02-09 热应力计算
热应力计算公式
热应力的计算公式可以通过热应力理论和弹性力学给出。
根据不同的情境和需要，热应力的计算公式有多种形式。
在材料力学的热应力计算中，热应力等于弹性模量乘以应变，而应变等于变形量除以原值。
热变形量则等于原值乘以热胀系数再乘以温差。
综合这些因素，可以得到热应力产生的推力等于截面积乘以弹性模量乘以热胀系数和温差。
这个公式可以表示为：σ= α × ΔT × E，其中σ是热应力，α是线膨胀系数，ΔT是温度变化，E是杨氏模量。
另一种热应力计算公式则考虑了泊松比的影响，公式为：σ_{th} = E(1 - v)(β_A - β_g)ΔT，其中E为杨氏模量，v为泊松比，β_A和β_g分别为陶瓷和玻璃的热膨胀系数，ΔT为温度变化范围。
请注意，以上公式中的单位需要统一。
例如，热应力可以有不同的单位，其中最常用的单位是MPa（兆帕），有时也会使用ksi（千克力/平方英寸）或其他单位。
线膨胀系数通常以℃为单位，杨氏模量以GPa（吉帕）为单位。
在实际应用中，需要根据具体的材料和工况选择合适的公式进行计算，并注意单位换算和参数取值。
同时，为了得到更准确的结果，还可以考虑使用有限元分析等数值方法进行热应力计算。
热应力单位
热应力单位热应力单位（ThermalStressUnit，TSU）是决定物体对热激励的反应能力的物理量。
它是物体的体积中的热量的浓度，采用千分之一百分率表示，即热应力单位（TSU）= 1000/100 = 10 Volts/Kelvin （V/K）。
热应力单位（TSU）是一种非常重要的物理量，广泛应用于工业设备、环境实验室和工作场所。
它主要用于高温和低温环境下物体的特性测试，如计算物体的导热性能，对比物体的热应力行为等。
例如，在航空发动机中，用于测定各种金属材料的温度耐受性。
热应力单位的定义是指：“1000瓦特/开摄氏度”，即每千瓦特的电功率产生的热量，与每开摄氏度的温度变化量相比较，从而表示出一个单位热应力行为。
所以，热应力单位（TSU）就是千分之一百分率。
热应力单位（TSU）也可以被称为热容量单位（Thermal Capacity Unit），它也可以用于测定热容量的大小，以及物体在不同温度下的热容量变化。
它还可以被用于评估物体在不同温度环境下的热膨胀行为，预测物体在高温和低温环境下可能发生的变形情况。
在应力、外力和温度这三个控制变量相结合的情况下，热应力单位（TSU）也可以用于测定不同材料的塑性变形行为。
此外，它还可以应用于工程设计，如制定满足指定塑性变形度要求的材料应用技术。
热应力单位（TSU）是工程力学中最重要的量。
它被以千分之一的百分率表示，可以用于测量物体的导热性能、对比物体的热应力行为，以及比较不同材料的塑性变形行为。
同时，它还可以应用于工程设计，有助于确定所需要的材料应用技术。
它能够提供重要的信息，可以为工程实际应用提供基础。
总之，热应力单位（TSU）是以千分之一百分率表示的物理量，它对于对热激励的反应能力具有重要的意义。
它被广泛应用于工业设备、环境实验室和工作场所，可以用于测定物体的导热性能、对比物体的热应力行为，以及应用于工程设计，确定所需要的材料应用技术，进而更好地完成工程实际应用。
管道的热应力计算
6、4、4波纹补偿器
横向型补偿器可吸收横向(径向)位移,主要有大 拉杆横向型、铰链横向型与万向铰链型
角向型可吸收角向位移,主要有单向角向型与 万向角向型
另外:单侧与双侧补偿;压力平衡型与压力不平 衡型;矩形与圆形
图6-7 轴向波纹补偿器使用情况 1-固定支架;2-波纹补偿器
轴向
6、4、4波纹补偿器
算方型补偿器得弹性力,确定对固定支架产生 得水平推力得大小; ⑷对方型补偿器进行应力验算。
6、4、1方型补偿器
6、4、1、1减刚系数:弯管刚度降低得系数
K h 1.65
弯管尺 寸系数
(当h≤1)
h
R
rp2
K 1 12h2 (当h＞ 1) 10 12h2
