北师大版数学高二 选修1-1练习 抛物线及其标准方程

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1抛物线及其标准方程练

习 北师大版选修1-1

一、选择题

1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．直线 C ．抛物线或直线 D ．不存在

[答案] C

[解析] 当点F 在直线l 上时，为过点F 与l 垂直的直线；当点F 不在直线l 上时，为抛物线．

2．抛物线y 2

＝20x 的焦点坐标为( ) A ．(20,0) B ．(10,0) C ．(5,0) D ．(0,5)

[答案] C

3．已知抛物线y ＝34x 2

，则它的焦点坐标是( )

A ．(0，3

16)

B ．(3

16，0)

C ．(1

3，0)

D ．(0，1

3

)

[答案] D

[解析] 由y ＝34x 2，得x 2

＝43y ，则p 2＝13，抛物线开口向上，所以焦点坐标为(0，13)．

4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2

2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

[答案] D

[解析] 椭圆的右焦点为(2,0)， ∴p

2

＝2，∴p ＝4. 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2

＋y 2

＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2

＋x ＝0 C ．x 2

＋y 2

－x ＝0

D ．x 2

＋y 2

－2x ＝0

[答案] D

[解析] 抛物线y 2

＝4x 的焦点是(1,0)．

∴圆的标准方程为(x －1)2

＋y 2

＝1，即x 2

＋y 2

－2x ＝0.

6．设抛物线y 2

＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12

[答案] B

[解析] 本题考查抛物线的定义．

由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 二、填空题

7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2

＝4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标x ＝________.

[答案] 5

[解析] 设P (x 0，y 0)，抛物线y 2

＝4x 的准线x ＝－1， 则P 到准线的距离为x 0＋1. ∵P 到焦点的距离为6， ∴由抛物线定义得x 0＋1＝6， ∴x 0＝5.

8．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为x ＝－1，________；

(2)焦点在x 轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2，________. [答案] (1)y 2

＝4x (2)y 2

＝－4x

[解析] (1)∵抛物线的准线方程为x ＝－1， ∴焦点在x 轴正半轴，且p

2＝1，∴p ＝2，

∴抛物线的方程为y 2

＝4x .

(2)∵焦点到准线距离为2，∴p ＝2. 又∵焦点在x 轴负半轴上， ∴抛物线方程为y 2

＝－4x . 三、解答题

9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)；

(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． [解析] (1)∵点(3，－4)在第四象限，

∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2

＝－2p 1y (p 1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y 2

＝2px 和x 2

＝－2p 1y ，得(－4)2

＝2p ·3,32

＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝9

4

，

∴所求抛物线的方程为y 2

＝

163x 或x 2＝－9

4

y . (2)对于直线x ＋3y ＋15＝0，令x ＝0，得y ＝－5； 令y ＝0，得x ＝－15.

∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程是x 2

＝－20y 或y 2

＝－60x .

10．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货后木船露在水面上的部分高为3

4m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能

通航？

[答案] 2m

[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x 2

＝－2py (p >0)，由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2

＝－2py (p >0)上．

∴16＝－2p ×(－5)，2p ＝16

5

.

∴抛物线方程为x 2

＝－165

y (－4≤x ≤4)．

设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航，设B (2，y ′)． 由22

＝－165×y ′，∴y ′＝－54

.

∴水面与抛物线拱顶相距|y ′|＋3

4

＝2(m)．

水面上涨到与抛物线拱顶相距2m 时，木船开始不能通航.

一、选择题

1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线

B ．抛物线