高斯消元法(完整)
科学计算方法6(高斯消元法)
更加简洁的表示:
8 6 2 28 8 6 2 28 8 6 2 28
4
11
7 40 0
8
6 26 0
8
6 26
4 7 6 33 0 4 5 19 0 0 2 6
8 6 2 1 0 0 8 6 2 A= 4 11 7 = 0.5 1 0 0 8 6 =LU
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My own faith has been strong for years. Back in 1985, I made a $100 bet with Peter Alfeld that a fast matrix inverse would be found by 1995. It wasn’t, so I paid him $100 and renewed the bet for another decade. It still hadn’t been found by 2005, so I paid him a further $100 and we renewed once more. One day I will win!—or my heirs?
我们经常使用记号O表示算法是“是多少阶的”。
因此高斯消元法为O(n3/3)的算法。复杂度(complexity)
是衡量算法性能优劣的主要指标。
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例1. 在一台特定的计算机上, 估计用高斯消元法 求解5000*5000的线性方程组所需时间。
高斯消元法求解50*50的线性方程组所需时间为t1。
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代码:
%elimination phase
for k = 1:n-1 %pivot row
高斯消元法(完整)
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组（3.1） 其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项, , …, 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当== … == 0时，即（3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数, , …, 组成的一个有序数组（, , …, ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的, , …, 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（, , …, ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由=0,=0, …, =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211 称为方程组（3.1）的增广矩阵。
gauss消元法
gauss消元法Gauss消元法（Gaussian elimination）是一个常用的矩阵算法，用于解线性方程组或求逆矩阵。
它的基本思想是将原始的矩阵通过一系列的行变换，化为简化阶梯型矩阵，然后通过回带法求解出线性方程组的结果。
下面我们来详细介绍一下Gauss消元法的具体步骤：步骤一：构造增广矩阵将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵拼接在一起，组成增广矩阵。
例如下面的线性方程组：x + 2y + 3z = 62x + 3y + 6z = 63x + 1y + 3z = 3其增广矩阵为：1 2 3 62 3 6 63 1 3 3步骤二：选取主元将增广矩阵的第一列第一行元素作为主元，下面的过程中称之为a11。
如果a11=0，则需要通过交换不同行来保证a11不为0。
步骤三：将第一列下方元素消为0从第二行开始，计算出一个倍数m，使得a21=m×a11，然后将第二行的元素全部减去m倍的第一行元素。
得到新的增广矩阵为：1 2 3 60 -1 0 -63 1 3 3步骤四：重复步骤二和三将第二列第二行元素作为新的主元a22，然后将第三行乘上一个倍数n，使得a32=n×a22，减去n倍的第二行元素：1 2 3 60 -1 0 -60 -5 -6 -15得到新的增广矩阵。
然后再重复步骤二和三，直到将增广矩阵化为简化阶梯型矩阵：1 2 3 60 -1 0 -60 0 -6 -9步骤五：回带求解从最后一行开始，用回带法求解每个未知数的值。
首先，通过最后一行最后一列的元素，求出z的值：-6z = -9，z = 3/2然后，将z的值代入倒数第二行中，求出y的值：-y = -6z, y = 9最后，将y和z的值代入到第一行中，求出x的值：x + 2y + 3z = 6x + 2(9) + 3(3/2) = 6x = -12因此，线性方程组的解为x=-12，y=9，z=3/2。
到此，我们就讲完了Gauss消元法的具体步骤。
高斯消元法
2
2
2x1 2x2 x3 6
3 x2
9 2
x3
0
2 x2
7 2
x3
13
②
6
上一页 下一页 返 回
再将方程组 ② 中第三个方程加上第二个方程的
2 倍，得一个阶梯形方程组
3
2
x1
2
x2
3x2
9 2
x3 x3
6 0
13 2
x3
13
由 x3的 值回代
x1 1
x2
3
x3 2
一、高斯消元法
消元法的基本思想是通过同解变换把方程组 化成容易求解的方程组.
