2020年中考数学热点专题二 规律探究问题解析版
2020年中考数学必考考点专题规律型问题含解析
专题30规律型问题专题知识回顾1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．专题典型题考法及解析【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a＝5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数…，1 2 1 3 2 4 3依此类推，a的值是（）2019A．5B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a相同的数即可得解．2019∵a＝5，1a＝2a＝3＝＝＝﹣，＝，a＝＝＝5，4…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a＝a＝2019 3【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为直角边作1 1△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作 12 1 2 2 23 2 3 3n△R t OA A，并使∠A OA＝60°…按此规律进行下去，则点A的坐标为． 34 3 4 2019【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A，A，A，A，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．1 2 3 4由题意得，A的坐标为（1，0），1A的坐标为（1，），2A的坐标为（﹣2，2），3A的坐标为（﹣8，0），4A的坐标为（﹣8，﹣8），5A的坐标为（16，﹣16），6A的坐标为（64，0），7…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2∵2019÷6＝336…3，n﹣2，∴点A2019的方位与点A的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，23纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2③7﹣2＝（＝（﹣﹣）2，）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、A、A…A在x轴上，B、B、B…B1 2 3 n 1 2 3 n 在直线y＝x上，若A（1，0），且△A△B A、△A△B A…△A B A 都是等边三角形，从左到右的小三角形1 1 12 2 23 n n n+1（阴影部分）的面积分别记为S、S、S…S．则S可表示为（）1 2 3 n nA．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，可得∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，∠OB A＝90°，…，1 12 2 n n 1 2∠OB A＝90°；根据等腰三角形的性质可知A B＝1，B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝2 n n+1 1 1 2 2 2 3 3 n n n﹣1；根据勾股定理可得B B＝，B B＝2，…，B B＝2n 12 23 n n+1，再由面积公式即可求解；解：∵△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 2 23 n n n+1∴A B∥A B∥A B∥…∥A B，B A∥B A∥B A∥…∥B A，△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 23 3 n n 1 2 2 3 34 n n+1 1 1 2 2 2 3 n n n+1∵直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，∠OA B＝120°，1 1 1 1∴∠OB A＝30°，1 1∴OA＝A B，1 1 1∵A（1，0），1∴A B＝1，1 1同理∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，2 2 n n∴B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝22 2 23 3 n n n﹣1，易得∠OB A＝90°，…，∠OB A ＝90°，1 2 n n+1∴B B＝，B B＝2，…，B B＝2n，n n+11 2 2 3∴S＝×1×＝，S＝×2×2＝2，…，S＝×2n﹣1×21 2 nn＝。
2020中考数学重难点专练二 规律探究问题(含答案解析)
2020中考数学重难点专练02 规律探究型问题【命题趋势】规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。
基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。
探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。
所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。
【满分技巧】一．从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕二．关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．三．掌握一些数学思想方法规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1. (2019 贵州省毕节地区)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2. (2019 河北省)对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对3. (2019 湖北省鄂州市)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣34. (2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从(A A为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为()A．2-B．1-C．0 D．15. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）6. (2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）7. (2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+18. (2019 四川省广元市)如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l 的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×23959. (2019 河南省)如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD 组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．二、填空题11. (2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l 上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．12. (2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）13. (2019 浙江省衢州市)如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
2020年中考数学 中考试题精选 探索规律(含解答)-
探索规律型问题【解题指导】探索数、式、符号的变化规律；探究几何问题的结论——探索图形规律. 1、(2004浙江省嘉善县)用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是 ___________cm （用含n 的代数式表示）．2、（2004年泰州市）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中小黑点的个数为y ．图⑴ 填表：⑵ 当n ＝8时，y ＝__________.⑶ 根据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在左图的平面直角坐标系中描出相应的各点（n,y ），其中1≤n ≤5.⑷ 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，现在你能够写出该函数的解析式吗？【探索与交流】1、（金华市）观察一列数：3，8，13，18，23，28……依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是_______________. 2、（舟山市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 _____ . 3、一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____,_____,____这串数是由小明按····· · · · · ·· · ······· · ·· · · · · · · · · · ·· ·· · · · · · ·· · · ·第1次 第2次 第3次 第4次 ······照一定规则写下来的,他第一次写下“0，1”,第二次按着写“2，3”,第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是下面的_____________A ．31，32，64;B ．31，62，63;C ．31，32，33;D ．31，45，46 4、（2004江苏省徐州市）下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的．(1)观察图形，填写 下表：图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长18(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含n 的代数式表示)．(3)这些图形中，任意一个图形的周长与它所含正方形个数之间的函数关系式为______________________________.5、观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来 .6、一个由数字1和0组成的2005位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110……，其中“0”的个数为____________. 7、（扬州）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制数2)1111(转换成十进制形式是数_______ .A 、8B 、15C 、20D 、308、观察下列算式：，221=， 422=，823=，1624=，3225=，6426=12827= ，25628=通过观察，用你所发现的规律写出98的末位数字是 .9、研究下列算式：1=12; 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52;…用代数式表示此规律（n 为正整数）1+3+5+7+……+（2n-1）=______________________.用文字语言表述是：____________________________________.10、观察下面几个算式，你发现了什么规律： 1+2+1=4; 1+2+3+2+1=9;1+2+3+4+3+2+1=16; 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25;……利用上面的规律，你能不能迅速算出1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1=_____11、（山西省）联欢会上，小红按照4个红气球、3个黄气球、2个绿气球的顺序把气球串起来装饰会场，第56个气球的颜色是 .12、（大连市）借助计算器可以求得2222222243,4433,444333,44443333++++……，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想2220032003444+333=L L个个_______________；13、将一边长为16厘米的正方形纸片，剪成四个大小一样的小正方形，然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环下去，剪6次一共剪出多少个小正方形？所剪得正方形个数S和所剪次数n有什么关系？用数学表达式表示为．