +a 1=1；∵a 1m >0，故都为正数；∴1a 1+9m =(1a 1+9m )(m +a 1)=10+ma 1+9a 1m≥10+2√ma 1⋅9a 1m=16；当且仅当m =3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立；故答案为：16．通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019=−1009，即可求出结论．本题考查了利用递推式求数列前n 项的和，并探究数列的某些性质，属中档题．16.【答案】√3π33π【解析】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π．故答案为：√3π3；3π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3.再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得：abca 2+b 2−c 2=√3，由余弦定理得：a 2+b 2−c 2=2ab ⋅cosC ，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，又C 为△ABC 内角， ∴C =π3；(2)由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2，所以a =2sinA ，b =2sinB ，又因为A +B +C =π，所以b =2sinB =2sin(A +π3)，所以b +2a =2sin(A +π3)+4sinA =sinA +√3cosA +4sinA =5sinA +√3cosA =2√7sin(A +ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A ∈(0,2π3)，所以sin(A +ϕ)max =1，所以b +2a ≤2√7，即b +2a 的最大值为2√7．【解析】(1)根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC =12，由此即可求得C ； (2)易知b =2sinB =2sin(A +π3)，再由三角恒等变换可得b +2a =2√7sin(A +Φ)，结合A ∈(0,2π3)，可知sin(A +ϕ)max =1，由此求得b +2a 的最大值．本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，三角函数的图象及性质等基础知识点，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ．由表可知P(x ≥20)=25100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C 123=1220，所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 3 P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．【解析】(1)记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A.求出P(x ≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意，AD =CD =1，BD =CE =√3，又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2=AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面ABD.所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线，所以AH ⊥平面BCDE ． (2)解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系所以D(0,0,0)，B(√3,0,0)，E(√32,−12,0)，设点A(a,0,b)由AD =1,AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33,b =√63，所以A(√33,0,√63)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√36,−12,−√63)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33,0,−√63)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,√63)，设平面AED 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，所以{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−1)，同理可得平面AEB 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ≥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√33，由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B −AE −D 的余弦值为−√33．【解析】(1)证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD.推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．(2)过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −AE −D 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD|+|MN|=|ND|=4，在⊙M 中，|MD|=|MA|所以|MA|+|MN|=4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)，所以{k PB ⋅k QB =y0x 0−2⋅−y0x 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√23或{x 0=2y 0=0(舍)，所以l 与x 轴的交点为(23,0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，△=(8kb)2−4(1+4k 2)(4b 2−4)=64k 2−16b 2+16>0，所以4k 2>b 2−1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k 2， k PB ⋅k QB =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b2−41+4k 2−8k 2b 21+4k 2+b 24b 2−41+4k 2−2−8kb 1+4k 2+4=b 2−4k 2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k +b ≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b =−23k ，所以b 2−1=(−23k)2−1<4k 2，所以b =−23k 成立，所以y =kx −23k =k(x −23)，当x =23时，y =0，所以l 过(23,0)综上所述l 过定点，且点坐标为(23,0)．【解析】(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)，利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23,0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2>b 2−1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，所以f′(x)=(x −3)e x−3+2x −6=(x −3)(e x−3+2)，令f′(x)=0得x =3当x >3时，f′(x)>0，f(x)单调递增当0<x <3时，f′(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)单调递增区间为(3,+∞)；f(x)单调递减区间为(0,3)．(2)由(1)知f′(x)=(x −3)(e x−3+2)，当x ≥3时f’(x)≥0恒成立，故ℎ(x)≥0恒成立当x <3时，f’(x)<0，又因为ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立，所以g(x)≥0在(0,3)上恒成立所以(a −13)x −1−lnx ≥0，即a −13≥1+lnx x在(0,3)上恒成立令F(x)=1+lnx x ，则a −13≥F(x)max ， F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2，令F’(x)=0得x=1，易得F(x)在(0,1)上单增，在[1,3)上单减，所以F(x)max=F(1)=1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，则m′(x)=e x−1>0，所以m(x)在(0,+∞)上单增，所以m(x)>m(0)=0，即e x>x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e1n+2…e13n>n+1n⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1⋅3n+13n>n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n>ln3．【解析】(1)求出导函数，通过f′(x)=0得x=3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．(2)通过ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx ，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，利用函数的导数推出e x>x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题可得：C1的普通方程为2x−y−5=0又因为C2的参数方程为{x=√3cosθy=√3tanθ，两边平方可得{x2=3cos2θy2=3sin2θcos2θ，所以C2的普通方程为x23−y23=1，且x≤−√3．(2)由题意，设C1的平行直线2x−y+c=0联立{2x−y+c=0x23−y23=1消元可得：3x2+4cx+c2+3=0所以△=4c2−36=0，解得c=±3又因为x≤−√3，经检验可知c=3时与C2相切，所以|AB|min =√22+(−1)2=8√55．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|={−4x +5,x <−1−2x +7,−1≤x ≤24x −5,x >2；当x <−1时，由f(x)<3得−4x +5<3，解得x >12(不合题意，舍去)；当−1≤x ≤2时，由f(x)<3得−2x +7<3，解得x >2(不合题意，舍去)；当x >2时，由f(x)<3得4x −5<3，解得x <2(不合题意，舍去)；所以不等式f(x)<3的解集⌀；(2)由f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，得−(3x −6)+|x +a|<11−4x ，即|x +a|<5−x ，所以{|x +a|<5−x 5−x >0，所以{x −5<x +ax +a <5−x，得a >−5且a <5−2x 对任意x ∈[−4,−32]成立；即−5<a <8，所以a 的取值范围是(−5,8)．【解析】(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f(x)<3的解集即可；(2)f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，等价于|x +a|<5−x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，是中档题．。

2020年广东省广州市天河区高考理科数学一模试卷及答案解析

2020年广东省广州市天河区高考理科数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．（5分）设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i ，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
5．（5分）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
6．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝lnx3，则下列各选项正确的是（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2 7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（）
A．13B．14C．15D．16
8．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，
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2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式．解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16．故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程．解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0，解得x =2√3或x =3舍去)，故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值．解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45，整理得2a 4−3a 2+1=0，解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角，故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ．又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)，则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19．化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9，直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29；当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②，由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4，则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号，因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

2020年广东省广州市高考(理科)数学一模试卷 (Word 含解析)

