全等三角形解题方法
全等三角形判定解题方法
全等三角形判定解题方法嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠全等三角形判定解题方法。
全等三角形啊，就像是一对双胞胎，长得一模一样呢！要判断两个三角形全等，那可得有几招厉害的办法。
就好比你要认出两个长得很像的人，得从一些关键地方去看。
先来说说“边边边”吧，这就好像是给三角形量三围一样。
如果两个三角形的三条边都对应相等，那它们肯定全等啦！你想想，连尺寸都一模一样，那能不是同一个嘛！然后是“边角边”，这就像是先抓住一个人的主要特征，再看看其他方面是不是也对得上。
两条边和它们的夹角相等，那这两个三角形也就全等咯。
“角边角”也很重要呀！两个角和它们夹的边相等，就跟找到了关键的标识一样，能确定它们是全等的。
还有“角角边”呢，这就有点神奇了，两个角和其中一个角的对边相等，它们也能成为全等的好兄弟。
咱在解题的时候啊，可不能瞎蒙。
得仔细观察题目给了啥条件，就像侦探找线索一样。
看到边的条件，就想想边边边或者边角边；看到角的条件，就往角边角那些方法上靠。
比如说，题目告诉你有两条边相等，还有一个角相等，那你就得琢磨琢磨，这是不是符合哪个判定方法呀。
要是没找对，那可就像走岔了路，找不到正确答案啦！有时候啊，题目会故意给你一些干扰条件，就像路上的小陷阱。
可别被它们骗了，得保持清醒的头脑，抓住关键信息。
再给大家举个例子吧，就好像有两个三角形，它们的边和角看起来都差不多，但是仔细一分析，就能发现有的条件不满足判定方法。
这时候可不能随便就说它们全等哦！全等三角形的判定方法就像是我们解题的法宝，掌握好了它们，那些难题就都不在话下啦！大家在学习的时候，一定要多做练习，多去实践，把这些方法都用熟了。
这样以后再遇到全等三角形的问题，就能轻松搞定啦！别害怕犯错，错了就改，这样才能越来越厉害嘛！总之啊，全等三角形判定解题方法可是很重要的，大家可得好好学，好好用。
相信自己，一定能把这些方法掌握得牢牢的！加油吧！同学们！。
全等三角形解题方法与技巧
“三步曲”证全等牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离出基本图形）二看条件：（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。
）1、利用公共边（或公共角）相等例1：如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？练习1：已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。
求证：EB=ED 。
DA E CB2、利用对顶角相等例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。
求证：∠ACE=∠BDF 。
3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。
求证：BE ＝CD 。
AED CBA BCDEFO4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数．练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
（二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。
基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。
例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ． 求证：ABC DEF △≌△．例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ．例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．图1图2D CE A BCEBFDAFEDCBH练习1：已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。
初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路
初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
（3）有公共边的，公共边常是对应边。
（4）有公共角的，公共角常是对应角。
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角。
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
【解题关键】要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。
全等三角形的判定方法（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
（4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
【拓展】通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。
而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。
找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
12.1 全等三角形 解题技巧
12.1全等三角形技巧1全等三角形的性质运用1．利用全等三角形的性质求角度如图，△ABC≌△DEF，若AB＝DE，∠B＝50°，∠C＝70°，∠E＝50°，求∠D的度数．解析：由三角形的内角和定理易知∠A的度数，∠D与∠A是对应角．解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°．∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝60°．2．利用全等三角形的性质求线段如图已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，AB＝10，AD＝4，求线段CE的长．解析：由△ABE≌△ACD可求出AB，AD的对应边分别为AC，AE，然后由CE＝AC－AE的关系求出CE．解：∵△ABE≌△ACD，AB＝10，AD＝4，∴AC＝AB＝10，AE＝AD＝4．∴CE＝AC－AE＝6．3．利用全等三角形的性质判断两线位置关系如图所示，△ADF≌CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上．判断AD与BC的位置关系，并加以说明．解析：本题主要考查全等三角形的性质与平行线的综合应用．判断AD与BC的位置关系，可以初步判别AD和BC的位置关系是平行，欲说明AD//BC，需说明∠3＝∠4，要说明∠3＝∠4，可以利用三角形外角性质证明．解：AD与BC的位置关系是AD//BC．理由如下：∵△ADF≌△CBE，∴∠1＝∠2，∠F＝∠E．又∵点E，B，D，F在同一条直线上，∴∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E(三角形的外角的性质)．∴∠3＝∠4(等量代换)．∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)．技巧2利用全等的基本图形解决几何问题1．利用基本图形求角度如图，△ABE和△ADC分别是△ABC沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α＝．解析：翻折后，△ABE≌△ABC≌△ADC，由全等三角形的性质易得∠ABE＝∠2，∠DCA＝∠3．因为∠1：∠2：∠3＝28：5：3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，由三角形的内角和定理知：∠1＋∠2＋∠3＝28x＋5x＋3x＝36x＝180°，解得x＝5°，所以∠2＝25°，∠3＝15°，所以外角∠α＝∠EBC＋∠DCB＝2(∠2＋∠3)＝80°．答案：80°．2．利用基本图形求面积如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC＝4 cm，已知△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积．解析：由于线段AC把四边形AECD分成两部分，通过观察我们可以把△ACE旋转到△BCD的位置，使之与△ACD恰好构成△ABC，从而可求面积．解：∵△BCD≌△ACE，∴S△BCD＝S△ACE．又∵S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD，∴S四边形AECD＝S△BCD＋S△ACD＝S△ABC＝12×4×4＝8（cm2)．3．利用基本图形解决折叠问题如图所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若BC＝8 cm,∠1＝40°，求∠2的度数与AF的长度．解析：因为折叠后△AFE与△ADE完全重合，所以△AFE≌△ADE，可以得到AF＝AD，∠F AE＝∠DAE，又因为长方形的对边相等，每个角都是直角，所以可求出角度与线段长度．解：由题意可知：△AFE≌△ADE．∴AF＝AD，∠3＝∠2．在长方形ABCD中，AD＝BC＝8 cm，∠1＋∠2＋∠3＝90°．∴AF＝8 cm，∠2＝12(90°－∠1)＝25°．。
