云南省大理州2021届高三第一次统测理科数学试题(含答案和解析)(2020.09)
2021年云南省高考数学第一次(一模)检测试卷(理科)(解析版)
2021年云南省高考数学第一次检测试卷（理科）（一模）一、选择题（每题5分）.1．已知集合S＝{x|﹣x＜2}，T＝{x|x2＜﹣x}，则S∩T＝（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．已知i为虚数单位．若z＝，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知P（﹣3，4）是角α的终边上的点，则tanα＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y+的最大值等于（）A．B．C．2D．35．执行如图所示的程序框图，则输出的n＝（）A．2B．3C．4D．56．一个正三棱柱的三视图如图所示（正视图由两个全等的矩形组成，侧视图是一边长为4的矩形，俯视图是正三角形）．若这个正三棱柱的表面积为136，则它的侧视图的面积为（）A．52B．53C．D．367．已知向量＝（，1），＝（﹣，4），则（）A．∥（﹣）B．⊥（﹣）C．（﹣）∥（+）D．（﹣）⊥（+）8．甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动，该医院有A、B两种类型的机器各一台，其中甲只会操作A种类型的机器，乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作．现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A、B两种类型的机器（每人操作一台机器），则不同的选派方法一共有（）A．2种B．4种C．6种D．8种9．已知⊙M的圆心在曲线y＝（x＞0）上，且⊙M与直线2x+y+1＝0相切，则⊙M的面积的最小值为（）A．B．4πC．5πD．9π10．三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，AC⊥BC，AC＝2，BC＝4．若三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为，则球O的体积为（）A．B．33πC．D．36π11．已知双曲线M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，点P（，1）在双曲线M的一条渐近线上．若以双曲线M的实轴为直径作圆，该圆经过点P，则双曲线M的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝112．△ABC的三内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若3a sin A+3b sin B+4a sin B＝3c sin C，则cos A cos B﹣sin A sin B＝（）A．B．C．﹣D．﹣二、填空题（共4小题）.13．（x4﹣x﹣6）10的展开式中常数项是（用数字作答）．14．某学校为了解该校400名学生的百米成绩（单位：秒），从这400名学生中随机选取了50名进行调查，把他们的百米成绩分成[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18），[18，19]，共6个组，绘制成如图所示的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图，估算该校这400名学生百米成绩在[14，16）（单位：秒）的人数大约是人．15．已知抛物线M：y2＝16x的焦点为F，P为抛物线M上一点．若|PF|＝5，则P点的坐标为．16．已知e是自然对数的底数，当x∈（0，+∞）时，关于x的不等式x3﹣e ax≥0的解集非空，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分。
云南省2020届高三第一次省统测试数学(理)试卷(有答案)
云南省2020届高三第一次省统测试数学（理）试卷注童事项：.. …心.1,本医海分150分，考试时何为120分钟。
鲁巒、先域自己药展积淮考证号普荒息填塞祖试爛乘和字她卡上M井捋虐#证号条仍倒耐M在齧廳卡的据定也暨◎'2、选律題的柞答土轟小題遶曲基崇后.JA2B楣笔把答题卡上箱应題冒的答彙赫昔涂黑。
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一、选搁B:本題共12 zbS t每小題5分・扶创分+在毎小题给出的四个选度収R 有一項呈符含世目耍求的，h 设A - [x|jf > 1} > B ^^xpt2 -x-2 <0）»则（G咼Cl5 =（）.A. {x|x>-l} B, {x|-l<xi 1} C &卜1CH<1}' I）. {r|l<x<； 2）2已知Sfeztfi足（17"丽和卜其中f为虛数单位，则S»z在農平面內对应点所在的線限为I ）•…」’. ，A.第一象限氐第二象限C第三象限 D.第四象限去巳知平面同量讪満足O =1, "&叭若“+巧丄仗_坊，则实数祈等于（）去设a ^log a 0J ；■ 6=10^t ft6- c~U M» M ( )A. a<6<cB. b<c<aC. c<a<bD. b<a <c戟学(理科［试鹽患第［頁共&真3.我国古代名着《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺.重四斤, •'斩末一尺.贡二斤J意思是：“现有一金锤，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺, 重2斤” •若该金锤从头到尾.毎一尺的重楚构成等琏数列，则该金镭总St为（•）A.6 斤•：’B.7 斤C.9 斤"•D. 15 斤■・. - S .V ・・‘ ••….6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%..如果光线原来的强度为k（k>0）,通过*块这样的玻璃以后强度为『，则那么光线强度减弱到原来的+以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（參考数据：lg 2^0.301 lg3« 0.477 ）».A.12 B. 13 . C.14 D. 15 ,7.已知F为抛物线/=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交拋物线于凡3两点，・・ * ・, ■・;；£.・：¥.・•・••则||私|-|呵他值等于（）.- , 1.〔J •八•:乙；J，：；.：' 7 ・.・•［「•，°- .. ! ■..•・；：「.•：：：、.扎8血：•： B. 8 ° ,-：； C. 472. : D.4 ・/ ；?• . r'. 1J I ■ M *._ ・・.・：・••■. ，・-- .•&图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，记1号到16号同学的成绩依次为已M““，儿6,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（1011A. 16B. 10图2C.7D.6数学（理科）试题卷• ■ p • • • I✓10•如图是某个三棱锥的三视图，若在该三棱锥的外接球内任取一点.则该点在三棱锥内的概率为（1）■11 •已知双曲线M:斗-£> 0, b a 0）的渐近线均和圆N :兀口尸亠6卄5二0相切,a b且双曲线M 的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（） 人还 B. | C. V3 D.V25-212•已知函数如7-尹有两个不同极值点，则实数询取值范国是（） A. （0,e ） B,（e,+«>）C. （0,-）D.二、填空题；睿题共4小BS.毎小题5分■共20分.13 •设尊比数列仏｝的前刃项和为3,•且4知2®,①成等差数列，若d 严1, •■则S 严,/• . •」•； ''・14. _________________________________________________________________ 著二项式（❻十与的展开式中*的一次项的系数是-70,则°二 _____________________ .X・■ <• • • • " • • • * • • • •• •. 9 • • • •15. 已知函数/w=r!ma,0<x<;r 与八层（仁/?）的图像有三个不同交点，则实数[Vx,X> iT9 113兀B. 13兀屁n 9屈D.—-— 169”169加・'上的取值区间为：•・16.在四面体4BCQ中，AB=BD^AD=CD^AC=BC=4,用平行于AR,CD的平面截此四面体，得到截面四边形ETCH,则四边形面积的最大值为______________________ .数爭（理科）试趙卷第3页三、解答羸 共70分•鮮答应写出文字说明过程成演算步就17T1題为必考題, 每个试IS 考生都亳须件答.第22. 23 M 为选考题，考生根据宴求作答・17.(本小题满分12分)•： •某市在开展创建"全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著,尤其是城市 环境卫生大为改观,探得市民好评-“创文”过程中, 某网站椎出了关于环境治理和保护问题情况的问 卷调査,现从参与问卷调査的人群中随机选出200 人，并将这200人按年龄分组；第1级［1525), 第 2 组［25,35),第 3 组［35,45),第 4 组［45$), 第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出&的值;.(2)若已从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中!®机抽取3人进行何卷调査，设第2组抽到§人，求随机变就§的分布列 及数学期望 £&)・•'•••； • ； ••、：、•二•-，■-18.(本小题満分 12 分) :… ' • . ；： '•••- •••-•-："、•■. ■七•.. . ■•厶•t f.■・、• .•/•.0 . • • .. ■.*• •, ■ ■已知函数/(x) = 2 sin(jf - —) cos jt + f 的最大值为1.(1)求『的值；3. '..'. "'；(2)设锐角MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a = 2近,A/1BC的.厂:•• ■ ' ••.•••/. ‘:・・• ■ .•- > ; 面积为屁且/⑷号，求b^c的值.数学(理科)试題事（本小题满分12分）；：必•如图,.菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直，EP丄平而ABCD、EF"平面4ECD.；'〈I〉求证：平面XC万丄平面BDF：" .■'* R(2 )若ZCBA= 60° V-求二面角A-BC-F的大小20.（本小题漓分12分）I、* s• '' ；；：；■已知函数, g（x）=ln x-ln a ,其中。
云南省大理白族自治州2020-2021学年高三上学期11月月考数学(理)试题
云南省大理白族自治州2019-2020学年高三上学期11月月考数学（理）试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1}B. {12}，C. {0123}，，，D. {10123}-，，，， 2. 已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则||z =（ ）A. 2B.C. 1D.23. 某文体局为了解“跑团”每月跑步平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳4.已知二项式()*2nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A. 14B. 14-C. 240D. 240-5. 执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )的A. 2B.32C.53D.856. 已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前10项和为（ ） A. 1022B. 1023C. 2047D. 20467. 若函数()xf x e cosx =在点()()0,0f 处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 28. 函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A. B. C.D.9. 某几何体的三视图如图所示(单位相同)，记该几何体的体积为V ，则V =（ ）A.2432B. 243C.7292D. 72910. 设F 是双曲线()222:109y x C b b-=>的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为虚轴的一个端点，的则C 的离心率为（ ）A. 2B.C. 5D.11. 设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a << C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<12. 已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x ，y 满足：()()()cos222f x f y x y x y f π-+⎛⎫⎪⎝⎭+=，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >.给出如下结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③函数()f x 是以2为周期的周期函数；④502f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量,a b 满足()3,2,a b a a b ==⊥-，则a 与b 的夹角为__________．14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为__________． 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()()221216x y -+-=，若等腰直角PAB ∆的斜边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021年云南省大理市云龙中学高三数学理联考试卷含解析
2021年云南省大理市云龙中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数.则在区间内A．不存在零点B．存在唯一的零点,且数列单调递增C．存在唯一的零点,且数列单调递减D．存在唯一的零点,且数列非单调数列参考答案：C2. 要得到y=3cos（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=3cos2（x+）=3cos（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3. 将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为( )A．48 B．24 C．20 D．12参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：书甲与书乙必须相邻，利用捆绑法，书丙与书丁不能相邻，利用插空法，即可得出结论．解答：解：由题意，不同的摆法种数为：=24．故选：B．点评：本题考查计数原理的应用，考查捆绑法、插空法，比较基础．4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为A．43 B. 55 C. 61 D. 81参考答案：C5. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )A．2 B．C．4 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．解答：解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．6. 实数满足条件则该目标函数的最大值为 ( ) A．10 B．12 C．14D．15参考答案：A7. 设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1] B．[1，3）C．[﹣7，3） D．（﹣5，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），则M∩N=[1，3），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣3y的取值范围为（）A．[﹣12，1] B．[﹣12，0] C．[﹣2，4] D．[1，4]参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C（4，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z=4，经过点B时，直线截距最大，此时z最小，由，解得，即B（，）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣3×=﹣2，即﹣2≤z≤4，故选：C．9. 已知，，则（）A．1 B． C． D．参考答案：C 本题主要考查平面向量的线性运算和向量的模.,=====,故选C.10. 右图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为（）A. B. C. D.参考答案：D小正方形边长为，所以圆半径为，圆面积为，又大正方形的棱长为，所以正方形面积为，由几何概型概率公式可得，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知tanα=2，则sinαcosα=．参考答案：【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子提取后，先利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用万能公式化为关于tanα的式子，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴sinαcosα=sin2α=×==．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及万能公式．熟练掌握公式是解题的关键．12. 一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为,则这个三棱柱的体积为________．参考答案：略13. 复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），则复数z的虚部为．参考答案：﹣3【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，即得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），∴z====﹣3i即复数z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的概念与代数运算问题，是基础题目．14. 在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为．参考答案：15. 己知，，且，则▲．参考答案：因为，所以，即，所以。
云南省2021年高考数学一模试卷(理科)D卷
