指数函数知识点总结.
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指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n
=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *
. 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
(1)r
a ·s
r r
a
a += ),,0(R s r a ∈>;
(2)rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)
s
r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函
数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [
(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈;
(3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;
指数函数·例题解析
【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y 3
(2)y (3)y 12x
===-+---21
3321x x
解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,
∴值域是≤<.0y 3
练习:(1)4
12-=x y ; (2)||
2()3
x y =; (3)12
41
++=+x x y ;
【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]
A .a <b <1<c <d
B .a <b <1<d <c
C . b <a <1<d <c
D .c <d <1<a <b
解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0), 则得b <a <1<d <c . 练习:指数函数① ②
满足不等式
,则它们的图象是
( ).
【例3】比较大小:
(1)2(2)0.6
、、、、的大小关系是:.
2481632
358945
12--()
(3)4.54.1________3.7 3.6
解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491
2
28416212
313
525
838
949
3859=====
解 (2)0.6110.6∵>,>,
∴>.
----
45
12
451
232
32
()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6.
说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 练习: (1)1.7
2.5
与 1.73
( 2 )0.1
0.8
-与0.2
0.8
-
( 3 ) 1.7
0.3
与 0.9
3.1
(4)
5
.31
.2和
7
.20
.2
【例4】解
比较大小与>且≠,>.
当<<,∵>,
>,
a a a a
a
n n n n n n n
n n n
n n -+-+-=-111
1
111
1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()
()
∴<,∴<当>时,∵>,>,∴>,>a a a n n a
a a n n n n n n n n n n n n 1111
1111
1
1()
()
()--+--+-1a 1n 101
【例5】作出下列函数的图像:
(1)y (2)y 22x ==-,()1
2
1
x +
(3)y =2|x-1| (4)y =|1-3x |
解 (1)y (264)(0)(11)y 1=的图像如图.-,过点,及-,.
是把函数=的图像向左平移个单位得到的.
()()121
212
1x x
+ 解 (2)y =2x -2的图像(如图2.6-5)是把函数y =2x 的图像向下平移2个单位得到的.
解 (3)利用翻折变换,先作y =2|x|的图像,再把y =2|x|的图像向右平移1个单位,就得y =2|x-1|的图像(如图2.6-6).
解 (4)作函数y =3x 的图像关于x 轴的对称图像得y =-3x 的图像,再把y