高等数学第六节_傅里叶级数
《高等数学》第6章4 傅里叶级数
f(x)
=
a0 2
∞
+Σ n=1
(ancos
nπx l
+
bnsin
nπx l
).
其中
an
=
−1 l
∫
l −l
f(x)cos
nπx l
dx,
n = 0, 1, 2, …
bn
=
−1 l
∫
l −l
f(x)sin
nπx l
dx,
n = 1, 2, …
第六章 无穷级数
§6.4 傅里叶级数
a0 2
∞
+Σ n=1
x = 0;
−π
O πx
−f(−x), π ≤ x < 0,
则 an = 0 (n = 0, 1, 2, …),
bn
=
−π1
∫
π −π
F(x)sinnxdx
=
−π2
∫
π 0
f(x)sinnxdx
(n = 1, 2, …).
272365083@
3
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第六章 无穷级数
将f(x)展成傅里叶级数.
−π
解:
a0
=
−π1
∫
π −π
f(x)dx
=
−π1
∫−0π
(−π)dx
+
−π1
∫
π 0
xdx
=
−
−π2 .
对于n = 1, 2, …, 有
an = −π1 ∫−ππ f(x)cosnxdx
=
−π1
∫−0π
(−πcosnx)dx
+
高等数学第六节 傅里叶 级数
bn sinnx .
n1
此时傅氏系数
a n0 (n 0,1,2 , ).
2
b n0f(x )sin n d x x(n 1 ,2,3, ). 这 是an 因 1为 f(x)cn od sxx中 cons是 x 偶
函.数 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
n12[(1)n
1]
n22 ，n1,3,5,, 0，n2,4,6, .
a0
1
10
1
f(x)dx ()dx xdx
0
. 2
1
bn
f(x)sinnxdx
10
1
( )sinn d x x xsinn d x x
0
[n 1 cn o]0 x s n 1 [x cn o]0 x s n 1 0 cn od x x s
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为 周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果 (x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
n1,3,5,, n2,4,6, .
2
2
a 00f(x )d x0( x )d x ,
b n0 (n1,2 ,3, ).
又因为 f(x) 处处连续 ，故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 即
f(x) 2 4(cx os3 12co3xs5 12co5xs) ( x ).
四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
傅里叶级数
9.5 傅里叶级数9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(ϕω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,ϕ为初相.周期为ωπ2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角函数组成的级数.具体的说,希望将以⎪⎭⎫⎝⎛=ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为∑∞=++=10),sin()(n n nt n AA t f ϕω(1)其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数. 在利用三角恒等式,变形为∑∞=++=10);sin cos cos sin ()(n n n n nt n A t n AA t f ωϕωϕ令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200,则得到级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(2)称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数.称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x(3)在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上的积分等于零,即⎰-==ππ),3,2,1(0cos n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1(0sin n nxdx, ⎰-==ππ),3,2,1,(0cos sin n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0cos cos n k n k nxdxkx ,⎰-≠==ππ),,3,2,1,(0sin sin n k n k nxdxkx .,2),3,2,1(cos,sin222πππππππππ⎰⎰⎰---====dx n nxdx nxdx 19.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数设)(x f 是周期为π2的周期函数,且能展开成三角级数:∑∞=++=10).sin cos (2)(n k kkx b kx aa x f(4)我们进一步假设级数(4)可以逐项积分.在此假设条件下我们讨论 ,,,,,,,1100n n b a b a b a 与)(x f 的关系. 由三角函数系的正交性,有0022)(a a dx x f ππππ=⋅=⎰-即得.)(10⎰-=πππdx x f a以nx cos 乘(4)两端,再从π-到π逐项积分,同样由三角函数系的正交性我们得到,,2,1,cos )( ==⎰-n a nxdx x f n πππ即,,2,1,cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ同理可得,,2,1,sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ由于当0=n 时,n a 的表达式正好给出0a ,因此,已得结果可以合并写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰--,,2,1,sin )(1,,2,1,0,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππππππ(5)这样,不论)(x f 能否表示为三角函数,只要)(x f 在]-ππ,[上可积,就可按公式(5)计算出n a 和n b ,称n a 和n b 为函数)(x f 的傅里叶(Fourier)系数,将这些系数代入(4)式右端,所得的三角级数∑∞=++10).sin cos (2n n nnx b nx aa(6)叫做函数)(x f 的傅里叶级数. 那么,)(x f 在怎样的条件下,它的傅里叶级数不仅收敛,而且收敛于)(x f ?定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 设)(x f 是周期为π2的周期函数,如果它满足:(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则)(x f 的傅里叶级数收敛,并且 当x 是)(x f 的连续点时,级数收敛于)(x f ;当x 是)(x f 的间断点时,级数收敛于)]()([21+-+x f x f .⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==+-)]()([21)(|x f x f x f x C ,在C 上就成立)(x f 的傅里叶级数展开式)(x f =∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ,.C x ∈(7)例1 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,1,0,1)(ππx x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0( ±±==k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当πk x =时级数收敛于,0211=+-当πk x ≠时级数收敛于)(x f .和函数的图形如图9-1所示图9-1计算傅里叶级数如下:⎪⎩⎪⎨⎧===--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅+-====⋅+-==-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,4])1(1[1cos 1cos 1sin 11sin)1(1sin )(1);,2,1,0(0cos 11cos )1(1cos )(10000n n n n n nx x nx nxdxnxdx nxdxx f b n nxdxnxdx nxdx x f a nn n ππππππππππππππππππππ将求得的系数代入(7)式,就得到)(x f 的傅里叶级数的展开式为).,2,.0;()12sin(1213sin 31sin 4)( πππ±±≠+∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=x x x k k x x x f 例2 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在],[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.0,0,0,)(ππx x x x f将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛,并且当π)12(+=k x 时级数收敛于.2202)()(ππππ-=-=-++-f f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-2所示.图9-2⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===---⎰⎰;,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(1cos sin 1cos 1cos )(12220n n n n n n nx n nx x nxdxx nxdx x f a n ππππππππππ;2211)(120ππππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===---⎰⎰x xdx dx x f a.)1(cos sin cos 1sin1sin )(1120nnn n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n n +----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-===⎰⎰ππππππππ将求得的系数代入(7)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(5sin 515cos 524sin 413sin 313cos 322sin 21sin cos 24)(22 ππππππ±±≠+∞<<-∞-⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x x x x x x x x x x f如果函数)(x f 只定义在],[ππ-且满足收敛定理的条件,则)(x f 也可以展开成傅里叶级数,只要在),[ππ-或],(ππ-外补充函数的定义,使它拓广成周期为π2的周期函数)(x F .按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.再将)(x F 展开成傅里叶级数.最后限制x 在),(ππ-内,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的傅里叶级数展开式.根据收敛定理,这级数在区间端点π±=x 处收敛于2)()(+-+ππf f .例3 将函数⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,,0,)(展开成傅里叶级数.解 所给函数在区间],[ππ-上满足收敛定理的条件,并且拓广成周期函数时,它在每一点x 处都连续(图9-3),因此拓广的周期函数的傅里叶级数在],[ππ-上收敛于)(x f .πππππππππππ2020cos sin 1cos sin 1cos 1cos )(1cos )(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-==---⎰⎰⎰n nx n nx x n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdx x f a n⎪⎩⎪⎨⎧==-=-=;,6,4,2,0,,5,3,1,4)1(c o s 222n n n n n πππ图9-3 ;21211)(1)(12200ππππππππππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-==---⎰⎰⎰x x xdxdx x dx x f a).,3,2,1(0sin cos 1sin cos 1sin 1sin)(1sin )(120200 ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-==---⎰⎰⎰n n nx n nxx n nx n nx x nxdxx nxdx x nxdxx f b n πππππππππππ将求得的系数代入(6)式,得到)(x f 的傅里叶级数展开式为)(5cos 513cos 31cos 2)(22ππππ≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++4-=x x x x x f .利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当0=x 时,0)0(=f ,于是又这个展开式得出.513118222+++=π设,4131211222++++=σ,4131211,614121,851311222322222221 +-+-=+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=σσπσ因为.44212σσσσ+==所以.243212πσσ==,624822221πππσσσ=+=+=又.1264222213πππσσσ=-=-=正弦级数和余弦级数当)(x f 为奇函数时,nx x f cos )(是奇函数,nx x f sin )(是偶函数,故).,3,2,1(sin )(2),,2,1,0(0====⎰n nxdxx f b n a n n ππ(8)即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.sin 1∑∞=n nnx b(9)当)(x f 为偶函数时,nx x f cos )(是偶函数,nx x f sin )(是奇函数,故).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(2====⎰n b n nxdx x f a n n ππ(10)即知偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.cos 210∑∞=+n nnx ba (11)例 4 设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在),[ππ-上的表达式为x x f =)(.