水力学(2)第二十讲

坐标xi，i=1,2,3, z=x3; 流速ui ，i=1,2,3, w =u3 ; 下脚标 i=1,2,3, j=1,2,3 j为求和指标, l=1,2 l为求和指标 ;
∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u 例： i + u j i ＝ i + u1 i + u2 i + u3 i ∂t ∂x1 ∂x2 ∂t ∂x j ∂x3
u2 (v) u1 (u)
z = zb ( x , y )
F ( x, y , z , t ) = 0
∫
η
zb
F (, x, y, z , t )dz =0
二. 浅水方程 二. 浅水方程 1 连续方程
η
z o
x3
η = h + zb
y x2 h zb
u3 (w) u2 (v) u1 (u)
⎛ ∂u j ⎞ η⎛ η⎛ x ⎞ ⎞ ⎟dz = ⎜ ∂u3 ⎟dz + ⎜ ∂ul ⎟dz = 0 ⎜ x1 ∫zb ⎜ ∂x j ⎟ ∫zb ⎜ ∂x3 ⎟ ∫zb ⎜ ∂xl ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝
∂ui ∂ ∂h ∂ ∂h + ui + ui (hul ) + hul (ui ) + gh ∂t ∂t ∂xl ∂xl ∂xi ∂u ∂u ∂ ∂h ∂h (hul )] + h[ i + ul i + gh + ui ∂t ∂xl ∂t ∂xl ∂xi
= [ui
=0(连续方程）
∂ui ∂ ∂h + ul (ui ) + g = Si / h ∂t ∂xl ∂xi
z = η ( x, y , t )
u3 η ∂η Dη ∂η = w |η = = + ul η Dt ∂xl ∂t
7 底部运动学条件 座标方程 运动方程
z = z b ( x, y )
u3
zb
= w zb = ul
zb
∂zb ∂xl
一 基本概念、知识 一 基本概念、知识 8 莱布尼兹（Leibnitz）公式
∫Hale Waihona Puke Baidu
η
zb
dz = − gh
∂η ∂xi
二 浅水方程 二 浅水方程 x,y动量方程 (i=1,2) 切应力积分
1 ∂p 1 ∂τTij ∂ ∂ (ui ) + (ui u j ) = X i − + ∂t ∂x j ρ ∂xi ρ ∂x j
⎛ ∂τTij ⎞ η⎛ η⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎟dz = ⎜ ∂τTi 3 ⎟dz + ⎜ ∂τTil ⎟dz ∫zb ⎜ ∂x j ⎟ ∫zb ⎜ ∂x3 ⎟ ∫zb ⎜ ∂xl ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ∂z ∂ η ∂η τTil dz − τTil | +τTil b | zb = τTi 3 |η −τTi 3 | zb + ∂xl ∫zb ∂xl ∂xl
η
=
η
∂η ∂z ∂ (hTil ) + τTi 3 |η −τTil |η −τTi 3 | zb +τTil b | zb ∂xl ∂xl ∂xl
⎛ ∂τTij ⎞ ⎟dz = ∂ (hTil ) + τ iη − τ i zb ⎜ ∫zb ⎜ ∂x j ⎟ ∂xl ⎝ ⎠
水面风应力 底部阻力
τ iη = τ i 3 |η −τ il
∫
η
zb
[
η ⎛ ∂u ⎞ η ⎛ ∂u u ⎞ η ⎛ ∂u u ⎞ ∂ ∂ (ui ) + (ui u j )]dz = ∫ ⎜ i ⎟dz + ∫ ⎜ i 3 ⎟dz + ∫ ⎜ i l ⎟dz ⎟ zb zb ⎜ ∂x zb ⎜ ∂x ⎟ ∂t ∂x j ⎝ ∂t ⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ 3 ⎠
2
底部阻力 水面风 应力
底部阻力
1D情况
τ ib =
ρg
C2
u1 + u2 ui
2
d (v ± 2 gh ) = g (i − J f ) dt , J f = v 2 /(c 2 R)
连续方程 动量方程
h
∂h ∂ hu l + = 0 ∂t ∂xl
二 浅水方程 二 浅水方程
∂ 1 2 ∂ ∂ ( hu i ) + ( hu i u l ) + ( gh ) = S i ∂t ∂ xl ∂ xi 2
T T
∂η |η ∂xl
T
η τ 1 = Cw ρ aω 2 cos β η τ 2 = Cw ρ aω 2 sin β
τ i zb = τ i 3 | zb −τ il
T
∂zb | zb ∂xl
二 浅水方程 二 浅水方程 连续方程 ∂h ∂ + ( hu ∂t ∂xl 水深时间变化
z o
l
