波动率微笑
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波动率微笑
1 波动率微笑
6
1. “波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波动率随 着期权执行价格变化所表现出来的规律
对相同标的资产和到期日，不同执行价格期权的隐含波动率， 绘制其对执行价格的变化曲线。该曲线常常呈现微笑的表情
波动率微笑表明：当期权分别处于平值、实值和虚值状态时， 即使其他条件全相同，隐含波动率也并不相同
二、股票期权的波动率微笑（偏斜）
12
隐含波动率
向右下 方偏斜
两分布具 有相同期 望和方差
执行价格
偏斜波动率微笑原因：一个可能解释 与股市“崩盘”有关 偶发的崩盘事件深刻影响了投资者的心理，因此市场对价 格变化的概率估计是不对称的 价格显著下跌的可能性远远大于显著上升的可能性
波动率微笑
练习
13
1. 在下列情形所观察到的波动率微笑是什么形式？
分析：
ct Xer (T t) pt Steq(T t)
该关系式由无套利机会确定，而非取决于资产价格分布
该关系式在资产价格服从对数正态分布时成立，不服从时也 成立
波动率微笑
对某个给定的波动率，记
pbs和cbs：由B-S公式得出的欧式看跌和看涨期权的价格 pmkt和cmkt：上述期权对应的市场价格
剩余有效期 一个月 三个月 六个月 一年 两年 五年
执 行价 格
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
14.2
13.0
12.0
13.1
14.5
14.0
13.0
12.0
13.1
14.2
14.1
13.3
12.5
13.4
14.3
14.7
14.0
13.5
14.0
14.8
15.0
14.4
14.0
14.5
15.1
资产波动率为常数 资产价格变动连续平滑，没有跳跃
3. 但现实中，汇率波动率非常数，且常出现跳跃
4. 跳跃和波动率的随机性对波动率微笑的影响还会因时 间而改变 到期日越远，波动率微笑越不明显，隐含 波动率越接近常数
时间越长，跳跃和随机波动所造成的效果越可能被“平 均化”，从而在价格分布中几乎看不到
从长期看，隐含波动率大多呈现均值回归现象（Meanreverting）。即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈， 随着到期时间的延长，隐含波动率逐渐向历史波动率的平均 值靠近
波动率微笑
3 波动率矩阵
15
把波动率微笑和波动率期限结构结合在一张表里，可得 任何执行价格和任何到期时间的期权所对应的隐含波动 率，就形成了波动率矩阵。
14.8
14.6
14.4
14.7
15.0
波动率微笑
16
1. 在任意给定时刻，该矩阵的隐含波动率可直接从其对应的 期权市场价格计算出，其余的点则用线性插值法确定。
2. 当必须为某个新的期权定价时，交易人员就从矩阵中寻找 适当的波动率。 例如，为X=1.05的9个月期权定价，在13.4和14.0之间 线性插值 隐含波动率=13.7％，将其应用于BS公式 或二叉树定价模型
波动率微笑
1. 对波动率微笑的解释： 市场分布和BS分布之间的差异导 致了波动率微笑的出现。
2. 根据分布的特点，波动率微笑有两种常见模式：
货币期权的波动率微笑 股票期权的波动率微笑
一、货币期权的波动率微笑
8
隐含波动率
呈现近似U形； 平价期权波动率最低； 实值和虚值期权波动率会随着实值 或虚值程度的增大而增大； 两边比较对称
股票价格分布两端的尾部均没有对数正态分布肥大
股票价格分布右端的尾部比对数正态分布要肥大，左端尾部 没有对数正态分布肥大
波动率微笑
2 波动率期限结构
14
1. 波动率期限结构
指其他条件不变时，平价期权所对应的隐含波动率随到期日 不同所表现出来的变化规律。
2. 一般来说，不同标的资产所表现出来的期限结构具体形状 会有所不同，但大都具有以下特点：
波动率微笑
执行价格
两分布具有相同期望和标准差 标的资产价格分布比BS分布尖峰胖尾