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择題（共12小题）1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5＝4，若S n≥4a n+8（n∈N*），则n的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=4311．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（） A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．14．在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝． 15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a1m＞0，则1a1+9m的最小值为．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．19．如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）求证：AH⊥平面BCDE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣4）e x ﹣3+x 2﹣6x ，g （x ）＝（a −13）x ﹣1﹣lnx ．（1）求函数f （x ）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，f ′（x ）为f （x ）的导函数，设函数h （x ）＝max {f ′（x ），g （x ）}，若h （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln 3（n ∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R【分析】求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．解：∵集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1，x∈R}＝M，M∪N＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}＝N．故选：A．2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i【分析】先求复数z，再求z3即可解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选：D．3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，≤2，整理得3k2﹣2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k因为△＝4﹣36＜0，故不等式恒成立，所以k∈（﹣∞，+∞），故选：D．4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式p ，即可判断出关系．解：p ：|x +1|＞2，解得：x ＞1，或x ＜﹣3． q ：2＜x ＜3，则q ⇒p ，但是p 无法推出q ． ∴p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．5．设函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值为（） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】由题意可知f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是半个周期．解：函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是函数的半周期， T 2=12×2π12=2π；故选：C ．6．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ，若P ，Q 分别在AA 1，CC 1上，且AP =13AA 1，CQ =13CC 1，则四棱锥B ﹣APQC 的体积是（） A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V【分析】由题意画出图形，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，由等体积法可得V B﹣APQC=23V ABC−PQG ，再由已知得到V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，即可得出．解：如图，过P 作PG ∥AB 交BB 1于G ，连接GQ ，在三棱柱ABC ﹣PQG 中，由等积法可得V B ﹣APQC =23V ABC−PQG ，∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1， ∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B．7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．47【分析】基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=mn=108252=37．故选：C．8．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB 的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y ＝x ﹣2，经过抛物线的焦点坐标，可得P ＝4，抛物线方程为：y 2＝8x 由题意可得：{y 2=8xy =x −2，可得x 2﹣12x +4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2＝8．故选：A ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，若S n ≥4a n +8（n ∈N *），则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，可得：13+d +13+4d ＝4，解得d =23，所以S n =n 3+n(n −1)×13=n23，a n =13+(n −1)×23=2n−13， S n ≥4a n +8（n ∈N *），可得：n 23≥8n−43+8，可得：n 2﹣8n ﹣20≥0，解得n ≥10或n ≤﹣2（舍去），所以n 的最小值为10．故选：C ．10．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（） A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=43【分析】先求出y ＝x 3﹣x 2+1的导数，得到曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线斜率k ，然后根据曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行得到关于x 0的方程，解方程得到x 0的值，再检验得到符合条件的x 0．解：由y ＝x 3﹣x 2+1，得y '＝3x 2﹣2x ，则曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率为k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0， ∵曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行， ∴3x 02−2x 0=8，∴x 0＝2或x =−43， ∵当x 0＝2时，切线和y ＝8x ﹣11重合， ∴x =−43．故选：B ．11．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |，则双曲线C 的离心率为（） A ．54B ．43C ．53D ．2【分析】由角平分线的性质可得延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，可得OA 为△BF 1F 2的中位线，b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a 再由a ，b ，c 的关系求出离心率．解：延长F 2A 交PF 1与B ，由PA 为∠F 1PF 2的角平分线，F 2A ⊥PA ，所以A 为F 2B 的中点，|PF 2|＝|PB |，连接OA ，则OA 为△BF 1F 2的中位线，所以|BF 1|＝2|OA |，而|BF 1|＝|PF 1|﹣|PB |＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a因为b ＝|F 1F 2|﹣2|OA |＝2c ﹣2a ，而b 2＝c 2﹣a 2所以c 2﹣a 2＝4（c ﹣a ）2整理可得3c 2﹣8ac +5c 2＝0，即3e 2﹣8e +5＝0，解得e =53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e =53，故选：C ．12．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．解：∵F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点， ∴f （x ）﹣1＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个零点，即g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0与h （x ）＝sin （2020πx ）在区间[﹣1，1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且h （x ）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h （x ）max ＝1，h （x ）min ＝﹣1 又∵g （x ）＝f （x ）﹣1={−x 2−x ，x ＜0x 2−x ，x ≥0∴在区间[﹣1，1]上g （x ）max ＝g （12）=12，g （x ）min ＝g （−12）=−12且g （x ）关于原点对称．∵根据g （x ）和h （x ）函数图象特点易知在h （x ）一个周期内， g （x ）和h （x ）图象有两个交点． ∵T =11010∴在（0，1]内共有1010个周期， ∴g （x ）和h （x ）图象共有2020个交点， ∵g （x ）和h （x ）图象都关于原点对称，∴g （x ）和h （x ）图象在[﹣1，0）U （0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g （x ）关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g （x 1）+g （x 2）＝0，即f （x 1）﹣1+f （x 2）﹣1＝0，即f （x 1）+f （x 2）＝2，∴f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）=40402×2+f （0）＝4040+1＝4041．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 √3π3，表面积为 3π ．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3．再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π．故答案为：√3π3；3π．14．在（ax +1x ）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝ 5 ．【分析】先求得（x 2﹣1）5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ．解：∵（x 2﹣1）5的展开式的通项公式为T r +1＝C5r （x 2）5﹣r •（﹣1）r ＝（﹣1）r•C5r x10﹣2r，r ＝0，1， (5)∴（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5．故答案为：5．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ﹣10 ．【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可．解：单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，即|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→•e 2→=1×1×cos π3=12；又向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，所以（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+k e 2→）＝|e 1→+2e 2→|×|2e 1→+k e 2→|cos5π6，即2×12+（4+k ）×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×（−√32）；8+5k =−√21•√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)，解得k ＝﹣10，所以实数k 的值为﹣10．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 16 ．【分析】通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019＝﹣1009，即可求出结论．解：由已知，a 2+a 3＝﹣2； a 4+a 5＝4；a6+a7＝﹣6；⋮a2018+a2019＝﹣2018；将上述等式左右分别相加，得S2019﹣a1＝﹣2018+1008＝﹣1010；将S2019＝a1﹣1010代入等式m+S2019＝﹣1009，得m+a1＝1；∵a1m＞0，故都为正数；∴1a1+9m=（1a1+9m）（m+a1）＝10+ma1+9a1m≥10+2√ma1⋅9a1m=16；当且仅当m＝3a1即m=34，a1=14时等号成立；故答案为：16．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC=12，由此即可求得C；（2）易知b=2sinB=2sin(A+π3)，再由三角恒等变换可得b+2a=2√7sin(A+Φ)，结合A∈(0，2π3)，可知sin（A+ϕ）max＝1，由此求得b+2a的最大值．解：（1）由题意及正弦定理可得：abca2+b2−c2=√3，由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•cos C，所以cosC=a2+b 2−c22ab=12，又C为△ABC内角，∴C=π3；（2）由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，又因为A+B+C＝π，所以b=2sinB=2sin(A+π3 )，所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+√3cosA+4sinA=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A∈(0，2π3 )，所以sin（A+ϕ）max＝1，所以b+2a≤2√7，即b+2a的最大值为2√7．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E（Y）．【分析】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．求出P(x≥20)= 25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12），求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．由表可知P(x≥20)=25 100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128．（2）由题意得：x ＜20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H （3，3，12）P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C123=1220，所以Y 的分布列为： Y 0123P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34． 19．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，将△AED 沿ED 折起，使得AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．【分析】（1）证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD ．推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．（2）过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值即可．【解答】（1）证明：由题意，AD ＝CD ＝1，BD =CE =√3，又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2＝AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD ＝D ，所以CD ⊥平面ABD ．所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系所以D （0，0，0），B(√3，0，0)，E(√32，−12，0)，设点A （a ，0，b ）由AD =1，AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33，b =√63，所以A(√33，0，√63)，所以AE →=(√36，−12，−√63)，AB →=(2√33，0，−√63)，DA →=(√33，0，√63)，设平面AED 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，所以{AE →⋅n 1→=0DA →⋅n 1→=0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1＝﹣1，得n 1→=(√2，√6，−1)，同理可得平面AEB 的法向量n 2→=(1，−√3，√2)，所以cos ＜n 1→，n 2→≥n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−√33，由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为−√33．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2＞b 2﹣1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．解：（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD |+|MN |＝|ND |＝4，在⊙M 中，|MD |＝|MA |所以|MA |+|MN |＝4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），所以{k PB ⋅k QB =y 0x 0−2⋅−yx 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√33或{x 0=2y 0=0(舍)，所以l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣4＝0， △＝（8kb ）2﹣4（1+4k 2）（4b 2﹣4）＝64k 2﹣16b 2+16＞0，所以4k 2＞b 2﹣1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k2，k PB ⋅k QB=y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b 2−41+4k 2−8k 2b21+4k2+b24b 2−41+4k2−2−8kb1+4k2+4=b 2−4k2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k+b≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b=−23k，所以b2−1=(−23k)2−1＜4k2，所以b=−23k成立，所以y=kx−23k=k(x−23)，当x=23时，y＝0，所以l过(23，0)综上所述l过定点，且点坐标为(23，0)21．已知函数f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，g（x）＝（a−13）x﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f′（x）为f（x）的导函数，设函数h（x）＝max{f′（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3（n∈一、选择题*）．【分析】（1）求出导函数，通过f′（x）＝0得x＝3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．（2）通过h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），利用函数的导数推出e x＞x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．解：（1）因为f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，所以f′（x）＝（x﹣3）e x﹣3+2x﹣6＝（x﹣3）（e x﹣3+2），令f′（x）＝0得x＝3当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）单调递增区间为（3，+∞）；f（x）单调递减区间为（0，3）．（2）由（1）知f′（x）＝（x﹣3）（e x﹣3+2），当x≥3时f’（x）≥0恒成立，故h （x）≥0恒成立当x＜3时，f’（x）＜0，又因为h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，所以g（x）≥0在（0，3）上恒成立所以(a−13)x−1−lnx≥0，即a−13≥1+lnxx在（0，3）上恒成立令F(x)=1+lnxx，则a −13≥F(x)max ，F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x2，令F ’（x ）＝0得x ＝1，易得F （x ）在（0，1）上单增，在[1，3）上单减，所以F （x ）max ＝F （1）＝1，所以a −13≥1，即a ≥43综上可得a ≥43，（3）设m （x ）＝e x ﹣x ﹣1（x ＞0），则m ′（x ）＝e x ﹣1＞0，所以m （x ）在（0，+∞）上单增，所以m （x ）＞m （0）＝0，即e x ＞x +1 所以e 1n +1n+1+1n+1+⋯+13n =e 1n⋅e1n+1⋅e 1n+2⋯e 13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1⋅3n+13n ＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．解：（1）由题可得：C 1的普通方程为2x ﹣y ﹣5＝0又因为C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ，两边平方可得{x 2=3cos 2θy 2=3sin 2θcos 2θ，所以C 2的普通方程为x 23−y 23=1，且x ≤−√3．（2）由题意，设C 1的平行直线2x ﹣y +c ＝0联立{2x −y +c =0x 23−y 23=1消元可得：3x 2+4cx +c 2+3＝0所以△＝4c 2﹣36＝0，解得c ＝±3又因为x ≤−√3，经检验可知c ＝3时与C 2相切，所以|AB|min =|3−(−5)|√2+(−1)=8√55．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f （x ）＜3的解集即可；（2）f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，等价于|x +a |＜5﹣x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．解：（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|={−4x +5，x ＜−1−2x +7，−1≤x ≤24x −5，x ＞2；当x ＜﹣1时，由f （x ）＜3得﹣4x +5＜3，解得x ＞12（不合题意，舍去）；当﹣1≤x ≤2时，由f （x ）＜3得﹣2x +7＜3，解得x ＞2（不合题意，舍去）；当x ＞2时，由f （x ）＜3得4x ﹣5＜3，解得x ＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f （x ）＜3的解集∅；（2）由f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，得﹣（3x ﹣6）+|x +a |＜11﹣4x ，即|x +a |＜5﹣x ，所以{|x +a|＜5−x5−x ＞0，所以{x −5＜x +a x +a ＜5−x，得a ＞﹣5且a ＜5﹣2x 对任意x ∈[−4，−32]成立；即﹣5＜a ＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