5 上一页 下一页 返 回
例1 解线性方程组
2 x1 2 x2 x1 2 x2 4
x3 x3
6, 3,
①
5
x1
7 x2
x3
28.
解 方程组 ① 中第二个与第三个方程分别减去
第一个方程的 1 倍与 5 倍，得
amn
b (b1 , b2 ,, bm )T
x ( x1 , x2 ,, xn )T
则方程组（4.1）可简写为
Ax b
4
上一页 下一页 返 回
矩阵
A
A,
b
a11
a21
a12
a22
a1n a2n
b1 b2
am1
am 2
amn
bm
称为线性方程组（4.1）的增广矩阵.
显然线性方程组（4.1）与其增广矩阵构成一一对应 的关系.
0 0
2 x1 x2 4 x3 0
解，对增广矩阵作初等行变换
A,
b
2 4
3-1 高斯消元法
3. 相容、不相容 相容、
方程组有解称为相容； 方程组有解称为相容； 相容 方程组无解称为不相容 方程组无解称为不相容. 不相容
Henan Agricultural University
二、高斯消元法
1. 线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是 等价的 2. 研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组 研究线性方程组增广矩阵的行变换， 的相容性理论 ＞＞＞
Henan Agricultural University
x1−2x2 +3x3 −x4 =1 例1 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 +5x3 −3x4 = 2 . 2x1 + x2 +2x3−2x4 =3 解 对增广矩阵B施行初等行变换, 得
1 −2 3 −1 1 r2 −3r1 1 −2 3 −1 1 B=3 −1 5 −3 2 ~ 0 5 −4 0 −1 2 1 2 −2 3 r3 −2r1 0 5 −4 0 1
−2 3 −1 1 ~ 0 5 −4 0 −1. 0 0 0 0 2 可见R(A)=2, R(B)=3, 故方程组无解.
r3 −r2 1
Henan Agricultural University
x1 +x2 −3x3 −x4 =1 例2 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 −3x3+4x4 =4 . x1 +5x2 −9x3 −8x4 =0 解 因为
解 (3)当λ=−3时, R(A)=R(B)=2, 方程组有无限多个解. 这时,
−2 1 1 0 1 0 −1 −1 B = 1 −2 1 3 ~0 1 −1 −2 , 1 1 −2 −3 0 0 0 0
1高斯消元法PPT课件
几何上: 下列三个平面交于一个点(1, 1, 1): x y z 3,
2x y z 2,
x 3 y z 1.
2021/3/12
5
【例3】 几何上: 平面
1 : x y z 1 与 2 : x 2y 3z 1
相交成一条直线 L:
x1 1
y 2
z 1
;
代数上: 线性方程组
x2
d2
c2r 1 xr 1
xr dr crr1 xr1
c1n xn c2n xn
crn xn
取 xr1 t1, xr2 t2 , , xn tnr
我们得到方程组解的一般表达式（通解）：
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通解为
x1 d1 c1r1t1
x2
d2
c2r 1t1
xr
a11
A
am1
a1n
amn
x1
X
xn
b1
b
bm
系数 矩阵
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未知量 矩阵
常数项 矩阵
9
增广矩阵
A
(
A
b)
a11
am1
a1n
b1
amn bm
方程组 Ax=b 与增广矩阵存在一一对应关系：
这是线性代数中最基本的一次抽象，将方程组与 增广矩阵一一对应起来，从而对方程组 的研究转化为 对矩阵的研究（行列式，秩，初等变换等）。
dr
crr1t1
xr1 t1
xn tnr
c1ntnr c2ntnr
crntnr
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17
若R( A) R( A) r n，则方程组有唯一解
高斯消元法
高斯消元法
从高斯消元法的全过程可以看到，在利用其对方程组 进行变换的时候，发生改变的是方程组的系数及自由项， 所以我们可以用原方程组的增广矩阵进行相应的初等行变 换进行代替：
高斯消元法
当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后用回代 的方法求出解．如果用矩阵将回代的过程表 示出来，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵 进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵， 从这个特殊矩阵中就可以直接解出或“读出” 方程组的解．
高斯消元法
再将方程(4-3)的（-2）倍加到方程(4-2)，方程(4-3)的3倍加 到方程(4-4)，得
高Hale Waihona Puke 消元法用回代的方式可得方程组的解为
上例的解法可以用于任意线性方程组.从解的过程中可以 看出，对线性方程组我们可施行下列三种运算对方程组进行 化简：
（1）交换某两个方程的次序. （2）某一方程两端乘以一非零常数. （3）某一方程两端乘以同一常数加到另一方程上.
