新九年级暑假数学小班讲义经典Word版
第一讲一元二次方程及其解
第1节一元二次方程一般形式
一、课堂学习
(一)根据题意列方程:
(1)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
(2)我校为丰富校园文化氛围,要设计一座2米高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与全部高度的乘积,等于下部(腰以下)高度的平方,求雕像下部的高度。
(3)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校有多少个队参赛?
(二)探索新知:
(1)问题:上述4个方程是不是一元一次方程?有何共同点?
①;②;③。(2)一元二次方程的概念:像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数,并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。
(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a,b,c为常数,)的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为,b为,c为。
(三)注意点:
(1)一元二次方程必须满足三个条件:a ;b ; c 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式:。二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
(3)二次项系数0a ≠是一个重要条件,不能漏掉,为什么? (四)自我尝试:
1、下列列方程中,哪些是关于x 的一元二次方程?
(1)2
50x -= (22
x -= (3)
212
30x x
+-= (4)3
30x x -= (5)2
30x xy +-=
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1) 2351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2
470x -= 二、达标训练:
1、下列方程中,是关于X 的一元二次方程的是( )
A 3=
B 。2221x x x +=-
C 。2
0ax bx c ++= D 。2
3(1)2(1)x x +=+
2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是( )
A 。 2x
B 。 4x
C 。 6-
D 。 6x -
3、将方程2
(21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____,一次项系数为_____,常数项为______。
4、当a_______时,关于X 的方程(a -1)x 2+3x -5=0是一元二次方程。
第2节 一元二次方程的解
一、课堂学习: (一)复习引入:
1、解方程,并说出方程解的定义:3x=2(x+5)
2一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m ,苗圃的长和宽各是多少?
设苗圃的宽为xm ,则长为_______m .
根据题意,得_____ __ 整理,得_____ _ __. (二)探索新知:
1.下面哪些数是上述方程的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____,即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解: (1) 2360x -= (-7,-6,-5, 5, 6, 7) (2) 2
31134902,,1,,0,,1,,22222x ??-=--
-- ???
4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1) 2250x -= (2) 231x = (3) 29160x -= (三)注意点:
1、使一元二次方程成立的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
2、由实际问题列出方程并得出解后,还要考虑这些解是否是实际问题的解。 (四)自我尝试:
1、下列各未知数的值是方程2320x x +-=的解的是( ) A 。 1x = B 。1x =- C 。2x = D 。 1
3
x =
2、根据表格确定方程
287.5x x -+=0的解的范围____________
3、已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是______
二、达标训练:
1、把2
2(1)2x x x x -=++化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______,常数项是_______。 2、一元二次方程2
x x =的根是__________;方程x (x -1)=2的两根为________
3、写出一个以2x =为根的一元二次方程,且使一元二次方程的二次项系数为1: ______ _。
4、已知m 是方程260x x --=的一个根,则代数式2m m -=________。
5.若2
22x x -=,则2243x x -+=_____________。
6.方程ax (x -b )+(b -x )=0的根是 x 1=______ x 2=___
7.已知x=-1是方程ax 2
+bx+c=0的根(b≠0) 8.如果x 2
-81=0,那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________,x 2=__________. 9.已知方程5x 2
+mx -6=0的一个根是x=3,则m 的值为________.
10.如果x=1是方程ax 2
+bx+3=0的一个根,则(a -b )2
+4ab 的值为 .
11、若关于X 的一元二次方程
22
(1)10a x x a -++-=的一个根是0,a 的值是几?你
能得出这个方程的其他根吗?
第二讲 一元二次方程解法
第1节 直接开平方法
一、课堂学习 (一)、问题1.填空
(1)x 2
-8x+______=(x -______)2
;(2)9x 2
+12x+_____=(3x+_____)2
; (3)x 2
+px+_____=(x+______)2
.