考虑
一个深度虚值的货币看涨期权，执行价 格是很高的X2 一个深度虚值的货币看跌期权，执行价 格是很低的X1
波动率微笑
外汇期权波动率微笑存在的原因
9
1. 现实情况表明：汇率的极端变化要比对数正态分布所 描绘的更经常出现
2. 资产价格为对数正态分布需两个条件：
波动率微笑
4. 意义和应用
17
波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了BS公式关于 波动率为常数的基本假设是不成立的，至少期权市场不是 这样预期的。因此放松波动率为常数的假设，成为期权理 论发展的一个重要方向。目前主要有两种不同的策略：
从期权市场出发的改良策略
➢仍以BS模型为基础，但同时假定期权市场已认识到真实的 波动率函数，考虑不同期权市场和期权品种所对应的波动 率矩阵，运用隐含波动率信息对BS公式作相应的调整应用。 例：从波动率矩阵中获取适合的波动率
看跌-看涨平价关系式对B-S模型成立
pbs+Ste-q(T-t)=cbs+Xe-r(T-t)
pbs-pmkt=cbs-cmkt
无套利前提下，看跌-看涨平价关 系式对市场价格成立
pmkt+Ste-q(T-t)=cmkt+Xe-r(T-t)
当采用B-S公式对具有相同期 限及相同执行价格的看跌及 看涨期权定价时，公式所产 生的误差相同
11
分析：这些期权相对较便宜，且成为实值期权的可能性比对 数正态分布模型预测的要多一些，你的期权平均收益要远 远大于期权成本
实际情况： 20世纪80年代中期，对汇率分布有正确认识的交易员采用 上述策略获得巨大盈利。 到80年代后期，几乎所有人都认识到了虚值期权隐含波动 率要高，套利机会消失。
波动率微笑
创新策略
➢适于对波动率变动很敏感的期权，采用新模型为期权定价
➢主要思路：改变波动率为常数假设，从标的资产市场数据 出发，建立波动率模型，从而计算期权的价值
波动率微笑
附：看跌期权的波动率微笑与看涨期权的波
动率微笑为什么相同
18
结论：具有同样执行价格及期限的欧式看涨期权与相应看跌 期权的隐含波动率相等。
2. BS公式重要假设：标的资产的波动率是常数。 3. 现实世界中,不同执行价和到期日对应不同的隐含波动率（客观
存在，非市场偶然定价错误的结果）
源自文库
5
1. 隐含波动率具有两个现实表现：
波动率微笑（Volatility Smiles） 波动率期限结构（Volatility Term Structure）
波动率微笑
业界事例：如何从外汇期权中盈利
10
假设大多数市场参与者认为汇率服从对数正态分布，从而使 用一个波动率来对所有关于某一汇率的期权定价。
假如你刚刚分析了上述结果，知道对数正态分布并不是一个 好的关于汇率的假设，那么你应该怎样从这些结论中盈利？
策略：买入一个深度虚值看跌和看涨期权，然后等待。
波动率微笑
20
pbs-pmkt=cbs-cmkt 假定，欧式看跌期权隐含波动率=22% 当B-S中的波动率
为22%时，pbs=pmkt 当采用同一波动率时，cbs=cmkt 分析说明：
具有同样执行价格及期限的欧式看涨期权与相应看跌 期权的隐含波动率相等。
换句话说，对给定的执行价格及期限，利用B-S公式对 欧式看涨及看跌期权定价时，必须使用同样的波动率。 这对于美式期权也近似正确。
9 波动率微笑
教学目的
2
1. 掌握货币期权和股票期权的波动率微笑
2. 掌握波动率期限结构与波动率矩阵
波动率微笑
教学内容
3
1. 波动率微笑
货币期权的波动率微笑 股票期权的波动率微笑
2. 波动率期限结构
3. 波动率矩阵
4. 波动率微笑和波动率期限结构的意义和应用
波动率微笑
引入
1. 隐含波动率：利用BS期权定价公式，从期权市场价格中反 推出的标的资产的波动率
因此，在说明隐含波动率与执行价格及期限的关系时， 无需指明这些关系是对于看涨还是看跌期权。
波动率微笑
思考
21
1. 某股票看涨期权的行使价格为30美元，期限为1年，隐含 波动率为30%。对于同一股票，行使价格为30美元，期限 也为1年的看跌期权的隐含波动率为33%。这对于交易员 来讲会有什么样的套利机会？套利机会是建立在B-S对数 正态分布的前提下吗？