云南省2021年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A . {a|1≤a≤9}B . {a|6≤a≤9}C . {a|a≤9}D . ∅2. （2分）(2014·辽宁理) 设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A . 2+3iB . 2﹣3iC . 3+2iD . 3﹣2i3. （2分）sin45°sin75°+sin45°sin15°=（）A . 0B .C .D . 14. （2分）(2019·湖北模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“ ，使”的否定为“ ，都有”B . 命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题C . 命题“在锐角中，”为真命题D . 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”5. （2分） (2018高二上·益阳期中) 已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A . 第5项B . 第6项C . 第7项D . 第8项6. （2分） (2019高二下·四川月考) 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）A . 4B . －4C . －D .7. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 函数y = 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·大连期末) 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A . -B .C . -D .10. （2分）(2017·巢湖模拟) 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这 3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A . 720B . 768C . 810D . 81611. （2分） (2015高三上·潍坊期末) （理）已知x，y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值是（）A . 10B . 12C . 14D . 1512. （2分） (2020高二下·慈溪期末) 已知实数x、y满足，若，则y的最小值（）A . 8B . 10C . 12D . 16二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高一下·江阴期中) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．M为上一点，，，则的面积为________．14. （1分）(2017·张掖模拟) 已知平面向量、满足| |=| |=1，⊥（﹣2 ），则|+ |的值为________．15. （2分）(2020·温岭模拟) 展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数和为________.16. （1分） (2017高二下·红桥期末) 如果函数f（x）=sin（）（ω＞0）的最小正周期为，则ω的值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2016·肇庆模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=﹣1+2an（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2an+1 ，且数列{bn}的前n项和为Tn ，求+…+ ．18. （5分）某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19. （15分） (2015高二上·昌平期末) 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．（1）求证：OC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．20. （5分）(2017·海淀模拟) 如图，已知F1、F2是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1 ，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2018高二下·西宁期末) 已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；22. （10分）(2018·河北模拟) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）求的直角坐标方程，并求的半径；（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积.23. （10分）(2019·黄冈模拟) 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
云南省大理市2020-2021学年高三毕业生复习统一检测卷数学(理)试题
云南省大理市2020-2021学年高三毕业生复习统一检测卷数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}{}ln 11M x y x N x x ==-=≥，，则（） A ．M N M ⋃=B ．M N M ⋂=C ．M N ⋂=∅D ．MN N =2．21i ⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭（） A ．i -B ．iC ．-1D ．13．命题p ：“1sin 2α=是6πα=的充分不必要条件”，命题q ：“lga lgb >是>A ．p q ⌝∧⌝B ．p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝4．阅读如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别是2019，2020，则输出的a b ，分别是（）A ．2019，2019B ．2020，2019C ．2019，2020D ．2020，20205．已知函数()2020x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，，，，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（）A ．-4B ．-1C ．1D ．46．有5个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为（） A ．8B ．2C ．6D ．47．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）A ．3π B ．4π C ．2π D ．4π8．已知102a =，0.112b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a b c ，，的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正数项等比数列{}n a 中，11a =，且14a 与5a 的等差中项是32a ，则2a =（）A ．2B C ．4 D ．2或410．已知圆C ：()()22122x y -+-=和点()00P x ，，若圆C 上存在两点A B ，使得3APB π∠=，则实数0x 的取值范围是（ ）A ．[31]-，B ．[13]-，C ．[23]-，D ．[24]-，11．函数()2cos sin f x x x x =-在区间[2]1m π-，上至少取得1个最小值，则正整数m 的最小值是（） A ．4B ．3C ．2D ．112．已知函数()()()ln e f x xg x a x b ==-+，．若不等式()()f x g x ≤对()0x ∀∈+∞，恒成立，则ba的最小值是（ ）A ．12e- B ．1e - C ．e -D ．e二、填空题13．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若45602A C c ===，，ºº，则ABC 最短边的边长是__________________________．14．设曲线()ln 1y x a x =-+在点()00，处的切线方程为3y x =，则a =_________________．15．()()3211x mx -+的展开式中2x 的系数是-6，且0m ≠，则m =_____．16．已知12F F，是椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12C C ，，在第二象限的公共点，若123F AF π∠=，则2C 的离心率为_________________．三、解答题17．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知()2cos cos cos C a B b A +=．（1）求C ；（2）若ABC 的周长为5+c =ABC 的面积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若60ABC ∠=︒且2PA AB ==，求二面角C PA E --的大小． 19．三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是12，乙、丙两人同时投进的概率是320，甲、丙两人同时投不进的概率是15，且三人各自能否投进相互独立．（1）求乙、丙两人各自投进的概率；（2）设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和期望．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点12⎛ ⎝⎭，，且离心率2e =． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=． 21．已知函数()()2e2R R xf x mx m x m =--∈∈，．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()ln ln2f x x bx -≥+对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程6cos ρθ=． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 的直角坐标为()12，，圆C 与直线l 交于A B ，两点，求弦AB 中点M 的直角坐标和PA PB ⋅的值．23．已知*R a b c ∈，，，2221a b c ++=． （1）求证：1ab bc ac ++≤；（2）求证：4442221a b c c a b++≥．参考答案1．B 【解析】 【分析】由题意首先确定集合M ，然后考查交集和并集的计算结果即可确定满足题意的选项. 【详解】(){}()[)ln 111M x y x N ==-=+∞=+∞，，，，所以M N ⊂，即M N M ⋂=，M N N ⋃=. 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．A 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可. 【详解】()()())()22211i 1i 2i i 1i 1i 1i 22⎡⎤⎛⎫⎤=-=-=-=- ⎪⎢⎥⎥ ⎪++-⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选A ． 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 3．C 【分析】由题意首先确定命题p 、q 的真假，然后结合复合命题的运算考查所给的复合命题的真假即可. 【详解】1sin 226k k Z πααπ=⇒=+∈，或526k k Z παπ=+∈，，∴6πα=不一定成立， 反之若6πα=，则1sin 62π=一定成立，1sin 2α=是6πα=的必要不充分条件 所以命题p 是假命题，0lga lgb a b >⇒>>⇒>>0b =，此时lg lg a b >不成立，所以命题q ：“lga lgb >>”为真命题，据此可得： p q ⌝∧⌝是假命题，p q ∧⌝是假命题，p q ∨是真命题，p q ∨⌝是假命题. 故选：C . 【点睛】本题主要考查命题真假的判定，复合命题的真假等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．B 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能，然后结合输入值确定输出的数值即可. 【详解】由流程图可知其功能为交换输入的实数a ,b 的值，由于输人的a b ，的值分别是2019，2020，故输出的a b ，分别是2020，2019. 故选B . 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5．A 【分析】首先求得()1f 的值，然后分类讨论确定实数a 的值即可，需要注意自变量的取值范围. 【详解】()1212f =⨯=，据此结合题意分类讨论：当0a >时，220a +=，解得1a =-，舍去； 当0a ≤时，220a ++=，解得4a =-，满足题意. 故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．B 【分析】首先确定放球的方法，然后利用排列数公式即可求得满足题意的放球的种数. 【详解】很明显两个球只能放在第二个和第四个盒子，故不同的放入种数为222A =，故选：B . 【点睛】本题主要考查排列数公式及其应用，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合其空间特征计算其表面积即可. 【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半径为1的球的34，则其表面积： 2233411444S S S πππ=+=⋅⋅+⋅=球表大圆， 故选D . 【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．8．A 【分析】首先利用单调性比较实数a ,b 的大小，然后利用中间值1比较b ，c 的大小即可. 【详解】0.1100.10.105551222212log 2log 4log 512a b b c -⎛⎫=>===>===<= ⎪⎝⎭，，，则c b a <<.故选A ． 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 9．B 【分析】由题意得到关于q 的方程，解方程确定数列的公比，然后利用等比数列通项公式即可确定2a 的值. 【详解】14a 与5a 的等差中项是32a ，所以315224a a a ⨯=+，即24111224a q a a q ⨯=+，42440q q -+=，解得：q =（q =.故21a ==故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【分析】通过将圆与两条切线夹角转化成直角三角形中的边角关系来进行求解，辅助图形加以求解即可 【详解】当PA 和PB 与圆C 相切时，APB ∠最大，要使圆C 上存在两点A B ，使得3APB π∠=，则6APC π∠≥，∴sin6PC π≤=≤解得013x -≤≤，故选B ． 【点睛】本题考查过圆外一点的两条切线与圆的夹角的基本关系，解题方法一般为将夹角问题转化为直角三角形问题，通过勾股定理进行求解 11．B 【解析】 【分析】由题意首先整理函数的解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后结合三角函数的性质得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定正整数m 的最小值.【详解】函数()()211cos sin 21cos2sin 22262f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==， 且12x π=-时，206x π+=，结合()f x 在区间12m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上至少取得1个最小值可得： 331244m T ππ⎛⎫--≥= ⎪⎝⎭，解得22093m π≥≈．，∴正整数m 的最小值是3，故选B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B 【分析】通过将不等式()()f x g x ≤变形，即需要证明()()()()ln e 0h x f x g x x a x b =-=---≤在()0x ∀∈+∞，上恒成立，再通过对()h x 求导，找出求出()h x 的最大值，再证明()max h x 大于等于零在()0x ∀∈+∞，上恒成立即可 【详解】解法1：令()()()()ln e h x f x g x x a x b =-=---，则()()1'e h x a x=--， 当e a <时，()h x 单调递增，()h x 无最大值，不合题意； 当e a >时，令()'0h x =，则1e x a =-，10e x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，时，()'0h x >，()h x 单调递增，1e x a ⎛⎫∈∞ ⎪-⎝⎭，+，()'0h x <，()h x 单调递减，∴()()max 1ln e 10e h x h a b a ⎛⎫==----≤ ⎪-⎝⎭，即()ln e 1a b -≥-，()1ln e b a ≥---，()1ln e a b a a ---≥，ea >，由()1ln e a a---的导数为()()222ln e 11e e ln e e aa a a a a a a ---⎛⎫--=+- ⎪-⎝⎭，当2e a =时，()21e ln e 0e a a a -⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭，且2e a >，()21e ln e 0e a a a -⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭；当e 2e a <<时，()21e ln e 0e a a a -⎛⎫+-<⎪-⎝⎭，可得2e a =时，()1ln e a a---取得最小值1e -，b a上的最小值为1e -，故选B ．解法2()()0ln e f x g x x x ax b -≤⇔+≤+：，作出()ln e h x x x =+的图象，易知是凸函数，曲线()h x 与x 轴交于点10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即11e x =，要满足题意，则0ax b +=时，2b x a=-用零点比大小模型，211e b x x a =-≤=，则1eb a ≥-，故选B ． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，常见求解思路为：①通过构造函数，再证明函数在对应区间恒成立问题；②通过构建函数图形，通过分析两函数交汇问题来转化恒成立问题13．3【解析】 【分析】由题意首先求得∠B 的大小，然后确定最短的边，最后利用正弦定理即可求得最短边长. 【详解】由4560A C ==，ºº，可得75B =º，∵角A 最小，∴最短边是a ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得sin 2sin 45sin sin 603c A a C ===ºº． 【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，三角形中最短的边的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．-2 【分析】由题意首先求得导函数，然后利用导函数与切线斜率的关系得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】'11a y x =-+，故1301ak =-=+，解得2a =-． 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 15．3 【分析】通过分析式子特点，要使展开式出现2x 的形式，需要使()31x -对应的展开式中含有2x 项或含有常数项才符合题意，采用分类讨论法求解即可 【详解】①()31x -的2x 项为()1231C x -，②()31x -的常数项为()33311C -=-，()()3211x mx -+展开式中的2x 项为()()()122231113C x mx m x -⋅+-⋅=-+，∴3m =．【点睛】本题考查两个因式求解二项式展开式具体项的系数问题，解题一般思路为，将其中一个二项式的基本形式表示成通式，通过另一因式中每一项的特点来进行组合，分类讨论求出对应项的系数即可16．4【分析】由题意首先求得双曲线中c 的值，然后结合椭圆的定义和余弦定理可求得a 的值，最后利用离心率的定义即可求得双曲线的离心率. 【详解】设()22211221110x y C a b a b -=>：，，由题意知1c c == 由椭圆的定义得1224AF AF a +==， 在12F AF 中，由余弦定理：()()2222121212122122cos33c AF AF AF AF AF AF AF AF π==+-⋅=+-⋅12163AF AF =-⋅，解得1243AF AF ⋅=，∴()()221212123243AF AF AF AF AF AF -=+-⋅=，假设12F F ，分别为左、右焦点，21AF AF >，则2112AF AF a -==，解得1a = 所以2C的离心率114c e a ==． 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 17．（1）6C π=（2）(922【解析】 【分析】(1)由题意结合正弦定理求得cos C 的值，然后利用特殊角的三角函数值即可确定∠C 的值； (2)由题意结合余弦定理可得ab 的值，然后利用(1)的结论和面积公式即可求得△ABC 的面积. 【详解】（1）∵在ABC 中，0C π<<，∴sin 0C ≠， ∵()2cos cos cos C a B b A +=，∴由正弦定理有()2cos sin cos sin cos C A B B A C +=， 整理得()2cos sin C A B C +=，即2cos sin C C C =，∴cos C =，0C π<<∴6C π=.（2）由题意5a b +=，由余弦定理得22722a b ab =+-⨯， ∴()(227a b ab +-+=，即(2527ab -+=，∴(182ab =-，∴((92111sin 1822222ABCSab C -==⨯-⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，余弦定理与面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．（1）详见解析（2）6π【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后由线面垂直证明线线垂直即可；(2)首先建立空间直角坐标系，然后结合半平面的法向量计算二面角的余弦值即可求得二面角的大小. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为PAAC A =，PA AC ⊂，平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ， ∴BD PC ⊥．（2）以A 为原点，过A 作BC 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，则：()())())30000021002010022A P B D CE ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，∴()()3333000022BD AE AP ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，， 设平面PAE 的法向量为()n x y z =，，，则00n AP n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，可以推出()310n =-，，， 又平面PAC 的法向量为()30BD =-，， ∴3cos n BD nBD n BD⋅<>=， 所以二面角C PA E --的大小为：6π． 【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，利用空间向量求解二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．（1）1345，．（2）分布列见解析．数学期望为720【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可（2）先确定ξ的数值为0，1，2，3，再分别根据独立事件的概率求法算出四种情况对应的概率值，列出分布列进行求解即可 【详解】解：（1）记甲、乙、丙各自投进的事件分别为123A A A ，，，由己知123A A A ，，相互独立，且满足()()()()()12313123201115p A p A p A p A p A ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎡⎤⎡⎤--=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，，， 解得()214p A =，()335p A =， 所以乙、丙各自投进的概率分别为1345，． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3．()1133011124520p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1131131137211124524524520p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-+-= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1133324540p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()1711023p p p p ξξξξ==-=-=-==，()31773701232040204020E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=． 【点睛】本题考查相对独立事件概率的求法，离散型随机变量的分布列和期望的求法，考点较为基础，正确写出分布列，求解每一事件对应概率值是关键20．（1）22182x y +=（2）详见解析【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论. 【详解】（1）由题意得227141a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，，所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：， 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>， 解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，， 则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-， 只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-，故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，αβπ+=． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．（1）答案见解析（2）2e 4b ≤- 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调区间；(2)原问题等价于2e 21ln ln 2x x x bx ---≥+在()0+∞，上恒成立，据此设出导函数的零点，结合导函数的性质讨论函数的最值，得到关于b 的不等式即可确定其取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域是R ，()2'2e2xf x m =-．①0m ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增： ②0m >时，()2'2e 20xf x m =-=，解得1ln 2x m =，当1ln 2x m <时，()'0f x <，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上递减；当1ln 2x m >时，()'0f x >，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上递增． （2）当1m =时，()2e21xf x x =--，依题意知不等式()ln ln2f x x bx -≥+，即2e 21ln ln 2x x x bx ---≥+在()0+∞，上恒成立， 即()2eln 2ln2e xx b x --+≥在()0+∞，上恒成立，设()()2eln 2xg x x b x =--+，()()21'2e 2x g x b x=--+， 令()()02001'2e 20x g x b x =--+=，()020012e 20x b x x -=+>， 易知()g x 在()00x ，上递减，在()0x +∞，上递增， 则()()()()002200000min e ln 212e ln 1ln2e x x g x g x x b x x x ==--+=--+≥，即()020021eln20x x x -+≤，设020t x =>，则()()1e ln 0t h t t t =-+≤，()1'e 0t h t t t =+>，则()h t 递增，又()10h =，故0021t x <=≤，0102x <≤，∴020122e 2e 2x b x +=-≤-，解得2e 4b ≤-． 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为()2239x y -+=（2）弦的中点()30M ，，1PA PB ⋅= 【分析】(1)消去参数t 可得直线的参数方程，利用极坐标化直角坐标的方法可得圆的直角坐标. (2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合参数方程的几何意义和韦达定理即可确定中点坐标和PA PB ⋅的值. 【详解】（1）由1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），得直线l 的普通方程为30x y +-=． 又由6cos ρθ=得圆C 的直角坐标方程为226x y x +=，即2260x y x +-=，()2239x y -+=．（2）直线l的参数方程1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，代入圆C 的直角坐标方程，得22132922⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即210t +-=． 由于360∆=>，故可设12t t ，是上述方程的两实数根，则12121t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，又直线l 过点()12，，A B ，两点对应的参数分别为12t t ，，弦的中点M 对应的参数12022t t t +==-=- 代入参数方程中得其直角坐标为()30M ， 12121PA PB t t t t ⋅=⋅==．【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义，参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)由2222ab bc acab bc ac ++++=结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；(2)由题意利用均值不等式首先证得4442222222a b c a b c c a b+++++≥，然后结合题意即可证得题中的结论，注意等号成立的条件. 【详解】（1）()()()22222222222a b c b a c ab bc ac ab bc ac +++++++++=≤2221a b c =++=，3a b c ===取等号． （2）444444222222222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b c ≥=++=，所以4442221a b c c a b ++≥，3a b c ===取等号．【点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.。
2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学(理)试题word版含答案
2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|4,|1A x Z x B x x =∈≤=>-，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2.在复平面内，复数52ii-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，那么5a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．184.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．2005.已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ） A ．1 B ．13 C ．13 D ．723-6.函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在x θ=时取得最大值，则tan θ等于（ ）A ．-．7.右边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n 分别为225、135，则输出的m =（ ）A ．5B ．9C ．45D ．908.已知三个函数()()()32,1,log xf x xg x xh x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b << 9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．83+B ．8+C ．8+D ．32310.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O ，04,90BC BD CBD ==∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．11πB ．20πC ．23πD ．35π11.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ． 12- C ． 2 D ．-2 12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,+∞ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22x y +的最大值为______________．14. (2n的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________．15.在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．16.若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos ,24A C A ==． （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值． 18.（本题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（本题满分12分）在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA P D F ==、、，分别为PC BD 、的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为3，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为12e =，（1）求椭圆C 的标准方程：（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的内切圆半径的最大值. 21.（本题满分12分）设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值：（2）记()G x 的最小值为e ，已知函数()()()112210x a f x a ea a x++=+-+>，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin ρθθ=-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学（理）试题参考答案一、选择题二、填空题13. 5 14. 1 15. 54y =- 16. 5050 三、解答题：17.解：（1）由3cos 4A =得sin A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分所以()sin sin sin cos cos sin 16B AC A C A C =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）由正弦定理sin sin a b A B =得sin 5sin a Bb A==．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以ABC ∆的面积1sin 24S ab C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为()221004030201016.6710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生4人，女生2人．故X 的所有可能取值为0，1，2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分()()()2112242422266618620;1;21515155C C C C P X P X P X C C C ==========，X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分1824012151553EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）证明：连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相交于点F ， 所以，在PAC ∆中，//EF PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 又PA ⊂平面,PAD EF ⊄平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以//EF 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以射线,OA OF 和OP 为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，O xyz -，不妨设2AD =．．．．．．．．．．．．．．．． 6分则有()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0P D C --，假设在AB 上存在点()1,,0,02G a a <<，则()()()1,2,1,1,0,1,2,,0PC PD DG a =--=--=．．．．．．．．．．．．．． 7分 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形， 所以CD ⊥平面PAD ，则CD PA ⊥， 由222PA PD AD +=得PD PA ⊥，所以PA ⊥PDC ，即平面PDC 的一个法向量为()1,0,1PA =-．．．．．．．．．．．．．． 8分设平面PDG 的法向理为(),,n x y z =，由00PD n DG n ⎧=⎨=⎩即020x z x a --=⎧⎨+=⎩，亦即2z xx y a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可取(),2n a a =--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以cos ,32m n m n m n===⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 解得1,1a a ==-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C PD G --．．．．．．12分 20.解：（1）由题意可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得2,a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆的半径为R ， 因为1F AB ∆的周长为48a =，()111142F AB S AB F A F B R R ∆=++=， 因此1F AB S ∆最大，R 就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分112121212F AB S F F y y y y ∆=-=-， 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以，12122269,3434m y y y y m m --+==++．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()()22636340,m m m R ++>∈，则112121212F ABS F Fy y y y ∆=-=-==．．．．．．．．．．．．10分令t =，则1t ≥，121241313F ABt S t t t∆===++．令()13f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t 在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()413f t f ≥=，所以13F AB S ∆≤， 即当1,0t m ==时，1F AB S ∆最大，此时max 34R =， 故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）由已知得()()01,ln ln 1ln 1xx G x x x x'<<=--=-．．．．．．．．．．1分令()0G x '<，得102x <<；令()0G x '>，得112x <<，所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）中ln 2c =-得()()121xa f x a e a x+=+-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分所以()()221x ax e a f x x-+'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 令()()21x g x ax e a =-+，则()()20x g x ax x e '=+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以()g x 在()0,+∞上单调递增，因为()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．．．．．．8分因为()()020010x g x ax e a =-+=，所以0201x ax e a =+，即0201x a a e x +=，因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立， 所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥．．．．．．．．．．．．9分 所以()20011210a a a x x +++-+≥，即2001120x x +-≥，亦即200210x x --≤，所以0112x -≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 因为0201x ax e a =+，所以02011x a x e a+=>，又00x >，所以001x <≤，从而020x x ee ≤，所以11a e a +<≤，故11a e ≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意知曲线C 的参数方程12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩可化简为()()22114x y -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程为40x y --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）若点P 是曲线C 上任意一点，则可设()12cos ,12sinP ϕϕ++，设其到直线l 的距离为d ，则d =．．．．．．．．．．．．．．7分化简得d =，当24k πϕπ+=，即24k πϕπ=-时，min 22d =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 此时点P的坐标为(1 ……………………10分 23.解：（1）()32,033,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从面得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解之得23x ≤-或x φ∈或8x ≥， 所以不等式的解集为[)2,8,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--．．．．．．．．．．．8分 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