2020年高考广州市天河区高三一模理科数学试题(含答案和解析)

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一・选择题本大题共12小題.每小题5分.满分60分，在每小题给出的四个选项中• 只有一项是符合題目要求的.(5 分)己知集合A = {x∖x2 -x-6<Q} 集合B^{x∖x>∖}. P!∣](⅛∕l)∩∕∕ = (（5分）设复数2满足（z + 2∕）□=3-4∕∙ 则复数臣在复平面内对应的点位于（A.第一象限B.第二寂限C.第三象限D.第四象限3. （5分）设等莠数列｛乞｝的舸〃项和为Sj若α2+ α3 = 15-^＞则&等于（）A. ISB. 36C. 45D. 604. （5分）己知皿，At是两条不同的直线，α. 0, /是三个不同的平面，则下列命題正确的是（）A.若mlIa w∕∕a ,则mlInB. 芒α丄i βLγ ,则QtHpC∙若nι∕/a•ni!a且/wu0, nu 卩、则a∏βD.若丄α ∙ n L /? 1且Q丄0 •则加丄M7.（5分）中国古代十进制的算筹计数法•在数学史上是一个伟大的创造•算筹实际匕是B∙ (1, 3] C∙ (13)D∙ (3.+8)1.2.5. （5分）（宀2）（”y的展开式的常数项是（6・A∙・3 B∙ -2 C. 2 D. 3X,满足e x≡ = Znr ,则下列各选项正确的足（A∙ x y < x3 < X7 B ∙ x l < x? < X1C∙ x2 < r l < X, D∙ x1 < x l < X2（5分）已知斗=In-I一根根同长短的小木棍.如图.昱利用算導表示数1~9的一种方法•例如：3可表示为鼻化2&可表示为Cf =l j,・现有6根算礬.据此表示方祛，若翼潯不能剩余，则可以用i~9这9 数字表示两位数的个数为（）D. 16朋=3∙ JID = 4.月C r与ED相交干点CL过点力作魁丄ED∙垂足为E∙则応d丽・（）9・（5分）函紗（Zf ^皿图氟的大致形畑）10. （5升）2位男生和3恤女生共5位同学站成一徘，若3也女生中有且只有两也女生相邻.町不同排法的种数是（）A∙72 B.122512TD.144152. （5分〕在矩形ABCD中.A. 13B. 14C. 15A∙ 36 B∙ 24 C∙ 72 D∙ 144ll ・(5 分)己知函数/(x) = sιn(2x --)« 若方程/(x) = g 的解为x 1, x 2(O<x, <x 2 <π),则 Sin(X l - x 2)=( )12. (5 分)己知函数/(x) = (^÷-)∕nx÷ 4 > Are[4 ∙ *o),曲线y = /(x) ±总存在两k X点・χ), Ng y 2)t 使曲线y = /(x)在M,"两点处的切线互相平行.则x l + x 2的取值范围为()二.填空题：本大題共4小题.每小題5分，淸分20分•13・(5分)己知数列｛©｝满足q=l∙ q τ二1 +角4…+αzj ∙ιSG N*M ∙.2) •则当并・・1时,14. (5 分)设当x^θ 时.函Jft /(x) = SinX+ cosX 取得最大值∙ Mtan(^+—) = ___________ .4 15. (5分)己知函数/(x)-^^ax i^bX^ Ir 在x = l 处有极小值】0,则α-b=≈ _______________ ・16. (5分〉在三棱锥ABC 中，SB = SC = AB = BC = 4C = 2,侧血S3C 与底面/BC 垂直，贝IJ 三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 _______ .三、解答臥共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考題，每个试题学生都必须作答。

