【北京高考物理复习】计算题：电磁感应中微积分思想应用

E 。 Rr
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× M× × × × ×
× B × F × ×
× N ×
图2
图1
【2016 东城期末】 19． （13 分）如图所示，两根足够长平行金属导轨 MN、PQ 固定在倾角 θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有 一阻值 R=3Ω 的定值电阻， 下端开口， 轨道间距 L=1 m。 整个装置处于磁感应强度 B=2T 的匀强磁场中， 磁场方向垂直斜面向上。质量 m=1kg 的金属棒 ab 置于导轨上，ab 在导轨之间的电阻 r=1Ω，电路中其 余电阻不计。金属棒 ab 由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻 力影响。已知金属棒 ab 与导轨间动摩擦因数 μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取 g=10m/s2。 （1）求金属棒 ab 沿导轨向下运动的最大速度 vm； （2）求金属棒 ab 沿导轨向下运动过程中，电阻 R 上的最大电功率 PR； （3）若从金属棒 ab 开始运动至达到最大速度过程中，电阻 R 上产生的焦耳热总共为 1.5J，求流过电阻 R 的总电荷量 q。 B M a b N θ Q θ 第 19 题图 R P
M
R
M
C M M
′
′
e B L N 甲
f
e B L
f
N
′
N 乙
N
′
【2016 海淀二模反馈】 23． （18 分）如图所示，有一固定在水平面的平直轨道，该轨道由白色轨道和黑色轨道交替排列并平滑 连接而成。各段轨道的编号已在图中标出。仅黑色轨道处在竖直向下的匀强电场中，一不带电的小滑块 a 静止在第 1 段轨道的最左端，绝缘带电小滑块 b 静止在第 1 段轨道的最右端。某时刻给小滑块 a 施加 一水平向右的恒力， 使其从静止开始沿轨道向右运动， 小滑块 a 运动到与小滑块 b 碰撞前瞬间撤去小滑 块 a 所受水平恒力。滑块 a、b 碰撞时间极短，碰后粘在一起沿轨道向右运动。已知白色轨道和黑色轨 道各段的长度均为 L，白色轨道为光滑轨道，黑色轨道为粗糙轨道；匀强电场的电场强度的大小 E；滑 块 a、b 的质量均为 m，滑块 a、b 与黑色轨道间的动摩擦因数处处相等，均为 μ，绝缘滑块 b 所带电荷 量+q，小滑块 a 与小滑块 b 碰撞前瞬间的速度大小 v0。a、b 均可视为质点（忽略它们的尺寸大小） ，且 不计 a、b 间的静电力作用，在 a、b 粘在一起沿轨道向右运动过程中电荷量保持不变，重力加速度大小 为 g。 （1）求 a、b 碰撞过程损失的机械能； （2）若碰后 ab 最终停止在第 k 个粗糙段上，求 k 的值； （3）若在电场区域还存在垂直于纸面向里的匀强磁场（磁场在图中未画出） ，磁感应强度 B，并且满足
t0 时刻施加在棒上的外力的大小和方向。 2
（2）若磁场保持 B=B0 不变，如图 10（丙）所示，让导体棒 ab 以初速度 v0 向右滑动，棒滑行的最远 距离为 s。试推导当棒滑行的距离为 λs 时（0<λ<1） ，电阻 R 上消耗的功率 P
2 2 2 2 B0 L (1 ) v0 。 R
b v0 a 图3 B N
mv0 。 m B 2l 2C
M R P a
b v0 B
N C Q P
M
Q
图1
0
图 2
t
【2016 朝阳二模】 23． （18 分）许多电磁现象可以用力的观点来分析，也可以用动量、能量等观点来分析和解释。 （1）如图 1 所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为 L ，一端连接阻值为 R 的电阻。 导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为 B。质量为 m、电阻为 r 的导体棒 MN 放在导 轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。在平行于导轨、大小为 F 的水平恒力作用下，导 体棒从静止开始沿导轨向右运动。 a．当导体棒运动的速度为 v 时，求其加速度 a 的大小； b． 已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为 t， 求这段时间内流经导体棒某横截面的电荷量 q． （2）在如图 2 所示的闭合电路中，设电源的电动势为 E，内阻为 r，外电阻为 R，其余电阻不计，电路 中的电流为 I。请你根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律证明： I