将)(x f 展开成傅里叶级数. 解 首先所给函数满足收敛定理的条件,它在点),2,1,0()12( ±±=+=k k x π处不连续,因此)(x f 的傅里叶级数在点π)12(+=k x 处收敛于,02)(2)()(=-+=-++-ππππf f在连续点))12((π+≠k x x 处收敛于)(x f .和函数的图形如图9-4所示图9-4其次若不计),2,1,0()12( ±±=+=k k x π,则)(x f 是周期为π2的奇函数.显然,此时(8)式仍成立.按公式(8)有),2,1,0(0 ==n a n ,而ππππππ20sin cos sin sin )(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2=2=2=⎰⎰n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n).,3,2,1()1(2cos 21=-=-=+n n n nn π将求得的n b 代入正弦级数(9),得)(x f 的傅里叶级数展开式为).,3,;(sin )1(3sin 312sin 21sin 2)(1ππ±±≠∞<<-∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=+x x nx n x x x x f n 对于定义在区间],0[π上并且满足收敛定理的条件的函数)(x f ,我们在开区间)0,(π-内补充函数)(x f 的定义,得到定义在],(ππ-上的函数)(x F ,使它在),(ππ-上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).再限制x 在],0(π上,此时)()(x f x F ≡,这样便得到)(x f 的正弦级数(余弦级数)展开式.例6 将函数1)(+=x x f )0(π≤≤x 分别展开成正弦级数和余弦级数.解 先求正弦级数.为此对函数)(x f 进行奇延拓(图9-5).按公式(8)有图9-5 图9-6⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⋅=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+==⎰⎰.,6,4,2,2,,5,3,1,22)cos )1(1(2sin cos )1(2sin )1(2sin )(220n nn nn n n nx n nx x nxdxx nxdx x f b n πππππππππππ将求得的n b 代入正弦级数(9),得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+=+ x x x x x 4sin 43sin )2(312sin 2sin )2(21πππππ)0(π<<x 在端点0=x 及π=x 处,级数的和显然为零,它不代表原来函数)(x f 的值.再求余弦级数,为此对对函数)(x f 进行偶延拓(图9-6).按公式(10)有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=⎰.,5,3,1,4,,6,4,2,0)1(cos 2cos sin )1(2cos )1(22230n n n n n n nx n nx x nxdxx a n πππππππ222)1(220+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰πππππx xdx x a ;将求得的n a 代入余弦级数(11),得⎪⎭⎫⎝⎛+++-+=+ x x x x 5cos 513cos 31cos 412122ππ)0(π≤≤x .9.5.3 周期为l 2的周期函数的傅里叶级数定理 设周期为l 2的周期函数)(x f 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为∑∞=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10)(,sin cos 2)(n nn C x l x n b l x n a a x f ππ (1)其中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰--).,3,2,1(sin )(1),2,1,0(cos)(1lln ll n n dx l xn x f lb n dx lxn x f l a ππ(2))]}()([21)(|{+-+==x f x f x f x C当)(x f 为奇函数时,∑∞=∈=1),(sin)(n n C x lx n b x f π (3)其中).,3,2,1(sin)(20⎰==l n n dx lx n x f lb π (4)当)(x f 为偶函数时,∑∞=∈+=10),(cos2)(n n C x lx n a a x f π (5)其中).,2,1,0(cos)(20⎰==l n n dx lx n x f la π (6)证 作变量代换lxz π=,于是区间l x l ≤≤-就变换成ππ≤≤-z .设函数)()()(z F lzf x f ==π,从而)(z F 是周期为π2的周期函数,并且它满足收敛定理的条件,将)(z F 展开成傅里叶级数:∑∞=++=10),sin cos (2)(n n nnz b nz aa z F 其中.sin)(1,cos )(1⎰⎰--==ππππππnzdz z F b nzdz z F a n n在以上式子中令lxz π=,并注意到)()(x f z F =,于是有∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10,sin cos 2)(n nn l x n b l x n a a x f ππ 而且⎰⎰--==lln lln dx lx n x f lb dx lx n x f la ππsin)(1,cos)(1.类似地,可以证明定理的其余部分.例7 设)(x f 是周期为4的周期函数,它在)2,2[-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=20,,02,0)(x k x x f (常数).0≠k将)(x f 展开成傅里叶级数.解 这时2=l ,按公式(2)有;21021);0(02sin 2cos 2120202020k kdx dx a n x n n kdx xn k a n =+=≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰-πππ⎪⎩⎪⎨⎧===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰.,6,4,2,0,,5,3,1,2)cos 1(2cos 2sin21220n n n kn n k x n n k dx xn k b n ππππππ 将求得的系数n n b a ,代入(1)式,得.25sin 5123sin 312sin22)(⎪⎭⎫⎝⎛++++= x x x k k x f ππππ ),4,2,0;( ±±≠+∞<<-∞x x)(x f 的傅里叶级数的和函数的图形如图9-7所示.图9-79.5.4 在[-l , l ]上有定义的函数的傅里叶展开定义在[-l , l ]上的函数f (x )，可以通过延拓而成为一个在数轴上有对于的一个以2l 为周期的函数F (x )，从而可以展开成傅立叶级数，然后再将自变量限制回(-l , l ),即得f (x )的傅立叶展开式。
傅里叶级数
u(t)的(傅1)里连叶续级或数只收有敛有于限个 E第m 一Em类 间Em 断 (点Em ) 0,
(2)至多只有有限个极值2点
2
当t k时, u(t)的傅里叶级数收敛于u(t).
