鲁教版七年级数学上册第四章实数单元综合培优训练题3(附答案)

鲁教版七年级数学上册第四章实数单元综合培优训练题3（附答案）

一、单选题

1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足

()()122018232019M x x x x x x =++

++++，()()122019232018N x x x x x x =++

++++，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．M N ≥

2．规定：log a b (a ＞0，a ≠1,b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算,现有如下的运算法则：

log a a n

＝n , log N M ＝log log n n M N （a ＞0,a ≠1,N ＞0,N ≠1，M ＞0).例如：log 223＝3，log 25＝1010log 5log 2

,则log 1001000＝（ ） A ．32 B ．23 C ．2 D ．3

3．从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）

A ．10

B ．6

C ．5

D ．4

4．若整数x 满足

，则x 的值是（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

5．定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 时奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2k

n 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74…；若449n =，则第449次运算结果是（ ）

A ．1

B ．2

C ．7

D ．8

6．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S －S ＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ）

A ．2020202012020-

B ．2021202012020-

C ．2021202012019-

D ．2020202012019

-

7．的算术平方根是（ ）A ．2 B ．±2 C ． D ．

8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()n a b +(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.

0()1a b +=

1()a b a b +=+

222()2a b a ab b +=++

33222()33a b a a b ab b +=+++

4322344()464a b a a b a b ab b +=++++

5()a b +54322345510105a a b a b a b ab b =+++++???

则9()a b +展开式中所有项的系数和是( )

A ．128

B ．256

C ．512

D ．1024 9．1n n +的最小整数n 的值是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51

10．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s×t （s ，t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最优分解，并规定：F （n ）＝p q

．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F （24）＝

46＝23．给出下列关于F （n ）的说法：①F （6）＝23

；②F （16）＝1；③F （n 2﹣n ）＝1﹣1n ；④若n 是一个完全平方数，F （n ）＝1．其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11．定义运算，比如2?3=

115236+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2?（﹣3）=16

；②此运算中的字母均不能取零；③a ?b=b ?a ；④a ?（b+c ）=a ?c+b ?c ，其中正确是（ ）

A ．①②④

B ．①②③

C ．②③④

D ．①③④

二、填空题 12．阅读下列解题过程：

计算：232425122222++++++

解：设232425122222S =++++++①

则232526

222222S =+++++②由②-①得，2621S =- 运用所学到的方法计算：233015555++++??+=______________.

13．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，…，22111(1)n S n n =+++．设12n S S S S =+++，则S =_______（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．

14．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2525a a -+-=_________.

15．我们把使方程20192019

x y x y ++=?成立的一对整数(),2019,2019x y x y ≤≤的值叫做“2019吉祥数对”，记作(),x y ，如()0,0就是一对2019吉祥数，则所有2019吉祥数对中，x y +的最大值为__________.

16．已知2

12()02a b -++=，则20192020a b =__________．

17．若613-的整数部分为x ，小数部分为y ，则(213)x y +的值是___.

18．已知数轴上点A 表示的数是2-，点B 表示的数是1-，那么数轴上到点B 的距离与点A 到点B 的距离相等的另一点C 表示的数是______________．

19．若

=+，对任意自然数n 都成立，则a= ，b= ； 计算：m=+++ …+= ． 20321x +﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____．

21．设2的整数部分为a ，小数部分为b ，则1a b

-的值为__________ 22313312+333123++

=__________．

23．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)x A B A B A B ⊕=

++++，如果5213⊕=，那么45⊕=__________．

三、解答题

24．计算：（1）10{220x y x y +=-=；2+ 3π- 25．观察下列等式：111122=-?，1112323=-?，1113434

=-? ， 将以上三个等式两边分别相加得：

11111111112233422334++=-+-+-???=13144

-= （1）猜想并写出：1n(n 1)

+ = ． （2）直接写出下列各式的计算结果：

①1111 (12233420152016)

++++????= ； ②1111...122334(1)

n n ++++????+= ； （3）探究并计算：

1111...24466820142016++++????． 26．（阅读材料）

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

10=100=，1000593191000000<<，

∴10100<．

∴能确定59319的立方根是个两位数．

第二步：∵59319的个位数是9，39729=

∴能确定59319的立方根的个位数是9．

第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，

<<34<<，可得3040<<，

由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．

（解答问题）

根据上面材料，解答下面的问题

（1）求110592的立方根，写出步骤．

（2）填空：321952=__________．

27．如图，用两个面积为2

200cm的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是___________；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比360cm？

为5：4，且面积为2

28．）若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是．已知a1=-，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推．

（1）分别求出a2，a3，a4的值；

（2）求a1+a2+a3+…+a2160的值．

292是无理数，而无理数是无限不循环小数，

<<，2的整数部2的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于122

分为1，将减去其整数部分121，根据以上内容，解答下面的问题：

()15的整数部分是；小数部分是．

()212的整数部分是，小数部分是．

()3若设23整数部分为x，小数部分为y3xy

-的值．

30．观察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，……

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52× ＝ ×25 ② ×396＝693× ；

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a +b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a ，b ），并证明；

（3）若（2）中a ，b 表示一个两位数，例如a ＝11，b ＝22，则1122×

223311＝113322×2211，请写出表示这类“数字对称等式”一般规律的式子（含a ，b ），并写出a +b 的取值范围． 31．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“

”规定||||a b a b a b =++-． （1）计算2(3)-⊙的值；

（2）已知()8a a a a =+，求a 的值．

32．已知a,b (0b -=，求a 2005-b 2006的值.

