矩阵特征值的运算性质及推广
矩阵特征值的性质
矩阵特征值的性质矩阵是数学中一种重要的概念，也是基础学科的一大内容，它非常实用，在很多科学研究和工程应用中发挥着重要作用。
其中，矩阵特征值的性质就是数学分析中的一个重要概念，它在当前的数学理论研究中发挥着重要的作用。
一、矩阵特征值的定义矩阵特征值是指矩阵的一个重要性质，也是一种定性特征。
它是一个标量，可以用一个实数表示，它与矩阵完全相关，是矩阵唯一性质。
换句话说，矩阵特征值是矩阵的特定值，由线性矩阵特定方程式获得，可以用来表示特定矩阵的特殊性质，它们帮助我们更深入地理解矩阵的内容。
二、矩阵特征值的属性矩阵特征值具有多种属性。
第一，它是定性的，它代表了矩阵的特定性质，它们是矩阵的特殊属性；第二，它是标量，用一个实数表示，可以用线性矩阵特定方程式得出；第三，它是唯一的，每个矩阵都有不同的特征值，这个特征值是它自身的；第四，它是完全相关的，它代表了矩阵的唯一性质。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值具有重要的实际应用。
首先，它可以用来确定矩阵的特殊性质，可以帮助我们更深入地探究矩阵的内容；其次，它可以用来推断矩阵的行列式值，从而间接判断解的状态；此外，它还可以帮助我们研究矩阵的特殊性质，以及研究矩阵的变换性质。
四、矩阵特征值的性质矩阵特征值的性质也是被广泛考虑的内容。
一般来说，它具有一致性和稳定性等特征，它满足三角不变形的性质，也满足线性可分离的性质。
同时，它具有乘卷和可逆性，也可以用来求解线性方程组，求解最小二乘和最大似然估计等问题，帮助我们更好地理解矩阵。
五、矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算也是一个重要的内容，广泛应用在矩阵的分析中。
首先，根据矩阵的特定性质，可以采用线性矩阵特定方程式，从而计算出矩阵的特征值；其次，也可以使用数值方法，如Jacobi迭代法、延拓变换法等，得到矩阵的特征值；此外，还可以采用奇异值分解法，根据矩阵的特殊属性，计算矩阵的特征值。
综上所述，矩阵特征值是一个重要的概念，它被广泛用于矩阵分析、矩阵运算和数学理论研究等方面，它具有一致性、稳定性、可逆性等性质，可以用来确定矩阵的特殊性质，以及帮助我们求解线性方程组、求解最小二乘和最大似然估计等问题，为现代信息处理技术提供重要支持。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是矩阵在特定变换下的不变点，它在矩阵变换和线性代数中起着重要的作用。
研究矩阵特征值的性质对于深入理解矩阵的本质和其在现实问题中的应用具有重要意义。
本文将对矩阵特征值的相关性质进行探讨，包括特征值的定义、性质、计算方法以及特征值与矩阵的关系等方面。
一、特征值的定义矩阵A的特征值是指使得矩阵A减去这个特征值乘以单位矩阵后的矩阵不可逆的值。
具体来说，对于矩阵A，如果存在实数λ和非零向量X使得AX=λX，其中X称为特征向量，那么λ就是矩阵A的特征值。
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们能够描述矩阵在变换中的不变性，对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
1. 特征值的个数等于矩阵的秩对于一个n阶矩阵，它最多有n个不同的特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。
这一性质可以通过特征值与矩阵的迹和行列式之间的关系来进行证明。
特征值是矩阵的一个重要属性，通过特征值的数量可以进一步了解矩阵的结构和性质。
2. 特征值和特征向量的计算为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以利用矩阵的特征多项式来进行计算。
特征多项式是矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式。
通过求解特征多项式的根，就可以得到矩阵的特征值。
进而，可以通过特征值来求解特征向量，从而完成对矩阵特征值和特征向量的求解。
3. 特征值与矩阵的关系矩阵的特征值和矩阵的相似性有着密切的关系。
如果两个矩阵A和B是相似的，那么它们的特征值是相同的。
这一性质对于矩阵的对角化过程和特征值的求解具有重要的意义。
通过相似变换可以将矩阵对角化，进而求解其特征值和特征向量。
特征值与矩阵的相似性是矩阵特征值的重要性质。
4. 特征值的应用特征值与矩阵的性质有着密切的关系，特征值在实际问题中有着广泛的应用。
在物理、工程、计算机科学等领域，特征值被广泛应用于矩阵的对角化、特征提取、模式识别等方面。
特征值的计算和应用已经成为现代科学和工程领域中不可或缺的一部分。
三、特征值的计算方法在实际问题中，为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以采用不同的计算方法。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，它在多个领域都有广泛的应用。
特征值描述了矩阵在特定方向上的特性，具有重要的几何和物理含义。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的一些基本性质。
1. 特征值的定义：设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个实数或复数，则k称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值k的特征向量。
2. 特征值与特征向量的关系：特征向量是与特征值相关联的，矩阵的每个特征值都对应一个特征向量，且特征向量不唯一。
特征向量的一个重要性质是尺度不变性，即特征向量的任何常数倍仍然是特征向量。
3. 矩阵的迹与特征值之和：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素之和，记作tr(A)。
根据矩阵特征值的定义，我们可以得到矩阵特征值的一个重要性质：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，即∑λi=tr(A)。
这个性质对于计算特征值和特征向量具有重要的意义。
5. 矩阵的相似性与特征值：设A和B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似。
相似矩阵具有相同的特征值，即A和B的特征值相同。
这个性质对于矩阵相似性的判断和计算特征值十分重要。
6. 特征多项式与特征值：设A是一个n阶方阵，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
根据特征多项式的定义，我们可以得到特征多项式与特征值之间的关系：特征值是特征多项式的零点，即p(λ)=0的解是矩阵的特征值。
这个性质方便了计算特征值的方法。
7. 特征值与矩阵的性质：矩阵的特征值可以提供关于矩阵性质的信息。
当矩阵的特征值全为正数时，矩阵是正定的；当矩阵的特征值全为非负数时，矩阵是半正定的；当矩阵的特征值全为负数时，矩阵是负定的；当矩阵的特征值既有正数又有负数时，矩阵是不定的。
这些性质在计算和矩阵的应用中具有重要的意义。
矩阵特征值是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是线性代数中的基本概念之一，它与矩阵的一系列性质密切相关。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值的基本概念、性质以及应用。
一、矩阵特征值的基本定义以及计算方法矩阵特征值，也称为 eigenvalue，是指一个矩阵 A 的某个实数λ 在运算下满足det(A-λI) = 0 的实数λ。
其中，I 为单位矩阵，det 为矩阵的行列式，符号“=”表示相等。
特征值的计算方法可以通过求解矩阵的特征方程来完成，即 det(A-λI) = 0。
例如，对于一个2 × 2 的矩阵 A，它的特征方程为：$det\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12}\\a_{21} & a_{22}-\lambda\end{pmatrix}=0$通过求解该方程可以得到该矩阵的特征值λ1 和λ2。
1. 特征值的数量等于矩阵的秩对于一个n×n 的矩阵 A，它最多有 n 个特征值。
此外，如果 A 的秩为 r，则 A 至少有 n-r 个特征值为零。
2. 特征值与矩阵的行列式和迹的关系对于一个矩阵 A，它的所有特征值的积等于 A 的行列式，即$\prod_{i=1}^n \lambda_i=det(A)$此外，矩阵 A 的迹等于其特征值之和，即对于一个n×n 的矩阵 A，如果它有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵 P，使得$P^{-1}AP=D$其中，D 为对角矩阵，其对角线上的元素为 A 的特征值。
三、矩阵特征值的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是矩阵运算中的一个重要概念。
如果一个矩阵可以被相似对角化，那么我们可以通过对角矩阵上的元素进行操作，从而简化矩阵的运算。
3. 特征值与矩阵的谱半径矩阵的谱半径指矩阵所有特征值的绝对值的最大值。
对于一个对称矩阵，谱半径等于矩阵的模最大特征值。
谱半径在矩阵论中具有重要的应用，比如可以用来评估矩阵的稳定性。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是线性代数中的重要概念，它在许多领域都具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨一些与矩阵特征值相关的性质。
一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是方程Av = λv的解，其中v是一个非零向量，λ是一个标量。