14、（山东省）下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：……经观察发现：图（2）比图（1）多2个“树枝”，图（3）比（2）多5个“树枝”，图（4）比（3）多10个“树枝”，照此规律，图（7）比（6）多出 _ 个“树枝”.15、（资阳市）如图，已知四边形ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用2003个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是___________.1211DCBA图5……16、（2004年十堰市）有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将三角形对折,得到的三角形还是等腰直角三角形(如图).依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（）A.21B.41C.81D.16117、（南昌市）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖_________块；（2）第n个图案中有白色地砖___________块.18、（宁夏）一组线段AB和CD把正方……第10题图第三个第二个第一个A C AD CADBADC形分成形状相同、面积相等的四部分.现给出四种分法，如图所示.请你从中找出线段AB、CD的位置及关系存在的规律.符合这种规律的线段共有多少组？（不再添加辅助线和其它字母）19、（吉林）如图所示，用用样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；(2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）；……20、（黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明．n=1答案1、4n；2（1）21；（2）57；（3）略；（4）y=n2-n+1；1、2003；2、47；3、B；4、（1）13、28；18、38；（2）5n+3，10n+8；（3）C=2n+2；5、n2+n=n（n+1）；6、668；7、B；8、8；9、n2；10、1002；11、红；12、55…5（2003个）；13、19个；14、80个；15、6011；16、B；17、（1）18；（2）4n+2；18、AB ⊥CD，AB、CD交于正方形的中心；无数组；19、（1）n+3，n+2；（2）y=n2+5n+6；20、图（2）成立；图（3）不成立；过点P作BC的平行线，转化为图（1）；图（3）中结论：h1+h2-h3＝h。
(最新)2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
第 4 题图 3n＋2 【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为 3， 5，7，…，纵向的棋子数量依次为 2，3，4，…，∴第 n 个图案棋子数量为 2n＋1 ＋(n＋1)＝3n＋2. 5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包 括两个顶点)都摆有 n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为 S，按照图中的规律可以 推断 S 与 n(n≥3)的关系是________．
第 3 题图
(1)4033ab 2
【解析】由题意得，菱形
I1
的面积为：1AG 2
·AE＝1×1a×1b＝(1)3ab， 22 2 2
菱形
I2
的面积为：12FQ
·FN＝1×(1×1a)×(1×1b)＝(1)5ab；…；菱形 2 22 22 2
In
的面积为：(1)2n 2
＋1ab.∴当
n＝2016
时，菱形
第 3 题图 (0，21009) 【解析】点 B 的位置依次落在第一象限、y 正半轴、第二象限、 x 负半轴、第三象限、y 负半轴、第四象限、x 正半轴…，每 8 次一循环.2018÷8 ＝ 252……2，所以 B2018 落在 y 轴正半轴，故 B2018 的横坐标是 0；OBn 是正方形 的对角线，OB1＝ 2，OB2＝ 2＝ ( 2)2，OB3＝ 2 2＝ ( 2)3，…，所以 OB2018 ＝ ( 2)2018＝ 21009，所以 B2018 的坐标为(0，21009)． 4. 如图，正△ABO 的边长为 2，O 为坐标原点，A 在 x 轴上，B 在第二象限， △ABO 沿 x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚 3 次后 点 B 的对应点的坐标是________，翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为 ________．
2020年中考数学考点聚焦(二)《选择填空压轴题之规律探索问题》
【点评】 本题考查数字的变化规律：首先观察规律， 根据题目要求得出 a1 取得最小值的切入点是解题的关键．
[对应训练] 1．(1)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种 规律m的值为( C ) A．180 B．182 C．184 D．186
(2)按一定规律排列的一列数依次为：2，1，8，11，14，17，…，按此规律，这列数中的第 100
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表示的数量时， 先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否 有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数n看作自变量，把第n个图形 的个数看作函数，设函数解析式为y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以 解决)，再代入三组数值计算出函数解析式(若算出a＝0就是一次函数)即可．
组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段 A2016A2017 的长为( B )
A．( 3)2015 B．( 3)2016
2
2
C．( 3)2017 D．( 3)2018
2
2
(2)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点 A1，A2，A3…在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3…在x轴上，则An的 坐标是__(_2_n_－__1_－__1_，__2_n_－__1_)______．
外侧作等边三角形 A2B2C2，…按此规律进行下去，则第 n 个等边三角形 AnBnCn 的面积为
2020-2021学年中考数学重难题型突破规律探究含解析
2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。
多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。
3、规律探究类问题架构：模块一一阶等差规律探究题组一规律探究——第一次做差为常数一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、一阶等差的实质：通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下：113+⨯ 123+⨯ 133+⨯ 13+⨯n由一阶等差的实质可得规律为：b dn a n +=。
d 为求出的不变差，b 的求解可带第一组值求解。
3、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1 如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子．(1)(2)(3)……【规范答题】法一：套通项公式。
2020年中考数学二轮核心考点讲解第05讲规律问题专题解析版
【中考数学二轮核心考点讲解】第05讲规律问题专题一、解题策略规律探索题型一般可分为数的规律、式的规律、图形的规律、周期规律问题或与图形有关的操作变化过程的规律等类型；不管是哪种类型的规律问题，解决问题的实质性方法都大同小异，一个方向先将前三种、四种的结果呈现出来，通过结果发现规律；另一个方向是从前面几种结果的探索过程出现的一致性发现规律，我们简称为结果导向型和过程导向型。
二、常见数字规律类型总结为了更方便的观察和得出规律，通常我们需要基础常见的规律类型总结：（1）“等差型”（2）“乘积型”（3）“乘方型”（也叫“连乘型”）（4）“递增型”（3）“正负型”【例题1】（2019•青海）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有个菱形……，第n个图中共有个菱形．【解析】（1）第1个图形有菱形1个，第2个图形有菱形4＝1+3个，第3个图形有菱形7＝1+3×2个，第4个图形有菱形10＝1+3×3个，…，第n个图形有菱形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个，当n＝5时，3n﹣2＝13，故答案为：13，（3n﹣2）．【例题2】（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019， 故答案为2019【例题3】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个点．【答案】135．【例题4】如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A ．2017πB ．2034πC ．3024πD ．3026π 【答案】D ．【解析】∵AB =4，BC =3，∴AC =BD =5，转动一次A 的路线长是：904180π⨯ =2π，转动第二次的路线长是：905180π⨯ =52π，转动第三次的路线长是：903180π⨯ =32π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：52π+32π+2π=6π，∵2017÷4=504…1，∴顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，故选D ．【例题5】（2019•铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）【解析】第1个数为（﹣1）1•，第2个数为（﹣1）2•，第3个数为（﹣1）3•，第4个数为（﹣1）4•，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．【例题6】（2019•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．【解析】直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．【例题7】设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S1=______，S n可表示为______．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)答案：31，12n ＋1【例题8】（2019•朝阳）如图，直线y ＝x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB ⊥AM ，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1A n 中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为 ．【解析】在直线y ＝x +1中，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣3； ∴OA ＝1，OM ＝3， ∴tan ∠AMO ＝，∵∠OAB +∠OAM ＝90°，∠AMO +∠OAM ＝90°， ∴∠OAB ＝∠AMO ， ∴tan ∠OAB ＝，∴OB ＝．∵，∴，易得tan ，∴，∴，∴，同理可得，，…，＝．故答案为：．1．（2019•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（）A．（1200，）B．（600，0）C．（600，）D．（1200，0）【解析】根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），∴点C100的横坐标为100×6＝600，∴点C100的坐标为（600，0）．故选：B．2．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【解析】∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．3．（2019•赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．4．（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【解析】观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，∵2019÷4＝504 (3)∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．故选：A．5．（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n﹣1，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n﹣1＝；故选：D．