2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (87)
2020年高考理科数学新课标必刷试卷二(含解析)
《2020年高考理科数学新课标必刷试卷二（含解析）》摘要：试题分析：由的最小正周期为，得．因为，所以，由，得，故．令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A．考点：三角函数的图像与性质． 9．在中，D为BC中点，O为AD中点，过O作一直线分别交AB、AC于M、N两点，若（），则( ) A．3 B．2 C．4 D．【答案，解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得. (Ⅱ)设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为A，B．设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）0，于是① 又．=+1+0② 又，于是不等式②等价于③ 由①式，不等式③等价于④ 对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围． 20．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程，（Ⅱ）直线时过原点的直线，并且倾斜角是，所以设直线的极坐标方程是，代入圆的极坐标方程得到的二次方程，而，根据根与系数的关系得到结果. 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程是即曲线的直角坐标方程是即（Ⅱ）直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数，. （1）若，求不等式的解集2020年高考必刷卷（新课标卷）02 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (86)
2020高考模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =ðA ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A ．()1,-∞-B ．()2,1-C ．()+∞,2D ．()(),12,-∞+∞U3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=mA ．4-B ．4C ．2±D ．4±4．733x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是A ．189B ．63C ．42D ．215．已知323ln 31343,e ,2===cba ，则A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．函数1ln )(+=x xx f 的图象大致是A B C D7．设曲线1cos ()sin x f x x+=在3π=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A ．1-B ．23C ．2-D ．28．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：x3 4 5 6 y2.5344.5若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0ˆ+=mx y，则可预测2019年捐赠的现金大约是A ．5.95万元B ．5.25万元C ．5.2万元D ．5万元9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=SA ．40394038B ． 40392019C ．40372018D ．4037403610．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是A ．1314 B ．47 C ．37D ．11411．已知112ω>，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B满足OA OB u u u r u u u r=，1OA OB u u u r u u u r ⋅=，则点集{}|,2,,R P OP OA OB u u u r u u u r u u u rλμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是.A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
模板-2020年高考理科数学新课标必刷试卷六含解析
2020年高考理科数学新课标必刷试卷六（含解析）2020年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设，则A． B． C． D．【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解：，则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量，，若，则A． B．12 C． D．3 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.故选：C. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】【分析】令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入可得各项系数和为展开式的各项的二项式系数和为由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以解方程可得则二项式的展开式的通项公式为令解得所以的系数为故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的焦距为，利用向量数量积的坐标运算得出，可得出，等式两边同时除以可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则点、、，所以，，，则，即，即，等式两边同时除以得，，解得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件A＝“”，那么事件A发生的概率是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为. 事件A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为. 所以事件A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 8．函数在区间上的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 . 故选:B 【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F－AMCD的体积，即可求出概率. 【详解】由三视图可知：底面三角形ADF是腰长为a的等腰直角三角形，几何体ADF－BCE是侧棱为a的直三棱柱，由题图可知VF－AMCD＝×S梯形AMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为. 故选：C 【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
【精编版】2020年高考数学(理)必刷试卷3(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足2223()4S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵S=()22234a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到312cos *sin 42ac B ac B =，tanB=3，∵B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =，又4PA =，则81626PC =+=，6OP =，所以球表面积为224()4(6)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)
2020高考数学模拟试题（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( ) A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)2.下列命题错误的是( )A．命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。
B．对于命题p：∃x 0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。
C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x －m＝0无实根，则m≤0”。
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A． 2 B． 2 C． 12 D．4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－ B． C．1 D．5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（）①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．A．0 B．1 C．2 D．36.函数cosxxye的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．7.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=8．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） A ．3 B ．1 C ．6D ．2 9.已知奇函数在R 上是增函数，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.B.C .D.10.设函数f (x )＝cos(2x ＋ϕ)＋sin(2x ＋ϕ)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ，点P 在C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） A ．103B ．10C ．43 D ．5312．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()41814f x x x =-+-，若函数()()g x f x mx =-有三个零点，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．3,184142⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,18414- C ．()2,3 D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.计算＝________.14．已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x+-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________.15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为_________.16．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为_______.三、解答题：（共70分。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (76)