rp
Dw
2
6、4、1、2方型补偿器值得确定方法
⑴额定许用应力 。它取决于管材得强度特性,它 就是应力验算中最基本得一个许用应力值。常用钢 管额定许用应力见表6-2
⑵许用外载综合应力 w 。在热力管道强度计算中, 如只考虑外部荷载引起得综合应力,则不应大于规 定得许用外载综合应力值 。w
w 0.87
1.2
zs
2
zs
PDw s C 2s C
主要包括得应力有:
– ⑴由于管道内得流体压力(简称内压力)作用所产生 得应力;
– ⑵管道在外部荷载作用下所产生得应力。 – ⑶供热管道由于热胀与冷缩所产生得应力。
应力验算:计算供热管道在各种负荷得作用下所产生
得应力,校核其就是否超过管材得许用应力
许用应力分类:
许用应力分为:额定许用应力 [;外] 载许用综合应 力 ;许w 用合成应力 与许h 用补偿弯曲应力 等。 bw
管道的热应力计算
热应力公式__概述说明以及解释
热应力公式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述热应力是指由于物体受热或受冷引起的内部应力。
在工程领域中，热应力公式是一种用来计算和预测材料在温度变化下所产生应力的重要工具。
通过了解热应力公式及其推导过程，我们能够更好地理解材料的热膨胀性质以及温度变化对材料结构的影响。
1.2 文章结构本文将包括以下几个部分：引言、热应力公式的基本概念、热应力公式推导过程、热应力公式在实际工程中的应用案例分析以及结论与展望。
1.3 目的本文旨在通过对热应力公式进行概述说明以及解释，从而使读者能够全面了解和掌握该公式的基本概念和原理。
同时，通过实际工程案例分析，展示热应力公式在解决工程问题和设计优化中的实用价值。
最后，在文章的结论与展望部分，我们将总结文章主要内容和观点，并提出对热应力公式优化改进以及未来研究方向2. 热应力公式的基本概念2.1 热应力的定义热应力是指物体在温度变化时由于受到内外部约束而产生的应力。
当物体受热或冷却时，其尺寸会发生变化，而如果受到限制，则会产生内部应力，这就是热应力。
2.2 热应力与温度变化的关系热应力与温度变化呈正比例关系，即当温度升高时，热应力也增加；当温度下降时，热应力减小。
这是因为物体在受到热胀冷缩作用时，其分子之间的相互作用力也会随之改变，进而引起内部应力的变化。
2.3 热应力公式的重要性热应力公式是计算和预测材料在温度变化条件下可能产生的应力的重要工具。
通过建立数学模型和进行实验验证，在工程设计中可以使用热应力公式来评估材料的耐温性能、了解结构件在不同温度下可能出现的变形和损坏情况，并制定相应的措施进行优化设计。
需要注意的是，在实际工程中，热应力公式的应用可能需要考虑多种因素，如材料的线性膨胀系数、应变与弹性模量之间的关系以及不同应力状态下公式的适用3. 热应力公式推导过程:3.1 材料的线性膨胀系数与热应变之间的关系在材料受到温度变化时，其尺寸也会相应地发生变化，这种现象称为热膨胀。
2.2 热应力计算
e
对于三角形常应变单元：
{δ ′}
e
= [u1 u3
v1 v3 ]
T
1 xi [ A′] = 1 x j 1 xm
yi yj ym
124
[ A′]
e
−1
ai 1 = bi 2∆ ci
aj bj cj
am bm cm
二维或三维连续体离散为有限个单元的集合体， 要求单元具有简单而规则的几何形状以便于计算。 常用的二维单元有三角形或矩形，常用的三维单元有四面体(三角锥)、五面体或平行六面体。同样 形状的单元还可有不同的单元结点数，如二维三角单元除 3 结点外还可有 6 结点、10 结点的三角形 单元，因此单元种类繁多。图 2．8 中例举了一些二、三维问题中常用的单元形式。如何选择合适的 单元进行计算，涉及到求解问题的类型、对计算精度的要求以及经济性等多方面的因素。这一节要 讨论的是对于众多的单元建立有限元方程的一般格式。
