高等数学第六节_傅里叶级数
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a n 1 f(x )cn ox s , (n d 0 x ,1 ,2 , )
1 xconsxd0x
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
1xsinnxdx20 xsinnxdx
n20xdconsx
x
x
f( 0 ) lif m (x ) lix m
x x
当x时，傅氏级数1 收 [f(敛 于 0)f(0) ]0.
2
y
3 2
0
2 3 x
例2 将 2 为 以周期 f(x ) 的 1 0 ,, 0 函 x x 数 0 展成傅氏级数，函并数作的和图 . 形
正交:
称为三角函数族.
任意两个不 积同 [在 ,函 ]上 数 的 的 定 乘 积 :
1cosnxdx
n1sinnx
0,
(n 1 ,2 , ).
1sinnxdxn1cosnx 0, (n 1 ,2 , ).
对 m ,n 1 ,2 ,3 ,
consxsinmxdx 1 2 [s m in n )x s (i m n n )x ] ( d 0 x . co nc sxo msx d 0,,x m m n n ,
பைடு நூலகம்
2cosn
n
(1)n1 2. n
根据狄氏定(理 ,： )上在得xn 1(1)n1n2sinnx.
当x时，傅氏级数收 1 2[f敛 ( 于 0)f(0)].
根据狄氏定(理 ,： )上在 得xn 1(1)n1n 2sin nx.
又 f ( 0 ) lif m ( x ) lix m
u4(stin 1si3tn 1si5tn ) 3 5
u 4 (st i1 s n3 it n 1 s5 it n 1 s7 it) n 3 5 7
二、傅氏级数
1.三角函数族的正交性
1 , c x , s x , c o 2 x i , s 2 x o , n s , c i n , s n s n o , i x n x s
anco2snxdxan, 得 an1 f(x)consx;dx 当n0时， 得 a01 f(x)dx
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
得 an1 f(x)consx;da0x1 f(x)dx
即 an1 f(x)consx;dx (n 0 ,1 ,2 ,3 , ).
f(x00)x lix0m f(x)
f(x),x是f(x)的连续点， f(x00)x lix0m f(x)
1 2[f(x00)f(x00)]x,0是 f(x)的第一类间
1 [f( 0 )f( 0 )x ] , .
2
例1 设f函 (x )以 2 数 为周(期 ,)上 ，的 且表 在
为 f(x)x,试f将 (x)展成傅 ,且 氏 画 级 出 数 傅 的和函数图形. 解 先求傅氏系数
2. (2k1)
则：
f(x)1 2n 1 n 1[ (1)n1]sin nx
1 2k 1(2k2 1)si2 nk (1)x, x0,.
当x0时， 级数 1[收 f(00 )敛 f(0 于 0 )],
2
当x0时，级数 1 [收 f(00 )敛 f(0 于 0 )], 2
而 f(0 0 ) lif m (x ) li1 m 1 ,
高等数学第六节_傅里叶级
第六章 无穷级数 *§6 傅里叶级数
一、问题的提出
二、傅氏级数 三、在 [0,]上将函数 f(x)展成为
余弦级数或正弦级数 四、拓展与思考 五、小结
一、问题的提出
矩形波
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
u
1
o
t
1
u 4 sint
u4(sitn 1 3si3 nt)
( 2 ) 求 b n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)sin nxd a 2 0x sin nxdx [a k co kss xin nx b d k x sikn sxin nx ]d bnx ,
k 1
得 bn1 f(x)sin nx.dx
傅氏系数
定义
an1 f(x)consxd, x(n0,1,2, ) bn1 f(x)sin nxd, x(n1,2, ).
定理（狄利克雷(Dirichlet) 定理，简称狄氏定理)
设函 f(x数 )在区 [， 间 ]上满足条件：
狄氏条件 (i)除了有限个第一 点类 外间 均断 为;连续
(ii )只有有限个极值点，
则 f(x)的傅氏 [， 级 ]上 数 收 ,且 在 敛
a20n 1(anconsx bnsin n)x
解：
a01f(x)dx 10dx1
an 1f(x)consxdx 10consxdx0
(n1,2,...),
bn 1f(x)sinxdx10sinnxdx
1[cons1]1[ (1)n1]n (1,2,...).
n
n
bn
1[ (1)n1]n (1,2,...). n
n为偶b数 n0： ;
n为奇数 n： 2k令 1; b2k1
x 0
x 0
f( 0 0 ) lif m (x ) li0 m 0 , 级数收敛1于,
x 0 x 0
2
当x时， 级数 1 [f(收 0 ) 敛 f( 0 )于 ]1 ,
2
2
f(x) 1 2k 1(2k2 1)sin 2k (1)x, x0,.
sim nsx in nxd 0,,xm m n n , 1dx2.
2.傅氏级数
设 f(x)a20k 1(akcoks xbksikn)x (三角级数
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)co nsxd a 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b d k x sikn cxn os x ] d k 1
以傅氏系数所 角组 级成 数f(的 x 称 )的三 为 傅氏. 级
即a 2 0 ： n 1(anco ns xbnsin n),x
其中 an，bn为傅氏.系数
傅氏级数:
f(x)~a 2 0n 1 (anco ns xbnsin n).x
问题:
f (x) 何时 ,何处 ? a20n 1(anconsx bnsin n)x
1 xconsxd0x
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
b n 1 f(x )sinnx , (n d 1 x ,2 , )
1xsinnxdx20 xsinnxdx
n20xdconsx
x
x
f( 0 ) lif m (x ) lix m
x x
当x时，傅氏级数1 收 [f(敛 于 0)f(0) ]0.