具体来说，λ是使得(A-λI)v=0的非零向量v的标量。
特征值的性质如下：1. 矩阵的特征值是与其相似变换不变的。
即如果A和B相似，那么它们的特征值是相同的。
2. 矩阵的特征值的和等于矩阵的迹(trace)。
矩阵的迹是对角线元素的和，表示矩阵的特征值之和。
3. 矩阵的特征值的积等于矩阵的行列式。
矩阵的行列式是其特征值的乘积。
5. 如果矩阵的特征值是实数，那么它的特征向量可以是复数。
二、特征值与矩阵的类型特征值与矩阵的类型之间有许多关联。
一些重要的关系如下：1. 对于对称矩阵，它的特征向量是正交的。
这意味着对称矩阵可以通过特征值和特征向量来对角化。
2. 正定矩阵的特征值都是正数。
3. 对于一个不可对角化的矩阵，它的特征值可能是重复的。
1. 特征值分解是许多数值方法的基础。
特征值分解可以将一个矩阵A分解为PDP^-1的形式，其中D是一个对角矩阵，P是一个可逆矩阵。
这种分解可以帮助我们计算矩阵的幂次、逆矩阵等。
2. 特征值在电力系统中有广泛的应用。
电力系统的稳定性和振荡频率可以通过特征值分析来分析和优化。
3. 特征值可以用于图像处理。
图像是由像素矩阵表示的，特征值分析可以帮助我们提取图像中的特征和模式。
4. 特征值也可以用于网络分析。
特征值可以用于判断一个网络的连通性和稳定性。
总结：矩阵特征值是线性代数中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
掌握了矩阵特征值的性质和应用，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和行为，同时也可以在实际问题中得到更准确和高效的解答。
矩阵的运算与特征值特征向量
矩阵的运算与特征值特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
而矩阵的运算和特征值特征向量是矩阵理论中的基础知识，对于深入理解矩阵以及其在实际问题中的应用具有重要意义。
一、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个相同大小的矩阵进行逐元素的相加或相减。
如果两个矩阵的维度相同，则它们可以进行加法或减法运算。
具体计算方法是将两个矩阵对应位置的元素进行相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行逐元素的相乘，并将结果相加得到新的矩阵。
在矩阵乘法中，乘法的前提是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
转置后的矩阵行和列的顺序发生了变化，原矩阵的第i行转置后变为新矩阵的第i列。
矩阵的转置操作可以通过交换矩阵中元素的索引实现。
二、特征值与特征向量1. 特征值在矩阵理论中，特征值是与方阵相对应的一个数量。
如果存在一个非零向量，使得这个向量与矩阵相乘后仍然是这个向量的一个倍数，并且这个倍数就是一个实数λ，则称实数λ为矩阵的特征值。
特征值可以帮助我们了解矩阵变换的重要性质和特征。
2. 特征向量特征向量是与特征值对应的向量，它描述了矩阵变换过程中的不变方向。
特征向量和特征值是一一对应的关系，一个特征值可能对应多个特征向量。
特征向量可以用来描述矩阵变换的轴线和缩放比例。
三、矩阵的运算与特征值特征向量的关系矩阵的运算与特征值特征向量之间有着密切的联系。
通过矩阵的运算，我们可以求解矩阵的特征值和特征向量。
1. 矩阵的运算与特征值矩阵的运算可以帮助我们求解矩阵的特征值。
通过对矩阵进行特征值运算，我们可以得到矩阵的特征值。
特征值具有重要的物理和几何意义，可以帮助我们分析矩阵的性质和变换过程。
矩阵运算中的行列式与特征值
矩阵运算中的行列式与特征值矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
在矩阵运算中，行列式和特征值是两个重要的概念，它们在解决线性方程组、矩阵相似性等问题中起着重要的作用。
本文将重点介绍矩阵运算中的行列式和特征值的概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、行列式的概念和性质行列式是一个与矩阵相关的标量值，它可以用来判断矩阵是否可逆、计算矩阵的秩等。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其计算公式为：det(A) = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*an(n-1) + a12*a23*...*an(n-2) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*a2(n-1)*...*ann-1其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式有以下几个重要的性质：1. 行列式的值与矩阵的行列互换无关，即det(A) = det(A^T)。
2. 如果矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
3. 如果矩阵A的两行（列）互换，则det(A)的值改变符号。
4. 如果矩阵A的某一行（列）与另一行（列）成比例，则det(A) = 0。
5. 如果矩阵A的某一行（列）元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
6. 如果矩阵A的两行（列）相等，则det(A) = 0。
行列式的计算可以通过展开定理来简化，展开定理是利用代数余子式的概念，通过将矩阵按某一行（列）展开为多个子矩阵的行列式之和。
通过递归地应用展开定理，可以将一个n阶矩阵的行列式计算化简为n-1阶矩阵的行列式计算，直至化简为1阶矩阵的行列式，即矩阵中的一个元素。
行列式的值可以判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的行列式不等于0时，矩阵可逆。
可逆矩阵的逆矩阵可以通过行列式的值和伴随矩阵来求解，即A^(-1) =(1/det(A)) * adj(A)，其中adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
二、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵运算中另一个重要的概念，它们描述了矩阵在线性变换下的性质。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
矩阵的基本运算与特征值特征向量
矩阵的基本运算与特征值特征向量矩阵是现代线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍矩阵的基本运算，包括加法、乘法和转置，并详细解释特征值与特征向量的概念及其在矩阵分析中的应用。
一、矩阵的基本运算矩阵加法是指将两个矩阵的相应元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C=A+B，其中C的第i行第j列元素等于A的第i行第j列元素与B的第i行第j列元素之和。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作C=AB，其中C 的第i行第j列元素等于A的第i行元素与B的第j列元素依次相乘再求和。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
例如，对于一个m行n列的矩阵A，它的转置记作AT，其中AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
二、特征值与特征向量在矩阵分析中，特征值与特征向量是矩阵的重要性质，能够揭示矩阵的结构和性质。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的求解过程可以通过方程(A-kI)x=0来实现，其中I为单位矩阵。
通过求解这个齐次线性方程组，可以得到特征值k以及对应的特征向量x。
特征值和特征向量在矩阵的应用中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理和机器学习等领域中，它们被用于降维、数据压缩、特征提取等任务上。
三、矩阵的应用举例1. 线性变换矩阵可以用于描述线性变换，例如平移、旋转和缩放等操作。
通过将变换矩阵作用于向量，可以实现对向量的变换。
2. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，它存在一个逆矩阵A-1，满足A-1A=AA-1=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的求解可以通过行列式和伴随矩阵的方法来实现。
3. 特征值分解对于一个对称矩阵A，可以进行特征值分解，即将A表示为特征值和特征向量的形式，A=PΛP-1，其中P为特征向量的矩阵，Λ为特征值的对角矩阵。
求解特征值技巧
求解特征值技巧特征值技巧是线性代数中一个重要的概念，它能够帮助我们简化矩阵运算和解决许多实际问题。
在这篇文章中，我将介绍特征值的定义、性质以及应用技巧，以帮助读者更好地理解和应用特征值。
特征值定义在矩阵代数中，特征值是指矩阵A的某个标量λ，满足以下条件：Ax = λx其中A是一个n*n矩阵，x是一个n维列向量。
特征值的存在与否取决于矩阵A的性质。
特征值的计算计算矩阵的特征值需要解特征方程Det(A-λI)=0，其中Det表示矩阵的行列式，I表示单位矩阵。
通过解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值。
举例来说，对于一个2*2的矩阵A，特征方程可以写成：Det(A-λI) = (a-λ)*(d-λ) - b*c = 0解这个二次方程可以得到两个特征值。
特征向量的计算特征向量是指满足特征方程的向量x。
