工程电磁场王泽忠ppt
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电场强度线方程
位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点 的一族射线
正负点电荷的电场线
+
-
例2-2-1 如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产 生的静电场中，求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。
解：
由电位公式直接计算，P1和P2点的电
位分别为
（5） 高斯通量定理
高斯通量定理的微分形式
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密 度与真空的介电常数之比。
高斯通量定理的积分形式
例2-3-2 如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为 a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球 内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。
解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满 电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ的小 球在P共同产生的电场强度。
旋度源；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。
习题1-22
第二章 静电场的基本原理
1、库仑定律
2、电场强度
3、环路定律的表达形式
4、等位面和电场强度线方程
5、高斯通量定理的表达形式
6、电偶极子电位和电场与距离的关系
7、静电场中导体内和导体表面的电场特性
8、电位移矢量与电场和极化强度的关系
根据高斯通量定理 因为大球内电荷产生的电场强度为
小球内电荷产生的电场强度为
在直角坐标系中：
E [ x ex y ey z ez ]
对电场强度求旋度，可得
即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分 形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。
根据斯托克斯定理，有
电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。
（4） 等电位面与电场强度线方程
等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由 电位相同的点组成的曲面，其方程为
dl A 0
直角坐标系下 矢量线方程
在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。
习题1-4
（3）方向倒数与梯度的关系
如果在标量场中任一点Ｍ 处，存在矢量Ｇ，其方向为场函 数u (x, y, z）在Ｍ 点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其 模｜Ｇ｜是这个最大变化率的数值，则称矢量Ｇ 为标量场u (x, y, z）在点 Ｍ 处的梯度，记为
工程电磁场基本概念回顾及习题课
1
第1章 矢量分析与场论基础
（1）等值面； （2）矢量线； （3）方向倒数与梯度的关系； （4）无源场或无散场； （5）无旋场
（1）标量场的等值面
设标量场u (M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的 任何一点 M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处， 函数u (M)的值都等于u (M0)，即在曲面S 上，函数u (M)保持着 同一 数 值 u (M0)，这样的曲面S叫做标量场u 的 等值面。等值 面的方程为
点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
解得 R，
q
以
为半径的球面。
4 0C
点电荷在它所在平面上产生电场的等
电位线是一系列的圆，见图。
q C (R 0)
4 0 R
电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方 向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元， 则电场强度可表示为E= kdl。在直角坐标系中，有
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
例2-1-1 真空中长度为2l 的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。
求线段外任一点P 的电场强度。
解： 根据对称性分析，采用柱坐标系分 析比较方便。坐标的源点位于线段的中心， z 轴与线段重合。场点P的坐标 为 (r,, z) ，取电荷元 d z ，源点坐 标为 (0,, z)
则电荷元在P 点产生的电场强度的各分
u(x, y, z) C
式中，Ｃ为常数。给定Ｃ 的一系列不同的数值，可以得到一系
列不同的等值面，称为等值面族。 电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做
等电位面。
（2）矢量线
所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点 的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方 向。
矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程 又可以用矢量式表示为
如果在场中处处有divＡ＝０，则称此场为无源场或无散场。
小河 泉眼
漏洞
直角坐标系中
散度的计算公式
习题1-18
（5）无旋场
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
• 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
• 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场，J 称为
9、常见介质极化强度与电场强度的关系
10、电介质分界面条件标量表达式
11、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值 问题的分类
(1) 库仑定律
两个点电荷之间的作用力用下式表示
在真空中， 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方 成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
方向导数等于梯度在该方向上 的投影，表示为
习题1-5
l xyex xzey xyez 2ex 3ey 2ez
（4）无源场
应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。
在M 点，若divＡ＞０，则表明 Ｍ 点有正源； 若divＡ＜０，则表明 Ｍ 点有负源。 若divＡ＝０，则表明该点无源。
0 是真空中的介电常数，单位是（法（拉）/米），F/m；
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛顿，N
计算时，要用国际单位制。 单位的符号要用正体。
点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。