三角形全等解题技巧
三角形全等解题技巧
三角形的全等解题技巧主要有以下几个方面：
1. 全等定理：根据全等定理，两个三角形如果具有相同的三边，则这两个三角形是全等的。
可以使用这个定理来判断两个三角形是否全等。
2. 全等判定法：全等判定法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL
五种。
SSS是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三
角形是全等的；SAS是指如果两个三角形有一个角相等，而
且两个角的夹边也相等，则这两个三角形是全等的；ASA是
指如果两个三角形有两个角分别相等，而且这两个角夹的两边也相等，则这两个三角形是全等的；AAS是指如果两个三角
形有两个角分别相等，而且这两个角的对边也相等，则这两个三角形是全等的；HL是指如果两个直角三角形的斜边和一个
直角边分别相等，则这两个三角形是全等的。
3. 全等矩形技巧：如果两个三角形的一个角是直角，而且其他两边对应相等，则这两个三角形是全等的。
在解题过程中，可以利用这个技巧来判断和证明三角形的全等关系。
4. 相似三角形技巧：如果两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
在解题过程中，可以利用相似三角形的性质来推导和证明三角形的全等关系。
总结起来，判定和解题三角形全等的关键是要熟练掌握全等定理和全等判定法，并且灵活运用相关技巧和性质来解决问题。
证三角形全等的方法
证三角形全等的方法三角形全等是初中数学中的重要知识点，它是指两个三角形的对应三条边相等且对应的三个角相等。
那么，如何证明两个三角形全等呢？接下来，我们将介绍几种常见的证明方法。
一、SSS全等法。
SSS全等法是指“边-边-边”全等法，即两个三角形的三条边分别相等。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以利用SSS全等法来证明它们全等。
具体证明步骤如下：1. 画出两个三角形ABC和DEF；2. 分别比较它们的三条边AB和DE、BC和EF、AC和DF的长度是否相等；3. 如果三对边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
二、SAS全等法。
SAS全等法是指“边-角-边”全等法，即两个三角形的两条边和它们夹的角分别相等。
当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以利用SAS全等法来证明它们全等。
具体证明步骤如下：1. 画出两个三角形ABC和DEF；2. 分别比较它们的两条边AB和DE、角A和角D、边AC和边DF的长度和角度是否相等；3. 如果有两对边和夹角分别相等，则可以得出两个三角形全等。
三、ASA全等法。
ASA全等法是指“角-边-角”全等法，即两个三角形的两个角和夹它们的边分别相等。
当两个三角形的两个角和夹角分别相等时，可以利用ASA全等法来证明它们全等。
具体证明步骤如下：1. 画出两个三角形ABC和DEF；2. 分别比较它们的角A和角D、角B和角E、边AC和边DF的角度和长度是否相等；3. 如果有两对角和夹边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
通过以上三种全等法的介绍，我们可以清晰地了解如何证明两个三角形全等。
在实际应用中，我们可以根据已知条件选择合适的全等法进行证明，从而得出正确的结论。
总结。
证明三角形全等的方法有很多种，其中SSS、SAS和ASA全等法是最常用的三种方法。
通过比较三角形的边长和角度，我们可以轻松地证明两个三角形是否全等。
在学习和实践中，我们应该灵活运用这些方法，提高解题效率，巩固数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。
一、全等三角形的性质与判定。
五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。
全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。
二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向：•线段相等•角相等•度数•线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。
2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。
记住一句话：“充分利用已知条件”。
3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。
4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。
三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。
（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。
全等三角形难题
全等三角形难题引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
本文将探讨一些全等三角形的难题，并提供相应的解题思路和方法。
难题一：求等腰三角形的底边长度已知一个等腰三角形的顶角度数为60°，求其底边的长度。
解题思路1.假设等腰三角形的底边长度为x。
2.根据等腰三角形的性质，顶角的度数等于底角的度数，所以底角的度数也为60°。
3.由三角形的内角和为180°可得，两个底角的度数之和为180°-60°=120°。
4.由于等腰三角形的两条底边相等，可推导出底角为等边三角形，其两个底角的度数相等，即每个底角的度数为120°/2=60°。
5.由三角形的内角和为180°可得，三个底角的度数之和为180°。
6.将三角形的底边长度记为x，则根据正弦定理可得：(x/2)/sin60° = x/sin180°。
7.化简等式可得：1/2 = x/1。
8.通过求解等式可得：x = 2。
解答和验证根据上述解题思路可得，等腰三角形的底边长度为2。
我们可以通过验证来确保解答的正确性。
1. 等腰三角形的顶角度数为60°，底角的度数也为60°。
2. 底边的长度为2。
3. 三角形的两条底边相等，满足等腰三角形的性质。
4. 三个底角的度数之和为180°。
综上所述，等腰三角形的底边长度为2。
Markdown代码# 全等三角形难题## 引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
全等三角形证明问题的解题思路
全等三角形证明问题的解题思路在数学中，全等三角形证明是一种常见的几何问题。
全等三角形是指具有相等的三边和三角形的形状。
证明两个三角形全等的方法有很多种，下面将介绍几种常用的解题思路。
1. SSS法则（边边边法则）SSS法则是指如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
在使用SSS法则证明全等三角形时，需要先根据已知条件列出两个三角形的边长，然后比较它们是否相等。
例如，已知△ABC和△DEF的三边分别为AB=DE，BC=EF，AC=DF。
根据SSS法则，可以得出△ABC和△DEF全等。
2. SAS法则（边角边法则）SAS法则是指如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
在使用SAS法则证明全等三角形时，需要先根据已知条件列出两个三角形的边长和夹角，然后比较它们是否相等。
例如，已知△ABC和△DEF的一边AB=DE，夹角∠ABC=∠DEF，边BC=EF。
根据SAS法则，可以得出△ABC和△DEF全等。
3. ASA法则（角边角法则）ASA法则是指如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
在使用ASA法则证明全等三角形时，需要先根据已知条件列出两个三角形的角度和边长，然后比较它们是否相等。
例如，已知△ABC和△DEF的角∠A=∠D，角∠B=∠E，边AC=DF。
根据ASA法则，可以得出△ABC和△DEF全等。
4. RHS法则（直角边-斜边-直角边法则）RHS法则是指如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
在使用RHS法则证明全等三角形时，需要先根据已知条件列出两个直角三角形的直角边和斜边，然后比较它们是否相等。
