相量图图解法在正弦交流电路解题中应用策略

相量图图解法在正弦交流电路解题中的应用策略
摘要：分析研究正弦交流电路用解析式、波形图、相量法等常规方法有时会相当复杂或十分困难，而用相量图图解法分析、求解则较为方便、快捷，既直观又可以避免繁琐的计算，很大程度上降低了解题计算的复杂程度，提高了解题的速度和正确率，也能帮助我们深刻理解交流电路内部的各种关系和规律。

关键词：相量图图解法正弦交流电路应用策略
中图分类号：o441 文献标识码: a 文章编号：
1674-098x(2011)12(c)-0000-00
很多正弦交流电路问题的求解使用通常的解析式法、波形图法、相量法等较为复杂，有时也很困难。

其实很多正弦交流电路的问题若用相量图图解法分析、求解，由于相量图图解法具有直观的显著特点，分析起来较为快捷，这样既避免了繁琐的运算、提高解题的速度，又可加深对正弦交流电路中的概念和规律的理解，收到事半功倍的效果。

下面就讨论如何应用相量图图解法分析、求解正弦交流电路。

1 理论基础
1.1 相量图的概念
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。

也就是几个同频率正弦量的相量在同一个复平面上的几何图形，而不是在直角坐标平面上的几何图形，在此图中各正弦量均用相量表示。

相量图又可分为最大值相
量图和有效值相量图，较常用的是有效值相量图。

1.2 相量合成的法则
在相量图中相量合成时应遵循平行四边形法则，即以表示正弦交流电量的两个相量为邻边画平行四边形，则该平行四边形中与表示正弦交流电量的两个相量共顶点的那条对角线相量就表示它们的合相量。

1.3 基尔霍夫定律
基尔霍夫定律是电工基础课程的基本定律之一，它是由节点电流定律（kcl）和回路电压定律（kvl）两部分组成，既适用于直流电路，也适用于交流电路，在正弦交流电路中，其相量形式分别为：其中kcl既适用于节点，也能适用于实际和假想的封闭面。

三种单一元件正弦交流电路中电压与电流的相位着关系分别是：纯电阻元件端电压与电流同相位；纯电感元件端电压超前电流90°；纯电容元件端电压滞后电流90°。

此结论是在利用相量图图解法分析和求解各种复杂的正弦交流电路时所必须把握的要点。

2 应用技巧
2.1 认真审题
解题时要看懂题意，注意分析，理清思路，明确问题中已知条件（包括隐含条件）及其和待求问题之间的内在联系，找出各部分电路相互联系的纽带，即相串联的电路具有共同的电流，相并联的电路具有共同的电压。

搞清采用什么方法、使用哪些理论和公式以及解题的步骤。

2.2 巧妙选择参考相量
对于正弦交流电路而言，选择好一个参考相量并准确地画出电路中电压、电流关系的相量图对解决问题起到至关重要的作用，这也是解决问题的关键所在，参考相量的选择得好坏及准确与否，将会直接影响到相量图的直观性和问题分析的难易程度，有时因参考相量选择不当，甚至有可能画不出相量图，从而影响到习题的解答。

下面结合几个例题简要介绍一下在解题过程中如何选择参考相量：
2.2.1 串联电路参考相量的选择
在串联电路中，由于通过各元件的电流均相等，所以一般选择电流相量为参考相量较为方便。

［例1］在图（4）中（a）所示的r-c串联电路中，已知电压频率是800hz，电容是0.046 f,需要输出电压u2较输入电压u滞后30°的相位差,求电阻的数值应为多少?
【分析】
本题要求掌握r-c串联电路中电压相量与电流相量之间的相位关系及相量图的画法。

【解】：先画出电流各元件两端电压的相量图,如图(4)中（b）所示.
因为2(或c)较滞后30°,所以端电压和电流的相位差为：
=90°-30°=60°
由阻抗三角形可得tan=,所以有:
r==
即电路应选择2498的电阻,就能使输出电压滞后于输入电压30°【启示】：从相量图中不难看出：此电路为一种移相电路,它告诉我们如何选择电阻的数值才能满足实际的需要，关于其它类似的移相电路的分析和求解也可用相量图图解法作类似地分析和求解. 2.2.2 并联电路参考相量的选择
在并联电路中，由于加在各支路两端的电压均相等，所以一般选择电压相量为参考相量较为方便。

［例2］如图（5）中(a)所示，已知某电路中有两个正弦量
i1=3sin(ωt+)a,i2=4sin(ωt-30)a，试用相量图图解法求i=i1+i2 【分析】：本题目的要求掌握相量图图解法和相量形式的基尔霍夫节点电流定律的应用，解法较多，现用相量图图解法求解。