(完整版)2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|x2−x−6<0}，集合B＝{x|x−1>0}，则(∁R A)∩B＝（）A.(1, 3)B.(1, 3]C.[3, +∞)D.(3, +∞)2. 设复数z满足(z+2i)⋅i=3−4i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15−a5，则S9等于()A.18B.36C.45D.604. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m // α，n // α，且m⊂β，n⊂β，则α // βD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n−1)5的展开式的常数项是（）5. (x2+2)(1x2A.−3B.−2C.2D.36. 已知x1＝1n1，x2＝e−12，x3满足e−x3=lnx3，则下列各选项正确的是（）2A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x27. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9数字表示两位数的个数为（）A.13B.14C.15D.168. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则AE→⋅EC→=()A.725B.1225C.125D.144259. 函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是()A.B.C.D.10. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.72B.60C.36D.2411. 已知函数f(x)＝sin(2x−π6)，若方程f(x)=35的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，则sin(x1−x2)＝( )A.−45B.−35C.−√23D.−√3312. 已知函数f(x)＝(k+4k )lnx+4−x2x，k∈[1, +∞)，曲线y＝f(x)上总存在两点M(x1, y1)，N(x2, y2)使曲线y＝f(x)在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A.[4, +∞)B.(4, +∞)C.[165,+∞) D.(165,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+...+a n−1(n∈N∗, n≥2)，则当n≥1时，a n=________．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx+√3cosx取得最大值，则tan(θ+π4)＝________+√3．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a−b＝________．在三棱锥S−ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是________．三、解答题：共70分。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷及其答案(理科)

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =ð )A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AEE C =) A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( )A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是．三、解答题：共70分。

广州市2020届高三综合测试(一)(一模)(带解析)

