现代控制系统分析与设计

现代控制系统分析与设计

一 线性定常系统模型

1. 线性定常系统的数学模型

在MA TLAB 中，线性定常（linear time invariant, 简称为 LTI ）系统可以用4种数学模

型描述，即传递函数(TF)模型、零极点增益(ZPK)模型和状态空间(SS)模型以及SIMULINK

结构图。前三种数学模型是用数学表达式表示的，且均有连续和离散两种类型，通常把它们

统称为LTI 模型。

1) 传递函数模型（TF 模型）

令单输入单输出线性定常连续和离散系统的传递函数分别为

11101)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n m m m m ++++++++==---- (1-1) 和

11101)()()(a z a z a z b z b z b z b z U z Y z G n n n m m m m ++++++++==---- 。 (1-2) 在MA TLAB 中，连续系统和离散系统的传递函数都用分子/分母多项式系数构成的两个

行向量num 和den 表示，即

[]01b b b num m =，[]011a a den n -=

系统的传递函数模型用MATLAB 提供的函数tf( )建立。函数tf ( )不仅能用于建立系统传递

函数模型，也能用于将系统的零极点增益模型和状态空间模型转换为传递函数模型。该函数

的调用格式如下：

),(d e n n u m

tf G = 返回连续系统的传递函数模型G 。 ),,(Ts den num tf G = 返回离散系统的传递函数模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =-1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G tf Gtf = 可将任意的LTI 模型G 转换为传递函数模型Gtf 。

例1-1 已知一个系统的传递函数为

6

1166)(23+++=s s s s G 建立传递函数模型。

在命令窗中运行下列命令

>>num=6;den=[1 6 11 6];G=tf (num, den)

返回

Transfer function:

6

----------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

2) 零极点增益模型（ZPK 模型）

系统的零极点增益模型是传递函数模型的一种特殊形式。令线性定常连续和离散系统的

零极点形式的传递函数分别为

)

())(()())(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s U s Y s G ++++++==

(1-3) 和 )())(()())(()()()(2121n m p z p z p z z z z z z z K z U z Y z G ++++++==

(1-4) 在MA TLAB 中，连续和离散系统的零点和极点都用行向量z 和p 表示，即

[]m z z z z 21=，[]n p p p p 21=。

系统的零极点增益模型用MATLAB 提供的函数zpk ( )建立。函数zpk( )不仅能用来建立

系统零极点增益模型，也能用于将系统的传递函数模型和状态空间模型转换为零极点增益模

型。该函数的调用格式如下：

),,(k p z z p k

G = 返回连续系统的零极点增益模型G 。 ),,,(Ts k p z zpk G = 返回离散系统的零极点增益模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =-1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G z p k G z p k

= 可将任意的LTI 模型G 转换为零极点增益模型Gzpk 。 例1-2 已知系统的传递函数为

)

3)(2)(1(6)(+++=s s s s G 建立系统的零极点增益模型。

在命令窗中运行下列命令

>> z=[ ];p=[-1 -2 -3];k=6;G=zpk(z,p,k)

返回

Zero/pole/gain:

6

-----------------

(s+1) (s+2) (s+3)

注意：无零点时，设z 为空。

3) 状态空间模型(SS 模型)

令多输入多输出线性定常连续和离散系统的状态空间表达式分别为

)()()(t Bu t Ax t x

+= )()()(t Du t Cx t y += （1-5）

和

)()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y += （1-6）

在MA TLAB 中，连续系统和离散系统的状态空间模型都用MA TLAB 提供的函数ss ( )

建立。函数ss ( )不仅能用于建立系统的状态空间模型，也能用于将系统的传递函数模型和

零极点增益模型转换为状态空间模型。该函数的调用格式如下：

),,,(D C B A ss G = 返回连续系统的状态空间模型G 。

),,,,(Ts D C B A ss G = 返回离散系统的状态空间模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G ss Gss = 可将任意的LTI 模型G 转换为状态空间模型Gss 。

例1-3 已知系统的状态空间表达式为

u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1006116100010 []x y 006=

建立系统的状态空间模型。

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[0;0;1];C=[6 0 0];D=0;G=ss(A,B,C,D)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -6 -11 -6

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 6 0 0

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

注意：D=0不能缺省。

2．模型转换

上述三种LTI 模型之间可以通过函数tf( )，zpk( )和ss( )相互转换。线性定常系统的传递

函数模型和零极点增益模型是唯一的，但系统的状态空间模型是不唯一的。函数ss( )只能将