x3
η = h + zb
0 u2 0
h⎞ ⎛h⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ u1 ⎟ = ⎜ S1 / h ⎟ ⎟ ∂x2 ⎜ u ⎟ ⎜ S / h ⎟ u2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
右向量（重 力、阻力）
时间 变化项
X方向变化（压 力、动量改变）
y方向变化（压 力、动量改变）
二 浅水方程 二 浅水方程
第20讲 二维非恒定流 第20讲 二维非恒定流
作业： 本ppt 的后面
内容提要
二维浅水方程
雷诺方程 基本假定 水面条件 底部条件 浅水方程 边界条件与实例
重点
小结 非恒定流总结
一 基本概念、知识 一 基本概念、知识 1 符号说明
x
z o x1
x3
η = h + zb
y x2 h zb
u3 (w) u2 (v) u1 (u)
η
∂zb ∂η ∫zb (uiul )dz − uiul ∂xl |η +uiul ∂xl |zb
η
∫
η
zb
[
∂hu i ∂hu i u l ∂ ∂ + (u i ) + (u i u j )]dz = ∂t ∂x j ∂t ∂xl
二 浅水方程 二 浅水方程 2 x,y动量方程 (i=1,2)
∂ ∂ 1 ∂p 1 ∂τTij + (ui ) + (ui u j ) = X i − ρ ∂xi ρ ∂x j ∂t ∂x j
p = ρg (η − x 3 ) + pa
η
5 平均值的定义 平均流速 平均应力 应力定义
ui = ( ∫ ui dz ) / h
zb
∂ui ∂u j τ ij = μ ( + ) − ρ ui′u ′j ∂x j ∂xi
Tij = ( ∫ τ ij dz ) / h
zb
η
一. 基本概念、知识 一. 基本概念、知识 6 自由表面运动学条件 座标方程 运动方程
∫ (u )dz = 0
zb l
η
∂η ∂ + (ul h) = 0 ∂t ∂xl
l=1,2
二 浅水方程 二 浅水方程 2 x,y动量方程 (i=1,2)
∂ ∂ 1 ∂p 1 ∂ (ui ) + (ui u j ) = X i − + (τ ij − ρ ui ' u j ') ∂t ∂x j ρ ∂xi ρ ∂x j
二 浅水方程 二 浅水方程
连续方程 X方向动量
∂h ∂h ∂h ∂u ∂u ∂u ∂u + [u1 + h 1 + 0 2 ] + [u2 +0 1 +h 2]= 0 ∂t ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2
∂u1 ∂h ∂u ∂u ∂h ∂u ∂u +g + u1 1 + 0 2 + 0 + u 2 1 + 0 2 = S1 / h ∂t ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2
⎛ h ⎞ ⎛ u1 h 0 ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ u2 ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎜ u1 ⎟ + ⎜ g u1 0 ⎟ ⎜ u1 ⎟ + ⎜ 0 ∂t ⎜ ⎟ ⎜ ∂x u2 ⎠ ⎝ 0 0 u1 ⎟ 1 ⎜ u 2 ⎟ ⎜ g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 u2 0 h⎞ ⎛h⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ u1 ⎟ = ⎜ S1 / h ⎟ ∂x u2 ⎟ 2 ⎜ u2 ⎟ ⎜ S 2 / h ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pz
τzy
τzx
τyx
z x
y
τxy
Py
τxz
dz
Px
τyz
(i, j=1,2,3)
dx
dy
连续方程
雷诺方程
∂ (u j ) = 0 ∂x j
（j=1,2,3）
1 ∂p 1 ∂τTij ∂ ∂ (ui ) + (ui u j ) = X i − + ρ ∂xi ρ ∂x j ∂t ∂x j
τ ij = (τ ij − ρ ui ' u j ')
∂ w |η − w | zb + ∂xl
(ul )dz − ul ∂η |η +ul ∂zb |zb = 0 ∫z ∂x ∂x
η
b
l
l
自由表面运动学条件 底部运动学条件
u3 η = w |η =
Dη ∂η ∂η = + ul η ∂t Dt ∂xl
zb
u3
zb
= w zb = ul
∂zb ∂xl
∂η ∂ + ∂t ∂xl
