初二上总复习几何证明举例(青岛版)

几何证明举例学案

课前练兵：

1．（2014•湘西州）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：AE=CF．

2．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．

3．（2014•南充二模）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

（1）求证：DE=DF；

（2）若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段？（不说明理由）

4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．

5．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

思考：1、证明两个三角形全等，根据给出的条件。你能有几种分析思路？

2、要证明两条线段相等或两个角相等，你有几种思路？

思路方法：

判定两个三角形全等的“四种思路”

1、已知两边找夹角（）

找直角（，）

找另一边（）

2、已知一边一角

（1）边为角的对边时，找任一角（）

（2）边为角的邻边时找角的另一边（）

找夹边的另一角（）

找边的对角（）

3、已知两角：找任意一边（，）

4、有直角，找两边（，）

证明线段相等或角相等的思路与方法

1、证明两条线段或两个角所在的三角形全等。

依据：全等三角形的对应边对应角

2、如果所要证明的两条线段或两个角在同一个三角形中，则证明这个三角形是等

腰三角形。

依据：在同一三角形中，等边对，等角对

3、若要证明相等的线段或角是平行四边形的对边或对角，就证明该四边形是平行

四边形。

依据:平行四边形的对边，对角

典例分析：

例1．（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且

AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．

（1）求证：∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

请把（1）的证明过程的依据填上：

（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，（）

DF=AF=EF，（）

又∵∠ABC=90°，

∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余（）

∴∠DCF=∠AMF，（）

∴△DFC≌△AFM（）

∴CF=MF（）

∴∠FMC=∠FCM（）

请完成（2）证明：

例2．（2014•靖江市模拟）如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R．

（1）求证：DP=CG；

（2）RP与RQ有什么数量关系？说明理由。

证明：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠DCB=900

∵DG⊥AP

∴∠APD+∠GDC=∠GDC+∠DGC=900

∴∠APD=∠DGC

∴⊿AP D≌⊿DGC

∴DP=CG

（2）相等。在正方形ABCD中，∠GCE=∠QCE=450

∵DP=CQ，DP=CG ∴CG=CQ

∵CE=CE ∴⊿CGE≌⊿CQE ∴∠CGE=∠CQE

∵∠APD=∠DGC ，∠RPQ=∠APD，∠RQP=∠CQE

∴∠RPQ=∠RQP

∴RP=RQ

变式：你能通过证明线段相等解决下列问题吗？

1、在⊿ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且A D⊥MN于D，BE ⊥MN于E，试说明DE=AD+BE

2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等。在点E、F移动过程中：

（1）EF的长度与BE+DF有什么等量关系？并说明理由。

（2）若正方形ABCD的边长为10cm，求⊿EFC的周长。

3、在⊿ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作D F∥AC交直线

AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E。

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC .

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明。（3）若AC=6，DE=4，则DF=