大学物理(第四版)课后习题及答案_量子物理

第十七 章量子物理
题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。

试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。

题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长
nm 257m 1057.27m =⨯==
-T
b
λ 属紫外区域，所以天狼星呈紫色
题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K ，地球的平均温度约为
293 K 。

若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？
题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律4)(T T M σ=可知，这两个星体辐射能量之比为
4.484
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=地金地金T T M M 题17.3：太阳可看作是半径为7.0 ⨯ 108 m 的球形黑体，试计算太阳的温度。

设太阳射到地球
表面上的辐射能量为1.4 ⨯ 103W ⋅m －
2，地球与太阳间的距离为1.5 ⨯ 1011m 。

题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d 为半径作一球面，地球处在该球面的某
一位置上。

太阳在单位时间内对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有 2
244)(R E
d T M ππ=
（1）
4)(T T M σ= （2）
由式（1）、（2）可得
K 5800122=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=σR E d T
题17.4：钨的逸出功是4.52 eV ，钡的选出功是2.50 eV ，分别计算钨和钡的截止频率。

哪一
种金属可以用作可见光范围内的光电管阴极材料？
题17.4解：钨的截止频率 Hz 1009.1151
01⨯==
h
W ν 钡的截止频率
Hz 1063.0152
02⨯==
h
W ν 对照可见光的频率范围可知，钡的截止频率02ν正好处于该范围内，而钨的截止频率01ν大
于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光范围内的光电管材料。

题17.5：钾的截止频率为4.62 ⨯ 1014 Hz ，今以波长为435.8 nm 的光照射，求钾放出的光电子
的初速度。

题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程
W mv h +=
2
2
1ν 其中
λνν/0c h W ==， 可得电子的初速度
152
10s m 1074.52-⋅⨯=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=νλ
c m h v
由于选出金属的电子的速度v << c ，故式中m 取电子的静止质量。

题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为 3.0 ⨯ 10－
3 nm ，反冲电子的速度为光速的60％，
求散射光子的波长及散射角。

题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有
2200mc c
h c m c h +=+λ
λ
（1） 2/1220)/1(--=c v m m
（2）
)cos 1(c 0θλλλ-=-
（3）
由式（1）和式（2）可得散射光子的波长
nm 1035.4443000
-⨯=-=c m h h λλλ 将入值代入式（3），得散射角
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
--
=c 01arccos λλλθ 题17.7：一具有l.0 ⨯ 104eV 能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射
角为60︒。

试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？
题17.7解：（1）入射光子的频率和波长分别为
nm 124.0Hz 1041.20
0180==⨯==
νλνc
h E ， 散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为
nm 1022.1)cos 1(3c -⨯=-=∆θλλ
式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量。

（2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量
eV 3.950ke =∆=-=E h h E νν
由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在 Oy 轴上的分量式（图17-7）可得 22e 0e 22
e c p E E += （1） ke e 0e E E E +=
（2）
0sin sin e =-ϕθν
p c
h （3）
由式（1）和式（2）可得电子动量
124ke
e 0ke 2e s m kg 1027.52--⋅⋅⨯=+=
c
E E E p
将其代入（3）式可得电子运动方向
'
3259sin )(arcsin sin arcsin 0e 0e =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆+=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=θννθν
ϕc p h c p h
题17.8：波长为0.10 nm 的辐射，射在碳上，从
而产生康普顿效应。

从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。

求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。

题17.8解：（1）由散射公式得
nm 1024.0)cos 1(C 0=-+=∆+=θλλλλλ
（2）反冲电子的动能等于光子失去的能量，因
此有
J 1066.41117
00k -⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=λλννhc h h E
根据动量守恒的矢量关系，可确定反冲电子的方向
'1844arctg /arctg 0
00=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλϕh h
题17.9：试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：（1）波长为1500 nm 的红外线；
（2）波长为 500 nm 的可见光；（3）波长为 20 nm 的紫外线；（4）波长为 0. 15 nm 的X 射线；（5）波长为 1.0 ⨯ 10-3 nm 的γ 射线。