e e
N2 Nn ]
{u} = [ N ]{δ }
对于三角形常应变单元：
e
且
[N ] = [ N1 ] [ N 2 ]
−1
[ N n ]
= [ N ′]
= [φ ]1×3 [ A′] 3×3 [ N1
N2
N3
]
N = i
1 ( ai + bi x + ci y ) 2∆
[ N ′] = 0i
T e e e e
{P }
σ0
e
= − ∫ [ B ] {σ 0 }dV Pε 0
T Ve
{ }= ∫ [ B ] [ D ]{ε }dV
e T 0 Ve
管道热应力计算
管道热应力计算
管道热应力计算是指在高温、高压、高速的工程实际中，对管道受热引起的应力进行计算的过程。
由于管道在使用过程中会受到多种因素的影响，如温度、压力、自重等，因此需要考虑多种应力情况。
在管道热应力计算中，需要先进行管道的应力分析，包括弯曲应力、剪切应力、轴向应力、环向应力等。
接着，根据管道材料的特性和实际工作条件，计算管道的热膨胀量和热应力，以判断是否超过了管道的承载极限。
在计算热应力时，需要考虑管道的材料和形状，以及工作温度和压力等因素。
通常采用有限元法等计算方法，通过模拟管道在不同工作条件下的应力情况，得出管道的热应力。
管道热应力的计算对于保障管道的安全运行、延长管道的使用寿命具有重要意义。
因此，在实际工程中，需要根据具体情况进行合理的计算和分析，并采取相应的措施，保障管道的安全运行。
- 1 -。
弹性力学--热应力 ppt课件
PPT课件
17
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部 分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。 因而总的形变分量为：
x
1 [ x ( y z )] T E
1 [ y ( x z )] T E 1 z [ z ( y x )] T E
一 基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。 3 PPT课件
若 T=T （ x,y,t ），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
( q n ) s T n
T (Ts Te ) PPT课件 n
15
第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
PPT课件
16
第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变 αT ， α为线热胀系数 , 弹性体 内各点的形变分量为： εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
热应力计算实例
热应力计算实例热应力计算通常涉及材料的热膨胀系数以及温度变化。
以下是一个热应力计算的实例：假设有一块由铜制成的矩形板，其宽度为20厘米，长度为30厘米。
在温度升高时，该板的长度会发生变化。
根据材料的热膨胀系数，铜的线膨胀系数在0°C到100°C范围内约为16.5 x 10^-6/°C。
现在假设该板的温度从室温25°C升高到100°C。
首先，我们需要计算出板的长度变化量。
根据热膨胀系数的定义，长度变化量可以通过以下公式计算：ΔL = αLΔT其中，ΔL是长度变化量，α是热膨胀系数，L是初始长度，ΔT是温度变化量。
在这个例子中，初始长度L=30厘米，温度变化量ΔT=100°C - 25°C = 75°C，热膨胀系数α=16.5 x 10^-6/°C。
将这些数值代入公式中，可以得到：ΔL = (16.5 x 10^-6/°C) x (30厘米) x (75°C) = 0.0375厘米接下来，我们可以计算热应力。