2020高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合1273xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}|5B y y =≥-，则()R A B =I ð（ ）A ．∅B ．[]5,3--C ．[)5,3--D ．[]5,3-【答案】B【解析】先求出集合A ，然后求出R A ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】依题意，得{}3111273333x x A x x x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<=>-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，则{}R |3A x x =≤-ð，所以()[]R 5,3A B =--I ð.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算、不等式的解法考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.2．若复数1i()2im z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案. 【详解】1i (1i)(2i)2i 2i 221i 2i (2i)(2i)555m m m m m m z ++--+++-====+++-. 复数z 为纯虚数,得20210m m +=⎧⎨-≠⎩解得2m =-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某校聚集400名学生站成一个方阵.方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“70”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选1名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为14，则任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率为（ ） A ．100133B ．34C ．50133D ．316【答案】C【解析】分别求出身穿红色衣服和白色衣服的人数，然后求出选出1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的选法，及400名学生选出2名学生的选法，结合古典概形的概率公式可求出答案. 【详解】400名学生中，身穿红色衣服的有14001004⨯=人，身穿白色衣服的有300人，故任选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率111003002400C C 50C 133P ⋅==.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合，考查古典概型的概率，考查推理能力，属于基础题.4．记递增等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若28S =，480S =，则（ ） A ．14a = B ．12a =C ．2q =D ．4q =【答案】B【解析】结合3442a a S S +=-，及23412a a q a a +=+，可求出公比，进而求出1a .【详解】依题意，得128a a +=，344272a a S S +=-=，所以234129a a q a a +==+，解得3q =或者3q =-.又因为数列{}n a 是递增数列，所以3q =，所以12a =. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.5．运行如图所示的程序框图；若输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，则判断框中可以填（ ）A ．5i >B ．4i >C ．3i >D ．2i >【答案】C【解析】运行该程序，可知3i =，不满足判断框，4i =，满足判断框，从而可选出答案. 【详解】由于输入的x 的值为3，输出的x 的值为98，可知： 运行该程序，第一次，1(31)22x =+=，1i =，不满足判断框； 第二次，13(21)22x =+=，2i =，不满足判断框； 第三次，1351224x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3i =，不满足判断框；第四次，1591248x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4i =，满足判断框，输出x 的值为98， 故判断框可以填3i >.故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题. 6．地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E 与地震里氏震级M之间的关系为34.810ME =.已知A 地区最近两次地震的震级1M ，2M 的值分别为6，5，释放的能量分别为1E ，2E .记12E E λ=，则λ∈（ ） A ．()30,31 B ．()31,32C ．()32,33D ．()33,34【答案】B【解析】分别求出1E 和2E ，可得到91.517.52101010E E ==，然后比较 1.51031,32,的大小关系即可选出答案. 【详解】依题意， 4.8911010E =⋅， 4.87.521010E =⋅，故91.517.52101010E E ==，要比较 1.510与32的大小关系，可比较310与232的大小关系，易知3101000=，而2321024=，故 1.51032<.同理可得， 1.51031>，所以(31,32)λ∈. 故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题.7．已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==10AC BD ==，AD BC ==则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．128πC ．132πD ．156π【答案】A【解析】可将三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，可得2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，从而可求出222x y z ++及外接球半径，进而可求出该三棱锥外接球的表面积. 【详解】三棱锥A BCD -的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则2222225210080x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得，222116x y z ++=，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ,则()22222116R x y z =++=，即24116R =. 则所求外接球的表面积24π116πS R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题. 8．将曲线23e x y +=绕原点顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则tan θ=（ ） A ．22e B ．32e C ．23e D ．33e【答案】D【解析】易知直线tan y x θ=⋅是曲线23ex y +=过原点的切线，设切点坐标为()02,3e x x +，结合导数的几何意义，可求出0x ，从而可求出tan θ.【详解】依题意，tan y x θ=⋅是曲线23e x y +=过原点的切线.设切点坐标为()020,3e x x +，而23ex y +'=，所以02tan 3e x θ+=.把切点坐标()020,3ex x +代入tan y x θ=⋅，得002203e3e x x x ++⋅=，解得01x =，即3tan 3e θ=.故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.9．记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的渐近线上，且在第二象限，2OM OF =（O 为坐标原点），线段2MF 的中点P 满足122PF PF a -=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1+B ．1+CD 【答案】A【解析】先求出M 的坐标，进而可得到P 的坐标，由P 满足122PF PF a -=，可知点P 在双曲线C 的右支上，将坐标代入方程，计算可求得离心率. 【详解】双曲线C 的渐近线为b y x a =±，设M 的坐标为(),0b m m m a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，由2||OM OF c ==，可得222222b c m m m c a a⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，即m a =-，(),M a b -，则,22c a b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭. 122PF PF a -=，则点P 在双曲线C 的右支上，所以2222()144c a b a b--=，整理得22215c ca a-+=，即()215e -=，解得1e =，因为1e >，所以只有1e =+. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题.10．已知在体积为27的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11C D 的中点.若平面BEF I 平面11BCC B l =，则l 在正方形11BCC B 中的线段长度为（ ）A ．B ．2C ．2D 【答案】D【解析】延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，1BG CC H =I ，可知l 在正方形11BCC B 中的线段为线段BH ，由1D EF V 和1C GF V 全等，及11//C H BB ，可得111113C HC G BB B G ==，从而可求得1C H 进而可求得BH . 【详解】如图，延长EF ，11B C ，交于点G ，连接BG ，其中1BG CC H =I ，则l 在正方形11BCC B 中的线段即为线段BH .依题意，得327AB =，则3AB =.又易知1D EF V 和1C GF V 全等，所以111112C G D E A D ==，又11//C H BB ，则111113C H C G BB B G ==，11C H =. 所以2CH =，223213BH =+=. 故选：D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力以及数形结合思想,属于基础题. 11．已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象的一个最高点为()3,1P ，M ，N 是与P 相邻的两个最低点，且20tan 21MPN ∠=-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[]310,810()k k k ++∈Z B ．[]810,1310()k k k ++∈Z C ．[]35,85()k k k ++∈Z D ．[]85,135()k k k ++∈Z【答案】A【解析】由函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，可知1A =，π32π()2k k ωϕ+=+∈Z ，由20tan 21MPN ∠=-，结合二倍角公式，可求得tan2MPN ∠，进而由图象可知4tan 2MPNMN T ∠==，从而可求得,ωϕ，即可求得()f x 的表达式及单调递减区间.【详解】依题意，得22tan202tan 211tan2MPNMPN MPN ∠∠==-∠-，解得5tan 22MPN ∠=或2tan25MPN ∠=-，因为π022MPN ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以只有5tan 22MPN ∠=符合题意， 函数()f x 图象的一个最高点为()3,1P ，得1A =，41tan102MPNMN T ∠==⨯⨯=，则2ππ105ω==， 又(3)1f =，得ππ32π()52k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π()10k k ϕ=-+∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π10ϕ=-，则ππ()sin 510f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令πππ3π2π2π()25102k x k k +≤-≤+∈Z ，解得310810()k x k k +≤≤+∈Z . 