题17.9解：由能量νh E =，动量λ
h
p =
以及质能关系式2/c E m =，可得 （1）当nm 1500
1=λ时，J 1033.1191
11-⨯===λνhc
h E
1281
1s m kg 1042.4--⋅⋅⨯==λh
p
kg 1047.1361
2
11-⨯===
λc h c
E m
（2）当nm 5002=λ时，因123
1
λλ= 故有 J 1099.331912-⨯==E E 12722s m kg 1033.13--⋅⋅⨯==P p
kg 1041.433612-⨯==m m
3）当nm 203=λ时，因1375
1λλ= 故有 J 1097.9751813-⨯==E E 12613s m kg 1031.375--⋅⋅⨯==P p
kg 1010.1753413-⨯==m m
4）当nm 15.04=λ时，因14410λλ-=，故有
J 1033.11015144-⨯==E E 124144s m kg 1022.410--⋅⋅⨯==P p
kg 1047.11032144-⨯==m m
（5）当nm 10135-⨯=λ时，J 1099.1135
55-⨯===λνhc
h E
1225
5s m kg 1023.6--⋅⋅⨯==λh
p
kg 1021.2305
2
55-⨯===
λc h c
E m
题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。

题17.10解：莱曼系的谱线满足
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2i 2f 111
n n R λ 令 n i = 2，得该谱系中最长的波长nm 5.121max =λ 令∞→i n ，得该谱系中最短的波长nm 2.91min =λ
对照可见光波长范围（400～760 nm ），可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分。

题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数5i =n 的轨道跃迁到n f = 2的轨道上时，对外辐射光的波长为多少？若再将该电子从n f =2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？
题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从5i =n 跃迁到n f = 2轨道状态时对外辐射光
的波长满足
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22512
1
1
R λ 则 μm 4.43m 1034.47=⨯=-λ
而电子从n f = 2跃迁到游离态∞→i n 所需的能量为
eV 4.322
12-=∞
-
=
-=∆∞E
E E E E 负号表示电子吸收能量。

题17.12：如用能量为12.6 eV 的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？ 题17.12解： 根据跃迁假设和波数公式有
2
i
12
f
1f n E n E E E E i -
=
-=∆ （1）
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2
f 2i 111n n R λ 将eV 6.131-=E ， n f = 1和eV 6.13=∆E （这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1），可得69.3i =n ，取整3i =n （想一想为什么？），即此时氢原子处于n = 3的状态。

由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm 、657.9nm 和121.6nm 。

题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05⨯10-3 A 在氢原子核处，这个
电流产生的磁场的磁感强度为多大？
题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为
A 1005.142321
2
11-⨯===
=mr eh
r ev ef I ππ 式中v 1为基态时电子绕核运动的速度，1
12mr h
v π= 该圆形电流在核处的磁感强度
T 5.1221
0r I
B μ= 上述过程中电子的速度v << c ，故式中m 取电子的静止质量。

题17.14：已知α粒子的静质量为6.68×10－27 kg ，求速率为5000 km/s 的α粒子的德布罗意波
长。

题17.14解：由于α粒子运动速率v << c ，故有 m = m 0，则其德布罗意波长为
nm 1099.150-⨯===
v
m h p h λ
题17.15：求动能为1.0 eV 的电子的德布罗高波的波长。

题17.15解：由于电子的静能 MeV 512.0200==c m E ，而电子动能0k E E <<，故有
2/1k 0)2(E m p =，则其德布罗意波长为
nm 23.1)2(2
/1k 0===
E m h p h λ 题17.16：求温度为27℃时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。

题17.16解：理想气体分子的方均根速率M
RT
v 32=。

对应的氧分子的德布罗意波长
nm 1058.232A 2
-⨯====
MRT
h N v m h p h λ
题17.17：若电子和光子的波长均为0.20 nm ，则它们的动量和动能各为多少？ 题17.17解：由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为
124s m kg 1022.3--⋅⋅⨯==
λ
h
p
光子的动能 )0,0(eV K 22.600k =====E m pc E E 对光子：
电子的动能
keV 8.3720
2
k ==m p E （此处电子动能用非相对论方法计算）
题17.18：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量
与动量表达式。

题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a 内形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有2/λn a =，即
),3,2,1(2 ==
n n
a λ
由德布罗意关系式λ
h
p =，可得自由粒子的动量表达式
),3,2,1(2 ==
=
n a
nh h
p λ
由非相对论的动量与动能表达式m
p E 22
=，可得自由粒子的能量表达式
),3,2,1(82
2
2 ==
n ma h n E
从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。