图甲
（2）如图乙所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为 B，一个质量为 m、电荷量为+q 的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为 μ。现使圆环以初速 度 v0 向上运动，经时间 t 圆环回到出发位置。不计空气阻力。已知重力加速度为 g。求当圆环回到出发 位置时速度 v 的大小。
【2017 西城期末】 20.（11 分）如图 1 所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨 MN 和 PQ，两导轨间距为 l，电 阻均可忽略不计。在 M 和 P 之间接有阻值为 R 的定值电阻，导体杆 ab 质量为 m、电阻为 r，并与导轨 接触良好。整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为 B 的匀强磁场中。现给 ab 杆一个初速度 v0，使杆 向右运动。 （1）当 ab 杆刚好具有初速度 v0 时，求此时 ab 杆两端的电压 U，a、b 两端哪端电势高； （2）请在图 2 中定性画出通过电阻 R 的电流 i 随时间变化规律的图象； （3） 若将 M 和 P 之间的电阻 R 改为接一电容为 C 的电容器， 如图 3 所示。 同样给 ab 杆一个初速度 v0， 使杆向右运动。请分析说明 ab 杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为 v i
计算题——电磁感应——微积分思想应用
【2017 昌平期末】 16、 （ 15 分）如图 15 所示，在竖直平面内有相距为 L 的水平金属导轨 MN、PQ，处在垂直纸面向外的 匀强磁场中， 磁感应强度大小为 B。 金属棒与导轨垂直放置且始终在大小为 F 的水平恒力作用下紧贴导 轨运动。金属棒、导轨与可变电阻 Rx、平行板电容器可构成闭合电路。已知电容器的电容为 C，板间 距离为 d、金属棒的质量为 m，重力加速度为 g。不计导轨的电阻、金属棒的电阻及接触电阻；不计导 轨与金属棒间的摩擦阻力。 （1）闭合开关 S， ①调节 Rx=R0，求当金属棒匀速运动时的速度大小 v。 ②只改变 Rx，当金属棒再次匀速运动时，可使一带电粒子（带电量为 q、质量为 m）在平行板电容器之 间处于静止状态，求此时 Rx 的阻值。 （2）证明：断开开关 S，让金属棒在恒力 F 的作用下从静止开始运动，则金属棒做匀加速直线运动。
M N S F L B Rx C
P
Q 图 15
【2017 朝阳期末】 21． （12 分）某小组同学在研究图 1 所示的电磁枪原理时，绘制了图 2 所示的简图（为俯视图） ，图中 两平行金属导轨间距为 L，固定在水平面上，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场中， 平行导轨左端电路如图所示，电源的电动势为 E，电容器的电容为 C。一质量为 m、长度也为 L 的金属 导体棒垂直于轨道平放在导轨上，忽略摩擦阻力和导轨的电阻，假设平行金属导轨足够长。
a B m L R B F B0 B0 B
L
b （甲）
O （乙） 图 10
t0
t
O ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丙）
t
【2015 朝阳一模】 24． （20 分） 研究物理问题的方法是运用现有的知识对问题做深入的学习和研究，找到解决的思路与 方法，例如：模型法、等效法、分析法、图像法。掌握并能运用这些方法在一定程度上比习得物理知识 更加重要。 （1）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为 r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O 是 圆心，AB 是竖直方向的直径。一质量为 m、电荷量为+q 的小球套在圆环上，并静止在 P 点，且 OP 与 竖直方向的夹角 θ=37°。不计空气阻力。已知重力加速度为 g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 a．求电场强度 E 的大小； b．若要使小球从 P 点出发能做完整的圆周运动，求小球初速度应满足的条件。