问题2.如图,在△ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始,沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动,点Q 从点B 开始,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm ,BC=12cm ,?P 、Q 都从B 点同时出发,几秒后△PBQ 的 面积等于8cm 2
? (二)探索新知:
1、36的平方根是________,
4
9
的平方根是____________。 2、若2
4x =,则x =______________;若2
21x =,则x =__________。 3、请根据提示完成下面解题过程:
(1) 由方程 2
(21)5x -=, (2) 由方程 2
692x x ++=,
得 21x -=_______ 得 (_________)2
=2 即 ∴ ______________=_______ 21x -=____,21x -=_____ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ ∴ 1x =_______, 2x =_____ (三)归纳概括:
1、形如2
x p =(0)p ≥或2
()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的
定义用开平方的方法直接求解,这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成2
x p =或2
()mx n p +=(0)p ≥的形式,那么可得x =,或
mx n +=
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次..,转化 为两个一元一次方程。 (四)自我尝试 解下列方程:
(1)25x = (2) 2
390x -=
(3) 2
(1)4x -= (4) 2
12365x x ++=
二、达标训练:
1、方程2
3x =的根是( )
A 。 123x x ==
B 。 12x x ==
C 。 1
2x x == D 。 12x ==2、解下列方程:
(1)2
4250t -= (2) 2
5(3)125x -= (3) 2
2(1)60x +-=
(4) 2
4410y y ++= (5) 291241x x ++= (6) 2
114
y y -+
=
第2节 配方法
一、课堂学习
(一)复习引入:填上适当的数,使下列等式成立:
(1) 2
12x x ++____ = 2
(6)x + (2) 2
4x x -+____ = (x -___)2 (3) 2
8x x ++____ = (x +____)2 (4)2
x -
4
5x +_____=(x -____)2
由上面等式的左边可知,常数项和一次项系数的关系是: _____________________________________________________ (二)探索新知:请阅读教材第37页,解方程2
450x
x +-=,完成下面框图:
2450x x +-=
(三)归纳总结:
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。
2、配方是为了降次..
,把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。 3、方程的二次项系数不是1时,可以让方程的各项除以二次项系数,将方程的二次项系数化为1.
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是:
①移项,把常数项移到方程右边;
②配方,在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;
③利用直接开平方法解之。
(四)自我尝试:解下列方程:(同桌相互查找问题,进行纠正)
(1) 2
61x x += (2) 2
20x --=3x (3) 2
67x +=2x
二、达标训练:
1、填上适当的数,使下列等式成立:
(1) 2
5____(____x x x ++=+2
) (2) 2
1
____(____2x x x +
+=+2)
(3) 2____(____x x -+=-2) (4) 2____(____b x x x a
++=+2
)
2、将方程2
410x ++=x 配方后,原方程变形为( )
A 。 (23x +=2
) B 。 (43x +=2
) C 。 (25x +=-2
) D 。 (23x +=-2
) 3、解下列方程:
(1) 2
280x +-=x (2) 2
35x +=2x (3) 2
410x -+=2x
第三讲 用公式法和因式分解法
第1节 公式法解一元二次方程
一、课堂学习: (一)复习提问
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、用配方法解方程:x 2
-7x -18=0 3、你能用配方法解方程2
0(0)ax bx c a ++=≠吗?请尝试解
(二)归纳总结: 1、一元二次方程2
0(0)ax
bx c a ++=≠的根由方程的_________确定。当__________
时,它的根是_____________,这个式子叫做一元二次方程的_____________,利用它解一元二次方程的方法叫做______________。 2、一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠:
当2
4b
ac -____时,方程有实数根______________________________;
当___________时,方程有实数根______________________________; 当___________时,方程没有实数根。 (三)、注意点:
1、公式法是解一元二次方程的一般方法。
2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础,通过配方法得出了求根公式;公式法是直接利用求根公式,它省略了具体的配方过程。
3、一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠
当2
40b
ac ->时,方程有实数根:
12b x a
-+=
2x =
当2
40b ac -=时,方程有实数根:122b x x a
==-;
当2
40b
ac -<时,方程没有实数根。
(四)自我尝试: 1、一元二次方程2
0(0)ax
bx c a ++=≠的求根公式是_______________。
2、用公式法解方程: (1) 2
780x
x --= (2) 2260x x +-=
3、 不解方程,判断下列方程实数根的情况: (1) 2
2340x
x --= (2) 2690x x -+= (3) 2340x x ++=
二、达标训练: 1、方程2
10x
x --=的根是( )
A 。 1x 2
x 。 1x =212x =
C 。 1
x 2x D 。 没有实数根
2、下列方程中,没有实数根的是( )
A 。2
210x
x +-= B 。
220x ++= C 。 210x ++= D 。 220x x -++= 3、用公式法解下列方程: (1) 2
2980x x -+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++=