直线与平面、平面与平面的相对位置介绍

直线与平面、平面 与平 面的相对位置介绍
教学提示：在空间中，直线与平面之间和 两平面之间的相对位置可分为 平行、相交及垂直3种情况。
学习要求：掌握直线与平面之间和两平面 之间3种相对位置关系的判定条 件以及求其交点、交线的作法。
4.1 直线与平面、平面与平面平 行
一、直线与一般平面平行
直线L与P平面内的直线AB平行，则L平行于平面P。反之，如果直线L平 行于P平面，则在平面P可以找到与直线L平行的直线。
L
b
A
a
c
X
O
B
c
a
b
检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直
线平行。
4.1 直线与平面平行
4.2 过
【例1】 过C点作平面平行于已知直线AB。
【分析】如图所示，过C点作CD//AB，即cd //ab,c′d′// a′b′，再过点C任作一
直线CE，即ce，c′e′，则CD、CE相交决定的平面为所求。
② 过e，e′分别垂作eh⊥cd，e′h′⊥a′b′，EH即为所求垂线。
e q
q e
e q
h
b
d
c
a
h q
e
d
a
b
c
二、直线和投影面垂直面垂直
P
B A
b
a
p
b a
Q
b
p
a
H
直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平 面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。
【例6】过E点作平面ABCD的垂线。
【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所
作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。
e
d
X
e
d
n
a
f
m
o
am
n
e
g
d
X
e
g d
f
作图步骤：
① 过A点作直线垂直于 △DEF。先在△DEF内作水平
e
c
k
n
ha
线DG和正平线EH，然后过A作
g
直线AK与水平线和正平线垂 直，即ak⊥fg，
a
b
c
在投影图上作平面的垂线时，可作出平面上的正平线和水平线作为面上的相
交二直线。
根据两直线垂直的直角投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在V
面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角。
【例5】 如图4.10（a）所示，过E点作平面Q的垂线。
【分析】 ① 如图4.10（b）所示，要过E作平面Q的垂线，可先作出Q平面上正平线 AB 和水平线CD 的两面投影ab，cd，a′b′，c′d′；
b
e
d
a
c
d
c be a
【分析】如图所示，平面ABCD为铅垂面，在H面积聚为一条线段，要作铅垂面的 垂线，只需作出其H面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所 求垂线的V面投影一定为平行于OX轴直线。
b
a
em d
c
e
d
cb
a
m
作图步骤：
① 过e点作em⊥ad，则em
即为所求垂线的H面投影。 ② 过e′作OX轴的平行
e b
e b
a
c
d
a
c
m
d
X
OX
O
a
c
a
c
b
de
mb
de
4.2 直线与平面、平面与平面垂直
一、直线和一般平面垂直
LCBA NhomakorabeaD
P
e q
h
b
直线d与平面垂直的几c 何条件
是：若直a 线垂直于平面内的两 相交直线，则该直线与平面垂
直。反之，若直h 线垂直于平面，
则该直q 线垂直于平面内的所有
直线。
e
d
注意：
P
L B
D
C
A Q
两平面垂直的几何条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相
互垂直。如图所示，因P平面中一条直线L垂直于平面Q,则P⊥Q。
在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可 直接在两平面的积聚投影中表现出来。
【例8】过点A作平面ABC垂直于△DEF且平行于MN。
平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线， 它应同属于两平面。
直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交 点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来 求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊 情况，然后再讨论一般的作图方法。
d
f
m
a′k′⊥d′h′。则AK即与 X
△DEF垂直。
e
o
am
② 包含AB作平面平行于
g
MN。即作一直线AC，使 ac//mn, a′c′//m′n′,则
d
直线AK与AC所组成的平面平
行于直线MN。
k
h
cn
f
4.3直线与平面、平面与平面相交
直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点， 它既在直线上又在平面上。
平面即为所求。
e X
d a
e
f
O
X
d a
f
b c
O
d
e
a
f
d b
e
a
c
f
四、两投影面垂直面相互平行
Vp
q
P
Q
X
O
p
q
H
p
q
X
O
p
q
当两个投影面垂直面P与Q相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影 面的交线，也相互平行。
【例4】过线段AB作平面平行于平面△CDE。
【分析】由已知可得，△CDE 为铅垂面，且ab//cde，过a作a′m′//c′d′,连 接b′m′，则△AMB即为所求 。
线，过m向上作连系线，两者 交于一点m，则e′m′ 即为 所求垂线的V面投影。
【例7】作正垂面垂直于正平线CD。
【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在V投影面作c′d′的垂线，在此垂线上我们 定 点a′、b′、m′，向下作连系线，可确定平面△ABM即为所求正垂面。
c
c
m
b
a
d
d
b
c
d
c
d
a
m
三、两平面相互垂直
b de
a
b
f
de a
c
c
X
OX
O
d
d
a
cb
e
a
cb
f e
三、两一般平面相互平行
D QE
F A
PB C
若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平 行，则这两个平面互相平行。
【例3】已知A点和△DEF，过A作一平面平行于△DEF。
【分析】如图4.6（b）所示，过A点作两条直线AB和AC，使AB//DE,AC//DF, 即ab//de，a′b′//d′e′, ac//df, a′c′//d′ f′，则AC和AB所决定的
a
X a
b c
b
a
c
O
X
c
c
a
b
b
d e O
d e
二、直线与投影面垂直面平行
A P
C
B D
p
c
a
d b
p
Ha
c
b
d
X
p
Ha
c
b
d
直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂 直面的积聚投影平行。
【例2】 过E点作直线平行于平面ABCD。
【分析】过e作ef //ad，过f 向上作连系线，则过e′与连系线相交的直线都 为所求，此处我们取其中一条，即过e′作c′d′的平行线，与连系线相交于 一点即为f′。