a0
1
u(t )dt 1
0
( Em )dt
1
0 Emdt
0
1
an
1
u(t)cos ntdt
0
( Em )cos ntdt
2
a0
u(t )dt
0
2
E sintdt
0
2E
[ cos t]0
4E ,ห้องสมุดไป่ตู้
an
2
2
u(t)cos ntdt
0
E sint cos ntdt
0
E
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
0
(n 1)
E
cos(n 1)t n1
cos(n 1)t n 1 0
[(
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数的收敛性
若周期为 2 的函数 f ( x) 可积，则
f
(x)
a0 2
(an cos nx
n1
bn
sin nx)
问题:
a0
2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
?
f
(x)
要满足什么条件？
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,
cos nx,sin nx,
大学经典课件之高等数学——11-6傅里叶级数(2)
0
π
x
(0 ≤ x ≤ π )
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例 5： 将函数 f ( x ) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π ) 分别展开成正 弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数.
把 f ( x )作奇延拓，延拓后的函数仍记为 f ( x )
⎧x + 1 0 < x < π ⎪ f ( x) = ⎨ 0 x = 0,± π ⎪x −1 −π < x < 0 ⎩
f ( −π + 0) + f (π − 0) 1 + ( −1) = = 0 = f ( ±π ) 2 2
于是在[−π , π ]上， f ( x )的傅里叶展开式为
1 1 f ( x ) = (sin x + 2 sin 3 x + 2 sin 5 x + L) π 3 5 −π ≤ x ≤ π
∴ f ( x ) ~ ∑ bn sin nx
n =1
∞
∞
2 [1 − ( −1)n ]sin nx = ∑ n =1n π 4 1 1 = (sin x + sin 3 x + sin 5 x + L) π 3 5
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当 x = 0时 f (0 + 0) + f (0 − 0) 1 + ( −1) = = 0 = f ( 0) 2 2 当 x = ±π 时
a0 ∞ f ( x ) ~ + ∑ an cos nx （余弦级数） 2 n =1
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傅里叶级数基础知识
傅里叶级数基础知识傅里叶级数是数学中的一个重要概念，它在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数的基础知识，包括傅里叶级数的定义、性质以及应用。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。
对于一个周期为T的函数f(t)，它可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an、bn是系数，ω是角频率，n是正整数。
二、傅里叶级数的性质1. 周期函数的傅里叶级数是收敛的，即级数的和可以无限接近于原函数。
2. 傅里叶级数是唯一的，即给定一个周期函数，它的傅里叶级数是唯一确定的。
3. 傅里叶级数具有线性性质，即两个周期函数的线性组合的傅里叶级数等于它们各自的傅里叶级数的线性组合。
4. 傅里叶级数的系数可以通过积分计算得到，具体的计算公式为：an = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*cos(nωt) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*sin(nωt) dt三、傅里叶级数的应用1. 信号处理：傅里叶级数可以将一个信号分解为不同频率的正弦波的叠加，从而实现信号的频域分析和滤波处理。
2. 图像处理：傅里叶级数可以将一个图像分解为不同频率的正弦波的叠加，从而实现图像的频域滤波和压缩等处理。
3. 物理学：傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用，例如在波动现象、振动现象、电磁场等方面的研究中都可以使用傅里叶级数进行分析和计算。
四、总结傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。
它具有收敛性、唯一性和线性性质等基本性质，可以通过积分计算得到系数。
傅里叶级数在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
通过傅里叶级数的分析和计算，我们可以更好地理解和处理周期函数的特性，从而在实际应用中发挥作用。
以上就是傅里叶级数的基础知识的介绍。
希望本文能够帮助读者对傅里叶级数有一个初步的了解，并对其在实际应用中的重要性有所认识。
第六节傅里叶级数
π π
∞ π π a0 dx + ∑ [ ak ∫ cos kxdx + bk ∫ sin kxdx] −π −π 2 k =1
2.傅立叶系数a0,a1,b1,…的导出:
a0 ∞ (1)a0: 把 f ( x) = + ∑ ( ak cos kx + bk sin kx) 2 k =1
−π
π
1 − cos 2nx (2) ∫ sin nxdx = ∫ dx = π −π −π 2
π
2
π
(n = 1,2,3,....)