云南省大理市巍山县文华中学2021年高三数学理测试题含解析
云南省大理市巍山县文华中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P==，故选：C．点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．2. 已知曲线向左平移个单位，得到的曲线经过点，则（）A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增C．曲线关于直线对称D．曲线关于点对称参考答案：D解法1：由题意，得，且，即，所以，即，故，故的最小正周期，故选项A错；因为的单调递减区间为，故选项B错；曲线的对称轴方程为，故选项C错；因为，所以选项D正确，故选D．解法2：由于曲线向左平移个单位，得到的曲线特征保持不变，周期，故的最小正周期，故选项A错；由其图象特征，易知的单调递减区间为，故选项B错；曲线的对称轴方程为，故选项C错；因为，所以选项D正确，故选D．3. 已知表示不大于x的最大整数，若函数在（0，2）上仅有一个零点，则a的取值范围为A．B．C．D．参考答案：D表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，由，讨论，即可得由，可得，求得若，即可得由，可得求得则的取值范围是故选4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）A．32，63 B．64，63 C．63，32 D．63，64参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=63时，不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=1满足条件s＜50，s=1，k=2满足条件s＜50，s=3，k=4满足条件s＜50，s=7，k=8满足条件s＜50，s=15，k=16满足条件s＜50，s=31，k=32满足条件s＜50，s=63，k=64不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，k的值是解题的关键，属于基础题．5. 偶函数在内可导，且则在处切线的斜率为（）A.-2B.2C.0D.无法确定参考答案：B略6. 如图，是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间（﹣5，3）内的概率为（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8参考答案：D【考点】CF：几何概型；EF：程序框图．【分析】分析题中程序框图，可以得到该程序的功能是计算分段函数的值，根据题意可以求得分段函数，结合y的值在（﹣5，3），分类讨论，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围，从而得到所求概率．【解答】解：根据程序框图可知，其功能为计算y=，∵输出的y值落在区间（﹣5，3），即﹣5＜y＜3，①当x＜0时，y=x+3，∴﹣5＜x+3＜3，解得﹣8＜x＜0，故﹣8＜x＜0符合题意；②当x=0时，y=0∈（﹣5，3），故x=0符合题意；③当x＞0时，y=x﹣5，∴﹣5＜x﹣5＜3，解得0＜x＜8，故0＜x＜8符合题意．综合①②③可得，x的取值为（﹣8，8），∵在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x，故输出的y值落在区间（﹣5，3）内的概率为==0.8．故选：D．7. 在△ABC中，已知∠A＝30°，AB＝3，BC＝2，则△ABC的形状是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定参考答案：D由正弦定理可得，在△ABC中，，则，所以可能为锐角或钝角8. 一个人骑车以米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻的速度米/秒，那么此人（）A．可在秒内追上汽车B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C．不能追上汽车,但其间最近距离为米D．不能追上汽车,但其间最近距离为米参考答案：D试题分析：由题可知，汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，所以加速度M/S，由此判断为匀加速运动，再设人于x秒追上汽车，有，解得，方程无解，因此不能追上汽车，此一元二次方程，最小值为，故最近距离为7米。
云南省大理市白族自治州民族中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析
云南省大理市白族自治州民族中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则集合（）(A) (B) [0,1] (C) (D)参考答案：C因为，所以，∴选C．2. 若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R参考答案：A【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A?B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A?B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A3. 已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为A．B．C．D．参考答案：C4. 已知函数有两个零点，则有A. B. C.D.参考答案：D5. 设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为(A) (B) (C)(D)参考答案：B6. 已知在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D.参考答案：D【分析】先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程，再结合双曲线离心率的求法求解即可.【详解】解：由双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为，又在双曲线的渐近线上，则，即，即，即，故选：D.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.7. 若，则的大小关系为（）A． B．C． D．参考答案：D8. 函数在上为减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B9. 设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】根据向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．【解答】解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握两向量平行所满足的条件，是一道基础题．10. 如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤1009B．i＞1009 C．i≤1010D．i＞1010参考答案：A【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：S=0+1，i=1，第二次循环：S=1+，i=2，第三次循环：S=1++，i=3，…依此类推，第1009次循环：S=1+++…+，i=1010，此时不满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤1009，故选：A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图像上关于原点对称的点有（）对A.0B.2C.3D.无数个参考答案：C略12. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为平方尺．参考答案：13. 已知数列{}的前项和，若它的第项满足，则参考答案：8略14. 若圆的圆心到直线（）的距离为，则.参考答案：略15. 已知函数，等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是．参考答案：16. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为.参考答案：[2,3]【详解】故答案为.17. 已知点（x，y）在△ABC所包围的阴影区域内（包含边界），若B是使得z=ax﹣y取得最大值的最优解，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据目标函数的几何意义，寻找直线斜率之间的关系进行求解即可．解答：解：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，则直线y=ax﹣z的斜率最小时，z最大，若B是目标函数取得最大值的最优解，即直线y=ax﹣z过点B，且在y轴上的截距﹣z最小，得a≥k AB==．即a的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）点评：本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率之间是关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022 学年云南省大理市、丽江市、怒江市高三(上)第一次统一检测数学试卷
A．甲地
B．乙地
C．丙地
D．丁地
4．（5 分）已知 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 c2 2ab a2 b2 6 ， C ，则 ABC 的 3
面积为 ( )
A． 3 3
B． 3 3 2
C．1
D． 3 1
5．（5
分）双曲线
x2 a2
y2 2
1(a 0) 的离心率为
x
请考生在第 22、23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10
分）在平面直角坐标系
xOy
中，直线 l
的参数方程为
x
y
1 t cos t sin
(t
为参数，
为直线的倾斜角），以坐
标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10 ~ 60 岁的 答题的人群中随机抽取了 100 人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示． （1）求 a 的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）； （2）现从年龄在 [20 ，40) 的人中利用分层抽样抽取 5 人，再从 5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，年龄在 [20 ，30) 的回答 5 道题，年龄[30 ，40) 的回答 3 道题，题目都不同．用 X 表示抽取的 3 人中回答题目的总个数，求当 X 13 的概率．
6 ，过双曲线右焦点 F 作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂 2
足为 A ，设 O 为坐标原点，则 | OA | ( )
2021届云南大理州高三上学期统测期中考试数学(理)试题Word版含解析
2021届云南大理州高三上学期统测期中考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{}{}2|4,|1A x Z x B x x =∈≤=>-，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】试题分析：因为{}{}{}{}2|4|222,1,0,1,2,|1A x Z x x Z x B x x =∈≤=∈-≤≤=--=>-，所以{}0,1,2AB =，故选D.【考点】集合运算． 2．在复平面内，复数52ii-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】试题分析：因为()()()525510122225i i i ii i i i +-+===-+--+，所以其对应的点位于第二象限，故选B.【考点】复数的运算．3．在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，那么5a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．18 【答案】C【解析】试题分析：根据等差数列的性质可知345675545a a a a a a ++++==，所以59,a =故选C. 【考点】等差中项．4．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,XN σ（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200 【答案】D【解析】试题分析：正态曲线图象的对称轴为100X =，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约为311600120042⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭人，故选D. 【考点】正态分布．5．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ）A ．1 BC ．13D 【答案】A 【解析】试题分析：cos ,3a b a b a b ⋅=⋅⋅=，所以()2222361a b a ba ab b -=-=-⋅+=-=，故选A.【考点】平面向量的数量积． 6．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在x θ=时取得最大值，则tan θ等于（ ）A ．-C ． 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知2,62k k ππθπ+=+∈Z ，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，tan θ∴=D.【考点】正弦函数的性质．7．下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n 分别为225、135，则输出的m =（ ）A ．5B ．9C ．45D ．90 【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图可知“辗转相除法”是求,m n 的最大公约数，因为225,235的最大公约数为45，故选C. 【考点】程序框图．8．已知三个函数()()()22,1,log xf x xg x xh x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b << 【答案】D【解析】试题分析：()()(),,f x g x h x 均为R 上的增函数，有唯一零点，因为()()111110,00222f f -=-=-<=>，所以102a <<，()0g x =可得1x =，所以1b =，()11210,110333h h ⎛⎫=-+=-<=> ⎪⎝⎭，所以113c <<，所以a c b <<，故选D.【考点】函数的零点与二分法．9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283+B ．438 C ．238+D ．323【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，所以其体积为143222224183V =⨯⨯+⨯⨯-=,故选B.【考点】三视图与几何体的体积．10．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为33，04,3,90BC BD CBD ==∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．11πB ．20πC ．23πD ．35π 【答案】A【解析】试题分析：设棱锥的高为h ，因为1232BCD S BC BD ∆=⨯⨯=所以1433A BCD BCD V S h -∆==所以2h =，因此点O 到平面BCD 的距离为1，BCD ∆7，所以71114OB =+=,所以球O 的表面积为2411S r ππ==，故选A.考点:球与棱锥的组合体及棱锥的体积与表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球与棱锥的组合体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点A 到平面BCD 的距离，再由球的截面性质求出球的半径，解答时要注意根据090CBD ∠=判断截面圆的直径，最后根据球的表面积公式得到答案.11．已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A【解析】试题分析：设()()()112200,,,,M x y N x y P x y ，则222212121,122x x y y -=-=，根据点差法可得()()()()121212122x x x x y y y y -+-+=，所以直线l 的斜率为()0121211212022x y y x x k x x y y y -+===-+，直线OP 的斜率为020y k x =，001200122x y k k y x =⨯=，故选A. 【考点】双曲线的方程．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的方程及点差法，属于中档题.解答本题的关键是根据直线l 与双曲线相交于,M N 两点，即,M N 两点在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，再由P 为,M N 的中点，据此表示出直线l 的斜率表达式，根据斜率公式表示出OP 的斜率，即可求得结论.这种方法常称为点差法，往往涉及二次曲线的中点弦时，考虑用这种方法处理.12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170xf x e +<的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：设()()xf xg x e =，则()()()0x f x f x g x e '-'=<，所以()g x 是R 上的减函数，由于()2017f x +为奇函数，所以()()02017,02017f g =-=-，因为()()201702017x xf x f x e e+<⇔<-即()()0g x g <，结合函数的单调性可知0x >，所以不等式()20170xf x e +<的解集是()0,+∞，故选B.【考点】利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了考生的发散思维能力，属于中档题.本题解答的关键是根据条件()()f x f x '>，进行联想构造函数()()xf xg x e =，并得到其单调性，把要解得不等式转化为()2017xf x e<-，由()2017f x +为奇函数得到()02017g =-，即可得到不等式的解集.二、填空题13．设,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22x y +的最大值为______________．