1 波动率微笑
6
1. “波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波动率随 着期权执行价格变化所表现出来的规律
对相同标的资产和到期日，不同执行价格期权的隐含波动率， 绘制其对执行价格的变化曲线。该曲线常常呈现微笑的表情
波动率微笑表明：当期权分别处于平值、实值和虚值状态时， 即使其他条件全相同，隐含波动率也并不相同
二、股票期权的波动率微笑（偏斜）
12
隐含波动率
向右下 方偏斜
两分布具 有相同期 望和方差
执行价格
偏斜波动率微笑原因：一个可能解释 与股市“崩盘”有关 偶发的崩盘事件深刻影响了投资者的心理，因此市场对价 格变化的概率估计是不对称的 价格显著下跌的可能性远远大于显著上升的可能性
波动率微笑
练习
13
1. 在下列情形所观察到的波动率微笑是什么形式？
分析：
ct Xer (T t) pt Steq(T t)
该关系式由无套利机会确定，而非取决于资产价格分布
该关系式在资产价格服从对数正态分布时成立，不服从时也 成立
波动率微笑
对某个给定的波动率，记
pbs和cbs：由B-S公式得出的欧式看跌和看涨期权的价格 pmkt和cmkt：上述期权对应的市场价格
剩余有效期 一个月 三个月 六个月 一年 两年 五年
执 行价 格
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
14.2
13.0
12.0
13.1
14.5
14.0
13.0
12.0
13.1
14.2
14.1
13.3
12.5
13.4
14.3
14.7
14.0
13.5
14.0
14.8
15.0
14.4
14.0
14.5
15.1
资产波动率为常数 资产价格变动连续平滑，没有跳跃
3. 但现实中，汇率波动率非常数，且常出现跳跃
4. 跳跃和波动率的随机性对波动率微笑的影响还会因时 间而改变 到期日越远，波动率微笑越不明显，隐含 波动率越接近常数
时间越长，跳跃和随机波动所造成的效果越可能被“平 均化”，从而在价格分布中几乎看不到
从长期看，隐含波动率大多呈现均值回归现象（Meanreverting）。即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈， 随着到期时间的延长，隐含波动率逐渐向历史波动率的平均 值靠近
波动率微笑
3 波动率矩阵
15
把波动率微笑和波动率期限结构结合在一张表里，可得 任何执行价格和任何到期时间的期权所对应的隐含波动 率，就形成了波动率矩阵。
14.8
14.6
14.4
14.7
15.0
波动率微笑
16
1. 在任意给定时刻，该矩阵的隐含波动率可直接从其对应的 期权市场价格计算出，其余的点则用线性插值法确定。
2. 当必须为某个新的期权定价时，交易人员就从矩阵中寻找 适当的波动率。 例如，为X=1.05的9个月期权定价，在13.4和14.0之间 线性插值 隐含波动率=13.7％，将其应用于BS公式 或二叉树定价模型
波动率微笑
1. 对波动率微笑的解释： 市场分布和BS分布之间的差异导 致了波动率微笑的出现。
2. 根据分布的特点，波动率微笑有两种常见模式：
货币期权的波动率微笑 股票期权的波动率微笑
一、货币期权的波动率微笑
8
隐含波动率
呈现近似U形； 平价期权波动率最低； 实值和虚值期权波动率会随着实值 或虚值程度的增大而增大； 两边比较对称
股票价格分布两端的尾部均没有对数正态分布肥大
股票价格分布右端的尾部比对数正态分布要肥大，左端尾部 没有对数正态分布肥大
波动率微笑
2 波动率期限结构
14
1. 波动率期限结构
指其他条件不变时，平价期权所对应的隐含波动率随到期日 不同所表现出来的变化规律。
2. 一般来说，不同标的资产所表现出来的期限结构具体形状 会有所不同，但大都具有以下特点：
波动率微笑
执行价格
两分布具有相同期望和标准差 标的资产价格分布比BS分布尖峰胖尾
考虑
