数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用摘要数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，数和形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常的直观形象，另一方面，一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、更精确、更深刻，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

数形结合包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，在高中阶段用的较多的是以形助数。

数量关系如果能有效地结合图形，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，巧妙地应用数形结合的思想方法来处理一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，达到优化解题途径的目的，在选择题，填空题中，数形结合更能显示出其简捷的优越性。

关键词：数形结合思想方法应用解题第一章绪论数学是研究现实世界中空间形式与数量关系的一门学科，故数学的研究是围绕数和形展开的，而数形结合的实质在于数量关系决定着几何图形属性，几何图形的属性反映着数量关系[1]。

在现代数学研究中，数形结合既是一种常用的数学方法又是一种数学思想。

由此可见，在高中阶段，掌握并熟练运用这一思想是十分必要的。

本文针对数形结合思想的形成和演进，数形结合思想解题能力的培养，以及在高中数学解题中的应用范围和数形结合思想在解题中的实际应用做了浅显成述。

第二章数形结合思想的概述和历史演进2.1数形结合思想的概述数学的两个最古老、最普遍的研究对象是数、形，在某些条件的作用下，两者可以相互转化。

中学数学研究的对象可以分为数和形两大部分，数与形的联系则称作数形结合，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面[1]。

以形助数，即借助形的直观性来阐明数之间的关系；以数助形，即借助数的精确性来阐明形的某些属性。

2.2数形结合思想的历史演进随着时间的推移，数学得到了不断的拓展和充实，数学中最原始的研究对象数与形也在不断地变化，从最初因需要而产生数到欧几里德撰写的《几何原本》，再到从笛卡尔创立平面直角坐标系到近、现代数学研究，数形结合一直伴随其行。

在古希腊数学时期，毕达哥斯拉学派在研究数学时，就借助形来归纳数的性质，这便是早期的“数”与“形”结合的体现。

数轴的建立使人类对数与形的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可视为点，点可当作数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算可以几何化。

1637年，笛卡尔在其《几何学》中，首次提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有数的代数方程来表示和研究曲线[2]。

笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系，把有序数对)P与平面上的点一x,(y一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程组的解集一一对应起来。

于是就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数的研究。

第三章 浅谈数形结合思想解题能力的培养“数”和“形”两者是紧密联系的。

我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，而在探讨形”的性质时，又离不开“数”的支撑。

现阶段使用的教材，“代数”与“几何”融和为一门数学学科，更体现了“数”与“形”的结合，因此教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助。

在教学过程中教师应有目的、有计划地进行数形结合思想的教学，使学生逐步有数形结合思想这一思想理念，并使之成为解决数学问题的工具。

3.1在教学过程中适时渗透数形结合思想在教学过程中要尽量摆脱对代数问题的抽象讨论。

更多地把代数里的东西用图形表示出来。

如相反数、绝对值的几何解释，乘法公式的面积法的验证等等，将较难、抽象的概念、定理具体化。

在几何图形的一些基本性质的教学时，多让学生动手量一量，自己发现图形中的数量关系，对一些特殊的几何图形，还可以赋值研究。

3.2通过典型例题的分析讲解突出数形结合思想的指导在教学过程中通过对例题的实际讲解，凸显出数形结合的优越性，使学生将这一思想由一种方法提升为一种系统的解题理论。

例1．二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象大致如图1所示，试确定a 、b 、c 与a acb 42-的符号。

二次函数c bx ax x f ++=2)((a ≠0)中的a 、b 、c 决定函数的形状和位置，判别式∆的符号把抛物线与x 轴的位置关系和一元二次方程的根联系在一起，体现了数形结合的思想。

图1第四章数形结合思想的应用范围数形结合思想方法是数学教学内容的主线之一，在高中数学中，应用数形结合的思想，可以解决诸多的问题：4.1集合问题在集合运算中借助与数轴、维恩图来处理集合的交集、并集、补集等运算，从而是问题简单，运算快捷。

4.2函数问题借助图形研究函数的性质、最值等问题。

4.3方程与不等式问题处理方程时，把方程的问题看做两函数图形的交点问题；处理不等式时，从所给条件和结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形中找解题思路。