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择題（共12小题）1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线l：y＝x﹣2与x轴的交点为抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B 两点，则AB中点到抛物线准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5＝4，若S n≥4a n+8（n∈N*），则n的最小值为（）A．8B．9C．10D．1110．已知点P（x0，y0）是曲线C：y＝x3﹣x2+1上的点，曲线C在点P处的切线与y＝8x﹣11平行，则（）A．x0＝2B．x0=−43C．x0＝2或x0=−43D．x0＝﹣2或x0=4311．已知O为坐标原点，设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．54B．43C．53D．212．已知函数f (x)={−x 2−x +1，x ＜0x 2−x +1，x ≥0，若F （x ）＝f （x ）﹣sin （2020πx ）﹣1在区间[﹣1，1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）+…+f （x m ）＝（） A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．14．在（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a ＝．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C 的大小；（2）求b +2a 的最大值．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数xx ≤5 5＜x ＜20x ≥20 人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望E （Y ）．19．如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，将△AED 沿ED 折起，使得AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣4）e x ﹣3+x 2﹣6x ，g （x ）＝（a −13）x ﹣1﹣lnx ．（1）求函数f （x ）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max {m ，n }表示m ，n 中的最大值，f ′（x ）为f （x ）的导函数，设函数h （x ）＝max {f ′（x ），g （x ）}，若h （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：1n+1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln 3（n ∈N*）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．设集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}，则（）A．M∩N＝M B．M∩N＝N C．M∪N＝M D．M∪N＝R【分析】求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．解：∵集合M＝{x|0＜x＜1，x∈R}，N＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1，x∈R}＝M，M∪N＝{x|﹣2＜x＜2，x∈R}＝N．故选：A．2．若复数z满足方程z2+2＝0，则z3＝（）A．±2√2B．−2√2C．−2√2i D．±2√2i【分析】先求复数z，再求z3即可解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选：D．3．若直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=|−k−1|√1+k≤2，解不等式即可解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，则圆心到直线的距离d=|−k−1|√1+k≤2，整理得3k2﹣2k+3≥0，因为△＝4﹣36＜0，故不等式恒成立，所以k∈（﹣∞，+∞），故选：D．4．已知p：|x+1|＞2，q：2＜x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解出不等式p，即可判断出关系．解：p：|x+1|＞2，解得：x＞1，或x＜﹣3．q：2＜x＜3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．5．设函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．π2B．πC．2πD．4π【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．解：函数f（x）＝2cos（12x−π3），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B﹣APQC的体积是（）A．16V B．29V C．13V D．79V【分析】由题意画出图形，过P作PG∥AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B﹣APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．解：如图，过P作PG∥AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC﹣PQG中，由等积法可得V B﹣APQC=23V ABC−PQG，∵AP=13AA1，CQ=13CC1，∴V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，∴V B−APQG=23V ABC−PQG=23×13V ABC−A1B1C1=29V．故选：B．7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．47【分析】基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m=C22C21C31C31+C21C22C31C31+C21C21C32C31+C21C21C31C32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37．故选：C ．8．已知直线l ：y ＝x ﹣2与x 轴的交点为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（） A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB 的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y ＝x ﹣2，经过抛物线的焦点坐标，可得P ＝4，抛物线方程为：y 2＝8x由题意可得：{y 2=8xy =x −2，可得x 2﹣12x +4＝0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2＝8．故选：A ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，若S n ≥4a n +8（n ∈N *），则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5＝4，可得：13+d +13+4d ＝4，解得d =23，所以S n =n 3+n(n −1)×13=n23，a n =13+(n −1)×23=2n−13， S n ≥4a n +8（n ∈N *），可得：n 23≥8n−43+8，可得：n 2﹣8n ﹣20≥0，解得n ≥10或n ≤﹣2（舍去），所以n 的最小值为10．故选：C ．10．已知点P （x 0，y 0）是曲线C ：y ＝x 3﹣x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，则（）A ．x 0＝2B ．x 0=−43C ．x 0＝2或x 0=−43D ．x 0＝﹣2或x 0=43【分析】先求出y ＝x 3﹣x 2+1的导数，得到曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线斜率k ，然后根据曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行得到关于x 0的方程，解方程得到x 0的值，再检验得到符合条件的x 0．解：由y ＝x 3﹣x 2+1，得y '＝3x 2﹣2x ，则曲线C 在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率为k =y′|x=x 0=3x 02−2x 0， ∵曲线C 在点P 处的切线与y ＝8x ﹣11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0＝2或x=−43，∵当x0＝2时，切线和y＝8x﹣11重合，∴x=−4 3．故选：B．11．已知O为坐标原点，设双曲线C：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．54B．43C．53D．2【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a 再由a，b，c的关系求出离心率．解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5 3，故选：C．12．已知函数f(x)={−x2−x+1，x＜0x2−x+1，x≥0，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．4039【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1={−x2−x，x＜0x2−x，x≥0与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个交点，∵T=2πω=2π2020π=11010且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1又∵g（x）＝f（x）﹣1={−x2−x，x＜0x2−x，x≥0∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（12）=12，g（x）min＝g（−12）=−12且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T=11010∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）=40402×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为√3π3，表面积为3π．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3．再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V=13×π×12×√3=√3π3；表面积S=π×12+12×2π×1×2=3π．故答案为：√3π3；3π．14．在（ax+1x）（x2﹣1）5的展开式中，x3的系数为15，则实数a＝5．【分析】先求得（x2﹣1）5的展开式的通项公式，再列出含x3的系数的关于a的方程，最后求出a．解：∵（x2﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r（x2）5﹣r•（﹣1）r＝（﹣1）r•C5rx10﹣2r，r＝0，1， (5)∴（ax +1x）（x 2﹣1）5的展开式中含x 3的系数为a ×（﹣1）4×C 54+C53•（﹣1）3＝5a ﹣10．又∵5a ﹣10＝15，∴a ＝5．故答案为：5．15．已知单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，若向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，则实数k 的值为 ﹣10 ．【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可．解：单位向量e 1→与e 2→的夹角为π3，即|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→•e 2→=1×1×cos π3=12；又向量e 1→+2e 2→与2e 1→+k e 2→的夹角为5π6，所以（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+k e 2→）＝|e 1→+2e 2→|×|2e 1→+k e 2→|cos5π6，即2×12+（4+k ）×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×（−√32）； 8+5k =−√21•√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)，解得k ＝﹣10，所以实数k 的值为﹣10．16．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2（n ∈N*），且m +S 2019＝﹣1009，a 1m ＞0，则1a 1+9m的最小值为 16 ．【分析】通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019＝﹣1009，即可求出结论．