我们可以根据特征值，通过解(A-λI)x=0来计算特征向量。
特征向量对应于特征值所定义的特征子空间。
特征值的性质特征值具有以下几个基本性质：1. 特征值的和等于矩阵的迹（tr(A)）。
迹是矩阵对角线上元素的和，代表了矩阵的主要特征。
特征值的和等于矩阵的迹，即λ1+λ2+...+λn = tr(A)。
2. 特征值的乘积等于矩阵的行列式（|A|）。
行列式是矩阵的一个重要性质，代表了矩阵的面积、体积或n维体积。
特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ1*λ2*...*λn = |A|。
3. 特征值的个数等于矩阵的秩（rank(A)）。
秩是矩阵的一个重要性质，代表了矩阵的线性相关性。
特征值的个数等于矩阵的秩，即矩阵A的秩为r，则矩阵A 有r个特征值。
特征值的应用技巧特征值在许多科学和工程领域中有着广泛的应用。
以下是一些特征值的应用技巧：1. 矩阵相似性变换特征值可以帮助我们进行矩阵的相似性变换。
如果两个矩阵A和B具有相同的特征值，则它们是相似的，可以通过相似性变换转化为对角矩阵。
2. 矩阵的对角化如果一个矩阵A具有n个线性无关的特征向量，则可以将矩阵A对角化为对角矩阵D，其中对角线上的元素是矩阵的特征值。
矩阵除法 特征值-概述说明以及解释
矩阵除法特征值-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以简要介绍矩阵除法和特征值的概念及其重要性。
以下是一个示例概述内容：【1.1 概述】矩阵除法是线性代数中的重要概念之一，它在解线性方程组、求逆矩阵等领域具有广泛的应用。
矩阵除法可以认为是将一个矩阵除以另一个矩阵，类似于实数除法中的除法操作。
然而，由于矩阵的特殊性质，矩阵除法的计算方法与实数除法略有不同。
与矩阵除法相关的一个重要概念是特征值。
特征值描述了矩阵在线性变换下的行为，它具有许多重要的数学和应用意义。
特征值的计算方法不仅可以帮助我们了解矩阵的性质，还可以在机器学习、图像处理、网络分析等领域中发挥重要作用。
本文将系统地介绍矩阵除法和特征值的定义、性质以及计算方法。
在正文部分中，我们将阐述矩阵除法的定义与性质，并介绍常用的计算方法。
接着，我们将深入探讨特征值的概念与性质，并介绍常见的特征值计算方法。
最后，我们将探讨矩阵除法与特征值的应用，并讨论它们在实际问题中的意义。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解矩阵除法与特征值的基本概念及其重要性，从而为进一步研究和应用矩阵与线性代数提供帮助。
1.2 文章结构文章结构是指文章的整体框架和分章节的安排。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括文章的概述、文章结构和目的。
在概述中，我们将简要介绍矩阵除法和特征值的概念，并强调它们在数学和工程领域的重要性。
然后，我们将介绍本文的结构，即引言、正文和结论三个部分的安排。
最后，我们将明确本文的目的，即通过对矩阵除法和特征值的深入探讨，揭示它们的定义、性质和计算方法，以及它们在实际应用中的意义和应用场景。
正文部分是本文的重点部分，将分为矩阵除法和特征值两个小节。
在矩阵除法小节中，我们将首先介绍矩阵除法的定义与性质，包括左除法和右除法的概念、逆矩阵的应用以及除法运算的基本规则。
接着，我们将详细介绍矩阵除法的计算方法，包括高斯消元法、LU分解法和广义逆矩阵法等。
矩阵特征值与特征向量的计算与应用
添加标题
矩阵特征值与特征向量的计算：Octave提供了计算矩阵特征值和特征向量的函数，如 `eig()`和`svd()`等，可以方便地进行矩阵分解和特征值计算。
添加标题
数值计算环境：Octave具有友好的用户界面和交互式命令行，支持脚本编写和函数封 装，方便用户进行数值计算和分析。
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应用领域：Octave广泛应用于科学计算、数据分析、控制系统等领域，尤其在处理大 规模矩阵运算和数值分析方面具有优势。
雅可比法
定义：雅可比法是一种求解矩阵特征值和特征向量的方法，通过迭代的方式逐步逼近矩阵的特 征向量。
适用范围：适用于实对称矩阵和非实对称矩阵。
计算步骤：通过迭代公式逐步计算特征向量，直到收敛。
优缺点：雅可比法具有简单易行、收敛速度快等优点，但需要选择合适的初始向量和迭代参数， 否则可能无法收敛或收敛到非特征向量。
矩阵特征值与特征向 量的计算与应用
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04
矩阵特征值与 特征向量的计 算方法
02
矩阵特征值与 特征向量的基 本概念
05
矩阵特征值与 特征向量的应 用实例
03
矩阵特征值与 特征向量的应 用场景
06
矩阵特征值与 特征向量的计 算工具与软件
01 添加章节标题
02
矩阵特征值与特征向量 的基本概念
特征值与特征向量的定义
特征值：矩阵A中与单 位向量相乘后得到一个 与原向量共线的向量
特征向量：矩阵A中与 特征值对应的向量
特征值与特征向量的性质
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们描述了矩阵对向量空间的作用。
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。
在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n维向量v和一个常数λ，使得下面的等式成立：Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的特征向量。
特征向量是非零向量，因为如果v为0向量，等式就无法成立。
另外，特征向量不唯一，如果v是A的特征向量，k是任意一个非零常数，那么kv也是A的特征向量。
但特征值是唯一的。
二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。
对于一个矩阵A，它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。
当一个向量v与矩阵A相乘时，向量v的方向可能会发生变化，而特征向量v就是那些方向不变的向量，仅仅发生了缩放，这个缩放的倍数就是特征值λ。
也就是说，特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向，并且只发生了缩放。
从物理角度理解，矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。
在某些情况下，如机械振动、电路等自然界现象中，系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。
而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述，正是因为它们具有特征值和特征向量。
三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。
特征方程的形式为det(A-λI)=0，其中det(A-λI)表示A-λI的行列式，I是单位矩阵。
求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。
接下来，针对每个特征值λi，都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。
需要注意的是，一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来，只有在某些情况下才可以求出。
例如，对于一个非方阵，就不存在特征值和特征向量。
另外，如果矩阵的特征值出现重复，那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定，可以使用广义特征向量来处理。
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵特征值是矩阵的一个重要的数学性质，它在很多领域都有着重要的应用，例如在机器学习、图像处理、物理学等领域中。
特征值能够帮助我们理解和描述矩阵的性质，因此对于特征值的性质的探讨是非常有意义的。
矩阵的特征值是通过矩阵的特征方程获得的。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，其形式为|A-λI|=0，其中A是一个n阶矩阵，λ是矩阵的特征值，I是单位矩阵。
从特征方程中获得的特征值可以帮助我们分析和理解矩阵的性质。
矩阵的特征值有以下几个重要的性质：1. 特征值的个数等于矩阵的阶数。
对于一个n阶矩阵来说，它有n个特征值，并且每个特征值都有其对应的特征向量。
2. 特征值与矩阵的迹和行列式有关。
矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，即λ1+λ2+...+λn=Tr(A)，其中Tr(A)表示矩阵的迹。
矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ1*λ2*...*λn=|A|，其中|A|表示矩阵的行列式。
3. 特征值的重复性和几何重数。
一个特征值可能对应多个特征向量，即特征值的几何重数可能大于1。
而特征方程的根个数与特征值的代数重数相等，即特征值的代数重数是特征方程的根的重数。
4. 特征向量与特征值的关系。
特征向量是与特征值对应的，即矩阵的特征值λ对应的特征向量是非零向量x，使得Ax=λx。
特征向量可以通过解特征方程得到，可以通过使用线性代数的方法进行计算。
矩阵特征值是矩阵的一个重要的数学性质，可以帮助我们理解和描述矩阵的性质。
特征值具有许多重要的性质，如特征值的个数等于矩阵的阶数、特征值与矩阵的迹和行列式的关系、特征值的重复性和几何重数等。
对于这些特征值的性质的探讨可以帮助我们更加深入地理解和应用特征值。
第五章矩阵特征值计算
