高考解析几何(含详细答案)

解析几何--专题复习

考点1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程

例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率1

2

e =

。 (1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；

(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

练习1．已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右

支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,+∞]

D.(2,+∞)

考点2：最值或定值问题

例2：（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)

-，(2,0)，离

心率是

6

3

，直线y t

=与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.

练习2、已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为3

3

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切． （1）求椭圆的标准方程；

（2）设点F 是椭圆在y 轴正半轴上的一个焦点，点A ，B 是抛物线y x 42

=上的两个动点，且满足

)0(>=λλFB AF ，过点A ，B 分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M ，试推断AB

FM ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

练习3、已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的

焦点且垂直长轴的弦长为1． （1）求椭圆1C 的方程；

（2）设点P 在抛物线2C ：2

()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的

切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横 坐标相等时，求h 的最小值．

例3：（2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为22，以该

椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·

1k k =； （3）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？ 若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

例4：（2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。 （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

详细解答

例1（1）设椭圆E 的方程为22

221x y a b

+=（0a b >>），

由题意12c e a =

=，2249

1a b

+=，又222c a b =-，解得：2,4,23c a b === ∴椭圆E 的方程为22

11612

x y +=

（2）方法1：由（1）问得1(2,0)F -，2(2,0)F ，又

()2,3A ，易得12F AF ∆为直角三角形，其中

21213,4,5,AF F F AF ===

设12F AF ∠的角平分线所在直线l 与x 轴交于点M ，根据角平线定理可知：

1212AF AF F M F M =，可得23

2

F M =，1(,0)2M ∴ ∴直线l 的方程为：1

021

3022

x y -

-=--，即21y x =-。 方法2：由（1）问得1(2,0)F -，2(2,0)F ，又

()2,3A ，

∴1(4,3)AF =--，2(0,3)AF =-， ∴

1212114

(4,3)(0,3)(1,2)5

35||||AF AF AF AF +=--+-=-，

∴2l k =，∴直线l 的方程为：32(2)y x -=-，即21y x =-。

（3）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ， 令11(,)P x y 、22(,)Q x y ，且P Q 的中点为00(,)R x y

PQ l ⊥，212112

PQ y y k x x -∴=

=--，

又

22

1122

221(1)1612

1(2)

1612

x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得: 2222212101612x x y y --+= ∴

21212121161612

()121223

x x y y y y x x +-=-=-⨯-=+-,即0023x y =（3），

又

00(,)R x y 在直线l 上，∴0021y x =-（4）由（3）（4）解得：002,3x y ==，

所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点。

练习1.解：双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双曲线的右