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正切的二倍角公式的应用，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与x 轴交于P ，Q 两点，与y 轴交于M ，N两点，点R 在椭圆C 上，135PRQ ︒∠=，cos RPQ ∠=，且四边形MPNQ 的面积为C 的方程为（ ）A ．221244x y +=B ．221128x y +=C ．221166x y +=D ．22311816x y +=【答案】A【解析】由角的关系可求得tan RPQ ∠和tan RQP ∠的值，然后设(,)R s t (0,0)s t >>，可得||2tan tan t tPQ a RPQ RQP==+∠∠，tan tRPQ a s=∠+，联立可求得,,s t a 的关系，将点R 的坐标代入椭圆方程，可求得,a b的关系，结合四边形MPNQ 的面积为2ab =,a b 的值. 【详解】由cos RPQ ∠=，可得1tan 3RPQ ∠=.又135PRQ ︒∠=，所以()tan tan 1tan tan 1tan tan 2PRQ RPQ RQP PRQ RPQ PRQ RPQ ∠+∠∠=-∠+∠=-=-∠∠.不妨设(,)R s t (0,0)s t >>，则||25tan tan t t PQ a t RPQ RQP ==+=∠∠，即25at =，tan t RPQ a s =∠+，即23355a as t a a =-=⨯-=. 则将255,a a R ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得2222412525a a a b+=，即226a b =.又四边形MPNQ 的面积为2ab =联立222866ab a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2b =，26a =.故椭圆C 的方程为221244x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换、椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.二、填空题13．对一批产品的内径进行测量，所得数据统计如下图所示，估计这批产品内径的中位数为___________.【答案】26【解析】由小矩形的面积之和等于1可求出a 的值，计算前3个小矩形的面积可知中位数在第四组中，列式子计算即可. 【详解】由题意，得(0.012520.0250.03750.05)51a ⨯++++⨯=，解得0.0625a =.前3个小矩形的面积(0.01250.0250.05)50.4375S =++⨯=，故所求中位数为0.50.437525260.0625-+=.故答案为：26. 【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知ABC V 中，D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点.若BE mAD nAE =+uur uuu r uu u r，则m n -=______________.【答案】72-【解析】结合平面向量的线性运算，用,AD AE u u u r u u u r 表示BE u u u r，进而可求出,m n 的值，即可求出答案. 【详解】 如图，3333()(2)22222BE BC CE DC AE AC AD AE AE AD AE AE AD=+=-=--=--=-uur uu u r uur uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，所以32m =-，2n =，所以37222m n -=--=-.故答案为：72-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查推理论证能力，属于基础题.15．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，()121111n n n S a S +++=-.若4139k S <，则k 的最大值为____________.【答案】19【解析】利用11n n n a S S ++=-，将等式转化为只含1n n S S +,的关系式，进而可得到111111n n S S +-=---，即数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，从而可求出n S 的表达式，解不等式4139k S <，可求出答案. 【详解】依题意，得()21111n n n a S S +++⋅=-，则()()21111n n n n S S S S +++-⋅=-，即22111121n n n n n S S S S S ++++-=-+，所以1121n nn S S S ++=-，则()1111n n n S S S ++-=-，即11111111111111n n n n n n S S S S S S +++++-+===+----，所以111111n n S S +-=---. 故数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为111a =-32-，公差为1-的等差数列，则1112n n S =---，所以2121n n S n -=+. 故4139k S <可化为21413921k k -⋅<+，解得20k <，因为*k ∈N ，所以k 的最大值为19. 故答案为：19. 【点睛】n S 与n a 关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.①利用()12n n n a S S n =-≥-，转化为只含n n S S -1,的关系式，再求解； ②利用()12n n n S S a n --=≥，转化为只含1,n n a a -的关系式，再求解.16．已知函数223,0()143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，函数()()()()2212g x f x m f x m =+-⎤⎦-⎡⎣，若函数()g x 有7个零点，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U 【解析】作出函数()f x 的图象，令()0g x =，解得()1f x =或()2f x m =-，结合图象易知()1f x =有4个解，从而只需()2f x m =-有三个解，结合图象讨论2m -的取值范围即可. 【详解】0x <时，235()211x f x x x +==+--，()f x 在3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且302f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当32x <-时，图象始终在2y =的下方； 当0x ≥时，2()43f x x x =-+，在[]0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增，且(0)3f =.作出函数()f x 的图象如下图所示：令[]2()()(21)()20g x f x m f x m =+--=，解得()1f x =或()2f x m =-，而()y f x =和1y =的图象有4个交点，即()1f x =有4个实数根，所以只需()2f x m=-有3个实数根即可.观察可知，当223m ≤-<或20m -=时，符合题意， 解得312m -<≤-或0m =. 故答案为：{}3,102⎛⎤-- ⎥⎝⎦U .【点睛】本题考查函数的图象性质，考查函数的零点，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．如图所示，在平面四边形ABCD 中，4tan 3BCD ∠=-.（1）若ACB ACD ∠=∠，22AB BC ==，求AC 的长； （2）若45CBD ︒∠=，2BC =，求BCD V 的面积. 【答案】（1）5AC =2）8【解析】（1）由tan BCD ∠，可求出cos BCD ∠，结合ACB ACD ∠=∠，可求得cos ACB ∠，在ABC V 中，由余弦定理可求出AC 的长；（2）先求得sin cos BCD BCD ∠∠，，则()sin sin 45CDB BCD ︒∠=∠+，然后利用正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，可求出CD ，进而可求出BCD V 的面积.【详解】（1）4tan 3BCD ∠=-,则BCD ∠是钝角，cos 0BCD ∠<，可求得3cos 5BCD ∠=-.因为ACB ACD ∠=∠，所以23cos 2cos 15BCD ACB ∠=-=∠-.因为cos 0ACB ∠>，所以5cos ACB ∠=. 在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠，即22530AC AC -=. 解得5AC =35AC =（舍去）. 所以5AC =（2）由（1）可知，24sin 1cos 5BCD BCD ∠=-∠=. 在BCD V 中，因为45CBD ∠=︒，所以()()22sin sin 18045sin 45cos )CDB BCD BCD BCD BCD ∠=︒-∠-︒=∠+︒=∠+∠=.由正弦定理得sin sin BC CDCDB CBD =∠∠，所以sin 10sin BC CBDCD CDB⋅∠==∠. 故BCD V 的面积14210825S =⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题.18．如图，三棱锥P ABC -中，ABC V 是等边三角形，M 是线段AC 的中点，N 是线段CB 上靠近C 的四等分点，平面PBC ⊥平面ABC .（1）求证：MN PB ⊥；（2）若4PB PC BC ===，求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接AO ，由ABC V 是等边三角形，可得AO BC ⊥，//MN AO ，结合平面PBC ⊥平面ABC ，易证MN ⊥平面PBC ，从而可证明结论；（2）连接PO ，易知OA ，OB ，OP 两两垂直，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，然后分别求出平面BPC 、APC 的法向量，设二面角A PC B --为θ，则cos m nm nθ⋅=u r ru r r ，可求出答案.【详解】（1）如图，取BC 的中点为O ，连接AO . 因为ABC V 是等边三角形，所以AO BC ⊥. 由题意知//MN AO ，从而MN BC ⊥.因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，MN BC ⊥， 所以MN ⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ，所以MN PB ⊥.（2）如图，连接PO .因为PB PC =，所以PO BC ⊥.又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，PO BC ⊥， 所以PO ⊥平面ABC .所以OA ，OB ，OP 两两垂直.分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为4PB PC BC ===，ABC V 为等边三角形，所以23PO AO ==，所以()23,0,0A ，()0,2,0C -，()0,0,23P ，从而()23,0,23PA =-uu r ，()0,2,23PC =--uu u r.设平面APC 的法向量(),,n x y z =r.由00n PA n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得232302230x z y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，即3x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩.可取()1,3,1n =-r . 取平面BPC 的一个法向量()1,0,0m =u r.