1 + cos 2nx dx = π (3) ∫ cos nxdx = ∫ −π −π 2
π
2
π
(n = 1,2,3,.学 数
∫π
−
π
学 数
1 sin( k + n) x sin( k − n) x π = [ + ]−π = 0 2 k +n k −n (k , n = 1,2,3,....k ≠ n)
高 等 数 学 电 子 教 案
注意:在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间[-π,π] 上的积分不等于零,即
(1) ∫ 12 dx = 2π
学 数
注意:由狄里克雷充分条件,该级数在区间端点x=±π, 收敛于:
1 [ f (π − 0 ) + f (π + 0 )] 2
高 等 数 学 电 子 教 案
解: (1) f(x)在[-π,π]上满足狄里克雷充分条件,把f(x)拓 广为周期函数,该周期函数的傅立叶级数在[-π,π]上收 敛于f(x). -x, -π≤x<0 例4 把函数 f(x)= x, 0≤x≤ π 展开成傅立叶级数.
傅里叶级数
a0 dx an cos nxdx bn sin nxdx 2 n 1 n 1
a0 2 a0 2
1 a0 f ( x )dx
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
(2) 求ak .
a0 f ( x )cos kxdx 2
cos kxdx
[an cos nx cos kxdx bn sin nx cos kxdx ]
n 1
ak cos 2 kxdx ak ,
ak
f ( x )cos kxdx
1
( k 1, 2, 3,)
傅里叶级数
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
傅里叶级数:以傅里叶系数为系数的三角级数.
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
3、收敛条件 定理：若 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，且在一个 周期内连续或只有有限个第一类间断点,则 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛,并且
(1) 当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) .
f ( x 0) f ( x 0) (2)当 x是 f ( x ) 的间断点时,收敛于 . 2
f ( 0) f ( 0) (3) 当 x为端点 x 时,收敛于 . 2
傅里叶级数
《高数-傅里叶级数》课件
02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。
傅里叶级数
例1 设周期为2π的函数f(x)在[π, π)上的表达式为 1 π ≤ x<0 f (x)= 1 0≤ x<π , 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 当x=kπ时傅里叶级数收敛于
1[ f (x0)+ f (x+0)]= 1 (1+1 =0 ) . 2 2 当x≠kπ时级数收敛于f(x).
2 f (x) =π +( 2 cosx+sin x) 1 sin2x+( 2 cos3x+1sin3x) 4 π 2 3π 3 1 sin 4x+( 2 cos5x+ 1 sin5x) . 2π 4 5 5
周期延拓 设f(x)只在[π, π]上有定义, 我们可以在[π, π)或(π, π]外 补充函数f(x)的定义, 使它拓广成周期为2π的周期函数F(x), 在 (π, π)内, F(x)=f(x). 延拓前 y=f(x)
2 π f (x)cosnxdx (n 0 1 2 3 an = ∫0 = , , , , ),
bn=0 (n=1, 2, ).
π
正弦级数和余弦级数 如果f(x)为奇函数, 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项 的正弦级数
n=1
∑bn sin nx .
∞
如果f(x)为偶函数, 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项 的余弦级数 a0 ∞ +∑an cosnx . 2 n=1
4E (1 1 cost 1 cos2t 1 cos3t u(t)= π 2 3 15 35 1 cosnt )(∞<t<+∞). 4n2 1
奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0, π]上并且满足收敛定理的条件, 我们在开区间(π, 0)内补充函数f(x)的定义, 得到定义在(π, π] 上的函数F(x), 使它在(π, π)上成为奇函数(偶函数). 按这种方 式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓). 限制在(0, π] 上, 有F(x)=f(x).