第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似，计算矩阵特征值的算法也是迭代方法①.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵A=(a kj)∈ℂn×n，(1) 称φ(λ)=det(λI−A)=λn+c1λn−1+⋯+c n−1λ+c n为A的特征多项式(characteristic polynomial)；n次代数方程φ(λ)=0为A的特征方程(characteristic equation)，它的n个根：λ1,⋯,λn，被称为A的特征值（eigenvalue）. 此外，常用λ(A)表示A的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue).(2) 对于矩阵A的一个给定特征值λ，相应的齐次线性方程组(λI−A)x=0 , (5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即Ax=λx .(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的. 另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外，若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）. 定理3.3表明，实对称矩阵A∈ℝn×n的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵Λ和特征向量组成的正交阵Q，使得:A=QΛQ T.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为m1、m2、m3的物体，由三个弹性系数分别为k1,k2,k3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为y 1(t), y 2(t), y 3(t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程组②： My ′′(t)+Ky(t)=0 ,其中y (t )=[y 1(t)y 2(t)y 3(t)]T ,M =[m 1000m 2000m 3],K =[k 1+k 2−k 20−k 2k 2+k 3−k 30−k 3k 3] . 在一般情况下，这个系统会以自然频率ω做谐波振动，而y 的通解包含如下的分量： y j (t )=x j e iωt ,(j =1,2,3)其中i =√−1，根据它可求解出振动的频率ω及振幅x j . 由这个式子可得出：y j ′′(t )=−ω2x j e iωt ,(j =1,2,3)代入微分方程，可得代数方程:−ω2Mx +Kx =0,或Ax =λx ,其中A =M −1K ，λ=ω2. 通过求解矩阵A 的特征值便可求出这个弹簧－质点系统的自然频率（有多个）. 再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵A =[5−1−131−14−21]的特征值和特征向量.[解]: 矩阵A 的特征方程为：det (λI −A )=|λ−511−3λ−11−42λ−1|=(λ−3)(λ−2)2=0故A 的特征值为λ1=3，λ2=2（二重特征值）.当λ=λ1=3时，由(λI −A)x =0，得到方程[−211−321−422][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,1]T ，记为x 1，则x 1是λ1对应的一个特征向量.当λ=λ2=2时，由(λI −A)x =0，得到方程[−311−311−421][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,2]T ，记为x 2，则x 2是λ2对应的一个特② 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法.图5-1 弹簧－质点系统.征向量.下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质，它们可根据定义5.1，以及公式(5.2)加以证明.定理5.1：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) ∑λj n j=1=∑a jj n j=1=tr(A) ;(2) ∏λj n j=1=det(A) .这里tr(A)表示矩阵对角线上元素之和，称为矩阵的迹（trace ）.从上述结论(2)也可以看出，非奇异矩阵特征值均不为0, 而0一定是奇异矩阵的特征值. 定理5.2：矩阵转置不改变特征值，即λ(A )=λ(A T ).定理5.3：若矩阵A 为对角阵或上(下)三角阵，则其对角线元素即为矩阵的特征值.定理5.4：若矩阵A 为分块对角阵，或分块上(下)三角阵，例如A =[A 11A 12⋯A 1m A 22⋯A 2m ⋱⋮A mm] , 其中每个对角块A jj 均为方阵，则矩阵A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并，即λ(A )=⋃λ(A jj )m j=1.定理5.5：矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵A 和B 为相似矩阵，即存在非奇异矩阵X 使得B =X −1AX ，则(1) 矩阵A 和B 的特征值相等，即 λ(A )=λ(B ) ;(2) 若y 为B 的特征向量，则相应地，Xy 为A 的特征向量.通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵A 并不总是可对角化的(diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定理..定义5.2: 设矩阵A ∈ℝn×n 有m 个（m n ）不同的特征值λ̃1,⋯,λ̃m ，若λ̃j 是特征方程的n j 重根，则称n j 为λ̃j 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称λ̃j 的特征子空间(ℂn 的子空间)的维数为λ̃j 的几何重数(geometric multiplicity). 定理5.6：设矩阵A ∈ℝn×n 的m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则(1) ∑n j m j=1=n ，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀j ，n j ≥k j .(2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑k j m j=1个基(特征向量)放在一起，它们构成一组线性无关向量.(3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得n 个线性无关的特征向量，它们是全空间ℂn 的基.定义5.3：若矩阵A ∈ℝn×n 的某个代数重数为k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于k （即几何重数小于代数重数），则称A 为亏损阵（defective matrix ），否则称其为非亏损阵（nondefective matrix ）.定理5.7：设矩阵A ∈ℝn×n 可对角化，即存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得X −1AX =Λ,其中Λ∈ℂn×n 为对角阵, 的充要条件是A 为非亏损矩阵. 此时，Λ的对角线元素为矩阵A 的特征值，而矩阵X 的列向量为n 个线性无关的特征向量.定理5.7中方程的等价形式为A =XΛX −1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵，例如例5.2中的矩阵，它的特征值2的代数重数为2，而几何重数仅为1. 这种矩阵不能相似变换为对角阵，但存在下面的若当分解(Jordan decomposition).定理5.8：设矩阵A ∈ℝn×n , 存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得A =XJX −1,矩阵J 为形如[J 1⋱J p ]的分块对角阵（称为若当标准型），其中J k =[ λk 1λk ⋱⋱1λk ] 称为若当块，其对角线元素为矩阵A 的特征值. 设矩阵A 有m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则p =∑k j m j=1, λ̃j 对应于k j 个若当块, 其阶数之和等于n j .在若当分解中，如果所有若当块都是1阶的，则J 为对角阵，这种分解就是特征值分解，相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具，利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理.定理5.9：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) 矩阵cA, c 为常数, 的特征值为cλ1,cλ2,⋯,cλn .(2) 矩阵A +pI, p 为常数, 的特征值为λ1+p,λ2+p,⋯,λn +p.(3) 矩阵A k , k 为正整数, 的特征值为λ1k ,λ2k ,⋯,λn k .(4) 设p (t )为一多项式函数，则矩阵p (A )的特征值为p (λ1),p (λ2),⋯ ,p (λn ) .(5) 若A 为非奇异矩阵，则λj ≠0,(j =1,2,…,n), 且矩阵A −1的特征值为λ1−1,λ2−1,⋯,λn −1.5.1.2特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界，无论在理论上或实际应用上，都有重要意义. 