热应力可以通过以下公式计算：σ = EαΔT其中，σ是热应力，E是材料的弹性模量。
对于铜而言，其弹性模量通常在110-130 GPa之间。
在这个例子中，假设弹性模量E为120 GPa。
将这些数值代入公式中，可以得到：σ = (120 GPa) x (16.5 x 10^-6/°C) x (75°C) = 0.148 MPa因此，在温度从25°C升高到100°C时，该铜板上产生的热应力约为0.148 MPa。
弹塑性力学 第9章热应力
(2)
线弹性平衡方程的齐次解以u, v, w表示，
则相应的应力分量为
v u u 2G , G x xy x y x 1 u w v y 2G , yz G y 1 y z u u v z 2G , zx G x z 1 z
(1)
到平面应变问题的解答。
式(1) 又可写成Fra bibliotek 平面应变问题中
E x [ x y (1 )T 1 2 E y [ y x (1 )T 2 1 xy G xy
z = (x + y) - ET
力，则当物体内的变温为坐标的线性函数时，物 体内将不产生热应力。根据叠加原理，在自由边 界的物体中，不计体力，在原来的温度场上叠加 一个线性分布的温度场，则不会改变物体的应力 分布，而物体的的变形将会发生变化。
9－2 热弹性基本方程及解法
热传导基本概念 非定常温度场 = (x, y, z, t) 热源强度 定常温度场 = (x, y, z) 变温 T = - 0 2 r / c 热传导方程 比热 2T r / c 变温分布 T 二维热传导方程 2 2
9－3 平面热弹性问题
平面应力问题
E 平面应变问题——在平面应力问题结果中，用 1 2 替换E，用 1 替换，用 (1 ) 替换，即得
1 x ( x y ) T E 1 y ( y x ) T E 1 xy xy G
热应力计算
热应力计算热应力计算热应力是指由于温度变化引起的材料内部应力。
它是工程设计和材料选择过程中一个重要的考虑因素。
在高温环境下，材料的热膨胀会导致内部应力的产生，进而对材料的强度和稳定性产生影响。
因此，准确计算热应力对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
热应力计算方法主要包括线性热应力计算和非线性热应力计算。
线性热应力计算是通过考虑材料的线膨胀系数、温度梯度和固定边界条件来估算热应力。
这种方法适用于材料的热膨胀系数相对稳定且温度梯度较小的情况。
对于非线性热应力计算，需要考虑材料的非线膨胀行为和温度梯度的影响。
通常使用有限元分析的方法来进行非线性热应力计算。
有限元分析是一种能够模拟和分析复杂结构的数值计算方法，可以考虑材料的非线性力学特性和几何形变对热应力的影响。
在进行热应力计算时，需要考虑以下几个关键因素：1. 材料的热膨胀系数：不同材料的线膨胀系数不同，需要在计算中进行考虑。
热膨胀系数是描述材料在温度变化下单位长度的膨胀量的参数，可以通过实验或者手册获得。
2. 温度梯度：温度梯度是指物体在空间上温度的变化率。
在计算中，需要确定温度梯度的大小和方向，以获得准确的热应力结果。
3. 固定边界条件：固定边界条件是指材料在计算过程中的边界条件，包括材料是否固定或约束。
固定边界条件的选择对热应力计算结果有重要影响。
4. 材料的非线性行为：在进行非线性热应力计算时，需要考虑材料的非线性行为，如材料的屈服强度、塑性行为等。
这些参数可以通过试验获得，或者根据材料的性质进行估计。
在进行热应力计算时，应注意以下几点：1. 准确确定温度场：热应力计算的准确性取决于对温度场的准确估计。
在计算之前，需要进行温度场分析，并根据实际情况选择合适的数值方法和边界条件。
2. 考虑材料的非均匀性：在实际工程中，材料的温度分布通常是非均匀的。
因此，在热应力计算中，需要考虑材料的非均匀性对热应力的影响，以避免可能的结构失效。
3. 考虑温度变化速率：温度变化速率对热应力的影响也是需要考虑的因素。