4.4三角函数问题三角函数的单调区间的确定，比较三角函数值的大小等问题，都借助于单位圆或三角函数体现来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的有效的方法。

4.5数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看做是一个关于正整数n的函数。

用数形结合的思想解决数列问题是借助函数的图形进行直观的分析，从而把数列的有关问题转化为函数问题，从而进行解决。

4.6立体几何问题立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

第五章 数形结合思想解题的实际应用5.1集合中的数形结合在集合问题中，对一些较抽象的问题，在解决时若借助数轴、维恩图或者图像等数形结合的思想方法，可以使问题直观化、形象化，从而快捷、准确地获得结论。

例2. 集合}065|{2≤+-=x x x M }31|{≤≤=x x N 则=N M I解析：通过解不等式可知，M 可以表示成}32|{≤≤=x x M ，此时在数轴上作出M 和N ，结果一目了然。

x0213图25.2方程与函数中的数形结合函数的图形是函数关系的直观表现形式之一，他用“形”来刻画函数的变化规律[3]。

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，在解决函数问题时两者经常要相互转化，针对繁琐的问题时要充分发挥图象的直观作用，如求解函数的值域时。

可以针对某些代数式赋一定的几何意义[2]。

如求直线的斜率、线段的长度（两点间的距离）等，把求最值问题转化为几何问题，实现数形的转换。

方程)()(x g x f =的解的个数可以转化为函数)(x f y =与)(x g y =的图形的交点个数问题。

对求不等式)()(x g x f >的解集可以转化为函数)(x f y =的图形与函数)(x g y =的图形上方的那部分点的横坐标的集合[3]。

例 3. 在平面直角坐标系中，求函数)2sin(π+=xy 0[⊂x ，]2π的图形与直线21=y 的交点个数。

解析: 在直角坐标系中作出函数)2sin(π+=x y 0[⊂x ，]2π与21=y 的图象，结果显而易见。

5.3数列中的数形结合在数列问题中，一些量可以当做以n 为变量的函数。

通常等差数列的通项n a 可以看成自然数n 的“一次函数”前n 项和n s 可以看成自然数n 的“二次函数”，等比数列的通项n a 可以看成n 的“指数函数”。

因此在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。

例4.数列}{n a 是等差数列，j a i =，i a j = 则=+j i a a解析：假设j i<，m a a j i =+，在等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排列的一群孤立的点，故三点),(j i A ，),,(i j B ),(m j i C + 共线，则BC AB k k =，即iim i j j i -=--，解得,0=m 即0=+j i a axm )图35.4不等式与极值中的数形结合对于不等式（不等式组）的求解和求代数极值的问题，都存在着图形背景，借助图形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何的描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，是问题迎刃而解。

例5. 不等式x x x >+-542的解集为解析：令54)(2+-=x x x f ，x x g =)(，在同一坐标系中作出)(),(x g x f 的图象如图4，令)()(x g x f =，即x x x =+-542，可求得45=x ，由图象可以看出不等式的解集为[-1,45]xy图4例 6. 求函数均为正实数）的最小值p n m p x n m x x f ,,()()(2222+-++=的最值。

解析：构造一长方体（如图5）1AC ,m D A n AA p AB ===111,,，M 为棱1AA 上的任意一点，且设,1x M A= 则,x n AM -= 于是在∆Rt 11D MA 中，22212111x m M A D A M D +=+=。

在∆Rt BAM 中，2222)(x n p AM AB BM -+=+=可见.)()(12222BM M D p x n m x x f +=+-++=)(x f 取得最小值，从长方体的侧面展开图可以看出，当且仅当1D 、M 、B 三点共线时，)(x f 有最小值，此时由几何关系不难求出nm mnx +=，故当n m mnx +=时，)(x f 有最小值。

即22222min )()()()(p n m p pm mn n p m mn x f ++=++-++=1CAB MB DD A A图5第六章结论数形结合思想方法贯穿整个中学数学，它既是一种解题方法，又是一种数学思想，数形结合思想方法能够变抽象思维为形象思维，有助有在解题的过程当中把握问题的本质，其实质就是“数中思形，以形助数”，数与形之间的相互转化，它能使很多代数问题化繁为简，使我们能快速准确的获得结果。

因此对数形结合思想的掌握与运用，对于中学学生来说是有必要的。