指数函数知识点总结

指数函数
(一)指数与指数幕的运算
1根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n > 1,且n € N 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作n .O 0。

当n 是奇数时，器a n a ，当n 是偶数时，Va n
| a | 2 •分数指数幕
正数的分数指数幕的意义，规定：
m
a n : a m (a 0, m, n N ,n 1)
m
n m
a n a
0的正分数指数幕等于
3 •实数指数幕的运算性质
0,m, n N , n 1)
r r r s
(1) a • a a
(a 0, r,s R);
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1 )在［a , b ］上，f (x) a x (a 0且a 1)值域是［f (a),f(b)］或
［f(b),f(a)］
(2) 若x 0，则f(x) 1 ； f(x)取遍所
有正数当且仅当 x R ；
(3) 对于指数函数f(x) a x (a 0且a 1)，总有f (1) a ；
指数函数•例题解析
a (a 0) a (a
0)
0, 0的负分数指数幕没有意义
r s
rs
(2) (a ) a (a 0,r,s
R)；
(3) (ab )r 『/(a 0, r,s R) •
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地,
函数 y a x (a 0,且 a
1)叫做指数函
1 •
数，其中x 是自变量，函数的定义域为
R
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和
【例1】求下列函数的定义域与值域:
1
(1)y = 3厂(2)y = ..2x 2 1 (3)y = 3 3x 1
解(1)定义域为x € R且x丰2 .值域y > 0且y丰1.
⑵由2x+2- 1> 0,得定义域｛x|x >- 2｝，值域为y >0.
⑶由3-3x-1> 0,得定义域是｛x|x < 2｝,T 0< 3- 3x —1< 3, •••值域是0w y< .3.
练习：（1} y⑵y（3）凶；x x 1
(3) y 4 2 1;
【例2］指数函数y= a x, y= b x, y= c x,
则a、b、c、d、1之间的大小关系是［
A. a < b< 1< c < d
B. a < b< 1< d < c
C. b < a< 1 < d< c
D. c< d< 1< a< b
解选(c)，在x轴上任取一点(x , 则得
b< a< 1 < d < c.
练习：指数函数①■' '②
y= d x的图像如图2. 6-2所示,
().
【例3】比较大小:
(1) .2、3 2 > 5 4、88、9 16 的大小关系是: 3 2
(2)
4
3 1
•-0.6 5 >(2)2.
解⑶ 借助数4.5 3.6打桥，利用指数函数的单调性，4.5 4.1 >4.5 3.6 ,作函数= 4.5 x , y 2= 3.7 x 的图像如图 2. 6 — 3,取 x = 3.6，得 4.5 3.6 > 3.7 3.6 •••4.5 4.1 > 3.7 3・6 .
说明如何比较两个幕的大小：若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数的 单调性进行比较，如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时, 有两个技巧，其一借助 1作桥梁，如例2中的(2).其二构造一个新的幕作桥梁, 这个新的幕具有与 4.5 4.1同底与3.7 3.6同指数的特点，即为4.5 3.6 (或3.7 4.1 ), 4
(2)0.6 5 (3)4.5 4.1
3.7 3・6
1
解⑴ T 2 22 , 3 2
函数y = 2x , 2 > 1,该函数在 ^13 2 4 又一<—<—<—< 3 8 5 9
1 2
23 , 5 4 25,
(—x,+* )上是增函数,
3
4
8
8 28 , 9 16 29 ,
1
2」32 V 88< 54< 916< 2 .
4
解(2) : 0.6 5 > 1,
3 1 1> (|) 2,
如例2中的(3). 练习： (1) 1. 7
2.5
与 1 .73
(2 ) 0.8
0.1
与0.8
0.2
解（2）y = 2x - 2的图像（如图2. 6 — 5）是把函数y = 2x 的图像向下平移 2个单位得到的.
解（3）利用翻折变换，先作 y = 2|x|的图像，再把y = 2|x|的图像向右平移1 个单位，就得y = 2|x-11的图像（如图2. 6 — 6）.
解⑷ 作函数y = 3x 的图像关于x 轴的对称图像得
y =-3x 的图像，再把y =
—3x 的图像向上平移1个单位，保留其在 x 轴及x 轴上方部分不变，把 x 轴下方
(3 ) 1 . 70'3
与 0.93'1
2.1 2.0
(4) 3.5 和 2.7
【例4】比较大小n1a n 与n a n1(a > 0且a ^ 1, n > 1).
n 1 n
解V a
1
n(n 1)
a
当 0V a v 1,
1 T n >1,
> 0,
n(n 1)
V 1,
n1a n
V n a n1
当a > 1 时，T n > 1,
> 0,
n(n 1)
1 n(n 1)
n 1 n n n 1
…a > 1, . a > . a
【例5】作出下列函数的图像：
1
(1)y =(2)x 1
(2)y = 2x - 2,
(3)y = 2|x-11
(4)y = |1 - 3x |
1 1
解（1）y = （，）x1 的图像（如图 2 . 6-4），过点（0 ,-）及（一
1, 1）.
是把函数 (2) 的图像向左平移1个单位得到的.
1 n(n 1)
S2 . &-4
3、 若 a 1,b 0 ,且 a b a b 2 2,则 a b a b 的值等于( )
的图像以x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图2. 6-7)
证明f(x)在区间(—8,+^ )上是增函数.
解(1)定义域是R.
x
x
a
1 a 1 f( —
X )= x
- -x - =—
f(x),
a
1 a
1
•••函数f(x)为奇函数.
a x 1
1 y y 1 ⑵函数丫= — ,T y M 1,.・.有 a x =
> 0 -1V y V 1,
a 1
y 1
1 y
即f(x)的值域为(一1 , 1).
⑶ 设任意取两个值 X[、(-rn,+m )且 X[V X? . f(X 1) — f(x 2)
a X2 1 _ 2(a Xl a X2) a x 2 1 _ (a Xl 1)(a x 2 1)'
(a X2 + 1)>0, • f(xj V fg)，故f(x)在R 上为增函数.
8小 4 2
【例8】
已知f(x)= A
二一(a > 1) (1)判断f(x)的奇偶性; a 1
⑵求f(x)的值域；⑶
x l 1 a 1
—- a 1
T a > 1, X 1V X 2, a X1 V a x 2, (a X1
+1) 、选择题: (本题共 12小题,每小题 单元测试题
5 分 ,共 60分)
1、 化简
1
32 1 2
16
,结果是
丄
32
B 、
丄
32
1
2 32
丄
32
6
3 a 9 4等于(
2、
C、a D a
3、若a 1,b 0 ,且a b a b 2 2,则a b a b的值等于( )
13、若 10x 3,10y 4，则 10xy 。