(2009版)《供热工程》第15章供热管道的应力计算与作用力计算
24EI 1 L L2 2 x x y max 2 q x
2
m
直 到 L ＝ L1 ＝ L2为止
最大允许间距应能同时满足强度条件和刚度条件
返回本节
15.2.3 管道的热伸长及其补偿
管道受热的自由伸长量
x t1 t2 L
m
管道的线膨胀系数，一般可取 计算管段两固定点间的距离， а＝15×10－6m m/(moC) 管道的最高使用温度，可取热媒的最高温度，℃ 管道安装时的温度，可取最冷月平均温度，℃
MPa
15.2.3 管道的热伸长及其补偿
波纹管补偿器的受力分析
轴向波纹管补偿器的最大补偿能力，依据产品样本确定 轴向波纹管补偿器的受力分析 波纹管补偿器的弹性力
Pt K X N
波纹管补偿器的轴向刚度， 波纹管补偿器的轴向位移， N/cm cm
套管补偿器的受力分析
套管补偿器的最大补偿能力，依据产品样本确定
f max
qL4 0.25iL 384EI
iEI L 4.6 3 q
m
44 管材的弹性模数， 管道断面惯性据， N/m m 考虑到供热管道的塑性条件，不允许有反坡的供热管道活
动支座间的最大允许间距：
iEI L 5 3 q
m
15.2.2 活动支座间距的确定
按刚度条件确定活动支座的允许间距
m
考虑供热管道的塑性条件，允许间距可按下式计算：
Lmax
15 w W q
m
15.2.2 活动支座间距的确定
按刚度条件确定活动支座的允许间距
根据对挠度的限制而确定活动支座的允许间距，对挠度的 限制分两种情况
02-09 热应力计算
1§2-9 热应力计算● 当物体温度发生变化时，物体将由于膨胀而产生线应变T α，其中◎ α为材料的线膨胀系数；◎ T 表示弹性体内任意点的温度改变值(从整个物体处于初始均匀温度状态算起)。
☆ 在平面问题中，它是坐标x,y 及时间t 的函数。
● 如果物体各部分的热应变均匀且不受任何约束，则虽有变形却不会引起应力。
● 如果物体各部分的温度不均匀，或表面与其他物体相联系，即受到一定的约束，热变形不能自由地进行，就将产生应力。
✧ 这种由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力”。
● 热应力问题与一般应力分析问题相比较，主要是应力-应变关系上稍有差别。
考虑热应力问题的应力-应变关系是：}){}]({[}{0εεσ-=D (2-59)✧ 相当于有一个初应变。
（图示）其中负号是因为热应变对其它应变起抵消作用。
将(2-15)式代入即可写成：}){}]{]([[}{0εδσ-=eB D (2-60)● 对于平面应力问题，其中[]TT 011}{0αε= (2-61)（各个方向自由一致，厚度方向的应变不受限制，所以对应力没有作用。
） ● 对于平面应变问题，其中[]TT 011)1(}{0αμε+= (2-62)（各个方向自由一致，厚度方向的应变受限制，在平面方向的反映为波桑效应。
） ● 于是，如果考虑到热应力，弹性体内应力的虚功将为*0{}[]([]{}{})T eD B tdxdy εδε-⎰⎰2⎰⎰⎰⎰-tdxdy D B tdxdy B D B T eT T }]{[][}]{][[][(})({0*εδδ (2-63) 代替(2-27)式，应当是⎰⎰⎰⎰-=tdxdy D B tdxdy B D B F T eT e}]{[][}{]][[][}{0εδ (2-64) 也就是⎰⎰=+eT ek tdxdy D B F }]{[}]{[][}{0δε (2-65) ● 上式左边第二项是由于考虑温度变化而增添出来的，它在(2-65)式中是处于节点力的地位，相当于考虑温度变化而施加于节点的一个假想的等效节点力，称为热载荷tdxdy T D B H te}{][][}{0εα⎰⎰=(2-66)✧ 对于平面应力问题将(2-61)式代入得[]tdxdy T D B H Tte⎰⎰=011][][}{α (2-67)将(2-17)式和平面应力弹性矩阵[D]代入上式，得[]⎰⎰∆+=Tdxdyc b c b c bt E H Tmm j j i ie)1(2}{μα (2-68)如果温度T 的分布函数为已知时，上式中的积分总可用数值积分求得。