解：由已知，a 2+a 3＝﹣2；a 4+a 5＝4； a 6+a 7＝﹣6； ⋮a 2018+a 2019＝﹣2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019﹣a 1＝﹣2018+1008＝﹣1010；将S 2019＝a 1﹣1010代入等式m +S 2019＝﹣1009，得m +a 1＝1；∵a 1m ＞0，故都为正数； ∴1a 1+9m=（1a 1+9m ）（m +a 1）＝10+m a 1+9a 1m ≥10+2√ma 1⋅9a1m =16；当且仅当m ＝3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立；故答案为：16．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC=√3．（1）求角C 的大小；（2）求b+2a的最大值．【分析】（1）根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC=12，由此即可求得C；（2）易知b=2sinB=2sin(A+π3)，再由三角恒等变换可得b+2a=2√7sin(A+Φ)，结合A∈(0，2π3)，可知sin（A+ϕ）max＝1，由此求得b+2a的最大值．解：（1）由题意及正弦定理可得：abca+b−c=√3由余弦定理得：a2+b2﹣c2＝2ab•cos C，所以cosC=a2+b 2−c22ab=12，又C为△ABC内角，∴C=π3；（2）由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=2，所以a＝2sin A，b＝2sin B，又因为A+B+C＝π，所以b=2sinB=2sin(A+π3 )，所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+√3cosA+4sinA=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+ϕ)，且tanϕ=√35，又因为A∈(0，2π3 )，所以sin（A+ϕ）max＝1，所以b+2a≤2√7，即b+2a的最大值为2√7．18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x x≤55＜x＜20x≥20人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E（Y）．【分析】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．求出P(x≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12），求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A．由表可知P(x≥20)=25100，所以P(A)=C42(14)2(1−14)2=27128．（2）由题意得：x＜20的人：12×34=9；x≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～H（3，3，12）P(Y=0)=C93C123=84220，P(Y=1)=C92C31C123=108220，P(Y=2)=C91C32C123=27220，P(Y=3)=C33C123=1220，所以Y的分布列为：Y0123P84220108220272201220Y的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．19．如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE 交于点H．（1）求证：AH⊥平面BCDE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面ABD．推出CD⊥AH，同理AH ⊥BE，即可证明AH⊥平面BCDE．（2）过D作Dz⊥平面BCDE，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED的法向量，平面AEB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AE﹣D的余弦值即可．【解答】（1）证明：由题意，AD＝CD＝1，BD=CE=√3，又因为AB⊥AD，所以AB=√BD2−AD2=√3−1=√2=AC，所以AC2＝AD2+CD2，即AD⊥CD又因为CD⊥BD，且BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD．所以CD⊥AH，同理AH⊥BE，CD与BE是相交直线，所以AH⊥平面BCDE．（2）解：如图，过D作Dz⊥平面BCDE，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系所以D（0，0，0），B(√3，0，0)，E(√32，−12，0)，设点A（a，0，b）由AD=1，AB=√2得{a2+b2=1(a−√3)2+b2=2，解得：a=√33，b=√63，所以A(√33，0，√63)，所以AE→=(√36，−12，−√63)，AB→=(2√33，0，−√63)，DA→=(√33，0，√63)，设平面AED的法向量为n1→=(x1，y1，z1)，所以{AE→⋅n1→=0DA→⋅n1→=0⟹{x1=√3y1+2√2z1x1+√2z1=0，取z1＝﹣1，得n1→=(√2，√6，−1)，同理可得平面AEB的法向量n2→=(1，−√3，√2)，所以cos ＜n 1→，n 2→≥n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=−√33，由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为−√33．20．已知⊙M 过点A （√3，0），且与⊙N ：（x +√3）2+y 2＝16内切，设⊙M 的圆心M 的估轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点B （2，0）且与曲线C 交于点P ，Q 两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为−12，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2＞b 2﹣1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．解：（1）由题意⊙M 过点A(√3，0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD |+|MN |＝|ND |＝4，在⊙M 中，|MD |＝|MA |所以|MA |+|MN |＝4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当l 的斜率不存在的时，设P （x 0，y 0），所以Q （x 0，﹣y 0），所以{k PB ⋅k QB =y 0x 0−2⋅−yx 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√33或{x 0=2y 0=0(舍)，所以l 与x 轴的交点为(23，0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣4＝0， △＝（8kb ）2﹣4（1+4k 2）（4b 2﹣4）＝64k 2﹣16b 2+16＞0，所以4k 2＞b 2﹣1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb 1+4k2；x 1x 2=4b 2−41+4k2，k PB ⋅k QB =y1x 1−2⋅y2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2−2(x1+x2)+4=k24b2−41+4k2−8k2b21+4k2+b24b2−41+4k2−2−8kb1+4k2+4=b 2−4k2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k+b≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b=−23k，所以b2−1=(−23k)2−1＜4k2，所以b=−23k成立，所以y=kx−23k=k(x−23)，当x=23时，y＝0，所以l过(23，0)综上所述l过定点，且点坐标为(23，0)21．已知函数f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，g（x）＝（a−13）x﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f′（x）为f（x）的导函数，设函数h（x）＝max{f′（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3（n∈一、选择题*）．【分析】（1）求出导函数，通过f′（x）＝0得x＝3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．（2）通过h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），利用函数的导数推出e x＞x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．解：（1）因为f（x）＝（x﹣4）e x﹣3+x2﹣6x，所以f′（x）＝（x﹣3）e x﹣3+2x﹣6＝（x﹣3）（e x﹣3+2），令f′（x）＝0得x＝3当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减所以f（x）单调递增区间为（3，+∞）；f（x）单调递减区间为（0，3）．（2）由（1）知f′（x）＝（x﹣3）（e x﹣3+2），当x≥3时f’（x）≥0恒成立，故h（x）≥0恒成立当x＜3时，f’（x）＜0，又因为h（x）＝max{f’（x），g（x）}≥0恒成立，所以g（x）≥0在（0，3）上恒成立所以(a−13)x−1−lnx≥0，即a−13≥1+lnxx在（0，3）上恒成立令F(x)=1+lnxx，则a−13≥F(x)max，F’(x)=1−(lnx+1)x2=−lnxx2，令F’（x）＝0得x＝1，易得F（x）在（0，1）上单增，在[1，3）上单减，所以F（x）max ＝F（1）＝1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，（3）设m（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则m′（x）＝e x﹣1＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单增，所以m（x）＞m（0）＝0，即e x＞x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e 1n+2⋯e 13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n 3n−1⋅3n+13n＞n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2⋯3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n＞ln3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t （t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ（θ为参数，且θ∈（π2，3π2））．（1）求C 1与C 2的普通方程，（2）若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．解：（1）由题可得：C 1的普通方程为2x ﹣y ﹣5＝0又因为C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ，两边平方可得{x 2=3cos 2θy 2=3sin 2θ2，所以C 2的普通方程为x 23−y 23=1，且x ≤−√3．（2）由题意，设C 1的平行直线2x ﹣y +c ＝0联立{2x −y +c =0x 23−y 23=1消元可得：3x 2+4cx +c 2+3＝0所以△＝4c 2﹣36＝0，解得c ＝±3又因为x ≤−√3，经检验可知c ＝3时与C 2相切，所以|AB|min =√2+(−1)=8√55． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＜3；（2）若不等式f （x ）＜11﹣4x 对任意x ∈[﹣4，−32]成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f （x ）＜3的解集即可；（2）f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +a |＜11﹣4x 对任意x ∈[−4，−32]成立，等价于|x +a |＜5﹣x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．解：（1）a ＝1时，f （x ）＝|3x ﹣6|+|x +1|={−4x +5，x ＜−1−2x +7，−1≤x ≤24x −5，x ＞2；当x ＜﹣1时，由f （x ）＜3得﹣4x +5＜3，解得x ＞12（不合题意，舍去）；当﹣1≤x ≤2时，由f （x ）＜3得﹣2x +7＜3，解得x ＞2（不合题意，舍去）；当x ＞2时，由f （x ）＜3得4x ﹣5＜3，解得x ＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f （x ）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意x∈[−4，−32]成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以{|x+a|＜5−x 5−x＞0，所以{x−5＜x+ax+a＜5−x，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意x∈[−4，−32]成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