高斯消元法
【例4-5】
解线性方程组
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A化成阶梯形矩阵， 再求解，即
阶梯形矩阵的第三行000－2所表示的方程为0x1+0x2+0x3= －2．由该方程可知，无论x1,x2,x3取何值，都不能满足这个方程， 因此原方程组无解．
高斯消元法
【例4-6】
解线性方程组
高斯消元法
高斯消元法
高斯消元法
对于线性方程组，常用的求解方法 是高斯消元法，它的基本思想是通过对 方程组做同解变形，简化未知量的系数， 从而得到与原方程组同解且易直接求解 的阶梯形方程组，从而得到整个方程组 的解.下面举例说明其解法.
高斯消元法
4.2 高斯(Gauss)消元法
18
§4.2 高斯(Gauss)消元法 第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 四 3. 第三种情况 若 d r 1= 0 且 r < n，方程组具有形式 章 线 性 方 程 组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
(2) 通过回代求出相应的解。
2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
7
§4.2 高斯(Gauss)消元法 第 四 章 线 性 方 程 组
2 x1 2 x 2 3 x 3 1 2 例 求解线性方程组 x1 x 2 x 2 x x斯(Gauss)消元法 第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 四 1. 第一种情况 若 d r 1 0 , 方程组中出现矛盾方程 章 线 性 方 程 组
c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 0 0 0 0
①② ③ 0.5
x1 x2 2 x3 1 ① 2 x1 x2 x3 2 ② x1 4 x2 3 x3 3 ③ x1 x2 2 x3 1 3 x2 3 x3 0 2 x3 2
③①
“回代”求解得：
21高斯消元法
对j= k+1~n+1（列）令 aij aij cakj
回代过程是解同解的上三角形方程组
a11x1 a12x2
a22 x2
a1,n1 xn1 a1n xn
a2,n1xn1 a2 ,n xn
a x n1,n1 n1 an1,n xn ann xn
素，……，第n-1步消去an-1，n-1下方元素。即第k 步将第k行的适当倍数加于其后各行，或可说是 从k+1~n行减去第k行的适当倍数，使它们的第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k行对应列 元素的倍数。
因此，如把增广矩阵 A 变换前后都在计算
机上用同一数组A存储， 则消去过程可写为：
对k=1~n-1（步）做 对i= k+1~n（行）做
求出x2代回第一个方程时，因 10-5x1+2x2=1， 10-5x1’+2x2’=1 两式相减得10-5(x1－ x1’)+2(x2－ x2’)=0，可见 | x1－ x1’ |=200 000| x2－ x2’|
~x 表明 x1的误差被放大200 000倍， x1’自然失真。2
列主元消去法
为了避免出现小主元，在每次消元前进行选 主元。即每次消元前先选取所要消元的列中绝对 值最大的元素作为主元，然后再消元。
通常情况下稳定性彼此相差不大，所以一般 情况都只用列主元消去法。
复习题
1、何谓高斯消去法？它与一般消去法有 何不同？怎样计算行列式？
2、计算机上为什么不用克莱姆法与约当 消去法？
3、何谓主元消去法？有何优点？
具体为：
中选~x在主2第元k，步即的在第其k列中的找元出素绝a对kk值, a最k大~x1,1的k ,元素, aankpk，
数值分析6(选主元高斯消元法)
则该方程的精确解为
1 x1 110 4 1.0001, x2 2 x1 0.9999
假设3位十进制浮点数系统,则该方程的浮点形式为