管道热应力计算
管道热应力计算
管道在高温条件下由于热膨胀会出现热应力，若管道跨度过大或
受力不均匀，热应力可能会超过管道材料的承载能力，导致管道破裂。
因此，在进行管道热应力计算时，需要根据实际情况选用合适的计算
方法。
一般情况下，可以采用ASME标准或GB标准中规定的计算方法。
管道热应力的计算涉及到多个参数，其中包括管道的材质、温度、壁厚、直径、长度、支持方式等。
计算方法大致可分为静态计算方法
和动态计算方法两种。
静态计算方法较为简单，一般可采用ASME标准提供的公式进行
计算，确定热应力是否超过管道材料的承载能力。
若存在超过承载能
力的情况，则需要根据实际情况进行管道支持结构设计或采取其他解
决措施。
动态计算方法一般适用于管道系统运行时的热应力计算，需要考
虑管道在周期内的温度变化和工作载荷等因素，采用有限元分析等方
法进行计算。
总之，在进行管道热应力计算时，需要结合实际情况选用合适的
计算方法，并根据计算结果进行相应的管道设计和支持结构设计，确
保管道系统的安全可靠。
温度应力计算公式
温度应力计算公式温度应力是物体在受到温度变化时产生的应力。
当物体处于不均匀温度场中时，由于物体不同部分的膨胀系数不同，就会产生应力，这种应力称为温度应力。
温度应力的大小与物体材料的热膨胀系数、温度变化量以及物体内部的约束情况有关。
温度应力的计算可以使用线性热弹性材料的温度应力公式：\[ \sigma = \alpha \cdot E \cdot \Delta T \]其中，\[ \sigma \] 是温度应力，\[ \alpha \] 是物体的热膨胀系数，\[ E \] 是杨氏模量，\[ \Delta T \] 是温度变化量。
这个公式的前提是物体只受到温度的影响，没有其他外力作用。
如果物体还受到其他外力作用，需要考虑这些外力的影响。
在计算温度应力时，可以采用以下几个步骤：1.确定物体的几何形状和材料性质，包括热膨胀系数和杨氏模量。
这些参数可以通过实验或者查阅相关资料获得。
2.确定温度变化量。
温度应力的计算需要知道物体的初始温度和最终温度之间的差值。
3. 将参数带入温度应力公式，计算出温度应力的数值。
注意单位的一致性，热膨胀系数一般以 \( 1/\text{℃} \) 为单位，杨氏模量一般以 \text{帕斯卡}（\text{Pa}）为单位，温度变化量一般以摄氏度为单位，温度应力的单位为帕斯卡（\text{Pa}）。
温度应力的计算公式可以通过引入热力学和弹性力学的知识推导得到。
在温度变化时，由于物体不同部分的温度不同，就会引起物体的体积膨胀或者收缩。
这种膨胀或者收缩会引起内部的应力分布，从而产生温度应力。
需要注意的是，温度应力只是物体在受到温度变化时产生的瞬时应力，不会一直存在。
一旦温度变化停止，温度应力就会消失。
温度应力的计算方法还有其他的一些公式，比如复杂几何形状的物体可以使用有限元方法进行计算。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的问题选择适合的计算方法。
总之，温度应力的计算是热力学和弹性力学的应用，通过使用温度应力公式，可以计算出物体在受到温度变化时产生的应力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
§2-9 热应力计算
● 当物体温度发生变化时，物体将由于膨胀而产生线应变T α，其中
◎ α为材料的线膨胀系数；
◎ T 表示弹性体内任意点的温度改变值(从整个物体处于初始均匀温度状态算起)。