题17.19：电子位置的不确定量为5.0 ⨯ 10－2nm 时，其速率的不确定量为多少？
题17.19解：因电子位置的不确定量nm 1052-⨯=∆x ，由不确定关系式以及x x v m p ∆=∆可得
电子速率的不确定量
17s m 1046.1-⋅⨯=∆=
∆x
m h
v x 题17.20：铀核的线度为7.2 ⨯ 10－5m 。

求其中一个质子的动量和速度的不确定量。

题17.20解：对质子来说，其位置的不确定量m 106.3m 2
102.71515
--⨯=⨯=∆r ，由不确定关系
式h p r ≥∆∆以及v m p ∆=∆，可得质子动量和速度的不确定量分别为
120s m kg 1089.1--⋅⋅⨯=∆=∆r
h
p
17s m 1013.1-⋅⨯=∆=
∆m
p
v 题17.21：一质量为40g 的子弹以1. 0 ⨯ 103 m/s 的速率飞行，求：（ 1）其德布罗意波的波长；
（2）若子弹位置的不确定量为0.10 μm ，求其速率的不确定量。

题17.21解：（1）子弹的德布罗意波长为
m 1066.135-⨯==
v
m h
λ （2）由不确定关系式以及x x v m p ∆=∆可得子弹速率的不确定量为
128x s m 1066.1--⋅⨯=∆=∆=
∆x
m h
m p v 由计算可知，由于h 值极小，其数量级为10－34
，故不确定关系式只对微观粒子才有实际
意义，对于宏观物体，其行为可以精确地预言。

题17.22：试证如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于
或等于其速度。

题17.22证：由题意知，位置不确定量λ=∆x ，由不确定关系式可得λh x h p =∆≥
∆，而m
p
v ∆=∆，故速度的不确定量
v v m
p
m h v ≥∆=≥
∆，即λ
题17.23：已知一维运动粒子的波函数为
⎩
⎨⎧=-0)(x Axe x λψ 00
<≥x x 式中0>λ，试求：（1）归一化常数A 和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（又称概率密度）；（3）在何处找到粒子的概率最大。

题17.23解：（l ）由归一化条件
1d )(2
=⎰
∞∞
-x x ψ，有
14d d d 032
22
2
220
20
2
===+-∞
-∞
∞
-⎰⎰⎰
λ
λλA x e
x A x e
x A x x
x
λλ2=A （注：利用积分公式3
20
2d b y e y by =
-∞⎰
） 经归一化后的波函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧=-0
2)(x
xe x λλλψ 00<≥x x （2）粒子的概率分布函数为
⎩
⎨⎧=-04)(2232
x e x x λλψ 00
<≥x x
（3）令
,0d ])([d 2
=x
x ψ，有40)22(2223=---x x e x xe λλλλ，得λ
1
0=
=x x ，和∞→x 时，函数2
)
(x ψ有极值。

由二阶导数[
]
0d )(d 1
2
2
2<=λ
ψx x
x 可知，在λ
1
=
x 处，2
)(x ψ有最大值，即粒子在该处出
现的概率最大。

题17.24：设有一电子在宽为0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。

（1）计算电子在最低能级的
能量；（2）当电子处于第一激发态（n = 2）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？
题17.24解：（1）一维无限深势饼中粒子的可能能量2
2
2
8ma h n E n =，式中a 为势阱宽度，当
量子数n =1时，粒子处于基态，能量最低。

因此，电子在最低能级的能量为
eV 43.9J 1051.18182
1=⨯==-ma
h E
（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为
...,2,1,sin 2)(==
n x a n a x πψ 当它处于第一激发态（n = 2）时，波函数为
a x x a
a x ≤≤=
0,2sin 2)(πψ 相应的概率密度函数为
a x x a
a x ≤≤=
0,2sin 2)(22
πψ 令0d ])([d 2
=x
x ψ
得 02cos 2sin 82=a
x a x a πππ 在a x ≤≤0的范围内讨论可得，当x =0, 4a , 2a , a 4
3和a 时，函数2
)(x ψ取得极值。

由0d ]
)([d 2
>x
x ψ可知，函数在x = 0, x = a /2和x = a （即 x = 0, 0.10nm, 0.20 nm ）处概率最小，其值均为零。

