定积分的背景—面积和路程问题

（2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者
有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线
段.
探究点2
估计曲边梯形的面积
割圆术
我们曾经用正多边形逼近圆
的方法 (即“以直代曲”的思想)
计算出了圆的面积，能否也用直 边形(如矩形)逼近曲边梯形的方 法求阴影部分的面积呢？
图中阴影部分是由抛物线 y x 2 ，直线 x 1 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形 问题1 的面积 S .
变式练习 汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为
v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0≤t≤1(单
位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶
的时间1h平均分成10份）
解析 分别用v(0)， v(0.1)， v(0.2)，…， v(0.9)近似替代汽车在0～0.1h，0.1～0.2h，„， 0.8～0.9h，0.9～1h的平均速度，求出汽车 在1h时行驶的路程的过剩估计值 S1
S1 = [v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+… +v(0.9)] ×0.1
=1.715(km).
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，… v(1)近似替代
汽车在0～0.1h，0.1～0.2h，„ 0.8～0.9h,0.9～
1h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足
估计值
s1
得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，
用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其
速度误差就越小.
比如，将滑行时间5s平均分成10份.
用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估
计值s2：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125( m)
y
y x2
o
1
x
分析 首先，将区间[0，1]5等分，如图所示. y
o
S1
（1）
1
x
图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显 然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩 估计值，有
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44
y 探究点1 曲边梯形的定义
y f ( x)
o 称这样的平面图形为曲边梯形.
曲边梯形定义：
a
b x
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常
我们把由直线 x = a，x =b (a≠b)， y = 0和 曲线y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形.
对曲边梯形概念的理解： （1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面 图形.
结论 滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间 被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值 和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.
抽象概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求
曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：
过剩估计值 不足估计值
分割区间
逼近所求路程
所分区间长度趋于 0
估计值趋于所求值
提示：二者之差为S1-s1=0.2
如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2. y
o
1
（3）
x
为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385 .
问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车， 汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：
v(t ) t 2 10t 25 (0 t 5)
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .
分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是 v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在 这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离： s=25×5=125(m) 但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份. 我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽 车在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速 度，求出滑行距离s1：
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数
字，点
击确定.
练一练：
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间 [0，1] 5等分来估计）
解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
估计值
s1 和过剩估计值 S1 ，如下：
图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s1 (0 0.2 0.4 0.6 0.8 ) 0.2 0.24 .
2 2 2 2 2
y
o
s1
（2）
1
x
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
v(1) v( 2) v(3) v(4) v(5) 1 30( m) s1
不论用过剩估计值s1还是不足估计值 误差都不超过：
表示s， s1
25( m) s1 s1
要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？
为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分
s1 = [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1
=1.615(km) 无论用 S1 还是 s1 估计汽车行驶的路程s,估计误差都不 会超过1.715-1.615=0.1（km）
回顾本节课你有什么收获？ 1.曲边梯形的定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形. 2.求面积和路程问题的步骤： 分割区间
定积分的背景——面积 与路程问题
高二数学 选修2-1
第四章
定积分
以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的 面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求 曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解 决的问题. 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛 的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几 何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的 概念.过剩估Biblioteka 值不足估计值逼近所求值
s1 v(0) v(1) v( 2) v( 3) v(4) 1 55( m)
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽 车在5 s内滑行距离的过剩估计值. 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车 在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速 度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s1 ：
s1 (03 0.23 0.43 0.63 0.83 ) 0.2 0.16
S1 (0.23 0.43 0.63 0.83 13 ) 0.2 0.36
估计误差不会超过 S1 - s1 =0.2
探究点3
估计变速运动的路程
已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t, 我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非 匀速运动的物体走过的路程呢？
： 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s2
s 2 v( 0.5) v(1) v(1.5) v( 2) v(5) 0.5 35.625( m)
表示汽车的滑行距离s，误差都不超过 无论用s2还是 s2
48.125 35.625 12.5( m) s2 s2
不足估计值为
s2 (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 0.285.
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用 S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
1
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.