专升本试题及解答(西华2013)

2013年西华大学专升本《高等数学》考试题

一、填空题：（每题3分，共15分） 1、设2)1(='f ，则=∆∆--→∆x

x f f x )

1()1(lim

；

【2】 【知识点】导数的定义。

2、若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin ，则=-1A ；【⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x x x sin cos cos sin 】 【知识点】伴随矩阵法求逆矩阵。

解析：求逆矩阵的方法有： （1）定义法：E AA =-1；

（2）矩阵的初等行变换求逆矩阵：)|()|(1

-→A E E A ； （3）伴随矩阵法：*1

1

A A

A

=

-（其中：*A 是矩阵A 的伴随矩阵）。 x A sin 11=，x A cos 12=，x A cos 21-=，x A sin 22=，

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin *，1cos sin sin cos cos sin 2

2=+=-=x x x x x x A ， 所以，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==

-x x x x A A A

sin cos cos sin *1

1

。 3、若方程z z y x =++2

2

2

确定函数),(y x z z =，则=dz ；【

z

ydy

xdx 2122-+】

【知识点】全微分dy z dx z dz y x '+'=，隐函数的偏导数。

4、若

c x dx x f +=⎰

2)(，则=-⎰dx x xf )1(2 ；

【c x +--2

2)1(2

1】 【知识点】凑微分法。

5、⎰⎰⎰

=dx x f d d d )( ；【dx x f )(】 【知识点】积分与微分的互逆性质。

解析：⎰⎰⎰

=dx x f d d d )(⎰⎰

=dx x f d d )(dx x f dx x f d )()(=⎰

二、判断正误（每小题2分，共10分） 1、设

∑∞

=1

n n

u

为常数项级数，若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

∑∞

=1n n

u

收敛。 （ 正确 ）

【知识点】若级数

∑∞

=1

n n

u

绝对收敛，则级数

∑∞

=1

n n

u

一定收敛。

2、设B A ,为n 阶矩阵，则BA AB =。 （ 错误 ） 【知识点】矩阵乘法。矩阵乘法一般不满足交换律，但满足结合律和分配律。

3、1lim =+---∞→x

x

x

x x e e e e 。 （ 错误 ） 【知识点】极限的充要条件。

因1lim =+---+∞→x x x x x e e e e ，1lim -=+----∞→x x x x x e e e e ，故，x

x x

x x e e e e --∞→+-lim 不存在。

4、若函数)(x f 在0x 处不可导，则)(x f 在0x 点也可能连续。 （ 正确 ） 【知识点】可导一定连续，反之不成立。如x y =在0=x 不可导，但连续。

5、函数x

x

x f sin )(=

没有第一类间断点。 （ 错误 ） 【知识点】间断点的分类。 解析：（1）1sin lim

0=→x

x

x ，即0=x 为第一类间断点（可去间断点）

； （2）∞=→x

x

k x sin lim π，即)0(≠=k k x π为第二类间断点（无穷间断点）

。

二、求解下列各题（共6个小题，共24分）

1、求极限2

1

)(cos lim x x x →。 【2

1-

e

】

【知识点】第二个重要极限、等价替换（2

2

1~cos 1x x -）。 2、设⎩⎨

⎧≥<=0

,0

,sin )(x x x x x f ，求)(x f '。

【知识点】分段函数的导数，分段点用定义求导数。

3、设⎩⎨⎧≥<+=0

,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-221)1(dx x f 。 【31

-e 】

【知识点】定积分的换元法，定积分的区间可加性。 4、求定积分

⎰

-π

2sin 1dx x 。 【22】

【知识点】三角变换、区间可加性。

四、解答题（每小题6分，共36分） 1、求

⎰+-L y

x ydx xdy 22，其中L 是圆周12

2=+y x 的逆时针方向。 【π2】

【知识点】曲线积分（注意：不满足格林公式的连续条件）。 2、判别级数的敛散性：

（1）∑∞

=+1

1

n n n （2）∑∞

=1!2n n n

【知识点】级数收敛的必要条件、比值审敛法。 3、计算

⎰⎰D

dxdy y 2cos ，其中D 由曲线0,1,===x y x y 所围成的平面区域。 【知识点】二重积分的计算（先x 后y 的二次积分）。 4、求微分方程x

e y y 2=-''的通解。 【知识点】二阶常系数非齐次方程的通解。

5、求过曲线x y ln =上点)1,(e 的法线与x 轴及曲线x y ln =所围成的平面图形的面积。 【知识点】导数的几何意义、定积分求面积。

5、当a 取何值时，方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=-+2

33321

321

321321x ax x ax x x x x x （1）无解；（2）有无穷多解；（3）唯一解。

【知识点】线性方程组解的判定定理（定理1、定理2）。

解析：⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+-+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a a a a A 2)3)(2(00121

0111

12313321111 （1） 当0)3)(2(=+-a a 且02≠-a ，即3-=a 时，方程组无解； （2） 当0)3)(2(=+-a a 且02=-a ，即2=a 时，方程组有无穷多解； （3） 当0)3)(2(≠+-a a 且02≠-a ，即3-≠a 且2≠a 时，方程组有唯一解。 五、证明题（每小题5分，共15分） 1、证明：当2≤x 时，有232≤-x x 。 【知识点】闭区间上函数的最值。

证明：令3

3)(x x x f -=，当2≤x ，即在区间]2,2[-上求最值。 2、设e b a >>，证明：a

b

b a <。 【知识点】函数单调性判定定理。 证明：令x x x f ln )(=

，2

ln 1)(x x

x f -='。 3、若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，级数

∑∞

=1

n n

v

发散，证明：

∑∞

=+1

)(n n n

v u

发散。（反证法）