华工数学实验

《数学实验》报告

学院：电子与信息学院专业班级：14电联

学号：

姓名：

实验名称：迭代与分形

实验日期：2016.05.03

迭代与分形

1.实验目的

-了解分形几何的基本特性。

-了解通过迭代方式产生分形图的方法。

-欣赏美妙的分形艺术。

2.实验要求

对一条横向线段，先将其等分成4段，然后将第2段向上平移，将第3段向下平移，再将4段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成下图1。继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。

图1 Minkowski香肠1次迭代

3．实验过程

实验原理：

本题利用迭代与分形几何的方法进行Minkowski香肠作图。迭代是就是将一种规则反复作用在某个对象上，简单的迭

代过程，就是描述复杂的自然形态的有效方法。分形几何把自

然形态，看作是具有无限嵌套的层次结构。

实验过程：

本实验以迭代的方式，来体验生成分形图的过程，从而对

分形几何有一个直观的了解，并感受美丽的分形图案。

算法与编程：

function Minkowski(k) %显示迭代k次后的Minkowski曲线图

p=[0,0;1,0]; %存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐标n=1; %存放线段的数量，初始值为1

A=[cos(pi/2),-sin(pi/2);sin(pi/2),cos(pi/2)]; %用于计算新的结点

for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标

j=0; %以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的七个结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中

for i=1:n %每条边计算一次

q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标

q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标

d=(q2-q1)/4;

j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; %新2点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A'; %新3点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新4点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d-d*A'; %新5点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+3*d-d*A'; %新6点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+3*d; %新7点存入r

end %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r n=8*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4

clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中

p=[r;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点

end;

figure

plot(p(:,1),p(:,2)) %显示各结点的连线图

axis equal %各坐标轴同比例

结果和图形：

（1）输入Minkowski(1)后，得到图2：

（2）输入Minkowski(2)后，得到图3：

（3）输入Minkowski(3)后，得到图4：

图4 Minkowski 香肠3次迭代

（4） 输入Minkowski(4)后，得到图5：

图5 Minkowski 香肠4次迭代

计算其分形维数：

根据分形维数的定义：设分形 F 是自相似的，F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F 一样，则定义 F 的维数为： ln log ln c m d m c

== 所以Minkowski 香肠的分形维数是4log 8 1.5d ==。

考虑进行代码的简化，毕竟如此简单的问题用了二十多行不是明智的选择，而且不能直接一步实现多图合并打出：

p=[0,i];

for k=1:4 %做四个小图

d=p/4; %类同之前的d=(q2-q1)/4

q=[d,i/4+d*i,d+i/4-1/4,d*(-i)+i/2-1/4,d*(-i)+i/2,d+i/ 2+1/4,i/4+d*i+i/2+1/4,d+i*(3/4)]; %确定新的点集

subplot(2,2,k) %2*2

plot(q*(-i)) %显示各结点的连线图

axis equal %各坐标轴同比例

axis ([0,1,-0.4,0.4]) %确定显示范围

p=q; %重新装载本次迭代后的全部结点

end

得到图像如图6所示

图6 优化后的代码对应的图形

4. 实验总结和实验感悟

本次实验自己做的比较成功，基本上是自己独立打出来的，但是有个别地方参考了课本是关于Koch曲线的代码，因为它们原理上是一样的。比较好的是在完成作业后，我剩余了较多的时间，就上网查阅相关代码，发现有更好更简单的，我拿来学习，发现那个代码的确有高明之处，我学到

了额外的东西，也对自己的表现更加满意，加油！