例如，已知△ABC和△DEF的直角边AB=DE，斜边AC=DF。
根据RHS法则，可以得出△ABC和△DEF全等。
除了以上几种常用的全等三角形证明方法，还有其他一些特殊情况下的证明方法，如等腰三角形的全等证明、直角三角形的全等证明等。
在解决全等三角形证明问题时，可以根据已知条件灵活运用这些方法。
全等三角形解题方法与技巧
“三步曲”证全等牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离出基本图形）二看条件：（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。
）1、利用公共边（或公共角）相等例1：如图1，AB DC，AC DB，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？练习1：已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。
求证：EB=ED。
DA E CB2、利用对顶角相等例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。
求证：∠ACE=∠BDF 。
3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。
求证：BE ＝CD 。
AED CBA BCDEFO4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数．练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
（二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。
基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。
例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F． 求证：ABC DEF △≌△．例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ．例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．图1图2D CE A BCEBFDAFEDCAB G H练习1：已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E，OF ⊥CD 于F。
全等三角形动点问题解题技巧
全等三角形动点问题解题技巧摘要：一、引言二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）2.边角边（SAS）3.角边角（ASA）4.角角边（AAS）5.直角三角形全等判定（HL）三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形2.添加辅助线，构建三角形全等条件3.利用图形的几何性质简化问题四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题2.实例二：锐角三角形动点问题3.实例三：钝角三角形动点问题五、总结与展望正文：一、引言在数学竞赛和中学几何学习中，全等三角形动点问题常常出现。
这类问题既考验了学生对全等三角形判定方法的掌握，又考验了学生的解题技巧和思维能力。
为了解决这类问题，我们需要对全等三角形的判定方法进行回顾，并掌握一些解题策略。
二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）：当两个三角形的三条边分别相等时，两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：当两个三角形的两边和夹角分别相等时，两个三角形全等。
3.角边角（ASA）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。
4.角角边（AAS）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。
5.直角三角形全等判定（HL）：当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等时，两个三角形全等。
三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形：在动点问题中，通常会给出一组或多组已知条件。
我们可以根据这些条件，尝试构建全等三角形。
2.添加辅助线，构建三角形全等条件：在动点问题中，有时需要添加辅助线来构建全等三角形。
辅助线的作用是将复杂的图形简化，形成易于判断全等条件的情况。
3.利用图形的几何性质简化问题：在动点问题中，可以利用图形的几何性质，如垂直、平行、角平分线等，来简化问题。
这些性质有时能帮助我们快速判断全等条件。
四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题题目：如图，点A、B分别在边AC、BC上，且AB=AC，求∠B的度数。
解：作AD⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为D、E。
初中数学三角形全等解题技巧
初中数学三角形全等解题技巧全等三角形的内容是初二数学中的重点知识，也是教学中的难点。
许多学生由于基础知识薄弱或无法进行逻辑推理等原因，下面是小编为大家整理的关于初中数学三角形全等解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学三角形全等解题技巧巧用三角形全等证明两线垂直通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。
当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。
学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。
例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。
解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。
题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。
所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。
在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。
解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。
学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。
“倍长中线法”构造全等三角形全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。
全等三角形解题步骤
全等三角形解题步骤
全等三角形解题步骤如下：
1.首先，观察给定的两个三角形，确定它们之间的条件。
通常，全
等三角形需要满足以下条件之一：
●SSS（边-边-边）：两个三角形的三条边分别相等。
●SAS（边-角-边）：两个三角形的两条边和夹角分别相等。
●ASA（角-边-角）：两个三角形的两个角和夹边分别相等。
2.根据已知条件，判断哪个条件被满足。
如果恰好有一个条件被满
足，则可以推断这两个三角形是全等的。
3.如果是SSS条件，比较两个三角形的对应边是否相等，如果所有
的对应边都相等，则可以得出两个三角形全等。
4.如果是SAS条件，比较两个三角形的两个对应边是否相等，并比
较它们之间的夹角是否相等。
5.如果是ASA条件，比较两个三角形的两个对应角是否相等，并比
较它们之间的夹边是否相等。
6.如果有多个条件被满足，则根据情况进行比较和验证。
7.当确认两个三角形全等时，可以在解题过程中标记相应的对应边
和对应角。
需要注意的是，解全等三角形问题时，要仔细观察已知条件，并灵活应用几何定理和性质。
在MATLAB等软件中，也可以利用几何绘图工具来可视化并验证全等三角形的关系。
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。
数学全等三角形的判定解题步骤
数学全等三角形的判定解题步骤要判断三角形是否全等，也就是要确定它们的全部边和角是否完全相等。
全等三角形是指拥有完全相等的三条边和三个角度的三角形。
在数学中，我们可以通过一些方法和步骤来判断三角形是否全等。
下面将介绍全等三角形的判定解题步骤。
1.确认三角形的各边长判定三角形是否全等的第一步是确认各个三角形的边长。
通过测量或给定的边长来确定三个三角形的边长。
2.确认三角形的各角度确认三角形的各角度也是判定全等三角形的重要步骤。
通过给定的角度或使用三角函数来计算三角形的各个角度。