6．（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解析】点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．7．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．8．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．9．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为（）A．（）n B．（）n+1 C．（）n﹣1+D．【解析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；同理可得A3的纵坐标为，…按此规律，则点A n的纵坐标为（）n，故选：A．10．（2019•内江）如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D1的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，折痕D1E1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D n﹣1E n﹣1，到AC的距离记为h n．若h1＝1，则h n的值为（）A．1+B．1+C．2﹣D．2﹣【解析】∵D是BC的中点，折痕DE到AC的距离为h1∴点B到DE的距离＝h1＝1，∵D1是BD的中点，折痕D1E1到AC的距离记为h2，∴D1E1到AC的距离h2＝h1+点B到D1E1的距离＝1+h1＝1+，同理：h3＝h2+h1＝1++，h4＝h3+h1＝1+++……h n＝1++++…+＝2﹣故选：C．11．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是（，）．【解析】由题意知，A1（，），A2（1，0），A3（，），A4（2，0），A5（，﹣），A6（3，0），A7（，）…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，∴A2019（，），故答案为：（，）．12．（2019•抚顺）如图，直线l1的解析式是y＝x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则S n＝（﹣）×（）2n﹣2．（用含有正整数n的式子表示）【解析】过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，∵点A1在l1上，A1的横坐标为，点A1（，），∴OD＝，A1D＝，∴OA1＝＝＝，∴在Rt△A1OD中，A1D＝OA1，∴∠A1OD＝30°，∵直线l2的解析式是y＝x，∴∠B1OD＝60°，∴∠A1OB1＝30°，∴A1B1＝OA1•tan∠A1OB1＝1，∵A1B1⊥l1交l2于点B1，∴∠A1B1O＝60°，∴∠A1B1B2＝120°，∴∠B1A1C1＝60°，∵四边形A1B1B2C1是菱形，∴△A1B1C1是等边三角形，∴S1＝2（S﹣S）＝2×（﹣×12）＝﹣，∵A1C1∥B1B2，∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，∴A2C1＝，A2B2＝A2C1+B2C1＝，∠A2B2O＝60°，同理S2＝2（S﹣S）＝2×[﹣×（）2]＝（﹣）×（）2，S3＝（﹣）×（）4，…∴S n＝（﹣）×（）2（n﹣1）＝（﹣）×（）2n﹣2．故答案为：（﹣）×（）2n﹣2．13．（2019•鸡西）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝22017．【解析】∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝＝1，同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2019＝22017，故答案为：22017．14．（2019•聊城）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n．（n≥3，n是整数）处，那么线段A n A的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．【解析】由于OA＝4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，故线段A n A的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．故答案为：4﹣．15．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【解析】∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．16．（2019•营口）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，过点A1作x轴的垂线交直线l2：y＝x于点B1，过点A1作A1B1的垂线交y轴于点B2，此时点B2与原点O重合，连接A2B1交x轴于点C1，得到第1个△C1B1B2；过点A2作y轴的垂线交l2于点B3，过点B3作y轴的平行线交l1于点A3，连接A3B2与A2B3交于点C2，得到第2个△C2B2B3……按照此规律进行下去，则第2019个△C2019B2019B2020的面积是．【解析】∵y＝x+与x轴交于点A1，与y轴交于点A2，∴，在y＝中，当x＝﹣1时，y＝﹣，∴，设直线A2B1的解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线A2B1的解析式为：，令y＝0，可得：x＝﹣，∴C2（﹣，0），∴＝，∵△A1B1B2∽△A2B2B3，∴△C1B1B2∽△C2B2B3，∴，∴，同理可得：…，∴△C2019B2019B2020的面积＝，故答案为：．17．（2019•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2019＝×42018．【解析】∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，∴A1D1∥A2C1，∴＝，∴＝，∴A1D1＝，同理可得：A2D2＝，∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，S n＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，∴S2019＝×42018，故答案为：×42018．18．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为﹣31009．【解析】由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009+1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．19．（2019•泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是2（2n﹣1）．【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：2（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝2（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：2×（2n﹣1），故答案为：2（2n﹣1），20．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是（47，16）．【解析】∵OA1＝1，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，∴C2（2，），C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝2，代入y＝x+求得横坐标为5，∴C3（5，2），∴C4（11，4），C5（23，8），∴C6（47，16）；故答案为（47，16）．21．（2019•铁岭）如图，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为点C2，过点C2作C2A2∥C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1；过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为点C3，过点C3作C3A3∥C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2；过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为点C4，过点C4作C4A4∥C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3；……按照上面的作法进行下去，则△A n+1C n+1∁n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）【解析】∵A1C1＝A1O＝2，A1C2⊥OC1，∴OC2＝C2C1，∵∠A1OC1＝30°，∴A1C2＝OA1＝1，∴C1C2＝＝＝，∵C2A2∥C1A1，∴△OA2C2∽△OA1C1，∴＝，∴A2C2＝A1C1＝1，同理，A2C3＝A1C2＝，∴S＝C1C2•A2C3＝××＝，同理，C2C3＝＝＝，A3C3＝A2C2＝，A3C4＝A2C3＝×＝，∴S＝C2C3•A3C4＝××＝，同理，C3C4＝＝＝，A4C4＝A3C3＝，A4C5＝A3C4＝，∴S＝C3C4•A4C5＝××＝…，∴S＝，故答案为：．22．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n 为正整数）的纵坐标为（﹣1）n+1（）．（用含n的式子表示）【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝﹣，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，﹣），则A2D2＝，Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，∴ED2＝，∵OD2＝2+＝x，解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，A2D2＝＝＝，即A2的纵坐标为﹣；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3＝，Rt△F A3D3中，∠F A3D3＝30°，∴FD3＝，∵OD3＝2+2﹣2+＝x，解得：x1＝（舍），x2＝+；∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，A3D3＝＝＝（﹣），即A3的纵坐标为（﹣）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；故答案为：（﹣1）n+1（）；23．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019）．【解析】过A1作A1C⊥x轴于C，∵四边形OAA1B是菱形，∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，∴A1C＝，AC＝，∴OC＝OA+AC＝，在Rt△OA1C中，OA1＝＝，∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，∴∠A3A2B1＝90°，∴∠A2B1A3＝60°，∴B1A3＝2，A2A3＝3，∴OA3＝OB1+B1A3＝3＝（）3∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1＝＝（）1，∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，2），∵菱形OA3A4B3的边长为3＝（）3，∴OA4＝9＝（）4，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（）2，∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，3），…以此类推，菱形菱形OA2019A2020B2019的边长为（）2019，OA2020＝（）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（）2018，∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，∵2018÷12＝168…2，∴点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为（﹣（）2018，（）2019），故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．24．（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n，则S n＝（）n﹣1•．