2
y
3 2
0
2 3 x
例2 将 2 为 以周期 f(x ) 的 1 0 ,, 0 函 x x 数 0 展成傅氏级数，函并数作的和图 . 形
正交:
称为三角函数族.
任意两个不 积同 [在 ,函 ]上 数 的 的 定 乘 积 :
1cosnxdx
n1sinnx
0,
(n 1 ,2 , ).
1sinnxdxn1cosnx 0, (n 1 ,2 , ).
对 m ,n 1 ,2 ,3 ,
consxsinmxdx 1 2 [s m in n )x s (i m n n )x ] ( d 0 x . co nc sxo msx d 0,,x m m n n ,
பைடு நூலகம்
2cosn
n
(1)n1 2. n
根据狄氏定(理 ,： )上在得xn 1(1)n1n2sinnx.
当x时，傅氏级数收 1 2[f敛 ( 于 0)f(0)].
根据狄氏定(理 ,： )上在 得xn 1(1)n1n 2sin nx.
又 f ( 0 ) lif m ( x ) lix m
u4(stin 1si3tn 1si5tn ) 3 5
u 4 (st i1 s n3 it n 1 s5 it n 1 s7 it) n 3 5 7
二、傅氏级数
1.三角函数族的正交性
1 , c x , s x , c o 2 x i , s 2 x o , n s , c i n , s n s n o , i x n x s
anco2snxdxan, 得 an1 f(x)consx;dx 当n0时， 得 a01 f(x)dx
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
得 an1 f(x)consx;da0x1 f(x)dx
即 an1 f(x)consx;dx (n 0 ,1 ,2 ,3 , ).
f(x00)x lix0m f(x)
f(x),x是f(x)的连续点， f(x00)x lix0m f(x)
1 2[f(x00)f(x00)]x,0是 f(x)的第一类间
1 [f( 0 )f( 0 )x ] , .
2
例1 设f函 (x )以 2 数 为周(期 ,)上 ，的 且表 在
为 f(x)x,试f将 (x)展成傅 ,且 氏 画 级 出 数 傅 的和函数图形. 解 先求傅氏系数
2. (2k1)
则：
f(x)1 2n 1 n 1[ (1)n1]sin nx
1 2k 1(2k2 1)si2 nk (1)x, x0,.
当x0时， 级数 1[收 f(00 )敛 f(0 于 0 )],
2
当x0时，级数 1 [收 f(00 )敛 f(0 于 0 )], 2
而 f(0 0 ) lif m (x ) li1 m 1 ,
高等数学第六节_傅里叶级
第六章 无穷级数 *§6 傅里叶级数
一、问题的提出
二、傅氏级数 三、在 [0,]上将函数 f(x)展成为
余弦级数或正弦级数 四、拓展与思考 五、小结
一、问题的提出
矩形波
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
u
1
o
t
1
u 4 sint
u4(sitn 1 3si3 nt)
( 2 ) 求 b n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)sin nxd a 2 0x sin nxdx [a k co kss xin nx b d k x sikn sxin nx ]d bnx ,
k 1
得 bn1 f(x)sin nx.dx
傅氏系数
定义
an1 f(x)consxd, x(n0,1,2, ) bn1 f(x)sin nxd, x(n1,2, ).
定理（狄利克雷(Dirichlet) 定理，简称狄氏定理)
设函 f(x数 )在区 [， 间 ]上满足条件：
狄氏条件 (i)除了有限个第一 点类 外间 均断 为;连续
(ii )只有有限个极值点，
则 f(x)的傅氏 [， 级 ]上 数 收 ,且 在 敛
a20n 1(anconsx bnsin n)x
解：
a01f(x)dx 10dx1
an 1f(x)consxdx 10consxdx0
(n1,2,...),
bn 1f(x)sinxdx10sinnxdx
1[cons1]1[ (1)n1]n (1,2,...).
n
n
bn
1[ (1)n1]n (1,2,...). n
n为偶b数 n0： ;
n为奇数 n： 2k令 1; b2k1
x 0
x 0
f( 0 0 ) lif m (x ) li0 m 0 , 级数收敛1于,
x 0 x 0
2
当x时， 级数 1 [f(收 0 ) 敛 f( 0 )于 ]1 ,
2
2
f(x) 1 2k 1(2k2 1)sin 2k (1)x, x0,.
sim nsx in nxd 0,,xm m n n , 1dx2.
2.傅氏级数
设 f(x)a20k 1(akcoks xbksikn)x (三角级数
( 1 ) 求 a n ( n 1 ,2 ,3 , ) :
f(x)co nsxd a 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b d k x sikn cxn os x ] d k 1
以傅氏系数所 角组 级成 数f(的 x 称 )的三 为 傅氏. 级
即a 2 0 ： n 1(anco ns xbnsin n),x
其中 an，bn为傅氏.系数
傅氏级数:
f(x)~a 2 0n 1 (anco ns xbnsin n).x
问题:
f (x) 何时 ,何处 ? a20n 1(anconsx bnsin n)x