设二面角A PC B --为θ，则()()2222221130105cos 5131100m nm nθ⨯+-⨯+⨯⋅===+-+⨯++u r r u r r . 由题意可知二面角A PC B --为锐角，故二面角A PC B --的余弦值为5.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.19．由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能的智能激光型打印机.针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案： 方案一：一次性缴纳10000元，在未来五年内，可免费上门维修5次，超过5次后每次收取费用3000元；方案二：一次性缴纳14000元，在未来五年内，可免费上门维修7次，超过7次后每次收取费用1000元.该公司搜集并整理了200台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示：以这200台打印机使用五年的维修次数的频率代替1台打印机使用五年的维修次数的概率，记X 表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列及数学期望；（2）以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由. 【答案】（1）详见解析（2）应使用方案一,详见解析【解析】（1）X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，分别求出对应概率，列出分布列并求出数学期望即可；（2）分别求出两种方案产生的修理费用的分布列，进而可求出对应的期望值，比较二者大小可得出答案. 【详解】（1）依题意，1台打印机使用五年维修1次的概率为20120010=，维修2次的概率为5012004=，维修3次的概率为8022005=，维修4次的概率为5012004=. X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，111(2)1010100P X ==⨯=，111(3)210420P X ==⨯⨯=， 11121257(4)2441051625400P X ==⨯+⨯⨯=+=，12111(5)22451044P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22114157(6)25544258200P X ==⨯+⨯⨯=+=，211(7)2545P X ==⨯⨯=，111(8)4416P X ==⨯=.故X 的分布列为故2432045751006114780825() 5.6400E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）设使用方案一，产生的费用为1Y 元，则1Y 的分布列为故()118157111000013000160001900012617.5400200516E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 设使用方案二，产生的费用为2Y 元，则2Y 的分布列为故()()21151140001500014062.51616E Y E Y =⨯+⨯=>. 故应使用方案一. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望在实际生活中的应用,考查学生的计算能力，属于基础题.20．已知抛物线：2:4y x Γ=，A ，B ，C ，D 四点都在抛物线Γ上. （1）若线段AC 的斜率为2，求线段AC 中点的纵坐标；（2）记()4,0R ，若直线AC ，BD 均过定点()2,0，且AC BD ⊥，P ，Q 分别为AC ，BD 的中点，证明：P ，Q ，R 三点共线.【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入抛物线方程并作差，结合线段AC 的斜率为2，可求出12y y +的值；（2）设出直线AC ，BD 的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到P ，Q 坐标的表达式，进而求得直线PQ 方程的表达式，结合AC BD ⊥，证明R 在直线PQ上即可. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，由A ，C 在抛物线上，得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得()()()1212124y y y y x x +-=-. 由题意知，12x x ≠，所以12121242y y x x y y -==-+，则122y y +=，则线段AC 中点的纵坐标为1.（2）因为AC BD ⊥，故直线AC ，BD 的斜率存在且不为零.设直线1:2AC x m y =+，直线2:2BD x m y =+.易知10m ≠，20m ≠，12m m ≠.由2142y x x m y ⎧=⎨=+⎩，得21480y m y --=，则1214y y m +=. 设(),P P P x y .则12122P y y y m +==，2122P x m =+，即()21122,2P m m +. 同理可得，()22222,2Q m m +. 所以()()212212212212222PQ m m k m m m m -==++-+，则直线()211121:222PQ y m x m m m -=--+. 因为AC BD ⊥，所以12111m m ⋅=-，即121m m =-. 所以直线121:(4)PQ y x m m =-+，故直线PQ 过点R ，即P ，Q ，R 三点共线.【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题.21．已知函数()(1)ln f x x x mx =++，()()e xf xg x x =. （1）若2m =-，求证：当1x >时，()2f x >-；（2）若函数()g x 在[]1,e 上单调递减，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U 【解析】（1）2m =-时，求导并判断函数()f x 的单调性，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，即当1x >时，()()12f x f >=-； （2）构造函数()()f x h x x=，求导并判断单调性可得()h x '在[]1,e 上单调递增，可求出min ()h x 与max ()h x ，然后分min ()0h x ≥、max ()0h x ≤和min max 0()()h x h x <<三种情况讨论，使得()g x 在[]1,e 上单调递减所满足的条件，可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）依题意()(1)ln 2f x x x x =+-，定义域为()0,∞+，11()ln 2ln 1x f x x x x x +'=+-=+-. 令1()ln 1m x x x =+-，则22111()x m x x x x -'=-=.所以当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>. 所以()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以()(1)0m x m ≥=，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 所以当1x >时，()()12f x f >=-. （2）设()(1)ln 1()1ln f x x x mx h x x m x x x ++⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，则2ln 1()x x h x x -+'=. 易知当[]1,e x ∈时，1ln x x +>，即()0h x '>，故()h x 在[]1,e 上单调递增. 所以min ()(1)h x h m ==，max 1()(e)1eh x h m ==++.①若(1)0h m =≥，则在[]1,e 上，()0e x h x ≥，所以11ln ()e xx m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=. 所以()2221ln 1()ex x x x mx x g x x -++-++'=. 令()22()1ln 1u x x x x mx x =-++-++.在[]1,e 上，要使()g x 单调递减，则()0g x '≤，从而()0u x ≤. 因为1()(12)ln (21)0u x x x m x x'=-+--+<，所以()u x 在[]1,e 上单调递减. 所以max ()(1)20u x u m ==-+≤，所以2m ≥.②若1(e)10e h m =++≤，即111e m ≤--<-，则在[]1,e 上，()0ex h x ≤， 所以11ln ()ex x m x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-，由①可知2()()e x u x g x x '=-. 所以当[]1,e x ∈时，()()()22222()1ln 11ln 11(1ln )0u x x x x mx x x x x x x x x x =-++-++>-+++++=++-≥，从而()0g x '<，所以()g x 在[]1,e 上单调递减.③若()()10e h h <<，则存在0(1,e)x ∈，使得()00h x =，从而()00g x =. 而(1)(1)0e h g =>，e (e)(e)0eh g =>，从而()g x 在区间[]1,e 上不单调递减. 综上所述，实数m 的取值范围为[)1,12,e ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查导数的计算，考查利用导数研究函数的性质，考查构造函数的数学思想，考查学生的推理论证能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 与C 交于A ，B 两点，已知点M 的极坐标为()2,3π.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程，并求MA MB ⋅的值；（2）若矩形DEFG 内接于曲线C 且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221124x y +=；直线的直角坐标方程为20x y -+=；4MA MB ⋅=（2）16【解析】（1）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系，转化即可求出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；求出直线l 的参数方程的标准形式，并代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程，结合12MA MB t t ⋅=可求出答案；（2）设点D在第一象限，且(),2sin D αα，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知矩形的周长为()42sin αα⋅+，利用三角函数的性质求最大值即可.【详解】 （1）依题意，得点M 的直角坐标为()2,0-，曲线C 的普通方程为221124x y +=.由直线:sin cos 22l ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭20x y -+=.所以直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221124x y +=中，可得240t -=，所以124MA MB t t ⋅==.（2）不妨设点D在第一象限，且(),2sin D αα，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由椭圆的对称性可知，矩形的周长为()1π42sin 16sin cos 16sin 23ααααα⎛⎛⎫⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 而π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当π6α=时，矩形DEFG 的周长取最大值，最大值为16. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查直线的参数方程的应用，考查三角恒大变换，考查运算求解能力，属于基础题.23．已知0a >，0b >.（1）若0c >，证明24a b c ++≥+；（2）若a b >，证明：22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由基本不等式可得：4a b +≥2a c +≥，24b c +≥，三个式子相加可得到结论；（2）经过变形，不等式左边2123()a ab =+--，故证明212()3()a b a b -+≥-即可，然后利用三个正数的基本不等式可证明结论.【详解】（1）依题意，4a b +≥，当且仅当4a b =时等号成立.2a c +≥，当且仅当2a c =时等号成立.24b c +≥，当且仅当24b c =时等号成立.三式相加可得，2282a b c ++≥+，即24a b c ++≥+，当且仅当24a b c ==时等号成立.（2）因为a b >，所以0a b ->. 而2222222163313()122232()()ab a b a b a a a a ab b a b a b +----+=+=+--+--. 要证21232()a b a b +-≥-，即证212()3()a b a b -+≥-， 即证21()()3()a b a b a b -+-+≥-，而21()()3()a b a b a b -+-+≥=-， 当且仅当21()a b a b =--，即1a b -=时等号成立， 所以22221633222ab a b a b a ab b+--+≥-+. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.。