3.使用SSS判定法SSS判定法是判断全等三角形的一种方法，它代表“边-边-边”。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形是全等的。
这意味着两个三角形的边长完全相同。
在判断过程中，需要逐一比较每一条边的长度，如果它们都相等，则可以判定这两个三角形是全等的。
4.使用SAS判定法SAS判定法是判断全等三角形的另一种方法，它代表“边-角-边”。
当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形是全等的。
在判断过程中，需要逐一比较每一条边和夹角的大小，如果它们都相等，则可以判定这两个三角形是全等的。
5.使用ASA判定法ASA判定法是判断全等三角形的另一种方法，它代表“角-边-角”。
当两个三角形的两个角和它们夹的边分别相等时，可以判定这两个三角形是全等的。
在判断过程中，需要逐一比较每一个角和夹的边的大小，如果它们都相等，则可以判定这两个三角形是全等的。
6.利用等腰三角形的特性有时候，可以利用等腰三角形的特性来判断全等三角形。
两个三角形的两条边分别相等，并且夹的角也相等时，可以判定这两个三角形是全等的。
这是因为等腰三角形的两个边相等，角也相等。
7.对两个三角形进行比较在确定了各个三角形的边长和角度后，我们需要对两个三角形进行比较。
逐一检查它们的边长和角度是否相等，根据判定法中的SSS、SAS、ASA来判断是否全等。
8.使用对称性有时候，可以利用全等三角形的对称性来判断两个三角形是否全等。
模型构建：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略(解析版)
专题11模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录【典型例题】 (1)【模型一平移型模型】 (1)【模型二轴对称型模型】 (8)【模型三四边形中构造全等三角形解题】 (12)【模型四一线三等角模型】 (19)【模型五三垂直模型】 (25)【模型六旋转型模型】 (30)【模型七倍长中线模型】 (39)【典型例题】【模型一平移型模型】例题：（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）如图，点E ，C 在线段BF 上，AB DE ∥，AB DE =，BE CF =．(1)求证：ABC DEF ≌；(2)若40B ∠=︒，70D ∠=︒，求ACF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)110︒【分析】（1）首先根据，AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，再根据BE CF =，可得出BC EF =，即可判定ABC DEF ≌△△；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得70A D ∠=∠=︒，在ABC 中根据外角的性质即可求出ACF ∠．【详解】（1）证明： AB DE ∥，B DEF∴∠=∠BE CF = ，BE EC CF EC ∴+=+，即BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DEF ≌△△．（2） ABC DEF ≌△△，40B ∠=︒，70D ∠=︒，70A D ∴∠=∠=︒，ACF ∠ 是ABC 的外角，110ACF A B ∴∠=∠+∠=︒．【点睛】此题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用性质定理，即可解题．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ACD 和CEB 中，点A 、B 、C 在一条直线上，D E AD EC AD EC ∠=∠=，∥，．求证：ACD CBE ≌．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A ECB ∠=∠，再根据全等三角形的判定定理ASA 证明ACD CBE ≌．【详解】AD EC ∥ ，A ECB ∴∠=∠，在ACD 和CEB 中，A ECB AD ECDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ACD CBE ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知ABC DEF ≌△△，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上．(1)若140BED ∠=︒，75D ∠=︒，求ACB ∠的度数；(2)若2BE =，3EC =，求BF 的长．【答案】(1)65︒(2)7【分析】（1）由三角形外角性质，得65F BED D ∠=∠-∠=︒，由三角形全等知65ACB F ∠=∠=︒；（2）由条件可推出5BC BE EC =+=，由三角形全等知5BC EF ==，故7BF BE EF =+=．【详解】（1）解：∵140BED ∠=︒，75D ∠=︒，∴65F BED D ∠=∠-∠=︒．∵ABC DEF ≌△△，∴65ACB F ∠=∠=︒；（2）解：∵2BE =，3EC =，∴5BC BE EC =+=∵ABC DEF ≌△△，∴5BC EF ==，∴257BF BE EF =+=+=．故答案为：7．'='时的情形，求此时△ADE（1）如图2，善思小组的同学画出了BA BD（2）如图3，点F是BC的中点，在△ADE平移过程中，连接E F''交射线'=始终成立！请你证明这一结论；现OE OF拓展延伸：（3）请从A，B两题中任选一题作答，我选择______题.A.在△ADE平移的过程中，直接写出以F，A'，D¢为顶点的三角形成为直角三角形时，ABC 是等边三角形，6AB =3AD CD ∴==，BD AC ⊥，将△ADE 从图1的位置开始，沿射线∴A D ''3AD ==，A B BD '=' ，BD AC ⊥，13ADE 是等边三角形，3AD =60DAE ∴∠=︒，3AE =，将△ADE 从图1的位置开始，沿射线60D A E DAE ∴∠=∠'=''︒，A E 'ABC 是等边三角形，6AB =190CD F ∴='∠︒，60C ∠=︒ ，30D FC ∴='∠︒，1322CD CF ∴='=，33322DD CD CD ''∴=-=-=；同理可得32A C '=，39622AA AC A C ''∴=-=-=；△ADE 平移的距离是92；综上所述，以F ，A '，D ¢为顶点的三角形成为直角三角形时，△当A '与C 重合时，如图：A D E ''' 是等边三角形，60E A D A D E E '''''∴∠=∠''=∠=︒，3A F A D '''== ，30A FD A D F ''''∴∠=∠=︒，90FD E A D F A D E ∴∠=∠'''''''+∠=︒，即以F ，D ¢，E '为顶点的三角形成为直角三角形，此时336DD CD A D =+='+'='，△ADE 平移的距离是6；当90D E F ∠=''︒时，如图：60A E D E A D ∠=︒'=∠''''' ，30A E O D E F A E D ∴∠=∠'''''''-∠=︒，30A OE D A E A E O '''''∴∠=∠'-∠='︒，A E O A OE ∴∠='∠'''，3A O A E '''∴==，由()2知A OE '' ≌COF ，3CO A O '∴==，333312DD CD CO A O A D '''∴=+++=+++='，△ADE 平移的距离是12；综上所述，以F ，D ¢，E '为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是6或12．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【模型二轴对称型模型】例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，AB AD =，BC DC =，求证：B D ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据SSS 证明ABC ADC △≌△，得出B D ∠=∠即可．【详解】证明：∵在ABC 和ADC △中AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABC ADC ≌△△，∴B D ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明ABC ADC △≌△．【变式训练】1．（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，EAB FAC ∠=∠，且AE AF =，求证：EDB FDC ∠=∠．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠，再证(SAS)AED AFD △≌△，得ADE ADF ∠=∠，即可得出结论．