离散数学上机实验指导

离散数学上机实验指导

徐凤生

如果你需要索取源程序，请发邮件至xfs@。

实验1

1实验内容

（1）求任意一个命题公式的真值表。

（2）利用真值表求任意一个命题公式的主范式。

（3）利用真值表进行逻辑推理。

注：（2）和（3）可在（1）的基础上完成。

2实验目的

真值表是命题逻辑中的一个十分重要的概念，利用它几乎可以解决命题逻辑中的所有问题。例如，利用命题公式的真值表，可以判断命题公式的类型、求命题公式的主范式、判断两命题公式是否等价，还可以进行推理等。

本实验通过编写一个程序，让计算机给出命题公式的真值表，并在此基础上进行命题公式类型的判定、求命题公式的主范式等。目的是让学生更加深刻地理解真值表的概念，并掌握真值表的求解方法及其在解决命题逻辑中其他问题中的应用。

3算法的主要思想

利用计算机求命题公式真值表的关键是：①给出命题变元的每一组赋值；②计算命题公式在每一组赋值下的真值。

真值表中命题变元的取值具有如下规律：每列中0和1是交替出现的，且0和1连续出现的个数相同。n个命题变元的每组赋值的生成算法可基于这种思想。

含有n个命题变元的命题公式的真值的计算采用的方法为“算符优先法”。

为了程序实现的方便，约定命题变元只用一个字母表示，非、合取、析取、条件和双条件联结词分别用！、&、|、－、＋来表示。

算符之间的优先关系如表1-32所示：

为实现算符优先算法，另一个称作OPND，用以寄存操作数或运算结果。算法的基本思想是：

（1）首先设置操作数栈为空栈，符号“@”为运算符的栈底元素；

（2）调用函数Divi（exp，myopnd）得到命题公式包含的命题变元序列myopnd（按字典序排列，同

一个命题变元只出现一次）；

（3）依次读入命题公式中的每个字符，若是命题变元则其对应的赋值进OPND栈，若是运算符，则和OPTR栈的栈顶运算符比较后作相应操作，直至整个命题公式求值完毕。

实验2

1实验内容

（1）求任意两个集合的交集、并集、差集。

（2）求任意一个集合的幂集。

（3）求任意一个集合的所有m元子集。

（4）求任意个元素的全排列。

2实验目的

集合论是一切数学的基础，也是计算机科学不可或缺的，在数据结构、数据库理论、开关理论、自动机理论和可计算理论等领域都有广泛的应用。集合的运算规则是集合论中的重要内容。通过该组实验，目的是让学生更加深刻地理解集合的概念和性质，并掌握集合的运算规则等。

3算法的主要思想

集合的表示采用列举法，如A={a,b,c,d}。

（1）求任意两个集合的交集、并集、差集。

A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}

A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}

A－B＝{x|x∈A∧x∉B}

（2）求任意一个集合的幂集。

P(A)＝{A i|i∈J}，其中J＝{i|i是二进制数且

48

47

6

Λ

|

|

000

A

≤i≤

8

7

6

Λ

|

|

1

111

A

}。

（3）求任意一个集合的所有m元子集。

按照（2）求出子集并判断是否符合要求。

（4）求任意个元素的全排列。

设S={1,2,3,…,n}，(a1,a2,…,a n)和(b1,b2,…,b n)是S的两个全排列，若存在i∈{1,2,…,n}，使得对一切j=1,2,…,i有a j=b j且a i+1

求一个排列(a1,a2,…,a n)的下一个排列的算法如下：

（1）求满足关系式a j-1

（2）求满足关系式a i-1

（3）a i-1与a j互换得序列(b1,b2,…,b n)

（4）将(b1,b2,…,b n)中部分b i,b i+1,…,b n的顺序逆转，得到(b1,b2,…,b i-1,b n,…,b i)便是所求得下一个排列。

实验3

1实验内容

判断任意一个关系是否为自反关系、对称关系、传递关系和等价关系？若是等价关系，求出其所有等价类。

2实验目的

关系是集合论中的一个十分重要的概念，关系性质的判定是集合论中的重要内容。通过该组实验，目的是让学生更加深刻地理解关系的概念和性质，并掌握关系性质的判定等。

3算法的主要思想

设R⊆A×A，(1)若∀x(x∈A→xRx)，称R是自反的；(2)若∀x∀y(x、y∈A∧xRy→yRx)，称R是对称的；(3)若∀x∀y∀z(x、y、z∈A∧xRy∧yRz→xRz)，称R是传递的；(4)若R是自反的、对称的和传递的，则称R是等价关系。

在程序实现中，集合和关系用都用集合方式输入。

实验4

1实验内容

判断任意一个关系是否为函数，若是函数，判定其是否为单射、满射或双射。

2实验目的

函数是集合论中的一个十分重要的概念通过该组实验，目的是让学生更加深刻地理解函数的概念和性质，并掌握函数性质的判定等。

3算法的主要思想

设A和B为集合，f⊆A×B，若对任意的x∈A，都存在惟一的y∈B使得xfy成立，则称f为从A到B 的函数。

设f是A到B的函数，若R f＝B(或f(A)＝B)，则称f是A到B的满射；若对任意的x1、x2∈A，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f是A到B的单射；若f既是满射又是单射，则称f是A到B的双射。

在程序中集合用列举法表示，关系用集合表示。例如：A={1，2，3}，B={a，b，c}，A到B上的关系f={<1，a>，<2，b>，<3，c>}。