高数傅里叶级数.ppt
s
i
nnx)
称为函数 f (x) 的傅里叶级数，记为
f ( x)
～
a 2
(an co snx
n1
bn
s
i
nnx)
。
（3）
an (n0, 1, 2, )和 bn (n1, 2, )称为函数 f ( x)
的傅里叶系数。
例 1． f ( x) 以2 为周期，且x(, ] 时f ( x) x ，
求 f ( x) 的傅里叶级数。
解：把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓，
a0
1
f ( x)dx 1
x2dx 22 ， 3
1
an
1
f ( x)cosnxdx
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
，
1
bn
x2sinnxdx0 ，
∵ f ( x) 在(,) 内连续，
当 x 时， f (0) f (0) 2 f () ， 2
在 (,] 上 F ( x) f ( x) ，然后将 F ( x) 展开为傅里叶
级数，再把
x
限
制
在(
,
)
便
上，
得
f (x)的
傅里叶
级数展开式。根据收敛定理，这级数在 x 处 收 敛 于
f
(0)
f
(0)
F
。
(x)
称为
f
( x)
的周期延拓。
2
例 4．将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
3
2k 1
x(,0)(0,)
当
x0
时，级数S (收x )敛 于11,,f
傅里叶级数
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例5 将周期函数u(t)=E|sin 1 t|展开成傅里叶级数, 其中E 2 是正的常数. 解 函数u(t)在整个数轴上连续, 满足收敛定理的条件, 因 此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t). 因为u(t)是周期为2π的偶函数, 其傅里叶级数是余弦级数, 而 an =− 4E (n=0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), >>> (4n2 −1 π ) 所以u(t)的傅里叶级数展开式为
1[ f (π −0)+ f (−π −0)]= 1[π +(−π)]=0 . 2 2 当x≠(2k+1)π (k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 傅里叶级数收敛于f(x).
f(x)的图形 和函数的图形
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例4 设f(x)是周期为2π的周期函数, 它在[−π, π)上的表达 式为f(x)=x. 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件, 因此f(x)的傅里叶级数 收敛. 当x=(2k+1)π(k=0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 傅里叶级数收敛于
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例1 设周期为2π的函数f(x)在[−π, π)上的表达式为 −1 −π ≤ x<0 f (x)= 1 0≤ x<π , 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 当x=kπ时傅里叶级数收敛于
解 所给函数满足收敛定理的条件, 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>>
0 n=2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ 所以当x≠(2k+1)π时f(x)的傅里叶级数展开式为
课件：傅里叶(Fourier)级数
nx
dx
0
9
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
1
1d
x
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin 2 nx 1 cos 2nx
2
2
10
6.4.2 函数展开为傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
5x
( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , )
说明:
当
x
(2k
1)
时,
级数收敛于
0
(
2
)
2
22
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
23
例3. 将函数
2
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1 n
1, 2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
3
4
522
cos 5 x
1 5
sin
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
傅立叶级数
§9.4. 傅 里 叶 级 数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数.最简单的周期现象,如单摆的摆动、音叉的震动等，都可用正弦函数wt a y sin =或余弦函数wt a y sin =表示。
但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能用仅用一个正弦函数或余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示。
