简单的三角恒等变换(共41张)

cosα cosα
表示) 表示)
2．半角公式
sinα2＝±
1－cosα 2
cosα2＝±
1＋cosα 2
tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα
其符号由α2所在的象限决定．
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
考向三 研究三角函数的图象与性质 [互动讲练型] [例 3] (2016·北京卷)已知函数 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin2ωx＋π4， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ＝ωπ. 依题意，得ωπ ＝π，解得 ω＝1.
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin22x 2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
∴f1π2＝si4nπ6＝8.
答案：8
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．降幂公式
sin2α2＝①__1_－__2c_o_s_α__(用 cosα 表示)
ctaons22α2α2＝＝③②____111__－ ＋＋____cc2c__ooo__sss_αα_α____((用用
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝
213，sin α＝
3， 13
∴ sin
2sαi＋nαc＋os 4π2α＋1＝sin
α＋c22ossαin2α＋＋ccooss2αα－ sin2α＝
826.
—[悟·技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求
(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
解析：原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. 答案：2 2cos α
1＋sin 2．化简
θ＋2c＋os2θco·ssiθn2θ－cos2θ(0<θ<π)＝________.
解析：原式＝2sin2θcosθ2＋2cos22θ·sin2θ－cosθ2 4cos2θ2
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
∴cos θ＝ 46且 θ∈0，π2，∴sin θ＝
1－cos2θ＝
10 4.
f34π－θ＝
3sin34π－θ＋π4＝
3sin θ＝
30 4.
—[悟·技法]—
三角函数求值的 3 类求法 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外 一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具 有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面 上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消 除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的 某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
微专题(十一)—— 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6，23π上的单调性．
[思维点拨] (1)讨论形如 y＝asin ωx＋bcos ωx 型函数的性质，一律化成 y＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数． (2)研究 y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将 ωx＋φ 视为一个整体，换元后结合 y＝sin x 的图象解决．
2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角 恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的形式，然后借助三角函数图象解决．
[失误与防范] 1.利用辅助角公式，asin x＋bcos x 转化时一定要严格对照和 差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时， 不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的范围混淆．
[小题热身]
1．已知 cosπ4－x＝35，则 sin 2x＝(
)
18 A.25
7 B.25
C．－275 D．－1265
解析：因为 cosπ4－x＝35，所以 cos
π 4cos
x＋sinπ4sin
x＝35，
则 sin x＋cos x＝35 2，所以 1＋2sin x·cos x＝1285，即 sin 2x＝－275.
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
源自文库
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________.
解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
6．若 f(x)＝2tan x－2sin2x2x－1x，则 f(1π2)的值为________． sin 2cos2
(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通·一类]— 1．化简：sin s2inα－α－2cπ4os2α＝________.
3 C. 3
D．－
3 3
解析：1＋sinco2sθ2θ＝1＋2si2ncoθsc2oθs－θ1＝tan θ＝ 3. 答案：A
4．化简： cos
cos 40° 25° 1－sin
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式＝
cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
(2)由(1)知 f(x)＝ 2sin2x＋π4. 函数 y＝sin x 的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2 (k∈Z)． 由 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－38π≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－38π，kπ＋π8(k∈Z)．
—[通·一类]—
5．已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知，有
f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－3π
＝1212cos
2x＋
3 2 sin
2x－12cos
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2.
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
[解析] (1)f(x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x
＝cos
xsin
x－
23(1＋cos
2x)＝12sin
2x－
3 2 cos
2x－
3 2
＝sin2x－π3－ 23，
因此 f(x)的最小正周期为 π，最大值为2－2
3 .
(2)当 x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π， 从而当 0≤2x－π3≤π2， 即π6≤x≤51π2时，f(x)单调递增， 当π2≤2x－π3≤π，即51π2≤x≤23π时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在π6，51π2上单调递增；在51π2，23π上单调递减．
—[悟·技法]—
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的形式． (2)利用公式 T＝2ωπ(ω＞0)求周期． (3)根据自变量的范围确定 ωx＋φ 的范围，根据相应的正弦 曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式 的特点，也可换元转化为二次函数的最值． (4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y＝Asin(ωx ＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的单调区间．
2 2
C．1
D.12
解析：由 2tan αsin α＝3，得2csoisn2αα＝3，即 2cos2α＋3cos α－
2＝0，∴cos α＝12或 cos α＝－2(舍去)．
∵－π2<α<0，∴sin α＝－ 23，
∴cosα－π6＝cos αcosπ6＋sin αsinπ6＝0，故选 A. 答案：A
[解析]
(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x
＝2ccooss222xx＝12 cos 2x.
(2)∵α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α －3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，
—[通·一类]—
3．(2017·湖北省教学合作联考)已知 tanα＋π4＝12，且－π2
<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝(
)
A．－2 5 5
B．－3105
C．－3 1010
25 D. 5
解析：因为 tanα＋π4＝1ta－n αta＋n α1＝12，所以 tan α＝－13，因为
考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
－
π 2
<α<0
，
所
以
sin
α＝－
10 10
，
则
2sin2α＋sin 2α cosα－π4
＝
2sin αsin α＋cos α
22cos α＋sin α
＝2
2sin a＝2
2×－
1100＝－2
5
5 .
答案：A
4．已知 2tan αsin α＝3，－π2<α<0，则 cosα－π6的值是(
)
A．0
B.
[温馨提醒] (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成 y＝Asin(ωx ＋φ)，φ 的确定一定要准确． (2)将 ωx＋φ 视为一个整体，设 ωx＋φ＝t，可以借助 y＝sin t 的图象讨论函数的单调性、最值等．
[方法与技巧] 1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结 构之间的联系，然后进行变换．
故选 C.
答案：C
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵α2∈(π2，π)，
∴cos α2＝－
1＋cos 2
α＝－
23＝－ 36.
答案：B
3．若 tan θ＝ 3，则1＋sinco2sθ2θ＝(
)
A. 3 B．－ 3
2x
＝
3 4 sin
2x－14cos
2x＝12sin2x－π6.
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)因为 f(x)在区间－π3，－π6上是减函数， 在区间－π6，π4上是增函数， 且 f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝ 43， 所以 f(x)在区间－π3，π4上的最大值为 43，最小值为－12.