比如，本书前面的内容曾涉及两个问题：(1). 计算矩阵的2-条件数：cond (A )2=√λmax (A T A)λmin (A T A) ;(2). 考察一阶定常迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 的收敛性、收敛速度：收敛的判据是谱半径ρ(B)=max 1≤j≤n |λj (B)|<1 ; 收敛速度为R =−log 10ρ(B) .其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解.上一章的定理4.4说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数，即ρ(A )≤‖A ‖ ,这是关于特征值的上界的一个重要结论.下面先给出定义5.4，再介绍有关特征值的界的另一个重要结论.定义5.4：设A =(a kj )∈ℂn×n ，记r k =∑|a kj |n j=1j≠k ,(k =1,⋯,n)，则集合D k ={z||z −a kk |≤r k ,z ∈ℂ},(k =1,⋯,n)在复平面为以a kk 为圆心、r k 为半径的圆盘，称为A 的Gerschgorin （格什戈林）圆盘.图5-2显示了一个3⨯3复矩阵的格什戈林圆盘.定理5.10 (圆盘定理)：设A =(a kj )∈ℂn×n ，则：(1) A 的每一个特征值必属于A 的格什戈林圆盘之中，即对任一特征值λ必定存在k,1≤k ≤n ，使得：|λ−a kk |≤∑|a kj |nj=1j≠k .(5.4)图5-2 复坐标平面，以及3⨯3矩阵A 的格什戈林圆盘.用集合的关系来说明，这意味着λ(A)⊆⋃D k n k=1.(2) 若A 的格什戈林圆盘中有m 个组成一连通并集S ，且S 与余下的n −m 个圆盘分离，则S内恰好包含A 的m 个特征值（重特征值按重数计）.对图5-2所示的例子，定理5.10的第(2)个结论的含义是：D 1中只包含一个特征值，而另外两个特征值在D 2,D 3的并集中. 下面对定理5.10的结论(1)进行证明，结论(2)的证明超出了本书的范围.[证明]: 设λ为A 的任一特征值，则有Ax =λx ，x 为非零向量. 设x 中第k 个分量最大，即|x k |=max 1≤j≤n|x j |>0 , 考虑方程(5.2)中第k 个方程：∑a kj x j nj=1=λx k , 将其中与x k 有关的项移到等号左边，其余到右边，再两边取模得：|λ−a kk ||x k |=|∑a kj x j n j=1j≠k |≤∑|a kj ||x j |n j=1j≠k ≤|x k |∑|a kj |nj=1j≠k .(5.5)最后一个不等式的推导利用了“x 中第k 个分量最大”的假设. 将不等式(5.5)除以|x k |，即得到(5.4)式，因此证明了定理 5.10的结论(1). 上述证明过程还说明，若某个特征向量的第k 个分量的模最大，则相应的特征值必定属于第k 个圆盘中.根据定理5.2，还可以按照矩阵的每一列元素定义n 个圆盘，对于它们定理5.10仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论，其证明留给感兴趣的读者.定理5.11：设A ∈ℝn×n ，且A 的对角元均大于0，则(1) 若A 严格对角占优，则A 的特征值的实部都大于0.(2) 若A 为对角占优的对称矩阵，则A 一定是对称半正定矩阵，若同时A 非奇异，则A 为对称正定矩阵.例5.3 (圆盘定理的应用)：试估计矩阵A =[41010−111−4]的特征值范围.[解]: 直接应用圆盘定理，该矩阵的三个圆盘如下:D 1: |λ−4|≤1, D 2: |λ|≤2, D 3: |λ+4|≤2.D 1与其他圆盘分离，则它仅含一个特征值，且必定为实数（若为虚数则其共轭也是特征值，这与D 1仅含一个特征值矛盾）. 所以对矩阵特征值的范围的估计是：3≤λ1≤5,λ2,λ3∈D 2∪D 3 .再对矩阵A T 应用圆盘定理，则可以进一步优化上述结果. 矩阵A T 对应的三个圆盘为： D ’1: |λ−4|≤2, D ’2: |λ|≤2, D ’3: |λ+4|≤1.这说明D ’3中存在一个特征值，且为实数，它属于区间[-5, -3]，经过综合分析可知三个特征值均为实数，它们的范围是：λ1∈[3,5],λ2∈[−2,2],λ3∈[−5,−3].事实上，使用Matlab 的eig 命令可求出矩阵A 的特征值为：4.2030, -0.4429, -3.7601.根据定理5.5，还可以对矩阵A 做简单的相似变换，例如取X 为对角阵，然后再应用圆盘定理估计特征值的范围.例5.4 (特征值范围的估计)：选取适当的矩阵X ，应用定理5.5和5.10估计例5.3中矩阵的特征值范围.[解]: 取X−1=[100010000.9] , 则A 1=X −1AX =[41010−109⁄0.90.9−4]的特征值与A 的相同. 对A 1应用圆盘定理，得到三个分离的圆盘，它们分别包含一个实特征值，由此得到特征值的范围估计：λ1∈[3,5],λ2∈[−199,199],λ3∈[−5.8,−2.2]. 此外，还可进一步估计ρ(A)的范围，即3≤ρ(A)≤5.8 .上述例子表明，综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质（如定理5.2, 定理5.5），可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子，可适当设置相似变换矩阵，尽可能让圆盘相互分离，从而提高估计的有效性.5.2幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法、反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术.5.2.1幂法定义5.5：在矩阵A 的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，也叫“第一特征值”，它对应的特征向量称为主特征向量.应注意的是，主特征值有可能不唯一，因为模相同的复数可以有很多. 例如模为5的特征值可能是5,−5,3+4i,3−4i , 等等. 另外，请注意谱半径和主特征值的区别.如果矩阵A 有唯一的主特征值，则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵，这个唯一的主特征值显然是实数，但不排除它是重特征值的情况. 幂法(power iteration)的计算过程是，首先任取一非零向量v 0∈ℝn ，再进行迭代计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯)得到向量序列{v k }，根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明.定理5.12: 设A ∈ℝn×n ，其主特征值唯一，记为λ1，且λ1的几何重数等于代数重数，则对于非零向量v 0∈ℝn ，v 0不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式进行计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯),存在如下极限等式：lim k→∞v k λ1k =x 1 , (5.6) lim k→∞(v k+1)j (v k )j =λ1 , (5.7)其中x 1为主特征向量，(v k )j 表示向量v k 的第j 个分量(k =1,2,⋯).[证明]: 为了推导简便，不妨设主特征值λ1不是重特征值，并且假设矩阵A 为非亏损矩阵. 设A 的n 个特征值按模从大到小排列为: |λ1|>|λ2|≥⋯≥|λn |，它们对应于一组线性无关的单位特征向量x ̂1,⋯,x ̂n . 向量v 0可写成这些特征向量的线性组合：v 0=α1x̂1+⋯+αn x ̂n 根据已知条件，α1≠0，则v k =Av k−1=A k v 0=α1λ1k x ̂1+α2λ2k x̂2+⋯+αn λn k x ̂n =λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)kx ̂j n j=2] =λ1k (α1x̂1+εk ) 其中εk =∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2. 由于|λj λ1|<1,(j =2,…,n), 则 lim k→∞εk =0 ⟹lim k→∞v kλ1k =α1x̂1 . 由于特征向量放大、缩小任意倍数后仍是特征向量，设x 1=α1x̂1，则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明，随k 的增大， v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量.设j 为1到n 之间的整数，且(v k )j ≠0，则(v k+1)j (v k )j =λ1(α1x ̂1+εk+1)j (α1x̂1+εk )j 由于lim k→∞εk =0，随k 的增大上式等号右边趋于一个常数: λ1. 这就证明了定理的结论.若矩阵A 为亏损矩阵，可利用矩阵的若当分解证明这个定理，这里略去. 在这种情况下，“主特征值的几何重数等于代数重数”这一条件很重要，例如，若A =[310030001] ,它的主特征值为3，但其几何重数为1，不满足条件. 对这个矩阵A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值.关于定理5.12，再说明几点：● 当主特征值λ1为重特征值时，应要求其几何重数等于代数重数，此时特征子空间维数大于1，向量序列{v k λ1k ⁄}的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量.