广东省广州市2020届天河区普通高中毕业班综合测试(一)理科数学

2020届天河区普通高中毕业班综合测试（一）理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}06|2<--=x x x A ，集合{}01|>-=x x B ，则()=B A C R （）A.()3,1B.(]31，C.[)+∞,3D.()∞+，3 2、设复数z 满足()i i i z 432-=⋅+，则复数-z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58215a a a -=+，则=9S （） A.18 B.36 C.45 D.604、已知m ，n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若n m n m //,//,//则αα B.若βαγβγα//,,则⊥⊥ C.若βαββαα//,,//,//，则且⊂⊂n m n m D.若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,,βαβα 5、()522)11(2-+x x 的展开式的常数项是（）A. 3-B.2-C.2D.36、已知32121,,21ln x e x x -==满足3ln 3x e x=-，则下列选项正确的是（）A.231x x x <<B.321x x x <<C.312x x x <<D.213x x x <<7、中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，是利用算筹表示数1--9的一种方法。

例如：3可表示为“”,26可表示为“”，现有6根算筹，根据表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1--9这9个数字表示两位数的个数为（） A.13 B.14 C.15 D.168、在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD AE ⊥，垂足为E ，则=⋅→→EC AE （） A.572 B.2512C.512 D.25144 9、函数x ex f xsin )112()(-+=的图像大致是（）10、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A.72 B.60 C.36 D.2411、已知函数)62sin()(π-=x x f ，若方程53)(=x f 的解为)0(,2121π<<<x x x x ，则=-)si n (21x x （）C.32-D.33- A. 54-B.53- 12、已知函数[)+∞∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1,4ln 4)(2k x x x k k x f ，曲线)(x f y =上总存在两点),(),(2211y x N y x M 、，使曲线)(x f y =在M 、N 两点处的切线互相平行，则21x x +的取值范围为（）A. [)+∞,4B.()∞+，4C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，516 D.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，516 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩(C U B)=()A. {0}B. {0,1,2,3,4}C. {0,1}D. {1}2.复数1+2i2−i的虚部是()A. iB. −iC. −1D. 13.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 24.若a>1，b<0，则函数y=a x+b的图象有可能是()A.B.C.D.5.函数f(x)=18x−cosx的零点个数为()A. 3B. 4C. 5D. 66.如果一个正四面体的体积为163√2dm3，则其表面积S的值为()A. 16dm2B. 18 dm2C. 18√3dm2D. 16√3dm27.某次数学考试中，某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25).估计数学成绩大于115分的学生所占的百分比为()(参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.13％B. 1.3％C. 3％D. 3.3％8.设(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6则|a1|+|a2|+⋯+|a6|的值是()A. 665B. 729C. 728D. 639.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( ) A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−n D. 12⋅32n+2−n +32 11. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 9612. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是( )．A. (−∞,13)B. (−13,+∞)C. (−∞,3)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)=(x +a)lnx ，若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y =0平行，则实数a 的值为______．14. 已知在数列{a n }中，a 1=2，2n (a n +a n+1)=1，设T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，b n =3T n −n−1a n ，数列{b n }的前n 项和S n =______．15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(0,sinα)，B(cosα,0)，动点C 满足|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是________． 16. 过抛物线C ：x 2=4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，已知4sin 2A−B 2+4sinAsinB =3．(I)求角C 的大小；(Ⅱ)若AC =8，点D 在BC 边上，且BD =2，cos∠ADB =17，求边AB的长．18.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，PA=AB=AD=2DC=2，PB=2√2，∠PAD=120°，E为PB的中点．(1)证明：EC//平面PAD；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=√32，F为椭圆的左焦点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =1．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)设P是此椭圆上异于A，B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=FQ.连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．20.求函数f(x)=x2e−x的极值．21.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得C U B ，从而即可得A ∩(C U B)．解：∵全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3}，B ={2,3,4}，∴C U B ={0,1}，∴A ∩(C U B)={1}，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了复数运算，属于基础题．根据复数运算法则即可求解．解：令z =1+2i 2−i =(1+2i )(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i ，故复数z 的虚部为1，故选D ．3.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52．故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性以及与y轴的交点的范围是解决本题的关键．根据指数函数的单调性以及函数与y轴交点纵坐标的取值范围进行判断即可．解：当a>1时，函数为增函数，排除B，D，当x=0时，y=a0+b=1+b<1，排除C，故选：A．5.答案：C解析：解：函数f(x)=18x−cosx的零点，即函数y=18x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=18x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=18x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f(x)=18x−cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．6.答案：D解析：解：如果一个正四面体的棱长为a．则体积V=√212a3=163√2dm3，故a=4dm，则其表面积S=√3a2=16√3dm2，故选：Da3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=√3a2，根据棱长为a的正四面体的体积V=√212可得答案．a3，表面积本题考查的知识点是正四面体的几何特征，熟练掌握棱长为a的正四面体的体积V=√212S=√3a2，是解答的关键．7.答案：A解析：本题主要考查正态分布的性质，属于基础题．解：某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25)．P(85<μ<115)=0.9974.估计数学成绩大于×(1−0.9974)×100％=0.0013×100％=0.13％.115分的学生所占的百分比为12故选A．8.答案：A解析：本题考查了二项式定理和赋值法的应用问题，由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，利用赋值法把x=−1，x=0分别代入已知式子计算即可，属基础题目．解：∵(2−x)6=a0+a1x+a2x+⋯+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=−1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(2+1)6=729，x=0时，a0=26=64；∴|a1|+|a2|+⋯+|a6|=729−64=665．故选A．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：C解析：解：∵三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，∴以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√23+9+16=2√3，2设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，=2√3，解得a=4，则R=√3a2∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V=a3=43=64．故选：C．以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，三棱锥P−ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)是奇函数，f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得．解：由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)=x−sinx，f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得x<3．故选C．13.答案：1解析：解：函数f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+a，x可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k =1+a ，由切线与直线2x −y =0平行，可得1+a =2，解得a =1，故答案为：1．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，正确求导是解题的关键，属于基础题．14.答案：2n+1−2解析：解：由题意可知因为T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，所以2T n =2a 1+22a 2+⋯+2n a n ，两式相加3T n =a 1+2(a 1+a 2)+22(a 1+a 2)+⋯+2n−1(a n−1+a n )+2n a n=2+2×12+22×122+⋯+2n−1×12n−1+2n a n=2+(n −1)×1+2n a n =n +1+2n a n所以b n =2n ，从而S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：22n+1−2．先根据条件求出数列{b n }的通项公式，再根据通项公式的特点确定求和的方法．本题考查由递推式式求数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，解题的关键对条件的分组转化，难度较大．15.答案：2解析：本题主要考查向量的计算和模长的计算，属于基础题．解：依题意，设C(cosβ,sinβ)，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α−β)，所以当cos(α−β)=1时，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值4，故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是2．故答案为2．16.答案：4解析：本题主要考查的是抛物线的性质的有关知识，根据到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值．解：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4y可得y=x24，∴y′=x2，所以直线PA，PB的方程分别为：y−x124=x12(x−x1)①，y−x224=x22(x−x2)②，①②方程联立可得P(x1+x22,x1x24)，∵点P在准线上，∴x1x24=−1，∴x1x2=−4，设直线AB的方程为：y=kx+m，代入抛物线的方程可得：x2−4kx−4m=0，可得x1x2=−4m，所以可得m=1，即直线恒过(0,1)点，即直线恒过焦点(0,1)，即直AB的方程为：y=kx+1，代入抛物线的方程：x2−4kx−4=0，x1+x2=4k，所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=AF+BF=y1+y2+2=4k2+4≥4，当k=0时，距离之和最小且为4，这时直线AB平行于x轴．故答案为：4．17.答案：解：(I)由4sin2A−B2+4sinAsinB=3，变形得：2[1−cos(A−B)]+4sinAsinB=3，即2−2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB=3，整理得：2−2cos(A+B)=3，即2+2cosC=3，∴cosC=12，则C =π3；(Ⅱ)∵cos∠ADB =17，∠ADB +∠ADC =π， ∴cos∠ADC =−17，sin∠ADC =4√37，在△ADC 中，由正弦定理AD sinC =AC sin∠ADC 得：AD =ACsinCsin∠ADC =8×√324√37=7，由余弦定理得：AB 2=DA 2+DB 2−2DA ·DB ·cos∠ADB =49+4−4=49，则AB =7．解析：(I)已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos C 的值，即可确定出角C 的大小；(Ⅱ)由cos∠ADB 的值求出cos∠ADC 的值，进而求出sin∠ADC 的值，再由sin C 与AC 的长，利用正弦定理求出AD 的长，再利用余弦定理求出AB 的长即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)取PA 中点F ，连接EF ，DF ，因为E 为PB 中点，所以EF//AB ，EF =12AB ．又因为AB//DC ，AB =2DC ，所以EF//DC ，EF =DC ．所以四边形DCEF 为平行四边形，所以EC//DF ．又DF ⊂平面PAD ，平面PAD ，所以EC//平面PAD ．(2)因为由题可知AP =AB =2，PB =2√2，所以AP 2+AB 2=PB 2，所以AB ⊥AP ，又因为AB ⊥AD ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面PAD ．所以AB ⊥平面PAD ．所以以A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(1,1，0)，C(−1,1，√3)，设平面AEC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，x)，所以{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =−y2y =−√3z, 令y =√3，得x =−√3，z =−2．所以n ⃗ =(−√3√3,−2)，易知平面AEB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，所以|cos(n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ )|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√3,√3,−2)⋅(0,0,1)√10|=√105，因为二面角C −AE −B 为锐角，所以二面角C −AE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．(1)取PA 中点F ，在接EF ，DF ，推导出四边形DCEF 为平行四边形，证得EC//DF ，由此能证明EC //平面PAD ；(2)A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC 与平面AEB 的法向量，进而求得结果．19.答案：解：(Ⅰ)由题得{e =ca =√32(a −c)(a +c)=1，解得{a 2=4c 2=3 则b 2=a 2−c 2=1 则椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，证明如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P )又因为点A 坐标为(−2,0) 所以直线AQ 的斜率k AQ =2y Px P +2则直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，当x =2时，y =8y PxP +2则M 点坐标为(2,8y PxP+2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2)则直线QN 的斜率为k QN =−2x P y P(2+xP )(2−x P )则直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P2x +y −8yP4−x P2=0则点O(0,0)到直线QN 的距离为d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P 2+(4−x P2)又因为y P 2=1−x P24则d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P2+(4−x P2)=84−x P2×√4−x P22×√(4−x P2)24x P 2(1−x P 24)+(4−x P 2)2=2则QN 与以AB 为直径的圆O 相切．解析：(Ⅰ)由题得{e =c a=√32(a −c)(a +c)=1，及其b 2=a 2−c 2=1，即可得出．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，分析如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P ).又因为点A 坐标为(−2,0)，可得直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，可得M 点坐标为(2,8y PxP +2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2).直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P 2x +y −8yP 4−x P 2=0.又y P 2=1−x P 24，可得点O(0,0)到直线QN 的距离为d =2，即可证明QN 与以AB 为直径的圆O 相切．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：f′(x)=2xe x −x 2e x(e x )2=−x(x−2)e x，令f′(x)=0，得x =0或2，得出f(x)与f′(x)的表格，所以当x =0时，函数有极小值，且f(0)=0．当x =2时，函数有极大值，且f(2)=4e 2．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，先求导，列表即可得出极值．21.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910，答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5，P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545， P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2，又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2；当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2，综上可得不等式的解集为(12,+∞)； (2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，由|x−2|+|x+1|≥|x−2−x−1|=3，当且仅当−1≤x≤2时，取得最小值3，可得a2−2a≤3，解得−1≤a≤3．解析：(1)由题意可得|x−2|−|x|<1，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）-学生版+解析版

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.（5分）己知集合A={x|j_尤一6〈0},集合8={尤|尤>1},则（B r A）B=（）A.[3,+oo）B.（1,3]C.（1,3）D.（3,q）2.（5分）设复数z满足（z+2i），=3-中，则复数万在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）设等差数列{%}的前〃项和为S〃，若角+%=15-％,则禹等于（）A.18B.36C.45D.604.（5分）己知秫，〃是两条不同的直线，a,/3,/是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若ml let,nl la,则ml InB.若a_L/,“_L/,则al ipC.若ml la,nl/a,且mu。