【解】：将i1、i2分别用相量表示：；
作出相量图，如图（5）中（b）所示，并根据相量图中正弦量i1、i2的几何关
【启示】利用相量图图解法分析计算同频率正弦量之间的加、减运算，显然能起到化隐含为浅显的目的。

2.2.3 混联电路参考相量的选择
在混联电路中，由于各元件之间的连接关系较为复杂多变，所以参考相量的选择没有固定的模式，一般而言选择参考相量从局部入手，若局部有并联部分，则选择局部并联部分的电压相量作为参考相量较为方便，然后应用纯电阻、纯电感、纯电容、或r-l串、并
联、r-c串、并联电路中端电压与电流的相位关系依次画出其它部分的电压和电流相量直至作出整个电路的总电压和总电流相量。

［例3］在附图（6）中，i1=10a，i2=10a ，u=200v，r=5ω，r2=xl，试求i、xc、r2和xl的值。

【分析】：本题用解析式、相量法计算相当困难，而用相量图图解法分析、计算就较为简便。

【解】：（1）作出相量图如图（6）中（b）所示，求出i、ul、uc 的值：
电容两端电压c和电感性负载两端电压l是相等的。

首先假定以l（或c）作为参考相量，而在纯电容电路中i1在相位上超前
c90º，电感性负载中电流i2则滞后l一个角，可由下式求得：, 显然i2在相位上滞后l45º。

作出它们的相量图，如图（b）示：
由相量图可知，在等腰三角形中有：i=i1=10a
在纯电阻电路中，r与i同相位，亦即r、l、c、是同相位，它们之间的相位差为零，因此有：uc=ul=u-ir=200-10×5=150（v）（2）根据容抗定义求出：
这里应注意：
(3)根据电感性负载中电流与电压之间的大小关系求出xl、r2：［例4］在附图（7）中，i1=i2=5a，u=50v，与i同相位，求i、r、xc和xl的值。

【分析】:本题给定的电路是一般的交流混联电路,其解法很多,比较起来,采用相量图图解法求解最为简便。

据题目给定条件来看，首先假定r或c作为参考相量，然后根据纯电阻、纯电感、纯电容元件端电压与元件中通过的电流之间的相位关系作出它们的相量图，结合数学知识从相量图中得出结果。

【解】：据题设条件以或作为参考相量画出相量图如图（7）中（b）所示。

由相量图可知：，
在等腰三角形中：,所以有：
［例5］三相负载为电灯组，其中l1相和l2相所接灯数各为10盏灯，l3相所接灯数为30盏灯，每盏灯的额定电压un=220伏，额定功率为pn=100瓦，三相电源线电压ul=380伏。

试求：（1）各相负载的电流和中线电流；
（2）若l1相因故短路而中线又断开时的各相电流
【分析】：本题为三相不对称负载作星形连接时的有关计算问题。

首先应根据题意画出其连接示意图，因三相负载不对称，需采用有中线的星形方式连接，因有中线,故三相负载各自独立,因此它们的计算只需按单相电路计算即可.而两种情况下的中线电流解法较多，相比较而言，利用相量图图解法最为简便。

【解】：根据题意，三相负载不对称，为了保证三相负载能正常工作，应采用
带有中线的三相四线制电路，故应将三相负载作星形三相四线制
连接，如图（8）中（a）所示：
(1)欲计算各相电流，因带有中线，中点n′电位为零，应对三相分别进行计算,然后利用电压与电流的相量图运用数学原理计算出中线电流。

①求相电流i1、i2、i3
三相负载不对称作星形三相四线制连接时，因三相电源对称，
故三相负载的相电压均为：
每盏灯的电阻：
在实际使用时各盏灯都是并联接入电路的，所以每相电灯的总电阻分别为：
因此三相电流分别为：
②作出电压和电流的相量图如图(8)中(b)图所示,求中线电流in 显而易见,中线电流可根据余弦定理求出,即
(2)若l1相因故短路而中线又断开时,连接电路和电压与电流相量图分别如图(9)中(a)、(b)图所示。

由图（9）中（a）可以看出：l1相短路后，负载中点n′电位与l1相线各点电位相同，此时负载的三个相电压分别是：
负载的三相电流分别是：
而l1相中的电流i1′可从图(9)中的图(b)求得,由余弦定理得: 注意:l2、l3相的电灯组上所加的电压均超过电灯的额定电压
（220伏），将导致电路产生故障，这是所不容许的！
总之，解题时具体采用哪种方法来分析，应根据具体问题而定。

方法的选择是否恰当，取决于一个人的逻辑思维、归纳推理、知识掌握的系统性等的综合能力以及解决问题的经验、熟练程度！
参考文献
[1] 周绍敏.电工基础.高等教育出版社.2001年7月出版
[2] 盛志英.电工基础教材分析和解题指导.常州技术师范学院出版.1998年月12月出版
[3] 薛涛.电工基础教学参考书.高等教育出版社.2002年7月出版。