● 公式(5.7)式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时，可任意取j 的值，只需保证比值的分母不为零.● 证明中假设了α1≠0，在实际应用中往往随机选取v 0，由于存在舍入误差，它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下，若初始向量v 0恰好与主特征向量都正交，那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果？直接使用幂法，还存在如下两方面问题：(1) 溢出：由于v k ≈λ1k x 1，则|λ1|>1时，实际计算v k 会出现上溢出（当k 很大时）；|λ1|<1时，实际计算v k 会出现下溢出（当k 很大时）.(2) 可能收敛速度很慢. 由于εk =∑αj (λj λ1)kx j n j=2， εk →0的速度取决于求和式中衰减最慢的因子|λ2λ1|，当|λ2λ1|≈1时，收敛很慢. 由此导致v k →λ1k α1x 1, (v k+1)j (v k )j →λ1的收敛速度都将很慢，严重影响计算的效率.下面采用规格化向量的技术防止溢出，导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论，见下一小节.定义 5.6：记max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v ∈ℝn 的绝对值最大的分量， max ̅̅̅̅̅̅(v )=v j ，其中j 满足|v j |=max 1≤k≤n |v k |, 若j 的值不唯一，则取最小的那个. 并且，称u =v/max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v 的规格化向量(normalized vector).例5.5（规格化向量）：设v =[3,−5,0]T ，max ̅̅̅̅̅̅(v )=−5，对应的规格化向量为u =[−35,1,0]T .根据定义5.6，容易得出规格化向量的两条性质.定理5.13: 定义5.6中的规格化向量满足如下两条性质：(1) 若u 为规格化向量，则‖u ‖ =1，并且max ̅̅̅̅̅̅(u )=1.(2) 设向量v 1和v 2的规格化向量分别为u 1和u 2，若v 1=αv 2, 实数α≠0，则u 1= u 2.在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步，v 1=Av 0，此时计算v 1的规格化向量u 1=v 1max ̅̅̅̅̅̅(v 1)=Av 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0). 然后使用规格化向量计算v 2:v 2=Au 1=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0), (5.8) 再进行向量规划化操作，u 2=v 2max ̅̅̅̅̅̅(v 2)=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(A 2v 0). (5.9) 公式(5.9)的推导，利用了(5.8)式和定理5.13的结论(2). 依次类推，我们得到： { v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0) u k =v k max ̅̅̅̅̅̅(v k )=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0) , k =1,2,⋯. (5.10) 根据定理5.12的证明过程， A k v 0=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2] ⟹u k =A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0)=α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2)k→∞→ x 1max ̅̅̅̅̅̅(x 1) , 即u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理，v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0)=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2]max ̅̅̅̅̅̅(λ1k−1[α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x̂j n j=2]) =λ1α1x ̂1+∑αj(λj λ1)kx ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x ̂j n j=2) 因此，根据定理5.13的结论(1)有：lim k→∞v k=λ1x1max̅̅̅̅̅̅(x1)⟹limk→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1.基于上述推导，我们得到如下定理，以及如算法5.1描述的实用幂法.定理5.14: 设A∈ℝn×n，其主特征值唯一（且几何重数等于代数重数），记为λ1，取任意非零初始向量v0=u0，它不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式(5.10)进行计算，则lim k→∞u k=x1max̅̅̅̅̅̅(x1),(5.11)lim k→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1 ,(5.12)其中x1为主特征向量.算法5.1：计算主特征值λ1和主特征向量x1的实用幂法输入：v,A; 输出：x1,λ1.u:=v;While不满足判停准则dov:=Au;λ1:=max̅̅̅̅̅̅(v); {主特征值近似值}u:=v/λ1; {规格化}Endx1:=u. {规格化的主特征向量}在算法5.1中，可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法，若A为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列{v k},{u k}不溢出，并且向量v k的最大分量的极限就是主特征值.最后，针对幂法的适用范围再说明两点：(1). 若实矩阵A对称半正定或对称半负定，则其主特征值必唯一（而且是非亏损阵）. 有时也可以估计特征值的分布范围，从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件，才能保证幂法的收敛性.(2). 对一般的矩阵，幂法的迭代过程有可能不收敛，此时序列{u k}有可能包括多个收敛于不同向量的子序列，它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是，一旦幂法的迭代过程收敛，向量序列的收敛值就一定是特征向量，并可求出相应的特征值.例5.6 (实用的幂法)：用实用的幂法求如下矩阵的主特征值：A=[3113] ,[解]: 取初始向量为v0=u0=[01]T . 按算法5.1的迭代过程，计算结果列于表5-1中.表5-1 实用幂法的迭代计算过程从结果可以看出，在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过9步迭代，特征值max ̅̅̅̅̅̅(v k )已非常接近主特征值的准确值4，特征向量也非常接近[1 1]T .5.2.2加速收敛的方法 加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种：原点位移技术和瑞利商（Rayleigh quotient ）加速. 下面做些简略的介绍.一. 原点位移技术原点位移技术，也叫原点平移技术，它利用定理5.9的结论(2)，即矩阵A −pI 的特征值为A 的特征值减去p 的结果. 对矩阵B =A −pI 应用幂法有可能得到矩阵A 的某个特征值λj 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果，首先要求λj −p 是B 的主特征值，其次还要使幂法尽快收敛，即比例|λ2(B)λj −p |要尽量小，这里的λ2(B)表示矩阵B 的（按模）第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的p 值，矩阵A,B 可同时取到主特征值. 图5-3显示了这样一个例子，矩阵A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上，λ1为其主特征值. 按图中所示选取的p 值，将使得λ1−p 是矩阵B =A −pI 的主特征值，并且显然有|λ2(B)λ1−p |<|λ2(A)λ1| . 此时用幂法计算B 的主特征值能更快地收敛，进而得到矩阵的A 的主特征值. 图5-3也解释了原点位移法名字的由来，即将原点（或虚数坐标轴）移到p 的位置上，原始矩阵A 的特征值分布变成了矩阵B 的特征值分布.采用原点位移技术后，执行幂法仅带来很少的额外运算，而且仍然能利用矩阵A 的稀疏性. 它的关键问题是，如何选择合适的参数p 以达到较好的效果？这依赖于具体矩阵的情况，以及对其特征值分布的了解. 在后面，我们还会看到原点位移技术的其他用途.二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义，以及它与特征值的关系，然后介绍瑞利商加速技术.定义5.7：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，对任一非零向量x ≠0，称R (x )=〈Ax,x 〉〈x,x 〉为对应于向量x 的瑞利商（Rayleigh quotient ）. 这里符号〈,〉代表向量内积.定理5.15：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，其n 个特征值依次为：λ1≥λ2≥⋯≥ λn ，则矩阵A 有关的瑞利商的上下确界分别为λ1和λn . 即∀x ≠0,λn ≤R (x )≤λ1,且当x 为λ1对应的特征向量时R (x )=λ1，当x 为λn 对应的特征向量时R (x )=λn .[证明]: 根据实对称矩阵的特点，即可正交对角化（定理3.3），设特征值λ1,λ2,⋯,λn 对应的单位特征向量为x 1,x 2,⋯,x n ，设x =∑αj x j n j=1，则〈x,x 〉=〈∑αj x j n j=1,∑αj x j n j=1〉=∑αj 2n j=1，而图5-3 原点位移技术示意图.。