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案
（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ， 根据三角形全等条件“ AAS ”， 可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
机密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (96)
2020高考数学模拟试题（理科）第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则A. 1B.C.D.2.已知集合，则A. B. C. D.3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝A. 9B. 10C. 3D.4.下列说法正确的是A. 若命题均为真命题，则命题为真命题B. “若，则”的否命题是“若”C. 在，“”是“”的充要条件D. 命题“”的否定为“”5.已知正项等比数列的前项和为，若，则A. B. C. D.6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是A. B. C. D.7.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 13 8.曲线的一条切线l 与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为 A.B.C.D.9.已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为A. B. C.D.10.定义在R 上的函数()2,10{ ,01x x f x x x -≤<=≤<，且()()()12,2f x f xg x x +==-，则方程()()f x g x =在区间[]5,9-上的所有实数根之和最接近下列哪个数A. 14B. 12C. 11D. 10 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A ．505B ．507．5011 D ．501912.()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=，已知当[)0,1x ∈时， ()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于1x =对称B. ()f x 有最大值1C. ()f x 在[]1,3-上有5个零点D. 当[]2,3x ∈时， ()121x f x -=-第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在中，已知，若，则周长的取值范围为__________．14.曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.16.已知且,则______。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (72)
2020高考数学模拟试题（理科）第I 卷(选择题部分，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l.己知集合A ＝{x|lnx>0}，集合B ＝{x ∈N|(x －1)(x －5)≤0}，则A ∩B ＝ A.{0，l ，2，3，4，5} B.{l ，2，3，4，5} C.{l ，2，3，4} D.{2，3，4，5}2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是A.y ＝xln|x|B.y ＝xcosxC.y ＝2x －2－x D.y ＝e x ＋e －x 3.设a ∈R ，则“y ＝sinax 周期为2π”是“a ＝1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，3,6c A π==，则B ＝A.6π B.3π C.6π或2π D.3π或23π5.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数y ＝(x －l)f'(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)6.已知函数g(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，a ＝g(log 20.2)，b ＝g(20.2)，c ＝g(0.20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 7.若实数a 满足2log 13a<，则a 的取值范围是A.(23，1) B.(0，23)∪(1，＋∞) C.(1，＋∞) D.(23，1)∪(1，＋∞) 8.函数y ＝3|x|sin2x 的图像可能是9.若130,0,cos(),sin()2243422ππππβαβα<<-<<+=-=，则sin()2βα+= A.539-B.33C.539D.33- 10.设x ∈R ，函数f(x)单调递增，且对任意实数x ，有f[f(x)－e 2x ]＝e 2＋1(其中e 为自然对数的底数)，则f(ln2)＝A.e 2＋1B.3C.e 4＋1D.5 11.将函数y ＝cos2x 的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到y ＝f(x)的图象。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (80)
2020高考数学模拟考试（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知复数z满足为虚数单位，则复数A. B. C. D.2.已知全集，，，则A. B. C. D.3.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.4.已知抛物线的准线与圆C：相切，则A. 2B. 4C. 8D. 165.九章算术衰分中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是A. 甲付的税钱最多B. 乙、丙两人付的税钱超过甲C. 乙应出的税钱约为32D. 丙付的税钱最少6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为A.B.C.D.7.如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，则A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为A.B.C.D. 29.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为4，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是A. B. C. D.10.已知函数为定义在一，，上的奇函数，当时，若函数存在四个不同的零点，则m的取值范围为A. B. C. D.11.已知正六棱锥的所有顶点在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥的体积最大值为A.B.C.D.12.已知，将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为函数的周期为；函数的值域为；函数的图象关于对称；函数的图象关于对称．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题）13.已知等差数列中，，，则______．14.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.现有排成一排的5个不同的盒子，将红、黄、蓝色的3个小球全部放人这5个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有______种．结果用数字表示16.已知点P为双曲线右支上一点，双曲线C的左，右焦点分别为，，且的角平分线与x轴的交点为Q，满足，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，若求tan B的值；若，，求b的值．18.已知数列的前n项和为，满足求证：数列为等比数列；19.如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是正三角形，，求证：平面BCF；求直线与平面BCF所成角的正弦值．20.近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多．陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病．为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查，得到了如下的列联表，若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男25女20合计100能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关？说明你的理由；已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中，有2名又患黄痘病．现在从患伤风感冒疾病的20名女性中，选出2名进行其他方面的排查，记选出患黄痘病的女性人数为X，求X的分布列以及数学期望．下面的临界值表供参考：21.已知椭圆上的一点到其左顶点A的距离为．求椭圆C的方程；若直线l与椭圆C交于M，N两点N与点A不重合，若以MN为直径的圆经过点A，试证明：直线l过定点．22.已知函数讨论函数的单调性；设，当函数与的图象有三个不同的交点时，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，．则复数．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又，所以：，故选：A．先利用补集的定义求出，再利用集合并集的运算即可求出．本题主要考查集合的基本运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由，得，故切线的斜率为．又，曲线在点处的切线方程为，即．故选：C．求出原函数的导函数，求得函数在处的导数，再求得的值，利用直线方程点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．4.【答案】C【解析】解：抛物线的准线为由题意与圆C：相切．所以解得．故选：C．