0.100 E 3 x1 + 0.100E 1x2 0.100 E1 0.100 E 1 x1 0.100E 1 x2 0.200 E 1 (0.100E 5 0.100 E 1) x2 0.100 E 5 0.200 E 1 0.100 E 3 x1 + 0.100E 1x2 0.100 E1 0 0.100E 5 x2 0.100 E 5
如果令P =Pn1 Pn2 PA L1 L2 P1 , Ls Pn1 Pn2 Ps1 Fs1 Ps1 Pn2 Pn1 Ln1U LU。
L U Ls是Frobenius矩阵,差别只是Ls 第s列对角线以下元素
是Fs1第s列对角线以下元素经过重新排列得到的。
Matlab 命令: [L,U,P] = lu(A) edit lutx bslashtx
20:22
2 1 2 2 3 3 2 1 2 0 5 0 4 6 19 9
14/27
三对角矩阵分解
f u over , with f
f u( x ) 0 x 1 f (0) a, f (1) b
20:22
k 1
计算次序
1 2
3 4
u11 m 21 A m n1 u12 u22 m n , n 1 u1n u2 n unn
5 6
20:22
10/27
例4 求矩阵的Doolittle分解
高斯消元法
Q:
一般线性方程组，即含有 n个未知数，
m个方程的线性方程 组的解的情况?
系数矩阵
未知量矩阵
常数矩阵
称为线性方程组的增广矩阵。
对线性方程组进行初等变换是不会改变其解的
定理 若将增广矩阵（A B）用初等行变换
化为（S T），则 AX=B与 SX=T是同解方程组.
2.所有首非零元所在列的其余元素都是0
例2：解非齐次线性方程组
解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，有
阶梯形矩阵所对应的方程组为
显然，不可能有解的值满足第三个方程，因此方程 组无解
例3 求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2x3 x4 0
2 x1 x2 2 x3 2 x4 0
5
x
2
x
x
0
,
1
3
4
3
4
x 2 2 x 3 x 4 0,
3
5
x1 2 x3 3 x4 ,
由此即得
4
x 2 2 x 3 x4 ,
3
( x3 , x4 可任意取值 ).
令 x3 c1 , x4 c2，把它写成通常的参数 形式
= + ,
= − − ,
= ,
= ,
5
x1
2
3
4
x2
2
c1 c2 .
3
x3
线性代数教学课件：高斯消元法
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
3 1
性 代
x1 9x2 3x3 7x4 7
解：对方程组的增广矩阵(A b)施行出等行变换，化为阶梯形 数
矩阵：
1 5 1 1 1 1
( A | b) 1 2 1
3
3
0
5 7
1 2
1 4
1
4
=
3 8 1 1 1 0 7 2 4 4 =
例2 解线性方程组
线
x1 5x2 x3 x4 1
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
3 1
性 代
x1 9x2 3x3 7x4 7
解：对方程组的增广矩阵(A b)施行出等行变换，化为阶梯形 数
矩阵：
1 5 1 1 1 1
( A | b) 1 2 1
1
4
7
0
0
线 性
x1
5x2 x3 x4 1
x2
2 7
x3
4 7
x4
4 7
,也即
x1
x2
13 7
3 7
x3
13 7
4 7
2 7
x3
4 7
x4 x4
,
取 x3 c1, x4 c2 (其中c1, c2为任意常数), 则方程组的全部解为
代 数
x1
13 7
3 7
c1
13 7
矩阵：
1 5 1 1 1 1
( A | b) 1 2 1
3
3
0
5 7
1 2
1 4
1
4
=
3 8 1 1 1 0 7 2 4 4 =
1 9 3
线性代数 高斯消元法
1.1 高斯消元法
1
一、线性方程组
本章将研究线性方程组的一般解法， 引入矩阵初等变换这一重要工具，并且介 绍利用矩阵初等变换求逆矩阵的方法.