矩阵特征值与特征向量的计算与应用
矩阵特征值与特征向量的计算与应用矩阵特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值与特征向量的计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们了解矩阵的特征值与特征向量的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得下面的等式成立：Ax = λx其中，λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的重要性在于它们能够揭示矩阵A的重要性质与特征。
接下来，我们将讨论矩阵特征值与特征向量的计算方法。
一种常用的计算方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值和特征向量。
特征方程的形式为：|A - λI| = 0式中，A是一个n阶方阵，λ是待求解的特征值，I是n阶单位矩阵。
解特征方程可得到特征值的集合。
然后，我们将每个特征值带入到原方程中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
除了求解特征方程的方法外，还有其他相应的计算方法可用于求解矩阵特征值与特征向量。
例如，幂迭代法和QR算法等方法也常用于计算矩阵特征值与特征向量。
矩阵特征值与特征向量的应用十分广泛。
在物理学中，特征值和特征向量常被用于描述量子力学中的态函数和能量。
在机器学习中，特征值与特征向量可以用于降维算法，如主成分分析（PCA），通过选择最大的特征值对应的特征向量，可以将高维数据降至较低维度，保留其关键信息。
此外，在图像处理领域，特征值与特征向量可用于图像压缩算法。
通过选择图像的关键特征向量，可以将图像表示为更紧凑的形式，降低图像存储和传输的开销。
在工程领域中，特征值与特征向量也经常被用于结构振动分析。
通过求解结构系统的特征方程，可以确定系统的固有频率和模态形态，为设计和改进结构提供重要依据。
总的来说，矩阵特征值与特征向量在数学和科学领域中扮演着重要的角色。
通过计算特征值与特征向量，我们可以揭示矩阵的重要特征和性质，并将它们应用于各个领域的实际问题解决中。
在未来，我们可以预见矩阵特征值与特征向量的计算与应用将继续发挥重要作用，并在更多的领域带来新的突破与创新。
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是一个重要的概念，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
特征值可以提供关于矩阵的重要信息，例如矩阵的稳定性、特征向量的方向等。
在本文中，我们将探讨一些与矩阵特征值有关的性质。
1. 特征值的定义和求解：矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的标量λ，其中v是一个非零向量。
特征值可以通过求解特征方程|A-λI|=0来求得，其中I是单位矩阵。
2. 特征值的性质：矩阵的特征值具有以下性质：a. 矩阵的每个特征值的数量等于矩阵的阶数。
b. 矩阵的特征值之和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）。
c. 矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
d. 特征值的倒数仍然是矩阵的特征值。
e. 矩阵的特征向量的线性组合仍然是矩阵的特征向量。
3. 特征值与矩阵的对角化：如果一个矩阵有n个线性无关的特征向量，那么这个矩阵可以被对角化，即可以通过一个相似变换变成对角矩阵。
对角化后的矩阵可以更容易地计算乘幂、逆矩阵等。
4. 特征值与矩阵的迹和行列式的关系：根据特征值的性质，特征值的和等于矩阵的迹，特征值的积等于矩阵的行列式。
这一关系可以简化计算，特别是对于高阶矩阵。
5. 特征值与矩阵的稳定性：对于一个线性系统，其稳定性取决于矩阵的特征值的实部是否都小于等于零。
如果特征值的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在特征值的实部大于零，则系统是不稳定的。
6. 特征值与矩阵的奇异值的关系：对于一个实对称矩阵，其特征值是其奇异值的平方；对于一个具有正定特性的实对称矩阵，其特征值是其奇异值。
矩阵的特征值是矩阵的重要性质之一，可以提供关于矩阵的稳定性、对角化以及乘幂、逆矩阵等计算的信息。
特征值与矩阵的迹、行列式、稳定性等有一定的关联性，通过研究特征值的性质，可以更深入地了解矩阵的结构和性质。
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质和应用，包括如何求解特征值和特征向量、它们代表什么、它们的几何意义与应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量是矩阵A与具有相同列数的列向量x 相乘后，得到的仍是x的常数倍的非零列向量x所对应的特征值及其对应特征向量。
数学上，若矩阵A在向量x作用下相当于在x方向上只进行了伸缩，即Ax=λx；（式1）其中，λ表示特征值，x表示特征向量。
在式1中，右边的量可以看作把x向量伸缩λ倍，故特征向量x在矩阵作用下只是尺度改变，即特征向量具有确定的方向。
而特征值λ则表示向这个方向的伸缩倍数。
矩阵A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，并对应于n个线性无关的特征向量x1，x2，…，xn。
这n个特征向量可以构成向量空间，且这个向量空间是矩阵A的不变子空间，称为A的特征空间。
二、矩阵的特征值和特征向量的求解对于一个n阶方阵A，要求它的特征值和特征向量，可以通过以下步骤：（1）解出特征方程将矩阵A与单位向量x相乘，得到Ax = λx移项得到(A-λE)x = 0其中，E为n阶单位矩阵，0为列全为0的列向量。
在矩阵A减去λE之后，可以用高斯消元法求出矩阵(A-λE)的秩rank，进而解出λ的值。
由于(A-λE)是一个n阶矩阵，因此可以求得n个特征值。
（2）求解特征向量对于每个特征值λi，构造矩阵(A-λiE)，对于矩阵(A-λiE)，对其进行高斯消元，得到对应的行阶梯形矩阵，这个矩阵的主元位置对应了基础解系的数量。
找出自由未知量，求解出特征向量x。
三、矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域得到了广泛的应用，例如：线性代数、物理学、机器学习、图像处理、信号处理等等。
1. 线性代数特征值和特征向量在线性代数中被广泛应用。
在矩阵论中，矩阵的对角化涉及到特征向量和特征值。
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矩阵特征值的运算性质及推广摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。
由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。
将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用.关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui haiyang(Institute of Computer Science, Math)Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion.Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1引言矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工程计算的核心，已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.计算机科学和工程问题很多都可以转化成矩阵的运算与求解，特别是计算机普及应用为矩阵论的应用开辟了广泛的前景.随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数的知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具.半个多世纪以来，计算机已广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，使得矩阵理论的重要性越来越显著，这是因为用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，便于进行研究，而且更具有适合计算机处理的特点，电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