（n≥2，且n为整数）【解析】由题意：△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2，…，∽△O n﹣1O n A n﹣1，相似比：＝＝sin60°＝，∵S1＝＝×1×＝，＝，∴S2＝S1，S3＝（）2•S1，…，S n＝（）n﹣1•S1＝（）n﹣1•，故答案为：（）n﹣1•．25．（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…△A n B n∁n都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3…B n都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3…∁n都在直线l：y＝x+上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥A n B n∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥A n∁n∥x轴，若点A的横坐标为﹣1，则点∁n的纵坐标是．【解析】由题意A（﹣1，1），可得C（0，1），设C1（m，m），则m＝m+，解得m＝2，∴C1（2，2），设C2（n，n﹣2），则n﹣2＝n+，解得n＝5，∴C2（5，3），设C3（a，a﹣5），则a﹣5＝a+，解得a＝，∴C3（，），同法可得C4（，），…，∁n的纵坐标为，故答案为．26．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）【解析】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x 轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD＝2，B1D＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，∴点C1的横坐标为：2++（）0，点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1＝．故答案为：．27．如图所示，n+1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S1=，S n=（用含n的式子表示）．【解析】∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，∴S△AB1C1=×1×1=，连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1∵∠B1C1B2=90°∴A1B1∥B2C1∴△B1C1B2是等腰直角三角形，且边长=1，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1：D1C1=1：1，∴S1=×=，故答案为：；同理：B2B3：AC2=1：2，∴B2D2：D2C2=1：2，∴S2=×=，同理：B3B4：AC3=1：3，∴B3D3：D3C3=1：3，∴S3=×=，∴S4=×=，…∴S n=故答案为：．28．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．29.如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）A．n1 2n1 ++B．m3n1-C．2n2n1-D．2n2n1+【答案】D．【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．直线上点的坐标与方程的关系；3．相似三角形的判定和性质．【解答】∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2）．同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6）…∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1．∴1122A B1A B2=.∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2．∴A1B1边上的高为：13.∴1111A B C111S S2233∆==⋅⋅=.同理可得出：2223332A B C3A B C49S S,S S57∆∆====，……∴2nnS2n1=+．故选D．30.在直角坐标系中，直线错误!未找到引用源。
2020届中考数学试题分类汇编：规律探索(含精析)
（2020•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=﹣．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故a n=﹣．解答：解：通过分析数据可知第n个等式为：a n=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．（2020，娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.（2020•益阳）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是21 ．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …考点：规律型：数字的变化类．分析：根据第一行第3个数是前两个数值之和，进而得出答案．解答：解：根据题意可得出：a=13+5=21．故答案为：21．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键．（2020，永州）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 .（请填入方块上的字母）3()图甲A B C D GE F2341322422221111111133()图乙00（2020•荆州）观察下面的单项式：a ，﹣2a 2，4a 3，﹣8a 4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ﹣128a 8．考点： 规律型：数字的变化类． 专题：规律型． 分析： 根据单项式可知n 为双数时a 的前面要加上负号，而a 的系数为2（n ﹣1），a 的指数为n ．解答：解：第八项为﹣27a 8=﹣128a 8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．（2020•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2020BC 和∠A 2020CD 的平分线交于点A 2020，则∠A 2020= 度。
2020年中考数学热点专题二 规律探究问题解析版
2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
【优选】2020届数学中考复习讲解课件：专题复习(二) 规律与猜想
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14．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电 子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰 撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的 反射角和入射角都等于 45°.若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2 019 次 后，则它与 AB 边的碰撞次数是 673 ．
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按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式： 121＝61＋616 (2)写出你猜想的第 n 个等式：
； 2n2－1＝n1＋n（2n1－1）
(用含
n
的等
式表示)，并证明． 证明：∵n1＋n（2n1－1）＝n（22nn－－11）＋n（2n1－1）＝n2（n2－n1－＋11）＝
2n2－1，
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(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，…，
An 在
x
轴上，点
B1，B2，B3，…，Bn 在直线
y＝
3 3x
上．若
A1(1，0)，且
△ A1B1A2，△ A2B2A3，…，△ AnBnAn＋1 都是等边三角形，从左到右的小三
角形(阴影部分)的面积分别记为 S1，S2，S3，…，Sn，则 Sn 可表示为( D ) A．22n 3
A．(
22，－
2 2)
B．(1，0)
C．(－
22，－
2 2)
D．(0，－1)
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17．(2019·广元)如图，过点
A0(0，1)作
y
轴的垂线交直线
l：y＝
3 3x
于
点 A1，过点 A1 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索(含答案)
2020年中考数学一轮专项复习——规律探索中考备考攻略规律探索型问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.纵观宜宾近五年中考，往往以选择题、填空题形式出现，这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖.其目的是考查收集、分析数据、处理信息的能力.所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题.规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，既考查分析、解决问题能力，也考查观察、联想、归纳能力以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空题、选择题或解答题.中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ ）A .5B .－14C .43D .451.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ ）A. a 10＋b 19 B .a 10－b 19 C .a 10－b 17 D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数： .3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116，1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ .4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n、…，若前n行点数和为930，则n＝（）A.29B.30C.31D.325.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57911131517192123252729………………根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639B.637C.635D.633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（）A B C D6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数4710131619…（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 .8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 .中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 .,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 .5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ .6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.10.一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x －1）个车站发给该站的邮包（x －1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n －x ）个车站的邮包（n －x ）个.（1）根据题意，完成下表：车站序号 在第x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总个数1 n －12 （n －1）－1＋（n －2）＝2（n －2）3 2（n －2）－2＋（n －3）＝3（n －3）4 3（n －3）－3＋（n －4）＝4（n －4）5 … … n 0（2）根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y （用x 、n 表示）； （3）当n ＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？