33．阅读下面的文字，解答问题

的小数部分我们不可能

全部地写出来，﹣1的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

23，

的整数部分为2﹣2）

请解答：

（1整数部分是 ，小数部分是 ．

（2的小数部分为a 的整数部分为b ，求|a ﹣b 的值．

（3）已知：x +y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，求x ﹣y 的相反数．

34．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ※b ＝221ab ab ++，如

1※3＝1×23＋2×1×3＋1＝16．

（1）求3※(－2)的值；

（2）若()2410x y -++=，求12??- ???

※(x ※y )的值； （3）若12n +?? ???

※3=16，则n 的值为 。 35．计算:

（11 ；

（2）()

()()2014023132π--+-?--； （3）()()

32146822a a a a a a ----÷

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可.

【详解】

解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++， ∴1p q x -=，

∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =+++++

+=?+=+?； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++

++++=+?=+?； ∴20192019()M N pq p x pq q x -=+?-+?

=2019()x p q ?-

=201910x x ?>；

∴M N >；

故选：B.

【点睛】

本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小. 2．A

【解析】

【分析】 根据规定法，1010010log 1000log 1000log 100=

. 【详解】 根据法则，1010010log 10003log 1000log 1002

=

= 故选A

【点睛】

本题考核知识点：新运算法则.解题关键点：理解并模仿法则.

3．C

【解析】

【分析】

找出i i a b +的值，结合对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，即可得出S 的最大值．

【详解】

解：∵110,121-+=-+=，143,123-+=+=，145,246+=+=，

∴i i a b +共有5个不同的值．

又∵对于任意的{},i i i M a b =和{}

,(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，

∴S 的最大值为5．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键． 4．C

【解析】

解：

∵45，∴9＜10；=89，∴102＜11，∴整数x =10．故选C ．

点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．

5．D

【解析】

【分析】

设449经过n 次运算结果为a n ，根据运算规则求出部分a n 的值，根据数值的变化找出变化

规律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)”，依此规律即可得出结论．

【详解】

设449经过n次运算结果为a n，

通过计算发现规律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，

∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n为整数)，

∵449=2×224+1，

∴a449=8．

故选D．

【点睛】

本题主要考查新定义运算以及数列的变化规律，通过计算，找出数列的变化规律，是解题的关键．

6．C

【解析】

【分析】

由题意可知S＝1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．

【详解】

解：设S＝1＋2020＋20202＋20203＋ (20202020)

则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②

由②－①得：

2019S＝20202021－1

∴

2021

20201

2019

S

-=．

故答案为：C．

【点晴】

本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算．

7．C

【解析】

试题分析：2，然后再利用算术平方根的定义

即可求出结果．

故选C.

8．C

【解析】

【分析】

本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和，各项系数和是2n ;

【详解】

观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是2n ;

所以，9

()a b +展开式中所有项的系数和是29=512.

故选：C

【点睛】

本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

9．C

【解析】

试题分析：由题意可知被开方数无限接近1，根据算术平方根的意义，可知20.990.98011n n =+＞，当n=50时，500.9804501≈+，490.9850

=，因此可知最小整数n 为50.

故选：C.

10．D

【解析】

【分析】

根据最优分解的定义，分别求出6、16、n 2﹣n 以及完全平方数n ，然后对各小题求解即可作出判断．

【详解】

解：①∵6＝1×

6＝2×3， ∴F （6）＝23

，故本小题正确；

②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，

∴F（16）＝4

4

＝1，故本小题正确；

③∵n2﹣n＝n（n﹣1），

∴F（n2﹣n）＝

1

n

n

-

＝1﹣

1

n

，故本小题正确；

④∵n是一个完全平方数，

∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，

∴F（n）＝1，故本小题正确．

综上所述，说法正确的个数是4，

故选：D．

【点睛】

本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．11．B

【解析】

【分析】

根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．

【详解】

①2?（﹣3）=1

23

1

-=

1

6

，①正确；

②∵

11

b

a b

a

?=+，

∴a≠0且b≠0，∴②正确；

③∵

11

b

a b

a

?=+，

11

b a

b a

?=+，

∴a?b=b?a，∴③正确；

④∵a?（b+c）=11

a b c

+

+

，a?c+b?c=

1111121

a c

b

c a c b

+++=++，

∴a?（b+c）≠a?c+b?c，∴④错误.