2
根据第一章的讨论，线性方程组
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 12 1 22 2 2n n 2 .......... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
1 2
3
2
(1)
6
4
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
称为方程组（1.1）的一个解.方程组（1.1）的 所有解组成的集合称为（1.1）的解集. 求解非齐次线性方程组首要的问题是要判 断该方程组是否有解，若方程组有解，称该 方程组是相容的，否则称为不相容的。如果 两个方程组有相同的解集，那么称它们是等 价的方程组。
5
二、高斯消元法解线性方程组
对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线 性方程组相容的条件；当线性方程组相容时，研 究解的性质并且给出求解的方法．我们先从一些 例子来说明用消元法求解线性方程组的一般过程. 例1 求解线性方程组 2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
高斯消元法
求解线性方程组的直接解法5.1 Gauss 消去法① 三角方程组先举一个简单的例子来说明消去法的基本思想.例1. 用消去法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++(3) .122(2),54(1),632132321x x x x x x x x 解 第一步.将方程(1)乘上-2加到方程(3)上去,消去(3)中的未知数1x ,得到 (4) .11432-=--x x第二步.将方程(2)加到方程(4)上去,消去方程(4)中的未知数2x ,得到与原方程组等价的三角形方程组(5).62,54 ,6332321⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=++x x x x x x 显然,方程组(5)是容易求解的,解为.)3,2,1(T x =*上述过程相当于332331 (-2) 6-56 20014011111-56 140140111156 122140111)|(r r r r r r b A →+→+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=其中用i r 表示矩阵的第i 行.下面我们讨论求解一般线性方程组的高斯消去法. 一般地⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++nn nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 2222211212111当a 11a 22…a nn ≠0时,可解出 x n =b n /a nn for k=n-1:1 x k =(b 1- a k,k+1x k +1-…- a kn x n )/ a kk end注: k k b x ,可用同一组单元.并可解出一个未知数即代入其它方程消去该未知数Gauss 消元法的流程图为: 流程图中，,(,1,2,...,)ij i a b i j n 分别为线性方程组的系数矩阵和常数向量；k 是循环次数。
② 顺序消去法一般地,k =1对n 阶方程组消去第k 个元(a kk ≠0):⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++++n k k nnk n n n k k k k k knk k kkn k k nnk n nkn k k k k k knk k kk b b b a a m a a m a a a b b b a a a a a a a a a11,1,11,1,11,11,,11,1,11,)()(这里各行变换:i 行-k 行×m ik ,其中m ik =a ik /a kk ,i =k +1,…,n 而后, k =2对n -1阶方程组消第2个元…我们有如下顺序消元算法:for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n m ik =a ik /a kk i 行=i 行-k 行×m ik end else stop end end（每行包括右端项!）可细化,也可存储m ik 于a ik 得:for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n a ik =a ik /a kk for j=k+1:n a ik =a ik -a ik ×a kj end b i =b i -a ik ×b k end else stop end end顺序消元过程和回代过程连起来就可得精确解.顺序消元算法也可将系数矩阵和右端项分开:for k=1:n -1 if a kk ≠0 for i =k +1:n a ik =a ik /a kk for j=k+1:n a ik =a ik -a ik ×a kj end end else stop end end (注意m ik 在a ik ) for k=1:n -1 for i =k +1:n b i =b i -a ik ×b k endendGauss 消去法运算量消去第k 个元素时，对矩阵作加法和乘法运算各(n-k )×(n-k )次,除法(n-k )次.对右端作加法和乘法运算各(n-k )次.分别共12+22+…+(n -1)2=n (n -1/2)(n -1)/3和1+2+…+(n-1)=n (n -1)/2次加法乘法,消元时还有1+2+…+(n-1)= n (n -1)/2次除法.另外回代过程中加法和乘法运算各n (n -1)/2次,除法n 次.运算量主要是消元的贡献,加法和乘法运算各约n 3/3. 定理1.设Ax=b ,其中A .R n n ⨯∈(1) 如果),,1,2,(k 0)(n a k kk=≠则可通过Gauss 消去法将Ax=b 约化等价的三角形方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11n n m n nn n n b b b x x x a a a a a a , 且计算公式为:(a) 消元过程设0)(≠k kka ,对1,,2,1-=n k 计算 nk k j i b m b b a m a a a a m k k ik k i k ik kj ik k ij k ijk kk k ik ik ,,2,1,/)()()1()()()1()()( ++=⎪⎩⎪⎨⎧-=-==++ (b) 回代过程1,2,,1/)(/1)()()()()( -=⎪⎩⎪⎨⎧-==∑+=n i a x a b x a b x n i j i ii j i ij i i i n nn n n n (2) 如果A 为非奇异矩阵,则可通过Gauss 消去法(及交换两行的初等变换)将方程组Ax=b 约化为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11n n m n nn n n b b b x x x a a a a a a .行列式和逆矩阵易知顺序消元过程中，行列式不变.因此det (A )=det (U )=u 11u 22…u nn ,这里U 是顺序消元过程结束时的上三角矩阵.A 的顺序主子式。