本节就是讨论将周期函数表示为无限多个正弦函数与余弦函数之和，即傅里叶级数。
一、傅里叶级数1.三角函数系函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x ， （1） 称为三角函数系.π2是三角函数系（1）中每个函数的周期. 以此，讨论三角函数系（1）只需在长是π2的一个区间上即可。
通常选取区间[]ππ,-。
由习题8.4第6题知，三角函数系具有下列性质：m 与n 是任意非负整数，有⎩⎨⎧≠=≠=⎰-,0,,,0sin sin n m n m nxdx mx πππ,0cos sin =⎰-ππnxdxmx⎩⎨⎧≠=≠=⎰-,0,,,0cos cos n m n m nxdx mx πππ即三角函数系（1）中任意两个不同函数之积在[]ππ,-的定积分是0，而每个函数的平方在[]ππ,-的定积分不是0.因为函数之积的积分可以视为有限维空间中内积概念的推广，所以三角函数系（1）的这个性质称为正交性。
三角函数系（1）的正交性是三角函数系优越性的源泉。
以三角函数系（1）为基础所作成的函数项级数2.三角级数以三角函数系（1）为基础所作成的函数级数,sin cos 2sin 2cos sin cos 222110++++++++nx b nx a x b x a x b x a a n n简写为()∑∞=++10sin cos 2n n nnx b nx aa ， （2）称为三角级数，其中),2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数.问题1：如果函数)(x f 在区间[]ππ,-能展成三角级数（2），或三角级数（2）在区间[]ππ,-收敛于函数)(x f ，即或∑⎰⎰⎰⎰∞=----⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10cos sin cos cos cos 2cos )(n n n kxdx nx b kxdx nx a dxkx a kxdx x f πππππππππππk k a kxdx a ==⎰-2cos ，或 ⎰-=πππkxdx x f a k cos )(1.再次，求k b .将（3）式等号左右两端乘以kx sin ，左右两端在区间[]ππ,-积分，并将右端逐项积分.由三角函数系（1）的正交性，有a ππ或数0a 4）5）以函数)(x f 的傅里叶系数为系数的三角级数()∑∞=++10sin cos 2n n nnx b nx aa ，称为函数)(x f 的傅里叶级数，表为()∑∞=++10sin cos 2~)(n n nnx b nx aa x f . （6）问题2：函数)(x f 的傅里叶级数（6）在区间[]ππ,-是否收敛？问题3：如果函数)(x f 的傅里叶级数（6）在区间[]ππ,-收敛，那么它的和函数是否就是函数)(x f ？]π,(f7）)(x f 和)(x S n 收敛于函数)(x f ，即需要证明)(0)()(∞→→-n x S x f n 。
《高数-傅里叶级数》课件
傅里叶级数是傅里叶变 换的特例，是数学分析 和信号处理的基础。
3 傅里叶级数的应用
前景
傅里叶级数的广泛应用 将推动数学、物理和工 程等领域的发展与创新。
傅里叶级数的线性性质
傅里叶级数具有线性运算特性，可进行线性组合、微分和积分等运算。
傅里叶级数的积分性质
积分傅里叶级数可帮助求解周期函数的平均值、方差等统计特性。
应用
傅里叶级数在信号分析 中的应用
傅里叶级数可用于分析信号的 频谱特性，帮助了解信号的频 率分量和频域滤波。
傅里叶级数在图像处理 中的应用
傅里叶级数可用于图像压缩、 滤波和频谱分析，对图像处理 和识别具有重要意义。
傅里叶级数在物理学中 的应用
傅里叶级数在波动理论、量子 力学和热力学等物理学领域中 扮演着重要角色。
总结
1 傅里叶级数的意义
和作用
2 傅里叶级数与傅里
叶变换的关系
傅里叶级数是研究周期 函数的重要工具，揭示 了函数在频域中的性质。
2
正、余弦函数的傅里叶级数展开
将正弦、余弦函数分别展开为傅里叶级数，可得到周期为 $2\p里叶级数展开
通过调整周期为 $2\pi$ 的函数的频率和幅值，可以获得不同形状和性质的傅里 叶级数展开。
傅里叶级数的性质
级数收敛性的证明
通过研究傅里叶级数的收敛性，我们可以了解级数的稳定性和近似性。
《高数-傅里叶级数》PPT 课件
探索傅里叶级数的奇妙世界，从历史渊源到应用前景，揭示其在数学、信号 分析、图像处理和物理学等领域中的重要性。
傅里叶级数的定义
傅里叶级数将一个周期函数分解为正弦、余弦函数的叠加，是一种将函数表 示为无穷级数的数学工具。
傅里叶级数的推导
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
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第六章 无穷级数 *§6 傅里叶级数
一、问题的提出
二、傅氏级数 三、在 [0,]上将函数 f(x)展成为
余弦级数或正弦级数 四、拓展与思考 五、小结
一、问题的提出
矩形波
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
u
1
o
t
1
u 4 sint
u4(sitn 1 3si3 nt)
f(x00)x lix0m f(x)
f(x),x是f(x)的连续点， f(x00)x lix0m f(x)
1 2[f(x00)f(x00)]x,0是 f(x)的第一类间
1 [f( 0 )f( 0 )x ] , .
2
例1 设f函 (x )以 2 数 为周(期 ,)上 ，的 且表 在
为 f(x)x,试f将 (x)展成傅 ,且 氏 画 级 出 数 傅 的和函数பைடு நூலகம்形. 解 先求傅氏系数
正交:
称为三角函数族.