综上，正确的结论为①②③，故选B.

【点睛】

本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键.

12．31514

-. 【解析】

【分析】

设S=233015555++++??+，等号两边都乘以5可解决．

【详解】

解：设S=233015555++++??+①

则5S=23303155555+++??++②

②-①得4S=311-5，

所以S=31514

-. 故答案是：31514

-. 【点睛】

本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的方法就可以解决．

13．221

n n n ++ 【解析】

【分析】

试题分析：先求出S n 111

n n +

-+，再总结出S 的表达式，从而可以得出结论．

【详解】 22

111(1)n S n n =+++ 2222

22

(1)(1)(1)n n n n n n ++++=+ 222[(1)]221[(1)]

n n n n n n ++++=+

2

2

[(1)1][(1)]n n n n ++=+， (1)1111

11(1)(1)1

n n n n n n n n ++==+=+-+++．

n S S ∴=+

111111111223

1n n =+-++-+++-+ 111

n n =+-+ 22(1)1211

n n n n n +-+==++． 【点睛】

本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同

时要注意对于式子()11111

n n n n =-++的理解．

14．【解析】

根据数轴可知1＜a ＜2，可知a 即0，因此根据绝对值的性质和二次根式的

性质，可得a

故答案为点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.

15．106

【解析】

【分析】 根据20192019

x y x y ++=?可得1918y x =-，1819x y =-，则,x y 异号，并且当x y +最大时，0y <，y 是18的倍数，0x >，x 是19的倍数，则可分别求出,x y 的值，然后得出结果.

【详解】

解：∵

20192019

x y x y ++=?， 通分化简得：18y x y +=-，1918y x =-，1819x y =- ∵(),2019,2019x y x y ≤≤属于整数，则：当x y +最大时，

0y <，y 是18的倍数，

0x >，x 是19的倍数，

根据2019191065÷=，

∴106192014x =?=，

18181061919081916

x y ??=-=-=-， ∴()20141908106x y +=+-=，

故答案为：106.

【点睛】

此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够利用等式的性质解方程是解本题的关键． 16．12

【解析】

【分析】

先利用绝对值和平方的非负性求得a 、b 的值，然后将20192020a b 转化为20192019()a

b b ?的形式可求得.

【详解】 ∵2

1

2()02a b -++= ∴a －2=0，12

b +

=0 解得：a=2，12b =- 20192020a b =20192019()a b b ?=()2019112??-?- ???=1 2

故答案为：

12

【点睛】 本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a 、b 的值.

17．3 【解析】 【分析】 先估算3134<<,再估算26133<-<,根据6－13的整数部分为x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=413-,然后再代入计算即可求解.

【详解】

因为3134<<,

所以26133<-<,

因为6－13的整数部分为x ,小数部分为y ,

所以x =2, y=413-,

所以(2x ＋13)y =()()

413

41316133+-=-=, 故答案为:3.

【点睛】

本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.

18．22-

【解析】

试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-2）|=21-，因此可知C 点的数值为-1+21-=22-.

19．a=，b=-；m=

【解析】

试题分析：由于对任何自然数n 都成立，因此可知： 当n=1时，；当n=2时，；联立方程组为，解方程组可求得a=，b=，因此可知，所以可求

m===． 考点：二元一次方程组，规律探索

20．0或﹣1或﹣

12 【解析】

【分析】 321x +＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

【详解】 321x +﹣2x ﹣1＝0， 321x +＝2x+1，

∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，

解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣

12． 故答案为：0或﹣1或﹣

12． 【点睛】

此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 21．422

- 【解析】

【分析】 根据算术平方根得到122<<，则221，因此3524<<，即可确定a ，b 的值，再代入求解即可．

【详解】 解：∵122<

<， ∴221， ∴3524<-， ∴3,52322a b ===，

∴133

a b -===．

故答案为：

42． 【点睛】

本题考查的知识点实数的计算，估算是我们应具备的数学能力，“夹逼法”是估算的常用方法．

22．351

【解析】

【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．

【详解】

=1+2+3+n +

=1+2+326+=351 故答案为：351

【点睛】 本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．

23．1745

【解析】

【分析】

按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.

【详解】

解：由1521=21(21)(11)3

x ⊕=

++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045

⊕=+++++ 故答案为

1745. 【点睛】

本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.

24．（1）

； （2）原式=π

【解析】

试题分析：（1）利用加减消元法求解方程组即可；

（2）根据二次根式的性质和绝对值的意义可求解.

试题解析：（1） （2）原式=

++π-3 =π

25．（1）111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032

. 【解析】

【分析】 （1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取

14

，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】 （1）()11n n + =111

n n -+； （2）①1111...12233420152016++++????=11111122334-+-+-+…+1120152016

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