求出抛物线的准线方程，通过准线与圆相切，列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质与准线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，按比例，甲钱最多，付的税钱最多；丙钱最少，付的税钱最少；可知A，D正确．乙、丙两人共持钱，故乙、丙两人付的税钱不超过甲，可知B错误．乙应出的税钱为可知C正确．故选：B．本题根据题意对甲、乙、丙三个人根据自己所有的钱数按比例进行交税，根据比例的性质特点即可得到正确选项．本题主要考查应用题的理解能力，以及按比例分配的知识．本题属基础题．【解析】解：由题意．该几何体的直观图是一个四棱锥．如图所示．其中为最长棱．由勾股定理得．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体中的勾股定理的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：如图，在平行四边形ABCD中，为EF的中点，，故选：A．利用向量的运算，与向量的几何运算，求出即可．考查向量的运算，向量与平面几何的结合，中档题．8.【答案】D【解析】解：当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；a的值是以4为周期的循环，由，故当时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，本题属于基础题．9.【答案】B【解析】解：上方阴影部分的面积等于的面积，下方阴影部分面积等于，所以根据几何概型，得所求概率，故选：B．求出阴影部分的面积，利用几何概型公式求出即可．考查几何概型求概率的方法，中档题．【解析】解：A当时，，故在上单调递增，因为故在上单调递战，在上单调递增．如图为大致图象．由存在四个不同的零点知与的图象有四个不同交点，故，故选：A．由函数为奇函数，画出的图象，由奇函数的性质画出的图象，四个零点既是两个函数有四个交点的情况，根据单调性求出m的范围．考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：过P作平面ABCDEF，取O为球心，设，，在中，，，正六棱锥的体积：．当且仅当时，取等号．故选：B．过P作平面ABCDEF，取O为球心，设，，推导出，正六棱锥的体积由此能求出该正六棱锥的体积最大值．本题考查正六棱锥的体积最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为，且，故函数的周期为因此正确；因为故因此错误；令得故正确：因为故图象不是中心对称图形，故错误．综上，正确的个数为2．故选：B．可化为2cos2x，进而可得到的周期，自变量范围，对称轴及对称中心．本题考查命题真假性的判断，涉及三角函数的和差关系，周期性，对称轴等性质，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：设等差数列的公差为d．则解得．所以．故答案为：6结合等差数列的通项公式可求公差d，进而可求．本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．14.【答案】1【解析】解：作出不等式组，表示的可行域如图所示，值，且，故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】24【解析】解：根据题意，分2步进行分析：，要求有两个空盒相邻，其排法有4种，，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球有种排法．则恰有两个空盒相邻的不同放法共有种；故答案为：24．根据题意，分2步进行分析：，分析有两个空盒相邻的情况，，每种相邻情况下，排红、黄、蓝颜色的3个小球的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，得，故，又，故，再根据双曲线定义知，即，，在中，由余弦定理知，故，即．故答案为：．利用向量关系，结合双曲线C的左，右焦点分别为，，，推出三角形的面积关系，通过余弦定理转化求解即可．本题考查双曲线的方程和性质，三角形的解法，余弦定理的应用，向量关系的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．17.【答案】解：由題意得：即：，整理可得：，又．所以，所以：．由，得，又，，则，解得．将，，，代入中，得：，解得：．【解析】由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tan B的值．由同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形的面积公式可求c的值，即可求解b的值．18.【答案】解：当时，解得，由，得得．即故为等比数列，公比为，首项．由知故，故．故，，得所以．【解析】当时，解得，通过，，推出为等比数列；由求出，故利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查了数列的递推关系式与前n项和的求法，错位相减法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：证明：在线段BC上取一点使连结．在中．因为所以所以所以，且因为．所以所以且故四边形为平行四边形，所以又平面BCF，平面BCF．所以平面BCF．以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是正三角形，所以点则设平面BCF的法向量为y，．由令得平面BCF的一个法向量为．又设直线与平面BCF所成角的大小为．则所以直线与平面BCF所成角的正弦值为．【解析】在线段BC上取一点使连结证明，推出，得到四边形为平行四边形，推出，然后证明平面BCF．以B为坐标原点，Bx，BC，BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，求出，直线与平面BCF所成角的大小为利用斜率的数量积求解即可．能力以及转化思想的应用，是中档题．计算的观测值为所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．根据题意，X的值可能为0，1，2．则，，X故的数学期望：．【解析】由题设条件能补充完整列联表．求出，从而不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美．根据题意，X的值可能为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：易知左顶点A的坐标为．由已知可得，解得，所以椭圆C的方程为；证明：若以MN为直径的圆经过点A．则，即，故A．当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，由题意得为等腹直角三角形，设直线MN与椭圆在x轴上方的交点为M，则M的坐标为所以有，解得舍去或，所以此时直线MN的方程为，当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为．，联立：消去y得：，则，，由题意，则，则，所以，化简得，所以，解得或，当时，满足此时直线方程为过定点：当时，满足此时直线方程为过定点，不合题意．综上．直线l经过定点．【解析】由椭圆过的点及它到左顶点的距离求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；以MN为直径的圆经过点A，既是，即，分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，求出参数之间的关系，即求出过的定点，证明完成．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．当时，令0'/>，得；令，得．故函数在上单调递增，在上单调递减．由，得得设，则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点．当即时，，单调递减，不可能有三个不同的零点，当即，有两个零点，，又开口向下，当时，，，函数在上单调递诫：当时．，0.'/>函数在上单调递增：当时．，，函数在上单调递减．因为，又，有所以令则．令则单调递增．由，求得当时，单调递减，，显然在上单调递增，故由零点存在性定理知在区间上有一个根．设为又得所以所以是的另一个零点．故当时，存在三个不同的零点，故实数a的取值范围是．【解析】求导，分a的正负讨论函数的单调性；令函数，由题意知，由3个零点时的a的取值范围．用求导的方法，求出函数的单调性，求出函数与x轴由3个交点的a的范围．考查函数的零点与方程根的相互转换，属于难题．。
2020年高考数学(理)必刷试卷2(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）02数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】 因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =U A ．(0,)+∞ B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】 【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <， 因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b aab+<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->， 所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x x e f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】 试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r ，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a =，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．2B C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解． 【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角， 连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则,3DE EC a ==，所以sin DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】 设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--， 则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (6)
2020高考数学模拟试题（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分,共40分.）1.若2')1(2)(x xf x f +=，则(0)f '等于（ ）A. 2B.0C.-4D.-22.若,a b R ∈，则复数22(610)(45)a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.设某中学的女生体重y （单位:kg ）与身高x （单位cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,...)i i x y i n =用最小二乘法建立回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（）A. 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本的中心(,)x yC.若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某女生身高增加160cm ，则可断定其体重必为50.29 kg4.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x = 5.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设A 表示事件“4个人去的景点不相同”，B 表示事件“小赵独自去一个景点”，则(/)P A B （） A.29 B. 13 C. 49 D. 596.设P 是60°的二面角α—l —β内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 分别为垂足，PA ＝4，PB ＝2，则AB 的长是( )A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 2 7.数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。
