正态总体常用抽样分布

2 2 ), 未知 , 故不能用 X ~ N ( , 分析 由于题中 n X 2 2 用 S 代替 , 构造统计量 T ~ t ( n 1) . S/ n X 1000 解 因为 T ~ t ( 8) , S/ 9 X 1000 940 1000 故 P{ X 940} P{ } 100/ 3 100/ 3
2
1 n (2) P{ ( X i X )2 2 2 } . 2 n i 1
解 由分布定理知,
2 ( X X ) i i 1 n
2 ( X ) i i 1 n
2


2
~ ( n) ,
2
( n 1) S
2

2

2
~ ( n 1) .
2
8
1 n (1) P{ ( X i )2 2 2 } ; 2 n i 1
即
Φ(0.05 n ) 0.975 ,
.64 , 查表得 0.05 n 1.96 , n 1536
即应取 n 1537.
5
, ) 例2 设某厂生产的灯泡的使用寿命 X ~ N (1000 (单位:小时). 今抽取一容量为 9 的样本, 得到 s 100 ,
2
试求 P{ X 940} .
且

2
2 2 ( X ) ~ ( n) i i 1
n
X
2 /n
与
( n 1) S 2

2
相互独立，
3
2 X ( n 1) S 2 ~ N (0, 1) ， ~ ( n 1) ， 2 / n
且
X
/n
2
与
( n 1) S 2

2
相互独立，
11
X n1 X n1 n
又由抽样分布定理知
~ N (0, 1) ,
( n 1) S 2

2
~ 2 ( n 1) ,
于是据 t 分布的定义得
X n 1 X n1 n
即
( n 1) S 2 ~ t ( n 1) , 2 ( n 1)
X n 1 X Z S
2 所以 X ~ N ( , ) . n X 标准化 U ~ N (0, 1) . / n
2
1. 样本均值 X ~ N(,

2
2.
( n 1) S
2
n
).
2

2

1
2
2 ( X X ) ~ (n 1) . i
n
i 1
3. X 与S 相互独立； 注：
2
1
X 4. t ~ t ( n 1) . S/ n X ( n 1) S 2 2 证 U ~ N (0, 1) , ~ ( n 1) , 2 / n
n ~ t (n 1) . n1
12
二、样本均值差和联合样本方差的分布 2 2 设两个正态总体 X ~ N (1 , 1 ) , Y.~ N ( 2 , 2 ) 下面讨论一下两个正态总体的情况 相互独立,分别抽取样本( X1 , X2 ,, Xn1 ) 和(Y1 ,Y2 ,,Yn2 ) ， 2 2 各自的样本均值和样本方差分别记为X ,Y , S X ,则 , SY ( X Y ) ( 1 2 ) (1) U ~ N (0,1) 2 12 / n1 2 / n2
X 的又一次独立观测值 , 求下面统计量的概率分布 :
X n1 X n Z S n1 2 2 解 因 X ~ N ( , ) , X n 1 ~ N ( , ) , 故 n 2 2 X n1 X ~ N (0, ), n X n1 X ~ N (0, 1) , 标准化得 n1 n
由
t 分布的定义,
T X
2 /n
( n 1) S 2 2 ( n 1)
X ~ t ( n 1) . S/ n
4
例1 设总体 X ~ N ( , 4) , 若要以 95%的概率保证样本均值
X 与总体期望 的偏差小于 0.1, 问样本容量 n 应取多大? 4 解 因 X ~ N ( , 4 ) , 故 X ~ N ( , ) , 所以 n 0.1 ) 1 0.95 , P{ X 0.1} 2Φ( / n
P{T 1.8} ,
6
T
X 1000 S/ 9
~ t ( 8) ,
P{ X 940} P{T 1.8} ,
令 t (8) 1.8 ,
查表得
t 0.1 (8) 1.3968, t 0.05 (8) 1.8595,
用线性插值得 0.056 . 故
t (n) O

2
n P{ 2
2 ( X X ) i i 1
n
f ( x)

2
2 n}
O

2 (n)
P{8 (15) 32}
2
x
Leabharlann Baidu
P{ (15) 8} P{ (15) 32}
2 2
0.90 0.005 0.895 .
10
2 ( X , X , , X ) X ~ N ( , ) 例4 设 1 2 n 是来自正态总体 2 的样本 ,其样本均值和样本方差分别为 X , S , X n 1 是对
第三节
1
一、样本均值和样本方差的分布
设总体 X ~ N ( , ) ，样本( X1 , X2 ,, Xn ) ，
2
1. 样本均值 X ~ N(,

2
n
).
证 由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态 变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明 2 E( X ) , D( X ) ， n
2
n P{ 2
2 ( X ) i i 1
n
f ( x)

2
2 n}
O

2 (n)
P{8 (16) 32}
2
x
P{ 2 (16) 8} P{ 2 (16) 32}
0.95 0.01 0.94 .
9
1 n ( 2) P{ ( X i X )2 2 2 } 2 n i 1
t ( n )
x
P{ X 940} 0.056 .
7
例3 设总体 X ~ N ( , 2 ) , ( X 1 , X 2 ,, X n ) (n 16)
是来自 X 的样本, 求概率
1 n (1) P{ ( X i )2 2 2 } ; 2 n i 1