矩阵理论在各学科领域有广泛的应用，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用.目前在高等院校，矩阵论（或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等）已经列为工科研究生的必修课程.但是对本科学生来说，一般只作为选修课程（也有为数不多的院校把它列为必修课），学生学到的矩阵理论知识与方法非常有限，无法适应现代科学技术的飞速发展.本课题引入几种在矩阵的理论和计算方法中有重要应用的特殊的矩阵乘法运算，深入讨论矩阵特征值的研究意义，以及矩阵特征值的应用.2. 矩阵特征值的性质与应用2.1 矩阵特征值的性质设A 是n 阶方阵,如数λ与n 维非零列向量x 使关系式x Ax λ=成立,则称数λ为方阵A 的特征值,x 称为A 的对应于λ的特征向量；()A E f -=λλ称为特征多项式，()0=-=A E f λλ称为特征方程[5]. 性质1[6] 设A 为n 阶方阵,n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值,则n A λλλ 21⋅=.性质2[6] 方阵A 可逆⇔A 的n 个特征值都不为零.性质3[6] 设λ为方阵A 的特征值，()A ϕ为A 的多项式,则()λϕ为()A ϕ的特征值.性质4[6] λ不为方阵A 的特征值0≠-⇔E A λ.性质5[6] (凯莱—哈密顿定理)设n 阶方阵A 的特征多项式为()n n n n a a a f ++++=--λλλλ111 ,则()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n .性质6[6] 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n λλλ,,,21 ,且n p p p ,,,21 为对应的n 个线性无关的特征向量,记()n p p p P 21=,则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-n AP P λλλ 211 性质7[6] 设A 为n 阶实对称阵, n λλλ,,,21 是它的n 个特征值,则(1)当且仅当n λλλ,,,21 都大于零时, A 正定;(2)当且仅当n λλλ,,,21 都小于零时, A 负定;(3)当且仅当n λλλ,,,21 都非负,但至少一个等于零时, A 是半正定;(4)当且仅当n λλλ,,,21 都非正,但至少一个等于零时, A 是半负定;(5)当且仅当n λλλ,,,21 中既有正数,有又负数时, A 是不定的.2. 2 矩阵特征值的应用2. 2. 1 求方阵A 的行列式A 以及A 的多项式()A ϕ的行列式()A ϕ[7]. 例1 已知三阶矩阵A 的特征值为1,-1,2,设()235A A A -=ϕ,求： ①A ；②()A ϕ；③E A 5-.解: ①由性质1可得()2211-=⨯-⨯=A ；②因()235A A A -=ϕ,由性质3可知()A ϕ的特征值为()41-=ϕ, ()61-=-ϕ, ()122-=ϕ.故()()()()288211-=⋅-⋅=ϕϕϕϕA .③A 的特征多项式为()()()()211-+-=-=λλλλλA E f ,令5=λ,得()()()()7225151555=-+-=-=A E f ， 故：()725153-=--=-A E E A . 例2 设2=λ是A 的特征值, ()E A A A 232+-=ϕ,求()A ϕ. 解: 因2=λ是A 的特征值,既有02=-E A ,故()()()022232=-⋅-=--=+-=E A E A E A E A E A A A ϕ.2. 2. 2 判断方阵A 及KE A -的可逆性[7].例 3 设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=284014013A ,问当k 为何值时，kE A -可逆.解：因()()21228401413)(-+=+-+--=-=λλλλλλλA E f , 故21-=λ,132==λλ为A 的三个特征值,由性质4可知,当2,1-≠k 时,kE A -可逆.例 4 设矩阵A 满足E A =2,证明A E -3可逆.证明：设x Ax λ=,则x x A 22λ=,因E A =2,即有x x 2λ=,即 ()012=-x λ,而0≠x ,只有012=-λ,于是1±=λ,可知3不是A 的特征值,所以03≠-A E ,即A E -3可逆.2. 2. 3 求方阵A ,A 的逆阵1-A 及A 的k 次幂[7].例 5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,求①3A ;②1-A ;③5A . 解： ①()12101102013+-=--+--=-=λλλλλλλA E f , 由性质5有()023=+-=E A A A f ,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=12023040123E A A ②由()10=f ,可知0不是A 的特征值,由性质2知A 可逆.而2112111332222A E A A E A A E A A A A E A A -=⇒-=⇒⋅-⋅=⋅⇒-=-----,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1101002211A③E A A A E A A A A A E A A 24)2(2222252353-+-=--=⇒-=⇒-=,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3505806215A 注：用此法可将)3(>k A k 都化作A 的次数小于等于3的多项式,从而简化k A 的计算.例 6 设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ;对应的特征向量依次为()()'--='-='=2,1,2,)1,2,2(,2,2,1321p p p .求k A (k 为大于1的整数).解: 因321,,p p p 线性无关,记()321,,p p p P =,由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∧=-1000000011AP P 所以()111111,------∧=∧∧⋅∧=∧=∧=P P P P P P P P P P A P P A k k k故 ()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------+-+-+---+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=k k k k k k k k k k k A 14412414214141221421221419121212222191100000001212122221于是当k 为偶数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=82225424591k A ；k 为奇数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022********k A 注：此法当A 可以对角化时才可使用.例 7 设3阶实对称阵A 的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为()'=1,1,11p ,求A .解：设对应于3的特征向量为()'=321,,x x x x ,因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有01='p x ,即x 的分量满足0321=++x x x .又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然0321=++x x x 的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.由0321=++x x x 得它的一个基础解系为()()'-='-=1,0,1,0,1,121p p .令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==101011111321p p p P ，由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-3000300061AP P . 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-4111411141P P A .2. 2. 4 求方阵A 的多项式()A ϕ[7].例 8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,计算()E A A A A A 4322458-++-=ϕ. 解：()123+-=-=λλλλA E f ，而()()()10372443222458+-+⋅=-++-λλλλλλλλq f ， 显然)103724()()(43222458E A A A q A f E A A A A +-+⋅=-++-. 由性质5可知0)(=A f ，所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-=3461061950264831037242E A A A ϕ. 2. 2. 5 判断实对称阵的正定性例 9 设n 阶实对称阵A 正定,则存在矩阵B ,使A B =2,且B 也是正定矩阵.证明: 因A 为实对称阵,故存在正交矩阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-n AP P λλ 111， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值.因A 正定，故有()n i i ,,2,10 =>λ.于是11111111111-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=p P P P p P p P P P A n n n n n λλλλλλλλλλ。