【答案】5【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示.目标函数22x y +表示可行域内的点到原点的距离的平方，显然顶点()2,1A -到原点的距离最大，所以()22max5.x y+=【考点】简单的线性规划． 14．(2nx-的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________．【答案】1【解析】试题分析：由二项式系数的性质可知2256,8nn =∴=，所以((822nxx -=，展开式的通项公式()188********rrr r r r r r T C x C x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令42r =得8r =，所以展开式中4x 项的系数为()()88088812121rr r C C --=-=.【考点】二项式定理．15．在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________． 【答案】54y =-【解析】试题分析：线段OM 的中点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，2OM k =-所以线段OM 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即5202x y -+=，其y 轴的交点为5,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以该抛物线的准线方程是54y =-.【考点】抛物线的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.本题解答的关键是通过求线段OM 的垂直平分线方程，得到其与y 轴的交点即抛物线的焦点坐标，根据标准形式的抛物线特征得到其准线方程.求线段的垂直平分线方程把握好“垂直”和“平分”，垂直得到斜率，平分即垂直平分线过线段中点，据此求出垂直平分线方程. 16．若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．【答案】5050【解析】试题分析：由()*132n n a a n N +=+∈可知()111131,31n n n n a a a a ++++=+∴=+，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13,31nnn n a a +=∴=-，所以()3log 1n n b a n =+=，因此()12310010011005050.2b b b b +++++==【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式()*132n n a a n N +=+∈构造数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列.据此得到数列{}n a 的通项公式，根据对数运算得到{}n b 是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前n 项和公式求解.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos ,24A C A ==． （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值． 【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）根据条件易得cos ,sin C C ,结合三角形的内角公式可得()sin sin B A C =+，根据和角公式即可求得sin B 的值；（2）根据正弦定理求得边,b 由三角形的面积公式1sin 2S ab C =求解其面积. 试题解析：（1）由3cos 4A =得sin A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分进一步可求得sin C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 又因为()(),sin sin sin A B C B A C A C ππ++==-+=+⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．． 4分 所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）由正弦定理sin sin a b A B =得sin 5sin a Bb A==．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】正弦定理解三角形．18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（2）分布列见解析，43.【解析】试题分析：（1）根据题意完成22⨯列联表，根据给出的公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求出相关系数的值，对比临界值表，若210.828K >，则有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关，否则无关；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，根据X 取各值的数学意义求出其概率，得到分布列和数学期望. 试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为()221004030201016.6710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生4人，女生2人．故X 的所有可能取值为0，1，2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分()()()2112242422266618620;1;21515155C C C C P X P X P X C C C ==========，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分1824012151553EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】相关性检验与离散型分布列的数学期望．19．在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD E F ==、、，分别为PC BD 、的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为33，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为AB 的中点. 【解析】试题分析：（1）根据题意可连接AC ，与BD 相交于点F ，易证//EF PA ，根据线面平行的判定定理即可证得//EF 平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ，可证得PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以射线,OA OF 和OP 为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AD =，()1,,0,G a02a <<，分别求出平面CPD 和平面PDG 的法向量，根据二面角的求法得到a 的方程，求出其值，若满足02a <<，则存在，否则不存在. 试题解析：（1）证明：连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相交于点F ， 所以，在PAC ∆中，//EF PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分又PA ⊂平面,PAD EF ⊄平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以//EF 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以射线,OA OF 和OP 为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， O xyz -，不妨设2AD =．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 则有()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0P D C --，假设在AB 上存在点()1,,0,02G a a <<， 则()()()1,2,1,1,0,1,2,,0PC PD DG a =--=--=．．．．．．．．．．．．．． 7分 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形，所以CD ⊥平面PAD ，则CD PA ⊥， 由222PA PD AD +=得PD PA ⊥，所以PA ⊥PDC ，即平面PDC 的一个法向量为()1,0,1PA =-．．．．．．．．．．．．．． 8分设平面PDG 的法向理为(),,n x y z =，由00PD n DG n ⎧=⎨=⎩即020x z x a --=⎧⎨+=⎩，亦即2z xx y a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可取(),2n a a =--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以cos ,2m n m n m n===⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 解得1,1a a ==-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C PD G --的余弦值为3．．．．．．．12分 【考点】空间线面平行关系及二面角的求法．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的内切圆半径的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）34. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设1F AB ∆的内切圆的半径为R ，易得1F AB ∆的周长为48a =，所以()111142F AB S AB F A F B R R ∆=++=，因此1F AB S ∆最大，R 就最大. 把1ABF ∆分解为12AF F ∆和12BF F ∆,从而得到112121212F AB S F F y y y y ∆=-=-，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积S 与m 的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得1F AB S ∆的最大值3，此时max 34R =. 试题解析：（1）由题意可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得2,a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆的半径为R ， 因为1F AB ∆的周长为48a =，()111142F AB S AB F A F B R R ∆=++=， 因此1F AB S ∆最大，R 就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分112121212F AB S F F y y y y ∆=-=-， 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以，12122269,3434m y y y y m m --+==++．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()()22636340,m m mR ++>∈，则112121221234F ABS F Fy y y y m ∆=-=-==+．．．．．．．．．．．．10分令t =1t ≥，122124134313F ABt S m t t t∆===+++．令()13f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t 在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()413f t f ≥=，所以13F AB S ∆≤， 即当1,0t m ==时，1F AB S ∆最大，此时max 34R =， 故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34．．．．．．．．．．．12分【考点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法、转化的思想方法和函数的思想，属于中档题.求椭圆方程要注意,,a b c 的关系222a b c =+，本题解答的关键是第（2）中，把1ABF ∆的内切圆半径最大转化为其面积的最大值，通过分解其面积，表示出面积与参数的函数关系，通过换元，最后根据均值不等式求出其最大值. 21．设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ，已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】试题分析：（1）求出函数()G x 的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值；（2）()()221x ax e a f x x-+'=，把分子设为新函数()()21x g x ax e a =-+，并用导数研究其单调性，可知()g x 在()0,+∞上单调递增，由于()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以必有()()()00min 01210x a f x f x a e a x +==+-+≥，据此求得0112x -≤≤，分类参数即可求得参数a 的范围. 试题解析：（1）由已知得()()01,ln ln 1ln 1xx G x x x x'<<=--=-．．．．．．．．．．1分 令()0G x '<，得102x <<；令()0G x '>，得112x <<， 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）中ln 2c =-得()()121xa f x a e a x+=+-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以()()221x ax e a f x x -+'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令()()21xg x ax e a =-+，则()()20xg x ax x e '=+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以()g x 在()0,+∞上单调递增，因为()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．．．．．．8分因为()()020010x g x ax e a =-+=，所以0201x ax ea =+，即0201x a a e x +=，因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立， 所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥．．．．．．．．．．．．9分 所以()20011210a a a x x +++-+≥，即2001120x x +-≥，亦即200210x x --≤，所以0112x -≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 因为0201x ax e a =+，所以02011x a x e a+=>，又00x >，所以001x <≤，从而020x x e e ≤，所以11a e a +<≤，故11a e ≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】利用导数研究函数的单调性和极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，函数的恒成立问题，属于中档题.利用导数研究函数的单调性和极值、最值，首先应把握定义域优先的原则，忽略定义域是最常见的错误，通过解不等式求出单调区间，得到最值点求得最值；函数的恒成立问题，通过分类参数转化为函数的求函数的最值，求解时要注意研究的目标，把握函数的关键部分，通过设出最小值点，研究单调性求得范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin ρθθ=-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22114x y -+-=，40x y--=；（2）2，(1+-.【解析】试题分析：（1）把曲线C 的参数方程分类参数，根据同角三角函数的基本关系消去参数得到其普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==把直线的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）设()12cos ,12sin P ϕϕ++，由点到直线的距离公式得到距离d 关于参数的ϕ的函数关系，通过三角恒等变换和三角函数的性质得到最小值和相应点的坐标. 试题解析：（1）由题意知曲线C 的参数方程12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩可化简为()()22114x y -+-=，．．．．．．．．．3分由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程为40x y --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）若点P 是曲线C 上任意一点，则可设()12cos ,12sin P ϕϕ++，设其到直线l 的距离为d ，则d =．．．．．．．．．．．．．．7分化简得d =，当24k πϕπ+=，即24k πϕπ=-时，min 22d =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 此时点P的坐标为(1+- ……………………10分【考点】圆的参数方程与普通方程及直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小. 【答案】（1）[)2,8,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）()24m n mn +<+. 【解析】试题分析：（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号，分段求出不等式的解，取并集即得原不等式的解集；（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥，作差并因式分解判断出差的符号即可得到4mn +与()2m n +的大小.试题解析：（1）()32,033,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从面得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解之得23x ≤-或x φ∈或8x ≥，所以不等式的解集为[)2,8,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--．．．．．．．．．．．8分 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 【考点】绝对值不等式的解法及比较法比较大小.。
2025届大理州高三数学上学期第一次复习统一检测试卷及答案解析