现从中任意选取6人分成两组分配到A,B 两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（） A. 220 B.440 C. 255 D.5108.函数x x x x f cos sin )(+=的导函数原点处的部分图象大致为 ( )9.若X 是离散型随机变量，12()3P X x ==，21()3P X x ==，又已知4()3E X =，2()9D X =，则12x x -的值为（ ） A ．53 B ．23C ．3D ．110.已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是（） A. (]0,1B. (],1-∞C.(],e -∞ D.[),e +∞二．多项选择题（本小题共3小题，满分12分）11.已知函数()f x 与()fx '的图象如图所示，则函数()xf x y e=（ ） A ．在区间(1,2)-上是减函数 B ．在区间31(,)22-上是减函数C. 在区间1(,3)2上是增函数 D ．在区间(1,1)-上是减函数12. 对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（ ）A.2()f x x = B.32()22f x x x x =++ C.()ln f x x x =+ D.()x x f x e=13.如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) A.存在某个位置，使得CN ⊥AB 1；B.翻折过程中，CN 的长是定值； C.若AB=BM ，则AM ⊥B 1D ；D.若AB=BM=1，当三棱锥B 1-AMD 的体积最大时，三棱锥B 1-AMD 的外接球的表面积是4π.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14. 己知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x << .15.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则=m . 1237a a a a ++++L = .16.点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD - 的底面ABCD 上一点，则 →→⋅1PC PA 的取值范围是 .17.设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()2f x xf x x '+>，则不等式()()()220182018420x f x f --->的解集为 .三、解答题 （共82分)18.（本题 12 分）已知复数Z 满足23Z i Z i -=++（其中i 为虚数单位） (1)求Z ； (2)若2a iZ+为纯虚数，求实数a 的值。
2020年高考数学(理)必刷试卷(新课标卷)06(原卷版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）06数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则AB =（ ） A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3 2．设1i 2i 1i z -=++，则||z = A ．0 B ．12 C ．1 D ．23．若向量(4,2)a =，(6,)b k =，若//a b ，则(k = )A ．12-B ．12C ．3-D ．34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60 5．在3n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（ ） A ．15 B ．45 C ．135 D ．4056．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0M N N F ⋅=，则椭圆的离心率为（ ）A ．32B ．212-C ．312-D ．512- 7．在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ）A ．14B ．34C ．13D ．238．函数21211()tan log tan log 4242f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为()A ．4B ．5C ．7D ．1110．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为（ ）A ．14B ．38C ．12D ．5811．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (8)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.设集合A={x|x2+2x-3=0}，B={-3，-1，1，3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. i D. 2i3.“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件4.已知tanα=，且α∈（π，），则cos（α-）=（）A. B. C. D.5.已知非零向量，满足|+|=||，且（-）•=0，则，的夹角为（）A. B. C. D.6.将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=（）A. B. C. D.7.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，b1+b6+b11=7π，则的值是（）A. 1B.C.D.8.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x=2，类比上述结论可得log2[2+log2（2+log2（2+…））]的正值为（）A. 1B.C. 2D. 49.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（）A. B. C. D.10.函数的大致图象是( )A. B.C. D.11.△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e x-ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a＜e；②x1+x2＜2；③x1•x2＞1；④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0．则正确判断的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（x，x-2），=（3，4），若，则向量的模为______．14.已知α，β均为锐角且tanα=7，，则α+β=______．15.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______．16.已知函数，g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S5=25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求∠B的值；（2）若a=4，，求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SB=SD．（1）证明：BD⊥SA；（2）若面SBD⊥面ABCD，SB⊥SD，∠BAD=60°，AB=1，求B到平面SAD的距离．20.已知函数f（x）=ax-sin x-1，x∈[0，π]．（1）若，求f（x）的最大值；（2）当时，求证：f（x）+cos x≤0．21.已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．（1）求的值；（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|的最小值．22.在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）．（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积．23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={-3，1}，B={-3，-1，1，3}，∴A∩B={-3，1}．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：===i，故选：C．将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简．本题考查两个复数相除的方法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.【答案】A【解析】解：由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得-1＜x＜1，则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】解：因为t a na==，所以cos a=2sin a，所以cos2a=4sin2a，因为sin2a+cos2a=1，所以sin2a=，因为α∈（π，），所以sin a＜0sin a=-．故选：A．利用同角三角函数关系解答．本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由|+|=||，得，由（-）•=0，得，两式联立得，所以===，又∈[0°，180°]，所以=60°，故选：C．把|+|=||平方展开，又（-）•=0，联立解出，再利用向量的夹角公式，求出角．考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，联立解方程组，中档题．【解析】解：将函数f（x）=cos（3x+）图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数g（x）=cos[3（x-）+]=cos（3x-）的图象，则=cos（3×-）=cos=-．故选：D．利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．本题主要考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的中项性质和特殊角的正切函数值，考查运算能力，属于基础题．由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得所求值．【解答】解：数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，b1+b6+b11=7π，可得（a6)3=3，3b6=7π，即有a6=，b6=π，则=tan=tan=tan=，故选D．8.【答案】C【解析】解：由题意可得x=log2（2+x），x＞0，∴2x=x+2，解得x=2．故选：C．通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解即可．类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理．通过类比推理考核研究问题的深度、思维发散情况和观察的仔细程度．属于中档题．9.【答案】C【解析】解：依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，则事件A包含的基本事件个数为=3种，而基本事件的总数为=10，所以P（A）=，故选：C．根据计数原理以及排列组合求出“恰好选中2名女生”包含的基本事件个数和基本事件的总数，即可得到所求．本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理和排列组合．考查分析解决问题的能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．