【详解】解：证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥，BAD CAD ∠=∠，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，EAB FAC ∠=∠ ，EAB BAD FAC CAD ∴∠+∠=∠+∠，即DAE DAF ∠=∠，在AED △与AFD △中，AE AF DAE DAF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AED AFD ∴△≌△，ADE ADF ∴∠=∠，ADB ADE ADC ADF ∴∠-∠=∠-∠，即EDB FDC ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，点E 、F 是线段AB 上的两个点，CE 与DF 交于点M ．已知AF BE =，AC BD =，A B ∠=∠．(1)求证：C D ∠=∠；(2)若60FME ∠=︒．求证：MFE 是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明ACE BDF ≌△△即可．(2)根据ACE BDF ≌△△得到ME MF =，根据有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形证明．【详解】（1）证明：∵AF BE =，∴AF FE BE FE +=+，∴AE BF =，∵AE BF A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE BDF ≌，∴C D ∠=∠．（2）∵()SAS ACE BDF ≌，∴DFE CEF ∠=∠，∴FM EM =，∵60FME ∠=︒，∴MFE 是等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键．3．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB AD =，BC DC =，AC 、BD 相交于点O ，求证：(1)ABC ADC △≌△；(2)AC BD ⊥．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）分别利用SSS 证ABC ADC ≌即可；（2）由ABC ADC ≌得ACB ACD ∠∠=，利用等腰三角形的性质即可得AC BD ⊥．【详解】（1）证明：在ABC 和ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC ADC ≌（SSS ）．（2）证明：由（1）得ABC ADC ≌，∴ACB ACD ∠∠=，∵BC CD =，∴AC BD ⊥．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：如图，AC BC =，AD BD =，E 、F 分别是AC 和BC 的中点．求证：DE DF =．【答案】证明见解析．【分析】由三边对应相等的两个三角形是全等三角形可证ADC BDC ≌ ，再根据全等三角形的性质可由两边对应相等以及它们的夹角相等的两个三角形全等可证CDE CDF ≌ ，即可得出结论．【详解】证明：连接CD在ADC △与BDC 中，AC BC CD CD AD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()SSS ADC BDC ∴≌ ，ACD BCD ∴∠=∠，【变式训练】1．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．(1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD =．求证：___________．证明：___________(2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可）【答案】(1)B D ∠=∠，见解析(2)AC BD ⊥（或AC 垂直平分线段BD ）【分析】（1）B D ∠=∠，连接AC ，证明ABC ADC △△≌，即可得结论；（2）根据全等三角形的性质即可得筝形的两条对角线互相垂直．【详解】（1）解：证明：连接AC ，在ACB △和ACD 中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABC ADC ∴≌ ，B D ∴∠=∠；（2）证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，由（1）知ABC ADC △△≌，BAO DAO ∴∠=∠，在ABO 与ADO △中，AO AO BAO DAO AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABO ADO ∴≅ BO DO ∴=，AOB AOD ∠=∠，180AOB AOD ︒∠+∠= ，90AOB AOD ∴∠=∠=︒，∴AC BD ⊥，∴两条对角线互相垂直．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠FAC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠FAC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，【模型四一线三等角模型】例题：（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线AE 在MAN ∠的内部，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，若90BAC BFE CDE ∠=∠=∠=︒，求证： ≌ABF CAD ；（2）类比探究：如图2，AB AC =，且BAC BFE CDE ∠=∠=∠．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在ABC 中，AB AC =，AB BC >．点E 在BC 边上，2CE BE =，点D 、F 在线段AE 上，BAC BFE CDE ∠=∠=∠．若ABC 的面积为15，2DE AD =，求BEF △与CDE 的面积之比．【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）1:4【变式训练】1．已知CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：BE CF =；②如图2，若180BCA α∠+∠=︒，探索三条线段EF BE AF ，，的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF BE AF =-，见解析(2)不成立，EF BE AF =+，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到ACF CBE ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可；②利用三等角模型及互补证明ACF CBE ∠=∠，得到BCE ≌CAF V 即可；（2）利用互补的性质得到EBC ACF ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可．【详解】（1）①证明：∵90EE CD AF CD ACB ⊥⊥∠=︒，，，∴90BEC AFC ∠=∠=︒，∴9090BCE ACF CBE BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF =；②解：EF BE AF =-．证明：∵180BEC CFA ACB αα∠=∠=∠∠+∠=︒，，∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE αα∠=︒-∠-∠∠=∠-∠=︒-∠-∠，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF CE AF ==，，∴EF CF CE BE AF =-=-；（2）解：EF BE AF =+．理由：∵BEC CFA BCA αα∠=∠=∠∠=∠，，又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB ∠=∠=∠=︒∠+∠+∠=︒，，∴EBC BCE BCE ACF ∠+∠=∠+∠，∴EBC ACF ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴AF CE BE CF ==，，∴EF BE AF =+．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE △的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，【模型五三垂直模型】例题：（2023春·辽宁本溪·七年级统考期末）已知90ACB ∠=︒，AC BC =，AD NM ⊥，BE NM ⊥，垂足分别为点D ，E ．