☆ 在平面问题中，它是坐标x,y 及时间t 的函数。
● 如果物体各部分的热应变均匀且不受任何约束，则虽有变形却不会引起应力。
● 如果物体各部分的温度不均匀，或表面与其他物体相联系，即受到一定的约束，热变形不
能自由地进行，就将产生应力。
✧ 这种由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力”。
● 热应力问题与一般应力分析问题相比较，主要是应力-应变关系上稍有差别。
考虑热应力问题的应力-应变关系是：
}){}]({[}{0εεσ-=D (2-59)
✧ 相当于有一个初应变。
（图示）
其中负号是因为热应变对其它应变起抵消作用。
将(2-15)式代入即可写成：
}){}]{]([[}{0εδσ-=e
B D (2-60)
● 对于平面应力问题，其中
[]T
T 01
1}{0αε= (2-61)
（各个方向自由一致，厚度方向的应变不受限制，所以对应力没有作用。
） ● 对于平面应变问题，其中
[]T
T 01
1)1(}{0αμε+= (2-62)
（各个方向自由一致，厚度方向的应变受限制，在平面方向的反映为波桑效应。
） ● 于是，如果考虑到热应力，弹性体内应力的虚功将为
*0{}[]([]{}{})T e
D B tdxdy εδε-⎰⎰
2
⎰⎰⎰⎰
-
tdxdy D B tdxdy B D B T e
T T }]{[][}]{][[][(})({0*εδδ (2-63) 代替(2-27)式，应当是
⎰⎰⎰⎰
-
=
tdxdy D B tdxdy B D B F T e
T e
}]{[][}{]][[][}{0εδ (2-64) 也就是
⎰⎰
=+
e
T e
k tdxdy D B F }]{[}]{[][}{0δε (2-65) ● 上式左边第二项是由于考虑温度变化而增添出来的，它在(2-65)式中是处于节点力的地
位，相当于考虑温度变化而施加于节点的一个假想的等效节点力，称为热载荷
tdxdy T D B H t
e
}{][][}{0
ε
α⎰⎰=
(2-66)
✧ 对于平面应力问题将(2-61)式代入得
[]tdxdy T D B H T
t
e
⎰⎰=
01
1
][][}{α (2-67)
将(2-17)式和平面应力弹性矩阵[D]代入上式，得
[]⎰⎰∆
+=
Tdxdy
c b c b c b
t E H T
m
m j j i i
e
)1(2}{μα (2-68)
如果温度T 的分布函数为已知时，上式中的积分总可用数值积分求得。
特别是当T 是x,y
的多项式时，则容易写出精确积分的表达式。
对于Ｔ为线性分布时（在单元内常这样处理），则有
⎰⎰
∆++=
)(3
1m j i T T T Tdxdy (2-69)
其中i T 、j T 、m T 分别为节点i,j,m 处的温度。
在此情况下，热应力的等效节点载荷列阵为
[]
T
m
m j j i i
m j i e
c b c b c b
t
T T T E H )
1(6)(}{μα-++=
(2-70)
根据节点位移计算单元应力就有
[]T
m j i e
T T T E B D 01
1
)
1(3)
(}]{][[}{μαδσ-++-
= (2-71)
● （由(2-60)和（2-69）式，以平均温度代替随机温度） ✧ 对于平面应变问题
只要在平面应力问题的公式中用)1/(2
μ-E 代替E ,)1/(μμ-代替μ以及αμ)1(+代
3
替α便可得到。
经过这样的替换以后，等效节点热载荷的公式为
[]
T
m
m j j i i
m j i e
c b c b c b
t
T T T E H )
21(6)(}{μα-++=
(2-72)
应力的公式为
[]T
m j i e
T T T E S 01
1
)
21(3)
(}]{[}{μαδσ-++-
= (2-73)。