,nu[3,则a11[3D.若n—）,且贝^\m_Ln5.（5分）（x2+2）（^y-l）5的展开式的常数项是（）XA.-3B.-2C.2D.31-16.（5分）己知=In—,x2=e29退满足e=lnx3,则下列各选项正确的是（）A.x{<x3<x2B.x^<x2<x3C.x2<x{<x3D.x3<x l<x27.（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为“三”, 26可表示为“=上”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1〜9这9数字表示两位数的个数为（）_=三=J__L X i123456789A.13B.14C.15D.168.（5分）在矩形ABCD中，AB=3,AT>=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE±BD,垂足为E,则AE EC=()C.?144D.~2510.（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.36B.24C.72D.144-rr..311.(5分)己知函数/(x)=sin(2x---),若方程/(%)=—的解为而，x2(0<x l<x2<7i),65则sin(^-x2)=()A.--B.--C.D.553344_r212.(5分)已知函数f(x)=(k+—)lnx H------,A:g[4,+oo),曲线y=/(x)_h总存在两k x点M(不，弟，Ng,y2),使曲线y=/(x)在M,N两点处的切线互相平行，则x,+x2的取值范围为（）A.（—,+00）B.（―,+c»）C.[—,+00）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.(5分)已知数列｛%｝满足巧=1,a n=l+a t+...+a n_t(n&N*,n..2),则当〃..1时,14.(5分)设当x=6时，函数/(x)=sin+\/3cosx取得最大值，则tan(6>+—)=______.415.(5分)己知函数/(x)=x3+ox2+to+a2在x=l处有极小值10,贝\\a-b=.16.(5分)在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是.三、解答题：共70分。

广东省2020年高考一模数学(理)试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3} 2．复数z =4+3i 3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（） A ．﹣1 B ．2 C ．5 D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（） A ．﹣7 B ．3 C ．5 D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上 6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（） A ．1920003cm 3 B ．1600003cm 3 C ．160003cm 3 D ．640003cm 37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名 8．已知(1+x m )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（）A ．1B ．3C ．2D ．49．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（）A ．√2B ．√3C ．√213D ．√1310．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（）A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12。

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2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =I ð ) A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC =u u u r u u u rg )A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e=-+图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ． 12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ． 16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且3cos2sin()102A A π+-+=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积33S =，3b =．求sin C 的值．18．（12分）在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =．（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．20．（12分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mm mm ⨯根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg 都服从正态分布2(,)N μσ，并把质量在(3,3)u u σσ-+之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm 、()b mm ，则“尺寸误差” ()mm 为|600||600|a b -+-，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、[0.2，0.5]、[0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．（Ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元)，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．（Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974p Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，580.32768=．21．（12分）已知函数()1()af x lnx x a a R x=+-+-∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在()11,xx f x x x->+<使成立，求整数a 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin x y ααααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB g 为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||2|()=-++∈．f x x x m m R（1）若2f x„；m=时，解不等式()3（2）若关于x的不等式()|23|x∈，1]上有解，求实数m的取值范围．f x x-„在[02020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =I ð ) A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|2R A x x =-„ð或3}x …， (){|3}[3R A B x x ==I …ð，)+∞．故选：A ．2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-g ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-g ，4a =-； 4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B ．3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．60【解答】解：28515a a a +=-Q ，55a ∴=，9592452S a ∴=⨯=．故选：C ．4．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ． 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【解答】解：第一个因式取2x ，第二个因式取21x ，可得4451(1)5C ⨯⨯-=；第一个因式取2，第二个因式取5(1)-，可得52(1)2⨯-=-2521(2)(1)x x∴+-的展开式的常数项是5(2)3+-= 故选：D ．6．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【解答】解：依题意，因为y lnx =为(0,)+∞上的增函数，所以111102x n ln =<=；应为x y e =为R 上的增函数，且0xe >，所以1220x e -<=，01e <=； 3x 满足33x elnx -=，所以30x >，所以30x e ->，所以301lnx ln >=，又因为y lnx =为(0,)+∞的增函数，所以31x >，综上：123x x x <<．故选：B ．7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示224⨯=个两位数；则一共可以表示12416+=个两位数；故选：D ．8．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC =u u u r u u u rg )A ．725B ．1225C ．125D ．14425【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，则(0,3)A ，(0,0)B ，(4,0)C ，(4,3)D ；直线BD 的方程为34y x =；由AE BD ⊥，则直线AE 的方程为433y x -=-，即433y x =-+；由34433y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得36252725x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，36(25E ，27)25所以36(25AE =u u u r ，48)25-，64(25EC =u u u r ，27)25-，所以36644827144()()2525252525AE EC =⨯+-⨯-=u u u r u u u r g ．故选：D ．9．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e -=-=++g ，则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e ------=-=-==+++g g g ，则()f x 是偶函数，则图象关于y 轴对称，排除B ，D ，当1x =时，f （1）1sin101ee-=<+g ，排除A ，故选：C ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．144【解答】解：根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种，故选：C ．11．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴12112sin()sin(2)cos(2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<， ∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()sin(2)65f x x π=-=，得14cos(2)65x π-=， ∴124sin()5x x -=-，故选：B ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞【解答】解：函数244()()x f x k lnx k x -=++，导数2414()()1f x k k x x'=+--g ．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠．即有221122444411k k k k x x x x ++--=--，化为121244()()x x k x x k+=+，而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[4k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[4k ∈，)+∞， 24()10g k k '=->，对[4k ∈，)+∞恒成立，即()g k 在[4，)+∞递增， ()g k g ∴…（4）5=，∴161645k k+„， 12165x x ∴+>，即12x x +的取值范围是16(5，)+∞．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = 12n - ．【解答】解：Q 数列{}n a 满足11a =，111n n a a a -=++⋯+ *(n N ∈，2)n …，则0112a ==，1222a ==，2342a ==，3482a ==，⋯由此可得当1n …时，12n n a -=．故答案为：12n -．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =取得最大值，则tan()4πθ+= 2+【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+；Q 当x θ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k z ππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，k z ∈；∴1tan()tan(2)tan()246446kπππππθπ++=++=+==+故答案为：2．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a=+++在1x=处有极小值10，则a b-=15．【解答】解：2()32f x x ax b'=++Q，Q函数322()f x x ax bx a=+++在1x=处有极小值10，f∴'（1）0=，f（1）10=，320a b∴++=，2110a b a+++=，解得4a=，11b=-或3a=-，3b=，当4a=，11b=-时，2()3811(31)(1)f x x x x x'=+-=+-，此时1x=是极小值点；当3a=-，3b=时，22()3633(1)f x x x x'=-+=-，此时1x=不是极小值点．4a∴=，11b=-，15a b∴-=．故答案：15．16．（5分）在三棱锥S ABC-中，2SB SC AB BC AC=====，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是133π．【解答】解：如图所示，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ．设G 为ABC ∆的中心，O 为三棱锥S ABC -外接球的球心．连接OG ，OG ，OS ．取SD 的中点E ，连接OE ．则OD 为棱锥S ABC -外接球的半径．OEDG 为矩形．OD ∴==．∴三棱锥S ABC -外接球的表面积21343ππ=⨯=．故答案为：133π．三、解答题：共70分。