专升本试题及解答(西华2013)
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2013年西华大学专升本《高等数学》考试题
一、填空题:(每题3分,共15分) 1、设2)1(='f ,则=∆∆--→∆x
x f f x )
1()1(lim
;
【2】 【知识点】导数的定义。
2、若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin ,则=-1A ;【⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x x sin cos cos sin 】 【知识点】伴随矩阵法求逆矩阵。
解析:求逆矩阵的方法有: (1)定义法:E AA =-1;
(2)矩阵的初等行变换求逆矩阵:)|()|(1
-→A E E A ; (3)伴随矩阵法:*1
1
A A
A
=
-(其中:*A 是矩阵A 的伴随矩阵)。 x A sin 11=,x A cos 12=,x A cos 21-=,x A sin 22=,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin *,1cos sin sin cos cos sin 2
2=+=-=x x x x x x A , 所以,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==
-x x x x A A A
sin cos cos sin *1
1
。 3、若方程z z y x =++2
2
2
确定函数),(y x z z =,则=dz ;【
z
ydy
xdx 2122-+】
【知识点】全微分dy z dx z dz y x '+'=,隐函数的偏导数。
4、若
c x dx x f +=⎰
2)(,则=-⎰dx x xf )1(2 ;
【c x +--2
2)1(2
1】 【知识点】凑微分法。
5、⎰⎰⎰
=dx x f d d d )( ;【dx x f )(】 【知识点】积分与微分的互逆性质。
解析:⎰⎰⎰
=dx x f d d d )(⎰⎰
=dx x f d d )(dx x f dx x f d )()(=⎰
二、判断正误(每小题2分,共10分) 1、设
∑∞
=1
n n
u
为常数项级数,若
∑∞
=1
n n
u
收敛,则
∑∞
=1n n
u
收敛。 ( 正确 )
【知识点】若级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛,则级数
∑∞
=1
n n
u
一定收敛。
2、设B A ,为n 阶矩阵,则BA AB =。 ( 错误 ) 【知识点】矩阵乘法。矩阵乘法一般不满足交换律,但满足结合律和分配律。
3、1lim =+---∞→x
x
x
x x e e e e 。 ( 错误 ) 【知识点】极限的充要条件。
因1lim =+---+∞→x x x x x e e e e ,1lim -=+----∞→x x x x x e e e e ,故,x
x x
x x e e e e --∞→+-lim 不存在。
4、若函数)(x f 在0x 处不可导,则)(x f 在0x 点也可能连续。 ( 正确 ) 【知识点】可导一定连续,反之不成立。如x y =在0=x 不可导,但连续。
5、函数x
x
x f sin )(=
没有第一类间断点。 ( 错误 ) 【知识点】间断点的分类。 解析:(1)1sin lim
0=→x
x
x ,即0=x 为第一类间断点(可去间断点)
; (2)∞=→x
x
k x sin lim π,即)0(≠=k k x π为第二类间断点(无穷间断点)
。
二、求解下列各题(共6个小题,共24分)
1、求极限2
1
)(cos lim x x x →。 【2
1-
e
】
【知识点】第二个重要极限、等价替换(2
2
1~cos 1x x -)。 2、设⎩⎨
⎧≥<=0
,0
,sin )(x x x x x f ,求)(x f '。
【知识点】分段函数的导数,分段点用定义求导数。
3、设⎩⎨⎧≥<+=0
,0,1)(2x e x x x f x ,求⎰-221)1(dx x f 。 【31
-e 】
【知识点】定积分的换元法,定积分的区间可加性。 4、求定积分
⎰
-π
2sin 1dx x 。 【22】
【知识点】三角变换、区间可加性。
四、解答题(每小题6分,共36分) 1、求
⎰+-L y
x ydx xdy 22,其中L 是圆周12
2=+y x 的逆时针方向。 【π2】
【知识点】曲线积分(注意:不满足格林公式的连续条件)。 2、判别级数的敛散性:
(1)∑∞
=+1
1
n n n (2)∑∞
=1!2n n n
【知识点】级数收敛的必要条件、比值审敛法。 3、计算
⎰⎰D
dxdy y 2cos ,其中D 由曲线0,1,===x y x y 所围成的平面区域。 【知识点】二重积分的计算(先x 后y 的二次积分)。 4、求微分方程x
e y y 2=-''的通解。 【知识点】二阶常系数非齐次方程的通解。
5、求过曲线x y ln =上点)1,(e 的法线与x 轴及曲线x y ln =所围成的平面图形的面积。 【知识点】导数的几何意义、定积分求面积。
5、当a 取何值时,方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=-+2
33321
321
321321x ax x ax x x x x x (1)无解;(2)有无穷多解;(3)唯一解。
【知识点】线性方程组解的判定定理(定理1、定理2)。
解析:⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a a a a A 2)3)(2(00121
0111
12313321111 (1) 当0)3)(2(=+-a a 且02≠-a ,即3-=a 时,方程组无解; (2) 当0)3)(2(=+-a a 且02=-a ,即2=a 时,方程组有无穷多解; (3) 当0)3)(2(≠+-a a 且02≠-a ,即3-≠a 且2≠a 时,方程组有唯一解。 五、证明题(每小题5分,共15分) 1、证明:当2≤x 时,有232≤-x x 。 【知识点】闭区间上函数的最值。
证明:令3
3)(x x x f -=,当2≤x ,即在区间]2,2[-上求最值。 2、设e b a >>,证明:a
b
b a <。 【知识点】函数单调性判定定理。 证明:令x x x f ln )(=
,2
ln 1)(x x
x f -='。 3、若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛,级数
∑∞
=1
n n
v
发散,证明:
∑∞
=+1
)(n n n
v u
发散。(反证法)