大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测数学（全卷四个大题，共19个小题，共8页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共58分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合(){}30A x x x =-<，{}013B x x =<-<，则A B =I （ ）A. {}34x x -<< B. {}10x x -<< C. {}13x x << D. {}43x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先解不等式，然后根据集合交集的定义即可.【详解】由于(){}{}3003A x x x x x =-<=<<，{}{}01314B x x x x =<-<=<<，故{}13A B x x Ç=<<.故选：C.2. 已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，则z 的共轭复数z 在复平面中的对应点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数z 后可求z ，从而可得复数z 在复平面中的对应点，故可得正确的选项.【详解】()()3i 1i 3ii i 13i 1i 2z +++=+=+=+-，故13i z =-，其对应的点为()1,3-，该点在第四象限，故选：D.3. 在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uuu r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC l m =+uuuu r uuu r uuu r ，则l m +=（ ）A.54B. 1C.78D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =Þ-=-Þ=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，()3334BD DC BC BD BD BC ==-Þ=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,所以有11132228BM BA BD BA BC =+=+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以13,28l m ==，得78l m +=.故选：C4. 下图是我国20182023:年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ）A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C. 2020年销量高于这六年销量的平均值D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年【答案】C 【解析】【分析】根据条形图数据一一分析即可.【详解】对于A ，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A 正确；对于B ，因为0.66 3.6´=，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B 正确；对于C ，这六年销量的平均数为97.2111.5291.6536.568.5756.8410.35291.66+++++=>，故C 错误；对于D ，因为2019年至2020年的增长率为291.6111.51.6111.5-»，超过其他年份的增长率，故D 正确.故选：C ．5. 已知等比数列{}n a 中，132a a +=，4616a a +=，则1012a a +=（ ）A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，联立2112a a q +=，351116a q a q +=，解出2q =，125a =，代入110121911a a q q a a +=+，即可得到答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为132a a +=，4616a a +=，所以2112a a q +=，351116a q a q +=，由()231116a a q q+=，则38q =，得2q =，解得125a =，所以()19119111012122210245a q a a a q ==+++=.故选：D.6. 已知2sin 3a a +=，则πcos 23a æö-=ç÷èø（ ）A. 6365-B. 79-C.2425D.45【答案】B 【解析】【分析】首先根据辅助角公式化简并求解πsin 3a æö+ç÷èø的值，然后根据余弦二倍角公式求解2πcos 23a æö+ç÷èø的值，最后利用诱导公式求解πcos 23a æö-ç÷èø的值即可.【详解】由于2sin 3a a =，可得：π2sin 2sin 33a a a æö+=+=ç÷èø，即π1sin 33a æö+=ç÷èø，又由于22ππ7cos 212sin 339a a æöæö+=-+=ç÷ç÷èøèø，π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339a a a éùæöæöæö-=+-=-+=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû.故选：B.7. 抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A. 5 B. 9C. 8D. 10【答案】B 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得112AF BF p+=，利用基本不等式即可求得4AF BF +的最小值.【详解】由抛物线焦点弦性质可得1121AF BF p +==，则1BF AF BF =-，所以441BF AF BF BF BF +=+-，令m BF =，1m >，所以()114441411m m AF BF m m m m -++=+=+-+--()1541591m m =+-+³+=-，当且仅当()1411m m -=-，即32m =时等号成立.所以4AF BF +的最小值为9.故选：B.8. 一个三角形纸板的三个顶点为,,,3,A B C AB BC AC ===，以AB 边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转180o ，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）A.5π6B. πC.5π3D. 2π【答案】A 【解析】【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积.【详解】222cos 2AC AB BC A AC AB +-===´A 为三角形内角，故sin A =，故sin 1CD AC A ===，故2AD ==，故1DB =，故几何体的体积为()22115π1π2π1236´´´+´=故选：A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知函数()2sin 216πf x x m æö=+++ç÷èø在区间π0,2éùêëû上的最大值为4，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. 1m =C. ()f x 在区间ππ,36éù-êúëû上单调递减D. 点π,212æö-ç÷èø是()f x 图象的一个对称中心【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可.【详解】因为()2sin 216πf x x m æö=+++ç÷èø，选项A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；选项B ，由π0,2x éùÎêúëû，知ππ7π2,666x éù+Îêúëû，所以1sin 2,162πx æöéù+Î-ç÷êúèøëû，所以()f x 的最大值为3m +，而34m +=得1m =，故B 正确；选项C ，由ππ,36x éùÎ-êúëû得πππ2,622x éù+Î-êúëû，所以()f x 在ππ,36éù-êúëû上单调递增，故C 错误；选项D ，令π2π,6x k k +=ÎZ ，则ππ,212k x k =-ÎZ ，所以()f x 图象的对称中心为ππ,2,212k k æö-Îç÷èøZ ，所以点π,212æö-ç÷èø是()f x 图象的一个对称中心，故D 正确.故选：ABD.10. 已知函数()e xf x x a =-，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 有最大值1ea --B. 当1a =时，()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程是1y x =-C. ()f x 在区间[]2,0-上单调递减D. 关于x 的方程()0f x =有两个不等实根，则a 的取值范围是1,0eæö-ç÷èø【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B 选项，求出()()01,01f f =¢=-，利用导数的几何意义得到切线方程；C 选项，在A 选项基础上，得到函数单调性；D 选项，e 0e x x x a x a -=Û=，令()e xg x x =，求导得到其单调性和最值，结合函数图象，得到a 的取值范围是1,0eæö-ç÷èø.【详解】因为()()e1xf x x =¢+，选项A ，当1x <-时，f ′(x )<0，当1x >-时，f ′(x )>0.所以在区间(),1¥--上()f x 单调递减，在区间()1,¥-+上()f x 单调递增，所以()f x 有最小值()11ef a -=--，无最大值，故A 错误；选项B ，当1a =时，()()01,01f f =¢=-，所以()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程是1y x =-，故B 正确；选项C ，因为在区间(),1¥--上()f x 单调递减，在区间()1,¥-+上()f x 单调递增，故C 错误；选项D ，方程()0f x =，即e 0e x x x a x a -=Û=，令()e xg x x =，而()()e e e1xxxg x x x ¢=+=+，当1x <-时，()0g x ¢<，当1x >-时，()0g x ¢>.所以在区间(),1¥--上()g x 单调递减，在区间()1,¥-+上()g x 单调递增，当0x <时g (x )<0，且()00g =，如图，a 的范围是1,0e æö-ç÷èø，故D 正确.故选：BD11. 法国数学家加斯帕尔×蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆22:143x y Γ+=的蒙日圆为圆C ，过C 上的动点M 作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C 交于,P Q 两点，直线PQ 交Γ于,A B 两点，则（ ）A. 椭圆Γ的蒙日圆方程为227xy +=B. MPQ V 面积的最大值为7C. AB的最小值为D. 若动点D 在Γ上，将直线,DA DB 的斜率分别记为12,k k ，则1234k k=的【答案】ABC 【解析】【分析】取椭圆上顶点与右顶点切线，建立齐次方程，即可判断A ；根据圆的性质，结合三角形面积公式即可判断B ；由于PQ 为圆C 的直径，即AB 过坐标原点，计算即可判断C ；设()()1122,,,A x y D x y ，利用点差法即可判断D ；【详解】依题意，可设圆C 方程为222x y r +=，过椭圆Γ的上顶点(作y 轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点(2,0)作x轴的垂线，则这两条垂线的交点(在圆C 上，所以2222r +=，即27r =，所以椭圆Γ的蒙日圆方程为227xy +=，故A 正确；因为点,,M P Q 都在圆C 上，且90PMQ ∠=o ，所以PQ 为圆C 的直径，所以MPQ V1272=´=，故B 正确；由于PQ 为圆C 的直径，过坐标原点，即AB 过坐标原点，所以min ||2AB b ==C 正确；由直线PQ 经过坐标原点，易得点,A B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y D x y ，则()121211121212,,,y y y y B x y k k x x x x -+--==-+，又22112222143143x y x y ì+=ïïíï+=ïî，所以22221212043x x y y --+=，所以221212221234y y k k x x -==--，故D 错误.的故选：ABC .【点睛】方法点睛：点差法是求解圆锥曲线问题中的解法，在直线与圆锥曲线问题中，直线与圆锥曲线有两个交点,A B ，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，将这两点的坐标分别代入圆锥曲线方程，得到两个等式，并对所得等式作差，化简得到相关结论.第II 卷（非选择题共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 在812æ-çè的展开式中，含3x 的项的系数是__________.【答案】7【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含3x 项的系数.【详解】在812æçè展开式的通项为88218811C (C (1)22kkk k kk kk T x --+æöæö==-ç÷ç÷èøèø，当6k =时，263381C 72x x æö=ç÷èø，所以含3x 的项的系数是7.故答案为：7.13. 已知数列{}n a 满足12221,2,n na a a a +===-，则2025a =__________.【答案】1【解析】【分析】方法一：列出数列的前几项，即可得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得；方法二：把22n n a a +=-看作()()22f n f n +=-，则()()4f n f n +=，即可得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，根据周期性计算可得.【详解】方法一：由题意知，12221,2,n na a a a +===-，则3451232222,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，6422,a a =-=L ，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列，所以20255064111a a a ´+===.方法二：把22n na a +=-看作()()22f n f n +=-，则()()()242f n f n f n +=-=+，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列，所以20255064111a a a ´+===.故答案为：114. 设函数()y f x ¢=是()y f x =的导函数，函数()y f x ¢¢=是()y f x ¢=的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ¢¢=.已知函数()3223f x x ax b =-+，当函数()f x 图象的对称中心为1,02æöç÷èø时，b =__________，当函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø时，122023202420242024f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL __________.【答案】 ①.12②. 2023【解析】【分析】根据三次函数的图象都有对称中心()()00,x f x ，且()00f x ¢¢=，可求出,a b ，函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø，即()()12f x f x +-=，可得12023220242024f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø，利用倒序相加法即可求解.【详解】因为()()266,126f x x ax f x x a =¢¢=--¢，且()f x 图象的对称中心为1,02æöç÷èø，所以11126022f a æö=¢´-çèø¢=÷，解得1a =，而32111230222f b æöæöæö=´-´+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，解得12b =；因为函数()f x 图象的对称中心为1,12æöç÷èø，即()()12f x f x +-=，所以1112023122024202420242024f f f f æöæöæöæö+-=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，同理22022320212,2,2024202420242024f f f f æöæöæöæö+=+=¼ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø设122023202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ①202320221202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ②由①+②得222023S =´，所以2023S =.故答案为：12；2023.【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足()()12f x f x +-=，122023202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ①202320221202420242024S f f f æöæöæö=+++ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ②将两式相加除以2即可求和.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin sin sin a A b B c C b A +=-，且73c b =.（1）求角C 和sin B ；（2）若ABC V a .【答案】（1）2π3C =，sin B =（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边得222a b c ab +-=-，再根据余弦定理可求出结果，再由正弦定理求出sin B ;（2）方法一：由上问可得13cos 14B ==，结合()sin sin A B C =+求出sin A ，利用面积公式可求出2a =;方法二：由上问可得13cos 14B ==，结合()sin sin A B C =+求出sin A ，利用正弦定理表示出,,a b R c ===，结合面积公式可求出R ，再利用正弦定理求出2a =.【小问1详解】由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得，2222222a b c ab R R R R+=-，整理可得，222a b c ab +-=-.由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==-.又()0,πC Î，则2π3C =.由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===得，72sin 2sin 3R C R B =´，即，3sin sin 7C B ==.小问2详解】方法一：由2πsin 3B C ==可知，13cos 14B ==.()2π2πsin sin sin coscos sin 33A B C B B =+=+=,21sin sin 2sin B C S a A ==,212a \=,解得2a =.【方法二：由2πsin 3B C ==可知，13cos 14B ==.()2π2πsin sin sin coscos sin 33A B C B B =+=+=由2sin sin sin a b cR A B C===得，,,a b R c ===，211sin 24S ab C ==\=Q ，解得R =,2.a R \===16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧棱PD ^底面ABCD ，2,45PD CD BD BDC ∠====o.点E 是棱PC 的中点，点F 为棱PB 上的一点，且23BF BP =uuu r uuu r .（1）求证：平面PBC ^平面PCD ；（2）求直线DC 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2.【解析】【分析】（1）根据余弦定理解得BC 的值，利用勾股定理的逆定理可判断BC CD ^，由PD ^底面ABCD 可得PD BC ^，进而可得^BC 平面PCD ，然后根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出直线DC 的方向向量以及平面DEF 的一个法向量，根据线面角的计算公式即可求解.【小问1详解】在BCD △中，2222cos 4BC BD CD BD CD BDC ∠=+-××=，即2BC =，又2BD CD BC ===，则有222BC CD BD +=，即BC CD ^，因为PD ^平面ABCD ，ÌBC 平面ABCD ，所以PD BC ^，又,,CD PD D CD PD Ç=Ì平面PCD ，所以^BC 平面PCD ，因为BC Ì平面PBC ，所以平面PBC ^平面PCD 【小问2详解】由（1）可知，DA DC ^，DA DP ^，DC DP ^，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2P ，()0,1,1E ，设点(),,F a b c ，由P ，F ，B 三点共线，则有23BF BP =uuu r uuu r，又()2,2,BF a b c =--uuu r ，()2,2,2BP =--uuu r，()()22,2,2,2,23a b c \--=--，解得23a =，23b =，43c =，故224,,333F æöç÷èø，设平面DEF 的法向量为n =(x,y,z )，224,,333DF æö=ç÷èøuuu r ，()0,1,1DE =uuu r，由00n DF n DE ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r ，得2240333x y z y z ì++=ïíï+=î，即x z y z =-ìí=-î，取平面DEF 的一个法向量()1,1,1n =-r，设直线DC 与平面DEF 所成角为q ，则()0,2,0DC =uuu r ，()1,1,1n =-r，所以()0121012DC n ×=´+´+´-=uuu r r ，2DC =uuu r，n =r，故sin cos ,n DC n DC n DCq ×===uuu r r uuu rr uuu r r 所以直线DC 与平面DEF17. 