题17.25：在线度为1.0 ⨯ 10―5 m 的细胞中有许多质量为m = 1.0 ⨯ 10―
7kg 的生物粒子，若将生
物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的n = 100和n = 101的能级和能级差各是多大。

题17.25解：按一维无限深方势阱这一物理模型计算，可得
J 1049.58100372
2
2
1-⨯===ma
h n E n 时，
J 1060.58101372
2
2
2-⨯===ma
h n E n 时， 它们的能级差 J 1011.13812-⨯=-=∆E E E
题17.26：一电子被限制在宽度为 1.0 ⨯ 10-10 m 的一维无限深势阱中运动。

（1）欲使电子从基
态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于x 1 = 0.090×10-10 m 与x 2 = 0.110 ⨯ 10-10 m 之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于0'1=x 与m 1025.0'102-⨯=x 之间的概率为多少？
题17.26解：（l ）电子从基态（n = 1）跃迁到第一激发态（n = 2）所需能量为
eV 1128822
212222
12=-=-=∆ma h n ma h n E E E （2）当电子处于基态（n = 1）时，电子在势阱中的概率密度为x a a x πψ22sin 2)(=。

所求区间宽度12x x x -=∆，区间的中心位置2
21c x x x +=，则电子在所求区间的概率近似为 3122122122
11108.3))(2
(sin 2)(d )(-⨯=-+⋅=∆≈=⎰x x x x a a x x x x P c x x πψψ （3）同理，电子在第一激发态（n = 2）的概率密度为x a
a x πψ2sin 2)(222=
，则电子在所求区间的概率近似为 25.0)'')(2
''2(sin 2122122=-+⋅=
x x x x a a P π 题17.27：在描述原子内电子状态的量子数l m l n ，，中，（l ）当n = 5时，l 的可能值是多少？
（2）当5=l 时，l m 的可能值为多少？（3）当4=l 时，n 的最小可能值是多少？（4）当n = 3时，电子可能状态数为多少？
题17.27解：（1）n = 5时，l 的可能值为5个，它们是l = 0，1，2，3，4；
（2） l = 5时，l m 的可能值为11个，它们是l m = 0，±1，±2，±3，±4，±5；
（3）l = 4时，因为l 的最大可能值为（n - 1），所以n 的最小可能值为5；
（4） n = 3时，电子的可能状态数为2n 2 = 18。

题17.28：氢原子中的电子处于n = 4、l = 3的状态。

问：（1）该电子角动量L 的值为多少？
（2）这角动量L 在z 轴的分量有哪些可能的值？（3）角动量L 与z 轴的夹角的可能值为多少？
题17.28解：（1） n = 4, l = 3时，电子角动量
π
π2122)1(h h l l L =+= （2）轨道角动量在z 轴上的分量π2z h m L l
=，对于 n = 4，l = 3的电子来说l m = 0，±1，±2，± 3，则L z 的可能取值为0, π
ππ23,22,2h h h ±±±。

（3）角动量L 与z 轴的夹角)1(arccos arccos
z +==l l m L L l θ，如图所示，当l m 分别取3，2，1，0，-1，-2，-3时，相应夹角θ分别为30︒，55︒，73︒，90︒，107︒，125︒，150︒。

题17.29： 氢介于原子是由一质子和一绕质子旋转的介子组成的。

求介子处于第一轨道（n =
1）时离质子的距离。

（介子的电量和电子电量相等，介子的质量为电子质量的210倍） 题17.29解：由题意可知，氢介子原子在结构上与氢原子相似，故可采用玻尔氢原子理论的有关公式求解。

氢介子原子第一轨道半径2
2
01''e m h r πε=， 与氢原子第一轨道半径m 10529.01022
01-⨯==me
h r πε相比较，可得 m 1052.2210
''13111-⨯===r r m m r 题17.30：已知氢原子基态的径向波函数为1/2/131)4()(r r e r r R --=，式中1r 为玻尔第一轨道半径。

求电子处于玻尔第二轨道半径（124r r =）和玻尔第一轨道半径处的概率密度的比值。

题17.30解：电子在核外r 处的径向概率密度22)()(r r R r =ρ，将不同的r 值代入后，可得电子在相应r 处的径向概率密度。

则电子处于玻尔第二轨道和玻尔第一轨道的概率密度的比值为
2621221821122222121097.31616)()(1111----⨯====e r e r e r r R r r R p p r r r r。