数值分析(05)高斯消元法
下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下
的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为：
x1 xi
b1 / a11
i 1
(bi
k 1
aik
xk
)
/
aii
(i 2, 3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
数值分析
数值分析
二、顺序高斯消元法
0
1
2
3
0 1 1 0
a (2) 22
1
0, m32
a (2) 32
/ a22(2)
1 /(1)
1
1
L2
=
1
,L2 L1
Ax
L2 L1b完成第二步消元,得
1 1
1
(3)
A
0
0
2 1 0
3 2 3
6 3 3
ann xn bn
数值分析
数值分析
数值求解方法有以下三条途径
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次
模函数的极小化问题，即变分法（经n
次运算，理论上得精确解）要求A
1 3 2 6
n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
1
gauss高斯消元法
高斯消元法（Gaussian elimination）是一种数值方法，用于求解线性方程组。
它的基本思想是通过一系列的列变换将线性方程组化简成上三角形式，然后再通过回代求解方程。
以下是高斯消元法的步骤：
构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵A和常数项矩阵B合并形成增广矩阵[A | B]。
主元选择：选择一个主元素，一般选择当前列中绝对值最大的行作为主元行。
如果主元素为零，则需要进行主元调整。
主元调整：如果主元素为零，可以通过交换当前行和下方非零行的位置，使主元不为零。
如果无法找到非零主元行，则方程组可能有无数解或无解。
消元过程：通过消元操作，将主元下方的元素消为零。
具体操作是将主元下方的每一行乘以一个系数，然后将其加到当前行上，使得当前列下方的元素变为零。
重复步骤2、3和4，直到将矩阵化简为上三角形式。
回代求解：从最后一行开始，将求解值代入上一行的表达式中，依次回代求解出所有未知数的值。
需要注意的是，高斯消元法可能会遇到以下情况：主元为零：如果在选取主元时遇到主元为零的情况，需要进行主元调整，即通过交换行位置将主元不为零。
无解或无穷多解：如果消元过程中遇到无法继续消元的情况，可能是因为方程组无解或有无穷多解。
无解的情况是指出现矛盾的方程式，而无穷多解的情况是指方程组中的某些未知数可以取任意值。
高斯消元法是一种非常常用且有效的求解线性方程组的数值方法，但在实际应用中可能需要考虑矩阵的特殊性、数值精度以及计算速度等问题。
完整版)线性方程组的常见解法
完整版)线性方程组的常见解法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常见且有效的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组化为简单的等价形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式。
2.选择一个主元，通常选择首行首列的元素作为主元。
3.对其它行进行变换，使得主元下面的元素都变为0.4.重复步骤2和步骤3，直到将增广矩阵变成上三角形矩阵。
5.从最后一行开始，逐步计算出未知数的值。
高斯消元法的优点是简单、直观，适用于任意的线性方程组。
然而，当线性方程组中出现矩阵的秩小于未知数量的情况时，可能存在无解或无穷多解的情况。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种常见的解线性方程组的方法。
它通过分别计算每个未知数在方程组中的系数的行列式值，从而求解出未知数的值。
具体步骤如下：1.将方程组写成矩阵的形式。
2.计算系数矩阵的行列式值。
3.将未知数的系数替换为方程组中的常数，然后计算新的矩阵的行列式值。
4.重复步骤3，每次只替换一个未知数的系数。
5.将每次计算得到的行列式值除以系数矩阵的行列式值，得到各个未知数的值。
克拉默法则的优点是在某些特定情况下比高斯消元法更便捷，且不需要判断线性方程组是否有解或有无穷多解。
但是，克拉默法则的计算复杂度比较高，不适用于大规模的线性方程组。
三、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见且有效的解线性方程组的方法。
它通过求解矩阵的逆矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写为矩阵的形式。
2.判断系数矩阵是否可逆，若可逆则继续，否则方程组无解或有无穷多解。
3.求解系数矩阵的逆矩阵。
4.将常数向量乘以逆矩阵，得到未知数向量。
矩阵求逆法的优点是计算精确，适用于任意规模的线性方程组。
然而，计算矩阵的逆矩阵需要一定的计算量，不适合处理大规模的方程组。
总结：以上是线性方程组的常见解法。
在选择解法时，可以根据方程组的特点、规模、求解的精确度要求等因素进行权衡。
我们需要明确方程组是否有解或有无穷多解，并选择适用于特定情况的求解方法。
3.1高斯消元法线性代数第四版.课件
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
am1 am2 amn
am1
am2
amn
bm
A称为方程组的系数矩阵. A~ 称为方程组的增广矩阵.
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
ar' r xr +
+ a1' n xn = d1 + a2' n xn = d2
+ ar' n xn = dr
0
=
d
r
（3-1）
+1
0 =0
0 =0
《线性代数》