参考答案中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ D ）A .5B .－14C .43D .45【解析】∵a 1＝5，a 2＝11－a 1＝11－5＝－14，a 3＝11－a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－14＝45，a 4＝11－a 3＝11－45＝5，…，∴数列以5、－14、45三个数依次不断循环.∵2 019÷3＝673，∴a 2 019＝a 3＝45.1.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ B ）A .a 10＋b 19B .a 10－b 19C .a 10－b 17D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数：2n －1n 2＋1Ｗ. 3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116， 1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ 1190 Ｗ. 4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法： 设S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，① 则2S ＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.② ②－①，得2S －S ＝S ＝22 019－1.∴S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1＋2＋22＋…＋29＝ ； （2）3＋32＋…＋310＝ ；（3）求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－12； （3）设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，①则aS ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1.②②－①，得（a －1）S ＝a n ＋1－1.∴S ＝a n ＋1－1a －1，即1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝an ＋1－1a －1.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n 、…，若前n 行点数和为930，则n ＝（ B ）A .29B .30C .31D .32【解析】设前n 行的点数和为S ，则S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（2n ＋2）n2＝n （n ＋1）. 若S ＝930，则n （n ＋1）＝930，即（n ＋31）（n －30）＝0，∴n 1＝－31（不合题意，舍去），n 2＝30.5.将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A .639 B .637 C .635 D .633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（ B ）A B C D【解析】根据题意可知前面4个笑脸循环出现，因为2 018÷4＝504……2，所以第2 018个图形是循环出现到第2个图形.6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … n火柴棒根数4 7 10 13 16 19 … 3n ＋1（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？解：（1）见上表；（2）由3（n ＋1）＋1＝22，解得n ＝6. ∴这位同学最后摆的图案是第7个图案.图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ C ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h 2＝1＋12h 1，依次得出h 3、h 4、…、h n ，再对h n 进行计算变形即可.,7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ D ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 （505，505） .【解析】根据各个点（点A 1和第四象限内的点除外）分别位于象限的角平分线上，逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，根据规律推出点A 2 018的坐标.通过观察可得序号是4的倍数的点在第三象限，由2 018÷4＝504……2，得点A 2 018在第一象限，其横、纵坐标都为（2 018－2）÷4＋1＝505.,8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 （47，16） Ｗ.中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ D ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 （2n －1，2n －1） Ｗ.,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1 838 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 （－22 017，22 0173） Ｗ.5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ 1 Ｗ.6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 （3n ＋1） 枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形共有 6 058 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试 （1）问前4个台阶上数的和是多少？ （2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用 求从下到上前31个台阶上数的和；发现 试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.解：尝试 （1）由题意，得－5－2＋1＋9＝3，故前4个台阶上的数字的和是3； （2）由题意，得－2＋1＋9＋x ＝3，所以x ＝－5；应用 由题意知台阶上的数从下到上每4个循环，因为31÷4＝7……3，所以7×3＋1－2－5＝15， 即从下到上前31个台阶上数的和是15. 发现 “1”所在的台阶数为4k －1.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝ ；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝ ；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0， 解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019＝1－12 019＝2 018 2 019.10.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（2（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。
2020年中考数学选择填空压轴题汇编规律探索含解析.docx
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），×2×2=2，∴第1个等腰直角三角形的面积=12∵A2（6，0），=2√2，∴第2个等腰直角三角形的边长为√2×2√2×2√2=4＝22，∴第2个等腰直角三角形的面积=12∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，×4×4=8＝23，∴第3个等腰直角三角形的面积=12…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y 6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3x⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2√x，0）B．（0，√2x+1）C．（0，√2x(x−1)）D．（0，2√x）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m=√2−1，∴OB2＝2√2，设A3（a，2√2+n），则有n＝a（2√2+a）＝1，解得a=√3−√2，∴OB3＝2√3，同法可得，OB4＝2√4，∴OB n＝2√x，∴B n（0，2√x）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y=−12直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，x上，∵P2在直线y=−12x，∴1=−12∴x ＝﹣2，∴P 2（﹣2，1），即P 2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P 3的横坐标为﹣2＝﹣21，P 4的横坐标为4＝22，P 5＝22，P 6＝﹣23，P 7＝﹣23，P 8＝24…，∴P 4n ＝212x ，∴P 2020的横坐标为212×2020=21010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…， ∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则xA n的坐标为（2√x，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），把B1（t，√3t）代入y=√3x∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），得（2√2+n）•√3n=√3，把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√x，0），故答案为：(2√x，0)．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3．上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°x【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，=60°；∠NOC=(3−2)×180°3=90°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD=(4−2)×180°4=108°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE=(5−2)×180°5…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°x故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n=(x−2)×180°．x13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．1100B．120C．1101D．2101【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是1005050=2101，故选：D．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是m、n 同为奇数或m、n同为偶数．【解答】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m ，n ）位置恰好为A 型地砖，正整数m ，n 须满足的条件为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数． 故答案为m 、n 同为奇数或m 、n 同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：xx 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；x 1x 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；x 1x 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；x 1x 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯xx 1̂，x 1x 1̂，x 1x 1̂，x 1x 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则x 2020x 2020̂的长是 4039π ．