已知函数()ln 1a f x x x=+-.（1）当1a =时，证明：()0f x ³；（2）若函数()f x 有极小值，且()f x 的极小值小于2a a -，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）()0,1【解析】【分析】（1）当1a =时，证明出()min 0f x ³即可；（2）对实数a 的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在其定义域上的单调性，可得出0a >，根据题意可得出2ln 0a a a +-<，可得出()()1g a g <，利用导数分析函数()g a 在()0,¥+上的单调性，再利用函数()g a 的单调性可解不等式()()1g a g <即可.【小问1详解】证明：要证()0f x ³，只需证()min 0f x ³当1a =时，则()1ln 1f x x x=+-，其中0x >，可得()22111x f x x x x-¢=-=，令()0f x ¢=得，1x =，列表如下：x ()0,11()1,+¥()f x ¢-0+()f x 递减极小值0递增.所以，函数()f x 在1x =处取得即小值，亦即最小值，即()()min 10f x f ==，所以，()0f x ³.【小问2详解】解：因为()ln 1a f x x x =+-，其中0x >，则()221a x a f x x x x¢-=-=，当0a £时，0x ">，()0f x ¢>，此时，函数()f x 在()0,¥+上单调递增，当0a >时，令()0f x ¢=，可得x a =，列表如下：x ()0,a a(),a +¥()f x ¢-0+()f x 递减极小值ln a递增所以，()()ln f x f a a ==极小值，由题意可得2ln a a a <-+，即2ln 0a a a +-<.令()2ln g a a a a =+-，其中0a >，且()10g =.不等式2ln 0a a a +-<即为，()()1g a g <.()121110g a a a ¢=+-³=->，当且仅当12a a =时，即a =()min 1g a =¢.所以，函数()g a 在()0,¥+单调递增，又()()1g a g <，则01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1.18. 已知椭圆C 的两个焦点为())12,F F ，且椭圆C .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，斜率为()110k k ¹的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，且弦AB 的中点为E ，直线OE 的斜率为2k ，求12k k ×；（3）直线L 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q ，椭圆C 在点,P Q 处的切线分别为121,,L L L 与2L 交于点T ，点T 在直线4x =上.请你判断直线L 是否经过定点，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）1214k k ×=-； （3）直线L 恒过定点()1,0，理由见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，表达出2221122221y y k k x x -=-，结合221122221414x y x y ì=-ïïíï=-ïî，从而得到1214k k =-；方法三：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而1021441k t x k =-+，故020114y k x k ==-，求出1214k k =-；（3）方法一：设1:L y rx s =+，联立椭圆方程，由Δ0=得到2241s r =+，由韦达定理得到34r x s -=，31y s =，故3331,4x s r y y ==-，得到313:14x x L y y +=，同理可得，424:14x x L y y +=，联立12,L L ，求出()3443344T y y x x y x y -=-，结合4T x =，求出4334430x y x y y y -+-=，设:L x my n =+，则()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得()()3410n y y --=，又34y y ¹，则1n =，从而求出直线L 恒过定点(1,0).方法二：点()33,P x y在y =3134x k y -=，求出313:14x x L y y +=，同理可得424:14x xL y y +=，联立12,L L ，求出()3443344T y y x x y x y -=-，结合4T x =，求出4334430x y x y y y -+-=，设:L x my n =+，则()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得()()3410n y y --=，又34y y ¹，则1n =，从而求出直线L 恒过定点(1,0).【小问1详解】设椭圆C 的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，2221e a c c a b c b ì=ïìïïï=Þ=ííïï=+=îïïî，\椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.【小问2详解】方法一：点差法：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，则12012022x x x y y y +=ìí+=î①，又,A B 在椭圆C 上，则，221122221414x y x y ì+=ïïíï+=ïî，两式相减得：2222212104x x y y -+-=，即：()()()()2121212104x x x x y y y y +-++-=②，由①②得，()()021*******x x x y y y -+-=.而021********,,4y y y k k k k x x x -==\×=--.方法二：椭圆方程代换：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，12012022x x x y y y +ì=ïïí+ï=ïî①，21220212121122221210212122y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x +---=×=×=+---②，又221122221414x y x y ì+=ïïíï+=ïî，即221122221414x y x y ì=-ïïíï=-ïî③，由①②③得，()22121222211144x x k k x x -==--；方法三：联立方程：设()()()112200,,,,,A x y B x y E x y ，直线1:l y k x t =+，12012022x x x y y y +ì=ïïí+ï=ïî①，联立方程22114x y y k x tì+=ïíï=+î得，()()22211418440k x k tx t +++-=，11221841k tx x k \+=-+②，由①②得，1021441k t x k =-+，则21010221144141k t ty k x t t k k -=+=+=++.又2012101214114441ty k k k t x k k +===--+，1214k k \×=-.【小问3详解】设()()3344,,,P x y Q x y ，先求椭圆C 在点,P Q 处的切线12,L L 的方程.方法一：根据判别式Δ0=求解椭圆C 在点()33,P x y 处的切线1L ，设1:L y rx s =+，联立方程2214x y y rx s ì+=ïíï=+î得，()()222418440r x rsx s +++-=，()2222Δ6441041r s s r =-+=Þ=+，()3228842241rs rs rx s s r ---===+，22233441r s r y rx s s s s s--=+=+==，33331,44sx x s r y y \==-=-.31331:4x x L y y y \=-+，即313:14x xL y y +=.同理可得，424:14x xL y y +=.()333444334414414x xy y y y x x x x y x y y y ì+=ï-ïÞ=í-ï+=ïî，可得T 点的横坐标，即()3443344T y y x x y x y -=-，又4T x =，可得，4334430x y x y y y -+-=，由题意可知直线L 的斜率不为0，设:L x my n =+.()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得，()()34110n y n y ---=，即()()3410n y y --=.又34y y ¹，则1n =.:1L x my \=+，即直线L 恒过定点(1,0).方法二：导数的几何意义：221224x y y x +=Û=-££.当点()33,P x y在y =时，3y =y =¢，则切线斜率33134x x x k y y =-==¢=，()22223333313333333:144444x x x x x x L y y x x y y y x y y y y \-=--Þ-=-+Þ+=+=，即313:14x x L y y +=.当点()33,P x y在y =313:14x x L y y +=.313:14x x L y y \+=，同理可得，424:14x x L y y +=.()333444334414414x x y y y y x x x x y x y y y ì+=ï-ïÞ=í-ï+=ïî，可得T 点的横坐标，即()3443344T y y x x y x y -=-，又4T x =，可得，4334430x y x y y y -+-=，由题意可知直线L 的斜率不为0，设:L x my n =+.()()4334430my n y my n y y y +-++-=，整理得，()()34110n y n y ---=，即()()3410n y y --=.又34y y ¹，则1n =.:1L x my \=+，即直线L 恒过定点(1,0).【点睛】知识点点睛：过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.过椭圆22221x y a b+=上一点P (x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点P (x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b -=19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一；该游泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App 平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.星期t 12345销售量y（张）218224230232236经计算可得：55521111228,3464,555i i i i i i i y y t y t =======ååå.（1）已知y 关于t 的经验回归方程为ˆˆˆy bt a =+，求y 关于t 的经验回归方程；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为13，选择B 套餐的概率为23，并且A 套餐包含两张优惠券，B 套餐包含一张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P .（i ）求12P P ､及3P ；（ii ）求n P 及n P 的最值.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii i n n i i i i x x y y x y nx y b ayx x x x nx ====---×===--åååå.【答案】（1）8ˆ 4.4214.yt =+ （2）（i ）123P =，279P =，32027P =；（ii ）311443nn P æö=+´-ç÷èø，n P 的最大值为79，最小值为23.【解析】【分析】（1）将相关数据代入ˆa和ˆb 的公式，即可得经验回归方程；（2）由题意知122133n n n P P P --=+，3n ³，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可.【小问1详解】由题意，1234535t ++++==，则1221ˆn i ii n i i t y nt y b tnt ==-×=-åå22400469053228 4.491653-´-´´==--´，8ˆˆ228 4.43214.a y bt =-=-´=所以y 关于t 的经验回归方程为8ˆ 4.4214.yt =+.【小问2详解】（i ）由题意，可知123P =，222173339P =´+=，3222122120333333327P =´´+´+´=，（求解3P 另一种方法：31212214203392727P P P =+=+=）（ii ）当3n ³时，122133n n n P P P --=+，即1121133n n n n P P P P ---+=+，又21171213933P P +=+´=，所以当2n ³时，数列113n n P P -ìü+íýîþ为各项都为1的常数列，即()11123n n P P n -+=³，所以1313,2434n n P P n -æö-=--³ç÷èø，又1323143412P -=-=-，所以数列34n P ìü-íýîþ为首项为112-公比为13-的等比数列，.所以13114123n n P -æö-=-´-ç÷èø，即311443n n P æö=+´-ç÷èø.当n 为偶数时，31134434n n P æö=+´>ç÷èø，且n P 随n 的增大而减小，因此n P 的最大值为279P =；当n 为奇数时，31134434n n P æö=-´<ç÷èø，且n P 随n 的增大而增大，因此n P 的最小值为123P =，综上所述，n P 的最大值为79，最小值为23.。
2020年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2020+a2020=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2020年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行向量的坐标关系便可求出x=，从而得出，这便可得出的值．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【考点】三角函数的最值．【分析】利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos （2x ﹣）的图象，故选：D ．8．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2020+a 2020=（ ） A ．B ．C ．D ．5【考点】数列递推式．【分析】a 1=，a 2=，a n a n+2=1，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2，a 4n ﹣2=，a 4n =3．即可得出． 【解答】解：∵a 1=，a 2=，a n a n+2=1， ∴a 3=2，a 5=，…，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2． 同理可得：a 4n ﹣2=，a 4n =3． ∴a 2020+a 2020=3+=．故选：C ．9．“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的等价命题“a +b=±2”，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切 则圆心（a ，b ）到直线x +y=0的距离等于半径 即=，即|a +b |=2即a +b=±2故“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的充分不必要条件 故选A10．已知变量x 、y 满足条件，则z=2x +y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．3C ．7D ．12【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得=，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【考点】函数的值．【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【考点】正弦定理．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：S n+2S n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，可得3a 1﹣2a 1=2，解得a 1．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得a n =3a n ﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I ）可得：S n =3n ﹣1．作差代入S n+2S n ﹣＜0，即可证明．＜．【解答】（I ）解：∵对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，∴3a 1﹣2a 1=2，解得a 1=2． 当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得3a n ﹣3a n ﹣1﹣2a n =0，化为a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n =2×3n ﹣1．（2）证明：由（I ）可得：S n ==3n ﹣1．∴S n+2S n ﹣=（3n+2﹣1）（3n ﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n ＜0， ∴S n+2S n ＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…随机变量X的数学期望．…19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…∴，∴BC•CD=BD•CE．…解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…2020年8月2日。
云南省大理市宾川县彩凤中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