qv0 B Eq 2mg ，则 ab 最终停止在第 N 个粗糙段上， N 可为小数，其定义为
N 在粗糙段上运动的总长度 。求 ab 在粗糙段上运动的总时间 t。 L
E FR aQ 1 b 2 3 4 n-1 n n+1 E E
【2015 昌平二模】 24． （20 分）如图 10（甲）所示，在竖直向下的匀强磁场中，有两根水平放置的平行导轨，导轨的间距 为 L，左端连接有阻值为 R 的电阻。有一质量为 m 的导体棒 ab 垂直放置在导轨上，距导轨左端恰好 为 L。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，不计导轨和导体棒的电阻，棒与导轨间的摩擦可忽 略。 （1） 若在一段时间 t0 内， 磁场的磁感应强度从 0 开始随时间 t 均匀增大， t0 时刻， B＝B0， 如图 10 （乙） 所示。在导体棒 ab 上施加一外力，保持其静止不动，求： a. 这段时间内棒中的感应电流的大小和方向； b. 在
a b ·· S·
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× B × × × × ×
u
L
× ×
O 图3
q
图1 （1）将开关 S 接 a，电源对电容器充电。 a．求电容器充电结束时所带的电荷量 Q；
图2
b．请在图 3 中画出充电过程中电容器两极板间的电压 u 随电容器所带电荷量 q 变化的图像；借助 u-q 图像求出稳定后电容器储存的能量 E0。 （2）电容器充电结束后，将开关接 b，电容器放电，导体棒由静止开始运动，不计放电电流引起的磁 场影响。 a．已知自由电子的电荷量为 e，请你分析推导当导体棒获得最大速度之后，导体棒中某一自由电子所 受的电场力与导体棒最大速度之间的关系式； b．导体棒由静止到获得最大速度的过程中，由于存在能量损失 ΔE 损，电容器释放的能量没有全部转化 为导体棒的动能，求 ΔE 损。
d
F
P
x
H
G
【2016 海淀三模】 3．MN 和 M′N′为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为 L。在导轨的下部有垂直于 导轨向里的匀强磁场，磁感应强度为 B。金属棒 ef 的长度为 L、质量为 m、电阻可忽略不计。在以下讨 论中，假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒 ef 与导轨垂直并良好接触，导线和各接触处的电阻 不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为 g。 （1）如图甲所示，当在导轨的 MM′端通过导线将阻值为 R 的定值电阻连接，在 t=0 时无初速度地释放 金属棒 ef，求金属棒所能达到的最大速度 vm 的大小。 （2）如图乙所示，当在导轨的 MM′端通过导线将电容为 C、击穿电压为 Ub、正对面积为 S、极板间可 认为是真空、极板间距为 d 的平行板电容器连接，在 t=0 时无初速度地释放金属棒 ef。 ①求电容器达到击穿电压所用的时间； ②金属棒 ef 下落的过程中， 速度逐渐变大， 感应的电动势逐渐变大， 电容器极板上的电荷量逐渐增加， 两极板间存储的电场能也逐渐增加。 单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度。 已知平行板电容 器的电容的大小可表示为 C = 0 S / d ， 0 为真空中的介电常数。证明：平行板电容器两极板间的空间内 的电场能量密度 与电场强度 E 的平方成正比，并求出比例系数。结果用 0 和一些数字的组合表示。
【2016 丰台期末】 18． （12 分）如图所示，光滑导轨 MN、PQ 在同一水平面内平行固定放置，其间距 d=1.0m，右端通过 导线与阻值 R=2.0Ω 的电阻相连，在正方形区域 CDGH 内有竖直向下的匀强磁场.一质量 m=100g、阻值 r=0.5Ω 的金属棒，在与金属棒垂直、大小为 F=0.2N 的水平恒力作用下，从 CH 左侧 x=1.0m 处由静止 开始运动，刚进入磁场区域时恰好做匀速直线运动.不考虑导轨电阻，金属棒始终与导轨垂直并保持良 好接触.求： （1）匀强磁场磁感应强度 B 的大小； （2）金属棒穿过磁场区域的过程中电阻 R 所产生的焦耳热； （3）其它条件不变，如果金属棒进入磁场时立即撤掉恒力 F，试讨论金属棒是否能越过磁场区域并简 要说明理由. M C D N