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方程组（3-1）和原方程组 Ax = b 同解. 对于方程组（3-1）的解分几种情况进行讨论. 第一种情况：若dr+1=0且r = n时，方程组（3-1）具
(3-4)
其中 xr+1 , xr+2 ,, xn 是自由未知量,共有(n-r)个,
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高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢如果有解，解是否唯一若解不唯一，解的结构如何呢这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （）其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m =0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n nm m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （）称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（）中的x 1, x 2, …, x n 后，（）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（）的一个解。
显然由x 1=0,x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（）的一个解，称之为齐次线性方程组（）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21称A 为方程组（）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mnm m n n b b b a a a a a aa a a21212222111211称为方程组（）的增广矩阵。
齐次线性方程组（）的矩阵表示形式为：AX = O二、高斯消元法（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢我们先看一个定理。
）定理 若用初等行变换将增广矩阵][B A 化为][D C ，则AX = B 与CX = D是同解方程组。
证 由定理可知，存在初等矩阵P 1, P 2, …, P k ，使 P k …P 2P 1()A B = ()C D 记P k …P 2P 1 = P ，则P 可逆，即P -1存在。
设X 1为方程组A X = B 的解，即A X 1 =B 在上式两边左乘P ，得 P A X 1 = PB即C X 1=D 说明X 1也是方程组C X = D 的解。
反之，设X 2为方程组C X = D 的解，即 C X 2= D 在上式两边左乘P -1，得 P -1C X 2= P -1D 即 A X 2 = B 说明X 2也是方程组AX = B 的解。
因此，方程组A X = B 与C X = D 的解相同，即它们是同解方程组。
（证毕）(由定理可知，求方程组（）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵][B A 化简。
又有第二章定理可知，通过初等行变换可以将][B A 化成阶梯形矩阵。
因此，我们得到了求解线性方程组（）的一般方法：)用初等行变换将方程组（）的增广矩阵][B A 化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。
因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（）的解。
这种方法被称为高斯消元法，（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。
）例1 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234215320342221+--=-+--=-++=-++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （）解 先写出增广矩阵][B A ，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即][B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11122241130235111211②①③①④①+-+-+−→−−−()()132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------13340577401114011211③②④②++-−→−−−()1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------22200666001114011211④③+−→−−−()13⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为x x x x x x x x x 1234234342141666+--=---=+=⎧⎨⎪⎩⎪ 将最后一个方程乘16，再将x 4项移至等号的右端，得x x 341=-+将其代入第二个方程，解得212=x再将x x 23,代入第一个方程组，解得2141+-=x x因此，方程组（）的解为⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143241x x x x x （）其中x 4可以任意取值。
由于未知量x 4的取值是任意实数，故方程组（）的解有无穷多个。
由此可知，表示式（）表示了方程组（）的所有解。
表示式（）中等号右端的未知量x 4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（）称为方程组（）的一般解，当表示式（）中的未知量x 4取定一个值（如x 4=1），得到方程组（）的一个解（如x 112=-，x 212=，x 30=，x 41=），称之为方程组（）的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x 3取作自由未知量。
如果将表示式（）中的自由未知量x 4取一任意常数k ，即令x 4= k ，那么方程组（）的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=kx k x x k x 432112121 ，其中k 为任意常数。