任意两个不 积同 [在 ,函 ]上 数 的 的 定 乘 积 :
1cosnxdx
n1sinnx
0,
(n 1 ,2 , ).
1sinnxdxn1cosnx 0, (n 1 ,2 , ).
对 m ,n 1 ,2 ,3 ,
consxsinmxdx 1 2 [s m in n )x s (i m n n )x ] ( d 0 x . co nc sxo msx d 0,,x m m n n ,
a n 1 f(x )cn ox s , (n d 0 x ,1 ,2 , )
1 xconsxd0x
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
1xsinnxdx20 xsinnxdx
n20xdconsx
2cosn
n
(1)n1 2. n
根据狄氏定(理 ,： )上在得xn 1(1)n1n2sinnx.
当x时，傅氏级数收 1 2[f敛 ( 于 0)f(0)].
根据狄氏定(理 ,： )上在 得xn 1(1)n1n 2sin nx.
又 f ( 0 ) lif m ( x ) lix m
解：
a01f(x)dx 10dx1
an 1f(x)consxdx 10consxdx0
(n1,2,...),
bn 1f(x)sinxdx10sinnxdx
1[cons1]1[ (1)n1]n (1,2,...).
n
n
bn
1[ (1)n1]n (1,2,...). n
n为偶b数 n0： ;
n为奇数 n： 2k令 1; b2k1
( 2 ) 求 b n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)sin nxd a 2 0x sin nxdx [a k co kss xin nx b d k x sikn sxin nx ]d bnx ,
k 1
得 bn1 f(x)sin nx.dx
傅氏系数
定义
an1 f(x)consxd, x(n0,1,2, ) bn1 f(x)sin nxd, x(n1,2, ).
anco2snxdxan, 得 an1 f(x)consx;dx 当n0时， 得 a01 f(x)dx
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
得 an1 f(x)consx;da0x1 f(x)dx
即 an1 f(x)consx;dx (n 0 ,1 ,2 ,3 , ).
以傅氏系数所 角组 级成 数f(的 x 称 )的三 为 傅氏. 级
即a 2 0 ： n 1(anco ns xbnsin n),x
其中 an，bn为傅氏.系数
傅氏级数:
f(x)~a 2 0n 1 (anco ns xbnsin n).x
问题:
f (x) 何时 ,何处 ? a20n 1(anconsx bnsin n)x
2. (2k1)
则：
f(x)1 2n 1 n 1[ (1)n1]sin nx
1 2k 1(2k2 1)si2 nk (1)x, x0,.
当x0时， 级数 1[收 f(00 )敛 f(0 于 0 )],
2
当x0时，级数 1 [收 f(00 )敛 f(0 于 0 )], 2
而 f(0 0 ) lif m (x ) li1 m 1 ,
sim nsx in nxd 0,,xm m n n , 1dx2.
2.傅氏级数
设 f(x)a20k 1(akcoks xbksikn)x (三角级数
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)co nsxd a 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b d k x sikn cxn os x ] d k 1
u4(stin 1si3tn 1si5tn ) 3 5
u 4 (st i1 s n3 it n 1 s5 it n 1 s7 it) n 3 5 7
二、傅氏级数
1.三角函数族的正交性
1 , c x , s x , c o 2 x i , s 2 x o , n s , c i n , s n s n o , i x n x s
定理（狄利克雷(Dirichlet) 定理，简称狄氏定理)
设函 f(x数 )在区 [， 间 ]上满足条件：
狄氏条件 (i)除了有限个第一 点类 外间 均断 为;连续
(ii )只有有限个极值点，
则 f(x)的傅氏 [， 级 ]上 数 收 ,且 在 敛
a20n 1(anconsx bnsin n)x
x
x
f( 0 ) lif m (x ) lix m
x x
当x时，傅氏级数1 收 [f(敛 于 0)f(0) ]0.
2
y
3 2
0
2 3 x
例2 将 2 为 以周期 f(x ) 的 1 0 ,, 0 函 x x 数 0 展成傅氏级数，函并数作的和图 . 形
x 0
x 0
f( 0 0 ) lif m (x ) li0 m 0 , 级数收敛1于,
x 0 x 0
2
当x时， 级数 1 [f(收 0 ) 敛 f( 0 )于 ]1 ,
2
2
f(x) 1 2k 1(2k2 1)sin 2k (1)x, x0,.