(1)如图①，求证：AD BE DE=+(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD BE DE ，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中的结论不成立．结论：DE AD BE =+，理由见解析【分析】（1）证明()AAS ADC CEB ≌△△，推出CD BE =，AD CE =，再利用线段间的代换即得结论；（2）证明()AAS ADC CEB ≌△△，推出CD BE =，AD CE =，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．【详解】（1）证明：∵AD NM ⊥，BE NM ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90BCE ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC △和CEB 中ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ADC CEB ≌△△，∴CD BE =，AD CE =，∴CE CD DE BE DE =+=+，∴AD BE DE =+；（2）（1）中的结论不成立．结论：DE AD BE =+；理由如下：∵AD NM ⊥，BE NM ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒∵90ACB ∠=︒，∴90BCE ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE∠=∠在ADC △和CEB 中ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌△△，∴CD BE =，AD CE =，∵DE CD CE =+，∴DE AD BE =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期末）在ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析【分析】（1）①由已知推出90ADC BEC ∠=∠= ，90DAC ACD ∠+∠=o 推出DAC BCE =∠∠，根据角角边即可推出．②由①得到,AD CE CD BE ==，即可求出答案．（2）与（1）类似证出ADC CEB △≌△，得到,AD CE CD BE ==代入已知即可知道答案．【详解】（1）①证明：AD DE ⊥ ，BE DE ⊥，90ADC BEC ∴∠=∠= ，90ACB ∠= ，90ACD BCE ∴∠+∠= ，90DAC ACD ∠+∠=o ，DAC BCE ∴∠=∠，在ADC △和CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADC CEB ∴△≌△．②证明：由（1）知：ADC CEB △≌△，AD CE ∴=，CD BE =，DC CE DE += ，AD BE DE ∴+=．（2）证明：BE EC ⊥ ，AD CE ⊥，90ADC BEC ∴∠=∠= ，90EBC ECB∴∠+∠=o，90ACB∠=，90ECB ACE∴∠+∠= ，ACD EBC∴∠=∠，在ADC△和CEB中，ACD CBEADC BECAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AASADC CEB∴△≌△，AD CE∴=，CD BE=，DE EC CD AD BE∴=-=-．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．2．如图，已知：在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，AD MN⊥，BE MN⊥．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：ADC CEB≅；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE AD BE=-；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．（3）DE =BE -AD ；如图3，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∴∠DAC =∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【模型六旋转型模型】例题：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点D 是直线时针旋转90°，得到线段CE ，连接EB ．（1）操作发现如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，【变式训练】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，【类比探究】（2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】【详解】（1）∵ABC 和DBE 是两个都含有45︒角的大小不同的直角三角板，∴90DBE ABC ∠=∠=︒，AB BC =，BD BE =，∴()SAS DBA EBC ≅ ，∴AD CE =；（2）AD CE =，AD CE ⊥，理由如下：∵90DBE ABC ∠=∠=︒，∴90DBA BCE DBC ∠=∠=︒-∠，∵AB BC =，BD BE =，∴()SAS DBA EBC ≅ ，∴AD CE =，ADB CEB ∠=∠，延长AD 与CE 交于点O ，∵90BDE BED ∠+∠=︒，∴90BDE BEC CED ∠+∠+∠=︒，∴90BDE ADB CED ∠+∠+∠=︒，∴90ODE OED ∠+∠=︒，∴90O ∠=︒，∴AD CE ⊥；（3）过A 作AC AM ⊥交CD 延长线于M ，过A 作AN CD ⊥交CD 于N ，∵45ACD ∠=︒，∴45ACD M ∠=∠=︒，∴AC AM =，∵90,BAD AB AD∠=︒=∴90BAC DAM DAC ∠=∠=︒-∠【答案】(1),BC AD BC AD =⊥；(2)45︒；(3)见解析，45︒；(4)存在，2BM AM OM=+【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理SAS 得BOC AOD ≌△△，可证；（3）类比上面思路，通过构建三角形全等BON AOM ≌△△推出ON OM =，进而易得45COM ∠=︒，（4）根据（3）的结论，推导出NOM △是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案．【详解】（1）由题意得，AO BO =，OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，()SAS BOC AOD ∴≌△△，BC AD ∴=，CBO DAO ∠=∠，在Rt AOD 中，90DOA ADO ∠+∠=︒，90CBO ADO ∴∠+∠=︒，90BMD ∴∠=︒，即BC AD ⊥，故答案为：,BC AD BC AD =⊥.（2）45OCD ODC ∠=∠=︒ ，CD BO ∥，45COB OCD ∴∠=∠=︒，又90AOB ∠=︒，45AOC AOB BOC ∴∠=∠-∠=︒,即45α=︒，故答案为：45︒.（3）如图，过O 点作NO OM ⊥，交MB 于N 点，由（1）易知()SAS BOC AOD ≌，CBO DAO ∴∠=∠，BON NOA NOA AOM ∠+∠=∠+∠ ，BON AOM ∴∠=∠，又AO BO =，易得()ASA BON AOM ≌△△，【模型七倍长中线模型】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在ABC ∆中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连结BE ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△，其理由是什么？(2)AD 的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点F ，且AE EF =，试说明AC BF =．