用矩阵形式表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k x x x x 121214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0121211101k （） 其中k 为任意常数。
称表示式（）为方程组（）的全部解。
（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。
如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。
例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00000666001114011211③①③②③162++−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000111002004011011 ②①②141+-−→−−−()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000011100210010211001 上述矩阵对应的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+==+1212143241x x x x x 将此方程组中含x 4的项移到等号的右端，就得到原方程组（）的一般解，⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-=1212143241x x x x x （）其中x 4可以任意取值。
例2 解线性方程组 x x x x x x x x x x x x 123123123123234235743992588+-=+-=+-=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。
即[]B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----8852993475324321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0210735011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1100220011104321→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000110011104321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020107021→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000110020103001 一般解为x x x 123321===⎧⎨⎪⎩⎪例3 解线性方程组 x x x x x x x x x 1231231231242253++=-+-=+-=⎧⎨⎪⎩⎪解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵[]B A 化成阶梯阵，再求解。
即[]B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---315224211111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--133033301111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200033301111阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为：0002123x x x ++=-，由该方程可知，无论x 1，x 2，x 3取何值，都不能满足这个方程。
因此，原方程组无解。
三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。
从求解过程可以看出，方程组（）是否有解，关键在于增广矩阵[A B ]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A 化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。
因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
定理 线性方程组（）有解的充分必要是 r A ()=r A B ()。
证 设系数矩阵A 的秩为r ，即r A ()= r 。
利用初等行变换将增广矩阵[A B ]化成阶梯阵：故AX = B 与CX = D 是同解方程组，因此AX = B 有解⇔d r +1= 0 ⇔r C D ()=r C ()= r 即r A B ()=r A ()= r 。
（证毕）推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()= n 。
推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r A ()＝r A B ()<n 。
（将上述结论应用到齐次线性方程组（）上，则总有r A ()＝r A B ()。
因此齐次线性方程组一定有解。
并且有）例4 判别下列方程组是否有解若有解，是有唯一解还是有无穷多解(1) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236324+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (2) x x x x x x x x x x x x 123123123123231127236325+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(3) x x x x x x x x x x x x 12312312312323117236325+-=---+=-+=-++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即[A B ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------42136132711111321→ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2977028770421011321 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000700421011321 因为 r A B ()= 4，r A ()=3，两者不等，所以方程组无解。