1.2.3导数的四则运算法则(复合函数求导法则)

2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数
是（ ）D
（A）y’=Asin(ωx+φ)
（B）y’=－Asin(ωx+φ)
（C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是 （B ）
（A）y’=cos(x2+1)－sin3x
1.2.3 导数的四则运算法则 (复合函数求导法则 )
中国人民大学附属中学
例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a， dy b为常数，a≠0)，求 . dx 解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分 别有改变量△u，△y， 由
y y u x u x
得
y y u lim lim lim x 0 x u 0 u x 0 x
∴ －f ’(－x)=－f ’(x)， 即f ’(－x)=f ’(x)， ∴ f ’(x)是偶函数．
1 2 y ' (ax bx x) (2ax b) 3 (2ax b) ax bx c 2 3(ax bx c)
3 2 2 3
7．求证：可导的奇函数f(x)的导函数f ’(x) 是偶函数． 证明：∵ f(x)是奇函数， ∴ 对 f(x)定义域 D内任一个x，有－x∈D, 且有f(－x)=－f(x)． 分别对上式左、右两边求导： [f(－x)]’=f ’(－x)· (－x)’=－f ’(－x)， [－f(x)]’=－f ’(x)，
a b c 1 4a 2b c 1 4a b 1
a3 解得 b 11 c9
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ C ） （A）y’＝3(5x－4)2
（B）y’＝9(5x－4)2
（C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x
（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x
（D）y’=cos(x2+1)+sin3x
4．函数y=(1+cosx)3是由
y=u3, u=1+cosx 两
个函数复合而成．
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方 程是 y=1 .
6．求 y 3 ax 2 bx c 的导数
=25(5x+3)4
（2） y ln(x 1)
2
解：（2）y=ln(x2+1) 令u=x2+1，则y=lnu，
1 所以y’= ·(2x) u
2x 2 x 1
（3） y e
2 x 3
解：y=e－2x－3
令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu· (－2)=－2e－2x－3 .
dy a[ f (u )]u ' 而 所以 dx dy 再将u=ax+b代入上式便得到 dx
u lim u '( x) a x 0 x
例2．求下列函数的导数 （1） y (2x 3)
5
解：（1）y=(2x+3)5， 令u=2x+3，则y=u5， 所以 [(5x 3)5 ]' 5(u5 )u ' 5 5u 4
（4） y sin(2 x )
解：令u=2x+ 3
3

则y=sinu
y ' [sin(2 x

3源自文库
)]' 2(sin u )u '

2 cos u 2 cos(2 x ) 3
例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1), 且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a， b，c的值. 解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b， 由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，