一个深度虚值的货币看涨期权，执行价 格是很高的X2 一个深度虚值的货币看跌期权，执行价 格是很低的X1
波动率微笑
外汇期权波动率微笑存在的原因
9
1. 现实情况表明：汇率的极端变化要比对数正态分布所 描绘的更经常出现
2. 资产价格为对数正态分布需两个条件：
波动率微笑
4. 意义和应用
17
波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了BS公式关于 波动率为常数的基本假设是不成立的，至少期权市场不是 这样预期的。因此放松波动率为常数的假设，成为期权理 论发展的一个重要方向。目前主要有两种不同的策略：
从期权市场出发的改良策略
➢仍以BS模型为基础，但同时假定期权市场已认识到真实的 波动率函数，考虑不同期权市场和期权品种所对应的波动 率矩阵，运用隐含波动率信息对BS公式作相应的调整应用。 例：从波动率矩阵中获取适合的波动率
看跌-看涨平价关系式对B-S模型成立
pbs+Ste-q(T-t)=cbs+Xe-r(T-t)
pbs-pmkt=cbs-cmkt
无套利前提下，看跌-看涨平价关 系式对市场价格成立
pmkt+Ste-q(T-t)=cmkt+Xe-r(T-t)
当采用B-S公式对具有相同期 限及相同执行价格的看跌及 看涨期权定价时，公式所产 生的误差相同
11
分析：这些期权相对较便宜，且成为实值期权的可能性比对 数正态分布模型预测的要多一些，你的期权平均收益要远 远大于期权成本
实际情况： 20世纪80年代中期，对汇率分布有正确认识的交易员采用 上述策略获得巨大盈利。 到80年代后期，几乎所有人都认识到了虚值期权隐含波动 率要高，套利机会消失。
波动率微笑
创新策略
➢适于对波动率变动很敏感的期权，采用新模型为期权定价
➢主要思路：改变波动率为常数假设，从标的资产市场数据 出发，建立波动率模型，从而计算期权的价值
波动率微笑
附：看跌期权的波动率微笑与看涨期权的波
动率微笑为什么相同
18
结论：具有同样执行价格及期限的欧式看涨期权与相应看跌 期权的隐含波动率相等。
2. BS公式重要假设：标的资产的波动率是常数。 3. 现实世界中,不同执行价和到期日对应不同的隐含波动率（客观
存在，非市场偶然定价错误的结果）
源自文库
5
1. 隐含波动率具有两个现实表现：
波动率微笑（Volatility Smiles） 波动率期限结构（Volatility Term Structure）
波动率微笑
业界事例：如何从外汇期权中盈利
10
假设大多数市场参与者认为汇率服从对数正态分布，从而使 用一个波动率来对所有关于某一汇率的期权定价。
假如你刚刚分析了上述结果，知道对数正态分布并不是一个 好的关于汇率的假设，那么你应该怎样从这些结论中盈利？
策略：买入一个深度虚值看跌和看涨期权，然后等待。
波动率微笑
20
pbs-pmkt=cbs-cmkt 假定，欧式看跌期权隐含波动率=22% 当B-S中的波动率
为22%时，pbs=pmkt 当采用同一波动率时，cbs=cmkt 分析说明：
具有同样执行价格及期限的欧式看涨期权与相应看跌 期权的隐含波动率相等。
换句话说，对给定的执行价格及期限，利用B-S公式对 欧式看涨及看跌期权定价时，必须使用同样的波动率。 这对于美式期权也近似正确。
9 波动率微笑
教学目的
2
1. 掌握货币期权和股票期权的波动率微笑
2. 掌握波动率期限结构与波动率矩阵
波动率微笑
教学内容
3
1. 波动率微笑
货币期权的波动率微笑 股票期权的波动率微笑
2. 波动率期限结构
3. 波动率矩阵
4. 波动率微笑和波动率期限结构的意义和应用
波动率微笑
引入
1. 隐含波动率：利用BS期权定价公式，从期权市场价格中反 推出的标的资产的波动率
因此，在说明隐含波动率与执行价格及期限的关系时， 无需指明这些关系是对于看涨还是看跌期权。
波动率微笑
思考
21
1. 某股票看涨期权的行使价格为30美元，期限为1年，隐含 波动率为30%。对于同一股票，行使价格为30美元，期限 也为1年的看跌期权的隐含波动率为33%。这对于交易员 来讲会有什么样的套利机会？套利机会是建立在B-S对数 正态分布的前提下吗？