【解答】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n ﹣1＝AA n ＝4（n ﹣1）+1，BA n ＝BB n ＝4（n ﹣1）+2，故x 2020x 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，x 2020x 2020̂的弧长=90180×8078x =4039x ．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx +k +1与直线12：y ＝（k +1）x +k +2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 （﹣1，1） ；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝ 14，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为50101．【解答】解：∵直线11：y ＝kx +k +1＝k （x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y ＝（k +1）x +k +2＝k （x +1）+（x +1）+1＝（k +1）（x +1）+1， ∴直线12：y ＝（k +1）x +k +2经过点（﹣1，1）．∴无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y ＝kx +k +1与x 轴的交点为（−x +1x，0）， 直线12：y ＝（k +1）x +k +2与x 轴的交点为（−x +2x +1，0）， ∴S K =12×|−x +1x +x +2x +1|×1=12x (x +1)， ∴S 1=12×11×2=14；∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101] =12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）] =12×（1−1101） =12×100101=50101．故答案为（﹣1，1）；14；50101． 18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a 1，第2幅图中“▱”的个数为a 2，第3幅图中“▱”的个数为a 3，…，以此类推，若2x 1+2x 2+2x 3+⋯+2x x=x2020．（n 为正整数），则n 的值为 4039 ．【解答】解：由图形知a 1＝1×2，a 2＝2×3，a 3＝3×4， ∴a n ＝n （n +1），∵2x 1+2x 2+2x 3+⋯+2x x=x2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2x (x +1)=x2020， ∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1x −1x +1）=x2020， ∴2×（1−1x +1）=x 2020， 1−1x +1=x4040， 解得n ＝4039，经检验：n ＝4039是分式方程的解， 故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =xx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝ 4√3 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．【解答】解：设直线y =−√3x +b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ． ∵y =−√3x +b ，∴当y ＝0时，x =√33b ，即点D 的坐标为（√33b ，0）， 当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =−√33b ．∵在Rt △AOD 中，tan ∠ADO =xxxx =√3， ∴∠ADO ＝60°．∵直线y =−√3x +b 与双曲线y =xx 在第三象限交于B 、C 两点， ∴−√3x +b =xx，整理得，−√3x 2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=√33k ，即EB •FC =√33k ，∵xxxx =cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．。
通用版2020年中考数学二轮复习专题：规律探索问题
， A2 1,0 ，
33
同理可得 A3 ,
，
22
A4 2,0 ，
A5 5 ,
3
，
22
A6 3,0 ，
73
A7 ,
，
22
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每
2019 ÷ 6=336 …，３
A2019
2019 ， 3 22
6 个点依次为： 3 ,0, 3 ,0, 10 【解析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个． 第 2 幅图中有 2×２﹣ 1＝ 3 个． 第 3 幅图中有 2×３﹣ 1＝ 5 个． 第 4 幅图中有 2×４﹣ 1＝ 7 个．
…． 可以发现，每个图形都比前一个图形多
2 个．
故第 n 幅图中共有（ 2n﹣ 1）个． 当图中有 2019 个菱形时，
（ 1）写出第 6 个等式：
；
（ 2）写出你猜想的第 n 个等式：
( 用含 n 的等式表示 )，并证明 .
1．【答案】 B
【解析】 1, 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 ， … ，可写为：
1 12 123 1 234 , , , , , , , , , ，…，
12 1 3 2 1 4 3 2 1
2n﹣ 1＝ 2019 n＝ 1010， 故答案为 1010
【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规 律．
4．【答案】 3
【解析】 2019 4 504 3 ， 故第 2019 个图案中的指针指向与第 3 个图案相同， 故答案为： 3
【点睛】
本题考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．
2020年中考数学考点分类讲解-规律探索性问题(含解析)
读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法 进行简化计算，从而得到公式1 2 2 3 3 4 n (n 1)
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一 般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各 部分的特征，改写成要求的规律的形式。
1,3 5 , 7 , 9 L 例1. 有一组数： 2 5 10 17 26 ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n
A．29
B．30 C．31
D．32
分析：有图个可以Biblioteka 出以后每行的点数增加2，前n行点数和也就是前n个偶数的和。
解答：解：设前n行的点数和为s．
(2n 2)n 则s=2+4+6+…+2n= 2 =n（n+1）．
若s=930，则n（n+1）=930． ∴（n+31）（n﹣30）=0． ∴n=﹣31或30．故选B．
2020年中考数学考点分类讲解
规律探索性问题
第一部分 讲解部分
一．专题诠释
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现 题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文 字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息 的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
【2020赢在中考】数学二轮中考数学考点剖析解读与强化训练解析卷
【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题01 规律探索问题规律探索问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、思路点拨、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
规律探索问题是中考命题的热点之一，在全国各地的中考试卷中经常以选择、填空或解题过程题的形式出现。
常见类型有：（1）数与式规律问题：数与式规律问题涉及数的变化规律和式的变化规律。
数的变化规律问题是按一定规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题；式的变化规律问题通常给定一些代数式，等式或不等式，猜想其中蕴含的规律。
（2）图形变化规律问题：图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律。
主要是观察图形变化过程中的特点，思路点拨其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律。
（3）坐标变化规律问题：坐标变化规律问题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题时解题过程问题的关键。
规律探索问题对考生的观察思路点拨能力要求较高，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找共同之处，即存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等，都能用到。
考向一数与式规律问题例1．（2018年山东省淄博）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9 B．10 C．11 D．12【思路点拨】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；【解题过程】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，故答案为2018．【名师点睛】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．考向二图形变化规律问题例2．（2018年江苏省徐州）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个．（用含n的代数式表示）【思路点拨】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数﹣黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律．【解题过程】解：方法一：第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3﹣1个，第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5﹣2个，第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7﹣3个，依此类推，第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）﹣n个，即：白色正方形5n+3个，黑色正方形n个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个，方法二第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个．【名师点睛】本题考查了几何图形的变化规律，是探索型问题，图中的变化规律是解题的关键．考向三坐标变化规律问题例3．（2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【思路点拨】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解题过程】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．【名师点睛】本题考查规律型点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．一、选择题1.（2018年重庆市（B卷））下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．11 B．13 C．15 D．17【考点】图形的变化规律【思路点拨】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．【思路点拨】解：观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，…故第⑥个图形有3+2×5=13（个），故选：B．【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．2.（2018年湖北省十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）A．