（2） 电场强度
点电荷q 产生的电场强度
电场强度的单位伏/米，V/m
位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点 的一族射线
正负点电荷的电场线
+
-
例2-2-1 如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产 生的静电场中，求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。
解：
由电位公式直接计算，P1和P2点的电
位分别为
（5） 高斯通量定理
高斯通量定理的微分形式
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密 度与真空的介电常数之比。
高斯通量定理的积分形式
例2-3-2 如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为 a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球 内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。
解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满 电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ的小 球在P共同产生的电场强度。
旋度源；
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。
习题1-22
第二章 静电场的基本原理
1、库仑定律
2、电场强度
3、环路定律的表达形式
4、等位面和电场强度线方程
5、高斯通量定理的表达形式
6、电偶极子电位和电场与距离的关系
7、静电场中导体内和导体表面的电场特性
8、电位移矢量与电场和极化强度的关系
根据高斯通量定理 因为大球内电荷产生的电场强度为
小球内电荷产生的电场强度为
在直角坐标系中：
E [ x ex y ey z ez ]
对电场强度求旋度，可得
即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分 形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。
根据斯托克斯定理，有
电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。
（4） 等电位面与电场强度线方程
等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由 电位相同的点组成的曲面，其方程为
dl A 0
直角坐标系下 矢量线方程
在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。
习题1-4
（3）方向倒数与梯度的关系
如果在标量场中任一点Ｍ 处，存在矢量Ｇ，其方向为场函 数u (x, y, z）在Ｍ 点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其 模｜Ｇ｜是这个最大变化率的数值，则称矢量Ｇ 为标量场u (x, y, z）在点 Ｍ 处的梯度，记为
工程电磁场基本概念回顾及习题课
1
第1章 矢量分析与场论基础
（1）等值面； （2）矢量线； （3）方向倒数与梯度的关系； （4）无源场或无散场； （5）无旋场
（1）标量场的等值面
设标量场u (M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的 任何一点 M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处， 函数u (M)的值都等于u (M0)，即在曲面S 上，函数u (M)保持着 同一 数 值 u (M0)，这样的曲面S叫做标量场u 的 等值面。等值 面的方程为
点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
解得 R，
q
以
为半径的球面。
4 0C
点电荷在它所在平面上产生电场的等
电位线是一系列的圆，见图。
q C (R 0)
4 0 R
电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方 向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元， 则电场强度可表示为E= kdl。在直角坐标系中，有
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
例2-1-1 真空中长度为2l 的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。
求线段外任一点P 的电场强度。
解： 根据对称性分析，采用柱坐标系分 析比较方便。坐标的源点位于线段的中心， z 轴与线段重合。场点P的坐标 为 (r,, z) ，取电荷元 d z ，源点坐 标为 (0,, z)
则电荷元在P 点产生的电场强度的各分
u(x, y, z) C
式中，Ｃ为常数。给定Ｃ 的一系列不同的数值，可以得到一系
列不同的等值面，称为等值面族。 电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做
等电位面。
（2）矢量线
所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点 的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方 向。
矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程 又可以用矢量式表示为
如果在场中处处有divＡ＝０，则称此场为无源场或无散场。
小河 泉眼
漏洞
直角坐标系中
散度的计算公式
习题1-18
（5）无旋场
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
• 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。
• 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场，J 称为
9、常见介质极化强度与电场强度的关系
10、电介质分界面条件标量表达式
11、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值 问题的分类
(1) 库仑定律
两个点电荷之间的作用力用下式表示
在真空中， 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方 成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
方向导数等于梯度在该方向上 的投影，表示为
习题1-5
l xyex xzey xyez 2ex 3ey 2ez
（4）无源场
应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。
在M 点，若divＡ＞０，则表明 Ｍ 点有正源； 若divＡ＜０，则表明 Ｍ 点有负源。 若divＡ＝０，则表明该点无源。
0 是真空中的介电常数，单位是（法（拉）/米），F/m；
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛顿，N
计算时，要用国际单位制。 单位的符号要用正体。
点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。
（2） 电场强度
点电荷q 产生的电场强度
电场强度的单位伏/米，V/m