【答案】(1)见解析(2)17AD ＜＜(3)见解析【分析】（1）根据AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =推出ADC ∆和EDB ∆全等即可；（2）根据全等得出6BE AC ==，2AE AD =，由三角形三边关系定理得出86286AD -<<+，求出即可；（3）延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ，根据SAS 证ADC MDB ∆∆≌，推出BM AC =，CAD M ∠=∠，根据AE EF =，推出CAD AFE BFD ∠=∠=∠，求出BFD M ∠=∠，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1） 在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆∆≌，∴全等的理由是：SAS ；（2） 由（1）知：ADC EDB ∆∆≌，6BE AC ∴==，2AE AD =， 在ABE ∆中，8AB =，由三角形三边关系定理得：86286AD -<<+，17AD ∴<<；（3）证明：延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ，AD 是ABC ∆中线，CD BD ∴=，在ADC ∆和MDB △中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()ADC MDB SAS ∴≌，BM AC ∴=，CAD M ∠=∠，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，AFE BFD ∠=∠ ，BFD CAD M ∴∠=∠=∠，BF BM AC ∴==，即AC BF =．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键．【变式训练】如图①，在ABC 中，若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，这样就把AB ，AC 关系可判断线段AE 的取值范围是；则中线AD 的取值范围是（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边的中点，DE DF ⊥于点D ，【答案】（1）28,14AE AD <<<<；（2）EF EB CF >+，见解析；（3）BE DF EF+=【分析】（1）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，证明(SAS)ADC EDB ≌△△，可得AC BE =，再由三角形三角关系可得28AE <<，14AD <<；（2）延长FD 至G ，使FD DG =，连接BG ，证明(SAS)CFD GBD ≌，可得BG FC =，连接EG ，可知EFG 是等腰三角形，则FE EG =，在EBG 中，EG EB BG >+，即EF EB CF >+；（3）延长AB 至H 使BH DF =，连接CH ，证明(SAS)CBH CDF ≌，可推导出80CEH ∠=︒，再证明(SAS)FCE HCE ≌，则EH EF =，能推导出BE DF EF +=．【详解】解：（1）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，CD BD = ，ADC BDE ∠=∠，AD DE =，(SAS)ADC EDB ∴△≌△，AC BE ∴=，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，28AE ∴<<，2AE AD = ，14AD ∴<<，故答案为：28AE <<，14AD <<；（2）延长FD 至G ，使FD DG =，连接BG ，CD BD = ，CDF BDG ∠=∠，FD DG =，(SAS)CFD GBD ∴ ≌，BG FC ∴=，连接EG ，ED FD ⊥ ，FD DG =，EFG ∴△是等腰三角形，FE EG ∴=，在EBG 中，EG EB BG >+，即EF EB CF >+；（3）延长AB 至H 使BH DF =，连接CH ，180ABC D ∠+∠=︒ ，180ABC CBH ∠+∠=︒，D CBH ∴∠=∠，CD CB = ，BH DF =，(SAS)CBH CDF ∴ ≌，CH CF ∴=，BCH DCF ∠=∠，160BCD ∠=︒ ，80ECF ∠=︒，80DCF ECB ∴∠+∠=︒，80CEH ∴∠=︒，FC CH = ，EC EC =，(SAS)FCE HCE ∴ ≌，EH EF ∴=，BE BH EH += ，BE DF EF ∴+=．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．2．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在ABC 中，6AB =，4AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD 到E ，使得DE AD =；②连接BE ，通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在ABE ③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB BE AE -<______．方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（2）如图2，AD 是ABC 的中线，AE 是ADC △的中线，且中：直接写出所有正确选项的序号是______．①CAE DAE∠=∠②2AB AE =③DAE DAB ∠=∠④【问题拓展】（2）由“SAS ”可证AEC HED △≌△，可得AC DH =，ACD HDC ∠=∠，由“SAS ”可证ADB ADH ≌，可得AB AH =，BAD DAE ∠=∠，即可求解；（3）由“SAS ”可证AEO CEH △≌△，可得AO CH =，A HCO ∠=∠，由“SAS ”可证BOD HCO △≌△，可得BD OH =，可得结论；（4）由全等三角形的性质可得AEO CEH S S =△△，BOD HCO S S =△△，D COE ∠=∠，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：（1）如图1中，延长AD 至点E ，使ED AD =．在ADC △和EDB △中，DA DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADC EDB ∴△≌△，4AC BE ∴==，=6AB ，6464AE ∴-<<+，2210AD ∴<<<，15AD ∴<<，故答案为：15AD <<；（2）如图2，延长AE 至H ，使EH AE =，连接DH ，AE 是中线，DE EC ∴=，又AEC DEH ∠=∠ ，AE EH =，(SAS)AEC HED ∴△≌△，AC DH ∴=，ACD HDC ∠=∠，ADB ADC ACD ∠=∠+∠ ，ADH ADC CDH ∠=∠+∠，∴∠=∠，ADB ADH为中线，AD∴=，BD CD，=AC CD∴===，BD DC AC DH又AD AD=，∴△≌△，ADB ADH(SAS)∴=，BAD DAEAB AH∠=∠，∴=，AB AE2故答案为：②③；=，连接CH，（3）证明：如图3，延长OE至H，使EH OE是AC的中点，E∴=，AE CE又OE EH=，AEO CEH∠=∠，∴△≌△，(SAS)AEO CEH∠=∠，∴=，A HCOAO CH∴∥，AO CH∴∠+∠=︒，180AOC HCO与COD∠AOB∠互补，∴∠+∠=︒，AOC BOD180∴∠=∠，BOD OCH=，又CH OA OB，OC OD==∴△≌△，BOD HCO(SAS)∴=，BD OH。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------全等三角形解题方法略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。
如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。
上述可归纳为：? ? S (用SSS ) ?S ? ? ? A(用SAS ) S? ? A ? S (用SAS ) ? ? A(用AAS 或ASA) ? ? 证明三角形全等的方法１、平移法构造全等三角形例１如图１所示，四边形 ABCD 中， AC 平分∠DAB ，若 AB> AD ， DC = BC ，求证：∠B + ∠D = 180° 。
分析：利用角平分线构造三角形，将∠D 转移到∠AEC ，而∠AEC 与∠CEB 互补，∠CEB = ∠B ，从而证得∠B + ∠D = 180° 。
主要方法是：“线、角进行转移”。