云南省大理市宾川县彩凤中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）A 6B 8． 8D 12参考答案：A 略2. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上任一点.若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 (A)(B)(C)(D)参考答案： B3. 若复数是实数，则的值为（ ）A ．B ．3C ．0D ．参考答案：A略4. 设(i 是虚数单位)，则=(A)-i (B)i (C)0 (D)1 参考答案： 5. 设，，，则（ ） ．．．．参考答案： A,,，所以，选A.6. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A ．B ．C ．D ．参考答案：略7. 已知实数a 、b 满足， 则使的概率为（ ）A. B. C. D.参考答案：C由题意，可知表示半径为2的圆,周长为4π，又点(2,2)到直线的距离为，所以直线被圆所截的弧所对的圆心角为90°,由几何概型的概率公式可得使的概率为，故选C.8. 已知函数，若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 已知函数，若命题“”为真，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略10. 已知函数f（x）=e|ln2x|﹣|x﹣|，若f（x1）=f（x2）且x1≠x2，则下面结论正确的是（）A．x1+x2﹣1＞0 B．x1+x2﹣1＜0 C．x2﹣x1＞0 D．x2﹣x1＜0参考答案：A【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】通过分段化简函数解析式，结合f（x1）=f（x2），作差可得f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）．构造函数g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）（0＜x＜）．利用导数可得该函数为定义域上的减函数，得到f（x2）＞f（1﹣x1）．再由f（x）=x+在（，+∞）上为增函数，可得x1+x2﹣1＞0．【解答】解：∵f（x）=e|ln2x|﹣|x﹣|=，∴f（x）=x+（x＞0），∵f（x1）=f（x2）且x1≠x2，∴不妨设x1＜x2，则0＜x1＜＜x2．故1﹣x1＞．∴f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）．设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）（0＜x＜）．则g（x）=2x+．g′（x）=＜0．∴g（x）在（0，）内为减函数．得g（x）＞g（）=0，从而f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）＞0．故f（x2）＞f（1﹣x1）．又f（x）=x+在（，+∞）上为增函数，∴x2＞1﹣x1，即x1+x2﹣1＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则参考答案：412. 已知正实数 ,则的值为__________.参考答案：略13. 已知直线与圆相交于A，B两点（C为圆心），且△ABC为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.参考答案：【分析】根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得 的值.【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.直线的一般方程为，圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题. 14. 曲线在处的切线方程为．参考答案：由题意得，，∴，而时，，∴切线方程为，即，故填：.15. 设满足约束条件，则的最大值为．参考答案：216. 已知双曲线的右焦点为圆的圆心，且其渐近线与该圆相切，则双曲线的标准方程是 ．参考答案：圆 的圆心为，半径为 1 ， 即有, 即, 即，双曲线的渐近线方程为，由直线和圆相切的条件，可得：可得双曲线的标准方程为.17. 在的展开式中，x 3的系数是 .（用数字作答）参考答案：答案：84解析：，令7－2r ＝3，解得r ＝2，故所求的系数为＝84三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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理科数学注绥峯项：1.备迪前■考生务必用黒色底K笔薪的己的处名、准#证号、考场专、座位号在當泄卡上覘JS渝蛙・2.冷小期迭出答棄后，用2B招笔把备飓卡上对■总題目妁答憔标号涂只，如需改动，用券皮擦干净后，再逸涂其他笨馥标号・庄试題卷上作冬无效・3.考试结束后，说将本试去和务題卡一并英∏K询分】50分，考i⅛∕r)Bt 12O分钟.一、选择题(木犬題共12小邂.每小期：5分，共60分在得小题所给的四个选项中■只有一项蹩待舍題目雯求的>设组合.4=∣-1∙ 0. Il ・U=Irr ∣√-2r-3 =OL jβ∣j∕∩β=A. I-IJB.丨0|Q 111 D. 0设复如,云在友平面内的对应点关于实抽对称・^1=2+3i.则引巧=B. 5Λ. -5 -134. 设向fit以了祸足恬■芳|二7?\ n • /> = 2.貝IJIF比I =C. 12化倚COSl6O CQS44°-C∞74o sin44。
的值为A,⅞2Ik 714-√32袋屮共有完全和同的4只小球，编号为l∙2, 3, 4,现从申任取2只小球，则取出的2貝珠编号之和眉奇数的無率为B.4慕几何体的三视图如图I所冠•则该儿何体的体积为28π B. 25JTT 2S TT卿件敖学•第I烫〈共4页〉10.已知"为双［III 线G Hrm-5mS>0)的一个焦点，则点厂到G 的一条渐近线的呃离为IL 在正方休^CP-A I B I C {D l 中•点£为线段朋的中点，点尸左线段SC 上移动.异而繭线儿Z)与以•所成角绘小时•其余弦值为12.设函数 /(x)=y√-4x+y ・函数 gM≈x 2-2bx^l l 若对于 Vx 1 ∈[!, 2], 3x 2 e [0, 1],便/(.ιI )M埋科敖学•第2页(共4页)7.对任直非零实数・左义的算法硕理如图2程序枢图所示•设"3∙ 6 = 2. 计算机执行该运算厉倫出的纺果足 LWjB.4∕⅞出外輕/C. 3D. 2 Γ⅞⅞lS2 8・已知函数/(τ)=≡亍応+l η∏l)g 则函数J 心)的图象在点(e,∕(e))处的切线斜率为I IA-Tβ∙-τ3e^÷χ÷y MI •9.若变⅛x> r 满足约束条件χ-y>-l,则目标函数尸X-3y 的最小值为2x —)W2,D. -10Λ. OC.√Tθ11Iig()成立•则实数6的取值范围是 八・τ> TC. yfSιnI). 5mD.D. (-8. I二、填空题(本大靈共4小题.每小題5分.共20分)13・(2卄』的展开式屮.各项系数之和为】.则实数H = ________ .(川数字填坊答窠)14.函数/(x)= cos2r+6cos( Kr )的最火值为__________ .15.已知偶函j⅛心)在［0・+ oc)±⅛mi⅛.∕(l)=0.若yχx-2)>θ,則•丫的取值范慟思 __________16.在ZUBC 中∙BO2.+sinC=3siιυl t则中^AD的取值范国足 _________ :三、解答题(共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步廉)17.(本小题满分】2分)已Xn数列M l J 的IWn 项和为S., αl=2, 2S n= (ι>+1 )αB(W eN* )•(1)求数列Idl的通顼公式；ΛU=7~⅛τ数列Ig的前“项和为7：•求证：Tβ A(2)设18.(术小题满分】2分)已购四边AiiCD是梯吃(如图3卬)./YB/∕CD y ADrDC J CD=4, ΛB^ΛD≈29 E为CD的中点.以肚为折痕把折起.便点D到达点P的位螢(如图3乙).l≡t PBj(I)求证：平\QPAE丄平^ABCE.舄.(2)求点4到平而PBE的距离.19.(本小題满分】2分) BS 3某枝从高三年级中述拔一个班级代表学校參加“学习遇国血识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答L个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手, 现从毎个班级4名选手中随机捕取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题3目.而乙班级4人屮能正确回答这逍題目的概率毎人均为〒.甲、乙两班级每个人对间题的Ia答部足相互4独立.互不彫响的.(1)求卬、乙两个班级抽取的4人都诜正确回答的概率.(2)设叭乙两个班级被抽取的选乎中能FE确回答题目的人数分别为X. Y.求随机变虽X. F的期望(%+】)•Eg.£(y)和DU). D(Y).并由此分析由哪个班级代喪学校参加犬赛更好？理科散学•第3应(共351)20.(本小题満分】2分)巴知哋物C: √ = 4.r∣l<Jll5点为*. O 为坐标原点.过点尸的戌线/与抛物!线C 交于/1. 〃西点.(1) 若克线∕⅛fflθ: .v ∙+√=y⅛HW.求軽线!的方程:(2) 若直线,与3•轴的交点为〃.HZM=A-T?.丽予丽.试探究：入+“绘否为矩備？若为定值.求出该足值：若不为定值•试说明理由.2J.(本小题满分12分)已幻I 函数/(.v)≡ <(x)a ≡ W ・(1) 设*)=金H —L ^hM 的极值；•X(2) 当QO 时./［严⑴+门沁卜十右”⑴恒成立•求实数/的取值范齟请考生在第22、23两題中任选一題作答.并用2B 铅笔在答適卡上把所选砂E)的題号涂黑・注愈所做題目 的泄号必须与所涂龜目的題号一致，在答題卡选答区城希定位返答題・如杲多做.则按所徼的第一題计分. 22.(本小题衲分K)分)【选修4-4；坐标系与参数方程】rr = -3+/I COSCT 在平而真幷坐标系・vQy 中.已知愉线G ；V=I l Hinor.数）•且 IUnaIo^ = -I •点 P 为Ilh^ C l IJ C 2 的公共点.(1)求动点P 的轨迹方確;(2)在以原虑0为极点•工轴的非负半轴为极紬的极坐标系中•虑线/的极坐标方程为PCo^-2psin9+5≡ 0,求动点P 到直线/距离的最大值・23.(术小题满分10分)【选修4・5：不等式选讲］ 已知函数/S)= I .r-α I + I x-2«+3 |.(1) 当« = 2时.求不尊式ZeY)M 3的解聲； (2) 若/(ΛT) Ml •朮“的取值吃囤・Λ=≡3+∕^CO<⅛β,（"为参数）∙ Hll 线G ；∙ （D 为参∣∙≈∕2sinp t理科数学参考答案•、选择题(木大题共12小题，每小题5分，共60分〉题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U12 答案 A D B C D A D C C A C A 【解析】1. J = {-I, α 1},3),则^∩5≡{-l},故选A・2・由题意，得＜2 = 2-3i,则z1z i=(2+3i)(2-3i)≡l3,故选D・3.因为∣σ+δ∣2=(δ+∂)2= α' +δ^ + 2α∙δ = (α-δ)2+4Λ＜∂ = 14 » 所以∣δ + ∂∣= V14 ,故选B.4.COS 16o cos44o-cos76o Sin44o U COS 16o COS44o-Sinl6o Sin44o =CoS(16o+44o) = cos60° =^t 故选C・5.在编号为I, 2, 3,4的小球中任取2只小球，则有{l, 2}, {b 3}. {1, 4}, {2, 3}, {2, 4},{3, 4},共6种取法，则取Ih的2只球编号之和是奇数的有{1, 2}, {1, 4}, {2, 3},{3, 4},共4种取法，所以取出的2貝球编号之和是奇数的概率为-≈-f故选D.6 36•该几何体为圆台，如图1,体积为K = ∣π×4×(22+l2+2×l) = ^y故选A.7・a=3,/) = 2» 且α＞以.∖a0b≈- = - = 2f故选D. b 2图I8.V∕W=≡√ln^ + l-r(l)x, Λ∕γχ) = 2Λtox÷x-∕,(l)r Λy,(l) = l-Λl),解得fQ) = L,2 ∙∙fX×) = 2x In X+X - i,因此，函奴P=√(x)的图象在点(¢,/(e))处的切线斜率为A =/'(e) = Se-丄，故选C・2理科数学参考答案•第1页(共8页)9. 画IIJ 可彳了域如图2,向上平移基准直线—3y = O 到可行城边界 川3,4)的位迷由此求得目标函数的最小值为"3-3x4 = -9, 故选C. 10. 双曲线的焦点到渐近线的距离为處半轴收b,又双曲线的标准'2T方程化为壬一召= I(Q0),所以6 = √5,故选A ・5m. 511. 以虫为M⅛, AB 为X 轴，4D 为丁轴，a 为Z 轴，建立空间直 :角坐标系如图3,在正方体ABCD-ABlCp 中,点E 为线段AB 的中点,设正方体梭长为 2, PN E(L 0, 0), 4(0, O, 2), D(Q t 2, 0), 丽=(0,2,-2), ⅜F(2, MJ, 0)(0≤∕n≤2), 丽=(1,加，0),12. 因为/(x)=≡ 丄 √-4Λ+∣,所以 /(X) = X 2-4,当 *[1, 2]时，/'(X)WO,所以 YlH 1, 2J上是减函数，所以函数/(x)取得最小值/⑵=-5 •因为gM≈x 2-2bx+∖≈(x-b)2 + l-∂2■当b WO 时，g ⑴取得最小值 g(0)=l.因为对于 e[b 2], 3x i ∈[0> 1], 使/SJNg(E)成立，所以-5X1,不成立；当b^∖时，g ⑴取得锻小值g ⑴= 2-2ZU因为对于∀x 1 ≡[b 2], 3r 2 e[0, 1],使∕⅛)≥g(x 2)成立，所以-5鼻2-2b,解得bdZ27此时心才；当0v6vl 时，g(x)取得最小值g(b) = l -几 因为对于VA-I ∈[L 2], 3X 2 ∈[0, 1],使∕⅛)≥g(A )成立，所以-5>1-Z>2,解得∂≤-√63J6≥√6 ,此时无解; 综上，实数6的取值范围是设界而直线舛D 与EF 的夹角为&则CO^=I I ⅛.∣^Γ2^'X÷I =异面直线FQ 与EF 所成角最小时，则cos0最大，即加=2时,I8S0 =故选£+s\故选A.-K填空题(木大題共4小鹿■每小题5分•共20分)题号13 14 15 16_1 —(1. 3) (2√2, 3)13.^X = IT得各项系数之和为(2÷√=1>解得α = -l .14.V/(x) = cos2x ÷ 6cos(π -Jr) = cos2x -6COSX = 2cos2X -6casx-1 =2∣ COSr--ICOSZ = -I时，/⑴有最大值为7∙三.解答题(共70分•解答应写出文字说明・证明过程或演算步观)17.(本小题满分12分)⑴解:由題总知.当Λ≥287,2S h≈ (w + IK①∙ 2S-=叫“②■由①-②得2心=(□ + iχ,-"%,即上J =n—1(3分丿吩脅丄•亠〃以上各式累乘得故αff=2∕τ.(6分) 15.因为/(工)是偶函数.所以不等式/(x-2)>0<≠>∕(∣x-2∣)>∕(l)>又因为/(x)在［0^ +«)可知中线Q长的取值范围为｛2运3).⑵证明：中⑴知”詁厂詁才乔吕厂治■荷丿.1 1 I1 1 1・∙≡≡ —十・•・ +—2 23 n n + ∖j（12 分）18・（本小题満分12分）（1）证明：连接BE ,因为 AB"CD , MDdDC, CD = 4, E 为CD 的中点，AB = AD = 2,所以四边形是边长为2的正方形，且BE=EC • 取肛的中点M,连接PM, BM,因为4F = PE = 2,所以PM 丄AE. EM 丄AΣ且ZEM2屈 PM = AM = BM =忑・ 又PB=2∙所以PM 2+MB 2≈PB 29 所以PM 丄MB.XX^∩Λ43 = M ,所以 PM 丄平面 ABCE.又PMU 平面PzIE ,所以平面P4E 丄平面MCE....................................................................................................................................................................... 16加（2）解：法1：由（1）知，PM 丄平面ABCE, △丹E 为正三角形且边长为2.设点/到平面丹E 的距离为Z则 J 产知SXPM 土 XSZ II E Y, ............................................................................................................. （8 分） 所以Λx 丄XFEX/JWx PM =丄X 空XBE2 χd ,3 2 3 4即~×∙~×2×2×^72 = -×-x22×J ,解得d =色垃，J 2 3 4 3故点A 到平面PBE 的距离为芈 ............................................................................................................. .. 12弘占）4'（4分）分）連科数学却答案•第4页（共8页）(2)甲班级能正确回答题目人数为X ，X 的取值分别为1,2,KIJE(X) = I×→2×∣ = ∣, D(X)....................................................................................................................................................... (6 分)乙班级能正确回答题目人数为y, y 的取值分别为0, 1,2,TY 〜- I ，∕∙E(y) = 2×-≡-, D(Y)≈2×-×丄=3I 4丿 4 24 4 8................................................................................................................................................... (10 分)EilFGV) = E(K), D(X) < D(Y)可知，由甲班级代表学校参加大赛更好.(12 分)P(X = I)=:磬弓 P(X = 2)=§=?...................................................................................................................................................................... 分)20・(本小题満分12分)解：(1〉由已知得F(l, 0)・当直线Z的斜率•不存在时，直线Z的方程为A = I-此时，直线/与圆O相离，不符合題意；..........................................................................................当直线/的斜率存在吋，设逋线/的方程为J = *(x-1),即kx-y-k≈C.1 I-R1 1 p∖由直线/与IsIo √ + ∕=≡-相切，≈±-・9 √A +1 S 4综上所述，直线/的方程为y≈±~{x-l). ................................................................................................(2)由题道可知直线/的斜率存在且不尊于0,设为R,则其方程为^=A(Λ-1),役应和Z >5(x r y1)9WV亠I y2=4^»欣立£, = /心一]),消去X并整理⅛⅛y2-4y-4Λ = 0,4由书达定理得屮片+儿=7, ...........................................................................................................7∣Λ =-4,易知D(a-Q,由刃=兄乔，得(斗，乃*)=久([_壬，_乃)，则y i+k≈-λy ltΛλ⅛-1-Δι同理可得M = -L所以八"-2-±-± =二一地辺=_2■土》1M Λ ^ 畑-4 ?所以2 +“为定值T .......... ............................................................................................................................. 21・(本小题满分12分)解：(!)函数Λ(x) = ]nx+丄-1,其定义域为(O, +oo).ex所yjφ∙)≡l-2τ=^Zi=Of解得2丄，N eχ∙ GJL e(6分) ©分丿(12 分〉所以处)在(o, 2)上是減函数，在G ，T 上是増函数，所以加X)有极小值Λ∩ = -1,无极大值， ........................................................................................... 2分丿<2)当.YA 0时，4Z 2,(x)+l]>2∣-v + ^g(.v)恒成立，即 /[e" +1〕M 2〔X+gj In X 对 X > 0 恒成立，RP"(e tr +l)≥(x 3+l)lnx 2, ∏P (e lτ + l))ne κ M(x 2 + l)ln.v 2..................................................................................................................................................... \ 6分丿 令 F(X) = (x+l)ln X(X > 0) F F(X) = I + Inx + 丄.X令 G(X)=I 十 Inx + 丄.Gs) =丄一A = V •X X X WΛ∙∙W ：当* 1时，函数G(X)取得最小值，G(I) = 2>0. Λ F ∖x) > O , Λ F(X)在(0,+8)上单调递增，Λ e >√ .(8分丿两边取对数，可得“叔，RP e 呼.X €(0, +00)>•可得*e 时，函数H(X)収總最大值丹(几 =H(e)丄 e•・y 即氓.理科数学参老答案•第7页(共8页)JrU2；n22.（木小题満分10分）【选修4→:坐标系与参数方程T解：（1）设动点户的坐标为（卫刃.曲线C I消去参数可得曲线G消去參数可得tan//=-—.I由tan<ztan0 = -l,所以一x⅛-3 Xl3所以点P的轨迹方程为卫+ / = 9（x≠±3）... .......................................................（2）由已知，直线2的直角坐标方程为x-2j∕÷5≈0.Y动点P的轨迹为圆X2 + / = 9（Λ≠ ±3）（去掉两点仕3, 0））,圆心O到直线/的距离为= √5,所以动点P到直线/的距离的最大值为√5+3..........................................................23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】3-2;G XWl,解：（1）当α = 2B寸，/（.V）=∣Λ∙-2∣+∣^-1∣=∙ h l<x<2f2x-3r x≥2,所以不等式/（Λ）>3的解集为（YO, 0]∪[3, +«）.(2)因为/(x)=∣x-α∣ + ∣x-2α + 3∣mα-3∣∙又/(x)>b所以∣α-301,解得αW2或αM4∙……（5分）（10 分〉（10 分）。