2 B．C．5 D．【思路点拨】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．【思路点拨】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，∴第8行最后一个数为==6，则第9行从左至右第5个数是=，故选：B．【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．3.（2018年湖北省宜昌市）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【思路点拨】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．【思路点拨】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故选：B．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．4.（2018年湖北省随州市）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571【思路点拨】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．【思路点拨】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200，所以最大的三角形数m=190；当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，所以最大的正方形数n=196，则m+n=386，故选：C．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．5.（2018年浙江省绍兴市）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．【思路点拨】解：A．第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20=10，不符合题意；B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6，符合题意；C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9，不符合题意；D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20=7，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图形的变化问题转化为数字问题．6.（2018年浙江省绍兴市）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）A．16张B．18张C．20张D．21张【思路点拨】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行的时候，34枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【思路点拨】解：①如果所有的画展示成一行，34÷（1+1）﹣1=16（张），∴34枚图钉最多可以展示16张画；②如果所有的画展示成两行，34÷（2+1）=11（枚）……1（枚），11﹣1=10（张），2×10=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画；③如果所有的画展示成三行，34÷（3+1）=8（枚）……2（枚），8﹣1=7（张），3×7=21（张），∴34枚图钉最多可以展示21张画；④如果所有的画展示成四行，34÷（4+1）=6（枚）……4（枚），6﹣1=5（张），4×5=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画；⑤如果所有的画展示成五行，34÷（5+1）=5（枚）……4（枚），5﹣1=4（张），5×4=20（张），∴34枚图钉最多可以展示20张画．综上所述：34枚图钉最多可以展示21张画．故选：D．【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．7.（2018年山东省济宁市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．【思路点拨】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．8.（2018年四川省绵阳市）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A．639 B．637 C．635 D．633【思路点拨】由三角形数阵，知第n行的前面共有1+2+3+…+（n﹣1）个连续奇数，再由等差数列的前n项和公式化简，再由奇数的特点求出第n行从左向右的第m个数，代入可得答案．【思路点拨】解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第+m奇数，即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1n=25，m=20，这个数为639，故选：A．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键二、填空题9.（2018年黑龙江省牡丹江市）一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是【思路点拨】观察依次为1，4，7，…，的一列数，分析找出规律，据此求出第n个数．【思路点拨】解：通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，所以第n个数为：1+（n﹣1）×3=3n﹣2，故答案为：3n﹣2【点评】此题考查的知识点是数字的变化类问题，解题的关键是分析一列数找出规律，按规律求解10.（2018年四川省德阳市）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为．【思路点拨】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是3可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．【思路点拨】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴a+b+c=b+c+（﹣1），3+（﹣1）+b=﹣1+b+c，∴a=﹣1，c=3，∴数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b，∵第9个数与第3个数相同，即b=2，∴每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环，∵2018÷3=672…2，∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及有理数的加法，仔细观察排列规律求出a、b、c 的值，从而得到其规律是解题的关键．11.（2018年宁夏）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．【思路点拨】根据题意可以得到一张A4的纸可以裁2张A5的纸，以此类推，得到答案．【思路点拨】解：由题意得，一张A4的纸可以裁2张A5的纸一张A5的纸可以裁2张A6的纸一张A6的纸可以裁2张A7的纸一张A7的纸可以裁2张A8的纸，∴一张A4的纸可以裁24=16张A8的纸，故答案为：16．【点评】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键．12.（2018年青海省）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第个图案中有2个正方形，第个图案中有5个正方形，第个图案中有8个正方形，则第个图案中有______个正方形，第n个图案中有______个正方形．【考点】图形的变化规律【思路点拨】由题意知，正方形的个数为序数的3倍与1的差，据此可得．【思路点拨】解：第个图形中正方形的个数，第个图形中正方形的个数，第个图形中正方形的个数，第个图形中正方形的个数为个，第n个图形中正方形的个数，故答案为：14、．【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的3倍与1的差是解题的关键．13.（2018年黑龙江省绥化市）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆个．【思路点拨】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+…+100即可得出结论．【思路点拨】解：∵第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，…∴第n行有2n个圆，∴前50行共有圆：2+4+6+8+…+2×50=2+4+6+8+…+100=2550个，故答案为：2550【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出每行圆的个数即为行数的2倍．14.（2018年贵州省遵义市）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．【思路点拨】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．【思路点拨】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．15.（2018年湖北省荆门市）将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，S n=a1+a2+…+a n，则S2018= ．【思路点拨】由1+2+3+…+n=结合+2=2018，可得出前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，进而可得出S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=63，此题得解．【思路点拨】解：∵1+2+3+…+n=，+2=2018，∴前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个，∴S2018=1×1+2×+3×+…+63×+2×=1+1+…+1+=63．故答案为：63．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个”是解题的关键．三、解答题16.（2018年河北省）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【思路点拨】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．【思路点拨】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，解得：x=﹣5，则第5个台阶上的数x是﹣5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1﹣2﹣5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．17.（2018年安徽省）观察以下等式：第1个等式：++×=1，第2个等式：++×=1，第3个等式：++×=1，第4个等式：++×=1，第5个等式：++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【思路点拨】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1【思路点拨】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5 故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．18.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【思路点拨】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【思路点拨】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【点评】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．。