证明：在 AB 上截取 AE =AD ， D C在 ?ADC 与 ?AEC 中，? AD = AE ? ?∠DAC = ∠EAC ? AC = AC ?∴ ?ADC ≌ ?AEC （SAS）∴ ∠D = ∠AEC , DC = CE , ∵ DC = BC , ∴ CE = BC ，∴ ∠CEB = ∠B , ∵ ∠CEB + ∠AEC = 180° , ∴ ∠B + ∠D = 180° . ２、翻折法1/ 10构造全等三角形例２如图２所示，已知 ?ABC 中， AC =AE图１BBC ，∠ACB = 90° ， BD 平分∠ABC ，求证：AB = BC + CD 。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 证明：∵BD 平分∠ABC ，将 ?BCD 沿 BD 翻折后，点 C 落在 AB 上的点 E ，则有 BE = CE ，B在 ?BCD 与 ?BED 中，? BC = BE ? ?∠CBD = ∠EBD ? BD = BD ?∴ ?BCD ≌ ?BED （SAS）∴ ∠DEA = ∠ACB = 90° , CD = DE , ∵ 已知 ?ABC 中， AC = BC ，∠ACB = 90° ，∴ ∠A = 45° , ∴ ∠EDA = ∠A = 45° , ∴ DE = EA , ∴ AB = BE + EA = BC + CD 。
3、旋转法构造全等三角形、例 3 如图 3 所示，已知点 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边ECD图2AADBC 与 CD 上，并且 AF 平分∠EAD ，求证： BE + DF = AE 。
分析：本题要证的 BE 和 DF 不在同一条直线上，因而要设法分析将它们“组合”到一起。
可将 ?ADF 绕点 A 旋转90° 到 ?ABG ，则?ADF ≌ ?ABG ， BE = DF ，从而将 BE + BG 转化为线段FGE ，再进一步证明 GE = AE 即可。
证明略。
4、延长法构造全等三角形、例 4 如图 4 所示，在 ?ABC 中，∠ACB = 2∠B ，GB图3EC∠BAD = ∠DAC ，求证： AB = AC + CD 。
分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长分析一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。
3/ 10本题可延长 AC 至 E ，使 AE = AB ，构造ABD图4C E?ABD ≌ ?AED ，然后证明 CE = CD ，就可得 AB = AC + CD 。
5、截取法构造全等三角形、例 5 如图 5 所示，在 ?ABC 中，边 BC 上的高为 AD ，又∠B = 2∠C ，求证： CD = AB + BD 。
分析：欲证明 CD = AB + BD ，可以在 CD 上截取一线段等分析于 BD ，再证明另一线段等于 AB 。
如果截取 DE = BD （如图所ABDE图5C---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 示），则 ?ADE 可认为而 ?ADB 沿 AD 翻折而来，从而只需证明 CE = AE 即可。
证明略。
构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。
友情提示：证明三角形全等的方法有 SAS、SSS、AAS、ASA、HL （Rt△）。
一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB+BD=AC。
求证：∠B：∠C=2：1。
证法一：在线段 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。
在△ABD 和△AED 中，∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD △AED。
∴DE=DB，∠B=∠AED。
∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。
又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。
∴∠C=∠EDC。
∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。
5/ 10∴∠B：∠C=2：1。
图1 证法二：延长 AB 到 F，使 BF=BD，连接 DF。
∴∠F=∠BDF。
∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。
∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即 AF=AC。
在△ADF 和△ADC 中，∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF △ADC。
∴∠F=∠C。
又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 图2 点评：见到角平分线时，既可把△ABD 沿 AD 折叠变成△AED，也可把△ACD 沿 AD 折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。
练习：如图3，△ABC 中，AN 平分∠BAC，CN⊥AN 于点 N，M 为BC 中点，若 AC=6，AB=10，求 MN 的长。
图3 提示：延长 CN 交于 AB 于点 D。
则△ACN △ADN，∴AD=AC=6。
又 AB=10，则 BD=4。
可证为△BCD 的中位线。
∴ 。
点评：本题相当于把△ACN 沿 AN 折叠成△AND。
二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2 如图4，AD 为△ABC 中 BC 上的中线，BF 分别交 AC、AD 于点 F、E，且 AF=EF，求证：BE=AC。
图4 证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG。
∵AD 为 BC 上的中线，∴BD=CD，在△ACD 和△GBD 中，∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD △GBD。
∴AC=BG，∠CAD=∠G。
∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。
∴∠G=∠AEF=∠BEG，7/ 10∴BE=BG，∵AC=BG，∴BE=AC。
点评：见中线 AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD △GBD。
例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极 ADE 和 ABC 如图放置，E、A、C 三点在同一直线上，连接 BD，取 BD 中点 M，连接ME、MC图5 试判断△EMC 的形状，并说明理由。
解析：△EMC 为等腰直角三角形。
理由：分别延长 CM、ED，使其相交于点 N，可证△BCM △DNM。
则 BC=DN，CM=NM。
由于△DEA △ACB，则 DE=AC，AE=BC，∴DE+DN=AC+AE。
即 EN=EC，则△ENC 为等腰直角三角形。
∵CM=NM，∴EM⊥CN，则可知△EMC 为等腰直角三角形。
注：①本题也可取 EC 的中点 N，连接 MN，利用梯形中位线定理来证明。
②亦可连接 AM，利用角的度数来证明。
练习1：如图6，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 中点，连接 BE、CE，∠BEC=，图6 求证：（1）BE 平分∠ABC。
（2）若 EC=4，且，求四边形 ABCE 的面积。
提示：见图中所加辅助线，证△ABE △DFE。
练习2：△ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 的取值范围为多少？注：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。
则△BDE △CDA。
∴BE=AC=5，DE=AD=7。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 在△ABE 中，BE=5，AE=14。
利用三角形三边关系可求线段AB 的取值范围为：9<AB<19。
9/ 10三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4 如图7，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，且∠1=∠2。
图7 求证：BE+DF=AE。
证明：延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG。
在△ABG 和△ADF 中，∵AB=AD，∠ABG=∠D= ，BG=DF，∴△ABG △ADF。
∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。
∵∠1=∠2，∴∠4=∠2。
∵AB∥CD，∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。
又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE。
∴AE=GE。