x
10、已知0 a 1,b 1,则函数y a b 的图像必定不经过(
)
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 的价值为( )
二、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上
)
4、函数f(x)
2 X
a 1在R 上是减函数，则a 的取值范围是(
5
、 下列函数式中，满足 f(x 1)
1
2
f (x)的是( )
A
1
-(X 1) B 1 、x —
C
、2X D 2 %
2
4
6
、
下列 f(x) (1 a
X\ 2
x F
)|a 是(
)
A 奇函数 B
、
偶函数
C
、非奇非偶函数
7、已知a b,ab 0，下列不等式
2
2
a b
11
33
1)
a b
；⑵ 2 2；⑶；U ； w a b ；
a
1 b
1 中恒成立的有(
)
3
3
A
1个
B
、2个
C
、3个
8、函数y 2X 2X
A 、奇函数 9、函数y A ,1
B
1
2X 、偶函数 -的值域是(
1
,0 0,
、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数
C 、 1,
D 、(，1灯 0,
11、F(X) 2X
f (x)(x 0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)()
A 、是奇函数 、可能是奇函数，也可能是偶函数 C 是偶函数
D
、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b%，则n 年后这批设备
A na(1 b%) B
a(1 n b%) 、a[1 (b%)n ] D 、a(1 b%)
)
B
D 、既奇且偶函数
1
3
14、
函数y § (3 < x < 1)的值域是。

2 3x 2
15、 函数y 32 3x 的单调递减区间是。

16、 若 f(52x1) x 2，则 f(125)。

三、解答题：(本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.)
2 2
17、 设0 a 1,解关于x 的不等式a 2x 3x2 a 2x 2x3 。

x 2 2x 5
18、已知x 3,2，求 f(x)
丄丄1的最小值与最大值。

4 2
19、设 a R ， f (x)
a 2x
2x
(x R)，试确定a 的值，使
(x)为奇函数。

1
31
20、已知函数y ，求其单调区间及值域。

15、 0, ，令y 3U ,U 2 3x 2, •- y 3U 为增函数，y 3? 3x 的单调递减区间 21、若函数y
4X ^2X
3的值域为1,7，试确定x 的取值范围。

22、已知函数f (x)
x
a
x
，(a 1) (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明
a 1
f
(X )是R 上的增函数。

9
14、
1
,39，令 U
3
2 2
2x 8x 1
2(x 2) 9 , •
3< x < 1, 9 < U < 9,
“ U
又•
1 y
丄为减函数，. 1 9
-< < 39。

3
3
2
为0,
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
C
D
D
B
C
A
D
A
A
D
指数与指数函数同步练习参考答案
13、
16
、
f (125) f (53) f (52 2 1) 2 2 0
17、a x在上为减函数，：a 2 22x2 3x 2 2x2 2x3
a
2x23x 2 2x2 2x
18 4x2x 2
8.
则当 f (x)有最小值;当3时, f (x)有最大值57。

19、要使 f (x)为奇函数，• x f(x) f( x) 0,
••• f(x),f( x) 2x1 X
2a 2(2x 1)
2x
1。

20、令x22x 5,则y是关于U的减函数, 上的减函数,
1, 上的增函数，•1 x2
3
2x 5
在,1上是增函数，而在1
,
上是减函
21、y
(2x)2 (2x)2
由函数
U x2 2x 5 (x 1)2
x22x 5
的值域为0,
4
1
—。

3
4x 3 2x 3 22x 3 2x3，依题意有
32x 3匕7即1匕2匕4,• 2 <
3 2x 3> 1 2x> 2或2x< 1
2x1,
y 2x的单调性可得x,0] [1,2]。

22、(1 )•••定义域为x R,且f( x)
x
a
x
1 a
f (x), f (x)是奇函数;
(2)f(x)讥
1
, -2,即f(x)的值域为1,1 ；1
(3)设捲，X2 R,且捲沁,
f(X i) f(X2)a x^ 1 a x2 1
a X1 1 __1
2a512a x2 (a51
1)(a X21)
0( •••分母大于零，且a X1a X2)
f (x)是R上的增函数。