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2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______. 【答案】0，2【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2. 2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵 147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________． 【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19个数是：628﹣3=625．3. （2019·武威）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +【解析】 由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +，故答案为1321a b +． 4. （2019·云南）按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是（ ） A.（－1）n －1x 2n －1 B.（－1）n x 2n －1C.（－1）n －1x 2n ＋1D.（－1）n x 2n ＋1【答案】C【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x 3=（﹣1）1﹣1x 2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x 2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x 2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x 2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，…… 由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n+1，因此本题选C ．5. (2019·聊城) 数轴上O ，A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A2处，第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，A n (n≥3，n 是整数)处，那么线段A n A 的长度为________(n≥3，n 是整数).【答案】4－221-n【解析】∵AO=4，∴OA 1=2，OA 2=1，OA 3=12，OA 4=212，可推测OA n =221-n ，∴A n A=AO －OA n =4－221-n .6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019，故答案为2019．7. （2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a ＋b)n 的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x)15的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x)15=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： (1)若s=1，则a 2= ．(2)若s=2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15= ．【答案】(1)105 (2)315 【解析】(1)当s=1时， (1＋x)1=1＋x (1＋x)2=1＋2x ＋x 2 a 2=1(1＋x)3=1＋3x ＋3x 2＋x 3 a 2=3=1＋2(1＋x)4=1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4 a 2=6=1＋2＋3(1＋x)5=1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5 a 2=10=1＋2＋3＋4(1＋x)6=1＋6x ＋15x 2＋20x 3＋15x 4＋6x 5＋x 6 a 2=15=1＋2＋3＋4＋5 当n=15时，a 2=1＋2＋3＋4＋ (14)21×(1＋14)×14=105． (2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15= a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15=315． 考向2 几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）A ．上方B ．右方C ．下方D ．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选C ．2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．【答案】6058【解析】 由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…… ∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058． 3. （2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =__________．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个．第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个．当图中有2019个菱形时， 212019n -=，1010n =，故答案为1010．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n 个"T"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2【解析】第1个图形有5个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有11个棋子，所以第n 个图形有(3n+2)个棋子5. （2019·龙东地区）如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到△AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到△A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第三个正方形OA 3A 4B 4，连接A 2A 4，得到△A 2A 3A 4，…，记△AA 1A 2，△A 1A 2A 3，△A 2A 3A 4…的面积分别为S 1，S 2，S 3…，如此下去，则S 2019=________．A 4AA 1【答案】22017.【解析】△AA 1A 2中，AA 1=1，AA 1边上的高是1，它的面积S 1=12×1×1； △A1A 2A 3中，A 1A 2A 1A 2边上的高是S 2=12× △A2A 3A 4中，A 2A 3A 2A 3边上的高是S 3=12××…如此下去，△A 2018A 2019A 2020中，A 2018A 2019201844…2018，A 2018A 2019边上的高是2018，它的面积S 2019=12×2018×2018=22017. 6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．【答案】40380【解析】11//D F AC Q ，11//D E AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=， 5AB =Q ，4BC =，11114520D E D F ∴+=，同理22224520D E D F +=，⋯，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F ∴++⋯++++⋯+=⨯=；故答案为40380．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）【答案】D【解题】延长DA 交x 轴于点M ∵A （-3，4），B （3，4），∴AB=6，AB ∥x 轴， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 连结OD ，Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则D 点的坐标为（-3，10）将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90° 当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， 当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， D 点的坐标为（3，-10）， 当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， D 点的坐标为（-10，-3）， 当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， D 点的坐标为（-3，10）， 当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， ······每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转70次后，D 点的坐标为（3，-10）， 故选D. 2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）【答案】C【解析】A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2019÷4=504…3，所以A 2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A 2019的坐标是（1009，0），故选C ．3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．【答案】2017(2-，2．【解析】由题意得，1A 的坐标为(1,0)，2A 的坐标为，3A 的坐标为(2-，，4A 的坐标为(8,0)-，5A 的坐标为(8,--，6A 的坐标为(16,-，7A 的坐标为(64,0)，⋯由上可知，A 点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为12n -，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n -， 与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为12n --，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n --与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n --201963363÷=⋯Q ，∴点2019A 的方位与点23A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2201722n --=-，纵坐标为2故答案为：2017(2-，2．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .【答案】：-31009【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律： A 1（1，33），A 2（1，3-）， A 3（-3，3-），A 4（-3，33）， A 5（9，33），A 6（9，39-）， A 7（-27，39-），……A 2n+1[(-3)n ，3×(-3)n ]（n 为自然数），2019=1009×2+1，所以A 2019的横坐标为：(-3)1009=-31009. 5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为【答案】17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.【解题过程】如图，过B 1、C 1点分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∵点B 1在直线l ：12y x =上，且点B 1的横坐标为2，∴B 1（2，1）， ∴B 1M=1，OM=2，∴A 1M=12.∵四边形A 1C 1B 2B 1是正方形， ∴△A 1B 1M ≌△C 1A 1N ， ∴A 1N=1，∴C 1的横坐标为2+1+12=2+32，在Rt △A 1MB 1中A 1B 12=，∴OB 2=2，∴B 2的坐标为（3，32）同理可得C 2的横坐标为3+32×32，B 3（92，94），C 3的横坐标为92+94×32，… B n （2×132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭），C n 的横坐标为2×132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭×32=17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故答案为17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．【答案】191663-n ）（ 【解析】由题意知OA=1，则OB 1=33，∴S 1=63； ∴A 2(33，34)，∴A 2B 1=34，B 1B 2=394，∴S 2=63916⨯； ∴A 3(937，916)，∴A 2B 1=916，B 1B 2=32716，∴S 2=632916）（⨯；...∴Sn=191663-n ）（。