连续方程 X方向动量方程 y方向动量方程
∂u ∂u ∂h ∂h ∂h + u1 + h 1 + u2 +h 2 =0 ∂x 2 ∂x 2 ∂t ∂x1 ∂x1
∂u1 ∂h ∂u1 ∂u1 +g + u1 + u2 = S1 / h ∂t ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂u 2 ∂u2 ∂h ∂u2 + u1 +g + u2 = S2 / h ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x2
y x2 h zb
u3 (w) u2 (v) u1 (u)
) = 0
x
x1
单宽流量 空间变化
动量方程 ∂z b ∂ 1 2 ∂ ∂ ( hu i ) + ( hu i u l ) + ( gh ) = − gh + (τ iη − τ ib ) / ρ ∂t ∂xl ∂ xi 2 ∂ xi 时间变化 对流项 压力项 重力
i为自由指标，j为求和指标
) 自由水面高程 η ( x, y, t，底部高程zb， 水深 h 。
η ( x, y , t ) = z b ( x, y ) + h ( x, y , t )
一. 基本概念、知识 一. 基本概念、知识
2 不可压缩流动的N-S 方程
1 ∂p 1 ∂τ j i ∂ ∂ (u i ) + (u i u j ) = X i − + ∂t ∂x j ρ ∂xi ρ ∂x j
T
一 基本概念、知识 一 基本概念、知识 3 基本假定
1） 垂向流速及其( ui ,h)垂向变化忽略不计，
w=0,
∂( ) ∂z = 0 , 得静水压分布
p = − ρg( z − η； )
2）渐变流（流线平行，水面波动数值与水深相比
为小量） 3）局部损失不计。
一 基本概念、知识 一 基本概念、知识 4 垂向动量方程的简化 略去动量方程中垂直方向上的所有加速度 项和应力项，得到静水压力分布方程
∂z ∂ η ∂η ⎛ ∂ui ⎞ |η +ui b | zb ⎜ ⎟dz = ∫z (ui )dz − ui ∫zb ⎝ ∂t ⎠ ∂t b ∂t ∂t
η
=0
⎛ ∂ui u3 ⎞ ∫zb ⎜ ∂x3 ⎟dz = uiu3 |η −uiu3 |zb ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
η
⎛ ∂ui ul ⎞ ∂ ⎟dz = ⎜ ∫zb ⎜ ∂xl ⎟ ∂xl ⎠ ⎝
y方向动量
∂h ∂u ∂u ∂h ∂u ∂u ∂u 2 +0 + 0 1 + u1 2 + g + 0 1 + u2 2 = S 2 / h ∂t ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2
⎛ h ⎞ ⎛ u1 h 0 ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ u2 ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎜ u1 ⎟ + ⎜ g u1 0 ⎟ ⎜ u1 ⎟ + ⎜ 0 ∂t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x1 ⎜ u ⎟ ⎜ g ⎝ u2 ⎠ ⎝ 0 0 u1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝
∂U ∂U ∂U +G +H =R ∂t ∂x1 ∂x2
⎛ u1 h 0 ⎞ ⎜ ⎟ G = ⎜ g u1 0 ⎟ ⎜0 0 u ⎟ 1⎠ ⎝ ⎛ u2 ⎜ H =⎜ 0 ⎜g ⎝ 0 u2 0 h⎞ ⎟ 0⎟ u2 ⎟ ⎠
特征 向量 特征 向量
U = [h, u1 , u2 ]T R = [0, S1 / h, S 2 / h]T
∂ ∂xi ∂f dx3 + f ∂xi ∂b −f ∂xi ∂a ∂xi
∫
b
a
fdx3 = ∫
b
a
b
a
∫
b
a
∂ ∂f dx3 = ∂xi ∂xi
∫
b
a
fdx3 − f
b
∂b +f ∂xi
a
∂a ∂xi
9. 方程沿水深积分
Z (x3)
z = η ( x, y, t )
u3 (w)
h(x,y,t)
o X(x1) Y (x2)
由静水压力假设
p = ρg (η − x3 ) + pa
∂η 1 ∂p 1 − = − [ ρg (η − x3 ) + pa ] = − g ∂xi ρ ∂xi ρ
η ⎛ 1 ∂p ⎞ ∂η ∂η ⎜− ⎟dz = ∫ − g dz = − g ∫zb ⎜ ρ ∂xi ⎟ zb ∂xi ∂xi ⎝ ⎠ ∂h ∂z ＝ − gh（ ＋ b ） ∂xi ∂xi η