解：由于f(x)=x+cos x，∴f(-x)=-x+cos x，∴f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cos x=x，即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．11.【答案】D【解析】解：△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，∴A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC-BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则==±=±．故选：D．根据题意，求出△ABC的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题．利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于①，∵f（x）=e x-ax，∴f'（x）=e x-a，令f'（x）=e x-a＞0，当a≤0时，f'（x）=e x-a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．当a＞0时，∵f'（x）=e x-a＞0，∴e x-a＞0，解得x＞ln a，∴f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x-ax有两个零点x1、x2，∴a＞0，f（ln a）＜0，∴e ln a-a lna＜0，∴a＞e，所以①正确；对于②，x1+x2=ln（a2x1x2）=2ln a+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②正确；对于③，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴所以③不正确；对于④，f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=ln a，且x1+x2＜2x0=2ln a，所以④正确．综上，正确的命题序号是①②④．故选B．13.【答案】10【解析】解：∵∥，∴4x-3（x-2）=0，解得x=-6，∴=（-6，-8），∴||==10故答案为：10根据向量平行的坐标表示得到x=-6，然后根据向量模的定义求出向量的模，本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题．【解析】解：∵tanα=7，，∴tan（α+β）===-1．又0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，则α+β=．故答案为：．由已知结合两角和的正切求得tan（α+β），再由角的范围求解α+β的值．本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，是基础题．15.【答案】-3【解析】解：D为△ABC所在平面内一点，=-+，则：，整理得：，则：，解得：，若=λ，则：λ=-3；故答案为：-3．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．16.【答案】[-，3e]【解析】解：g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx，∴直线y=1-mx与y=2ln x在[，e2]上有交点．作出y=1-mx与y=2ln x的函数图象，如图所示：若直线y=1-mx经过点（，-2），则m=3e，若直线y=1-mx与y=2ln x相切，设切点为（x，y）．则，解得．∴-≤m≤3e．故答案为：[-，3e]．求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m 的范围．本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．17.【答案】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S5=25．则：，解得，所以a n=1+2（n-1）=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以b n===．则==．【解析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，∵，∴sin B cos C+cos B sin C-sin C=sin B cos C，∴；∵sin C≠0，∴，∵B∈（0，π），∴.（1）法二：由余弦定理得化简得，∴.∵B∈（0，π），∴.（2）由，得sin C==,在△ABC中，∵，由正弦定理，得，.【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．（2）求出sin C的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．19.【答案】（本小题满分12分）证明：（1）连接AC交BD于O，连接SO．…………（1分）在菱形ABCD中，BD⊥AC，O是BD的中点，又因为SB=SD，所以BD⊥SO，又AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC…………（4分）又SA⊂面SAC，所以BD⊥SA．…………（5分）解：（2）因为面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，SO⊥BD，SO⊂面SBD，所以SO⊥面ABCD，即SO是三棱锥S-ABD的高．…………（7分）依题意可得，△ABD是等边三角形，所以BD=AD=1，，在等腰Rt△SBD，，…………（9分）经计算得，SA=1，等腰三角形ASD的面积为…………（10分）设B到平面SAD的距离为h，则由V B-SAD=V S-ABD，得，解得，所以B到平面SAD的距离为．…………（12分）【解析】（1）连接AC交BD于O，连接SO，推导出BD⊥SO，BD⊥面SAC，由此能证明BD⊥SA．（2）推导出SO是三棱锥S-ABD的高，设B到平面SAD的距离为h，由V B-SAD=V S-ABD，由此能求出B到平面SAD的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】（1）解：当时，，由f′（x）=0，得，∴时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0，因此f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，∴f（x）的最大值为=；（2）证明：先证，令，则=，由，x∈[0，π]与的图象易知，存在x0∈[0，π]，使得g'（x0）=0，故x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，π）时，g'（x）＞0，∴g（x）的单调递减区间为（0，x0），单调递增区间为（x0，π），∴g（x）的最大值为max{g（0），g（π）}，而g（0）=0，g（π）=0．又由，x≥0，∴，当且仅当，取“=”成立，即f（x）+cos x≤0．【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒等式的证明，考查数学转化思想方法，属难题．（1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号确定函数单调性，求得函数极值点，进一步求得函数最值；（2）利用导数证明，再由且x≥0时，，可得当时，f（x）+cos x≤0．21.【答案】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1+x2=2k，x1x2=-1，又因为，，因此k PA•k PB=x1x2=-1，即PA⊥PB，所以．（2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，得到交点．由点P在圆x2+y2=8内得，又因为，，其中d为O到直线AB的距离．所以．又AB的方程为，所以d=，令，由得m＜33．又由，所以m∈[2，33），从而．所以，当m=2时，．【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1x2=-1，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解．（2）由（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，得到交点．判断点P在圆内，求出弦长AB，求出O到直线AB的距离的表达式d=，利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：（1）设P（ρ，θ）为圆上任意一点，则|OP|=ρ，∠POB=θ-，在Rt△POB中，cos（θ-）=，即，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ⋅，化为x2+y2=2x+2y，∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（2）由直线l的参数方程消去参数t化为普通方程y=2x+1，圆心C（1，1）到直线l的距离为d==，弦长|MN|=2=，∴S==．【解析】（1）设出点P的坐标，利用Rt△OPB中的边角关系即可求出；（2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积．熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键．23.【答案】解：（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，由f（x）＞1，得或或，解得：＜x≤2或2＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），f（x）＜2x+1恒成立，即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，整理得：（2-x）m＞-x，当x=2时，0＞-2成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，∵-1≤x＜2，∴0＜2-x≤3，∴≥，∴1-≤，故g（x）max=，故m＞．【解析】（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (93)
2020高考数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg 0},{|4}M x x N x x =>=≤，则M N =I （ ） A ．(2,0)-B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(0,2]2．设复数z 满足(1i)1i z +=-（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．已知命题:p 若||a b >，则22a b >；命题:q m 、n 是直线，α为平面，若m //α,n α⊂，则m //n .下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3132B ．312C ．132D ．31165．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是（ ） A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立投资额y 与时间t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.≠6．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平行移动π6个单位长度 B ．向右平行移动π6个单位长度C ．向左平行移动π12个单位长度 D ．向右平行移动π12个单位长度 7．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为（ ）8．若2.0log 5.0=a ，2log 5=b ，2.05.0=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>9．若点(2,2)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．10-B 23C ．3-D ．92-10．已知在区间[0,]π上，函数3sin 2xy =与函数1sin y x =+P ，设点P 在x 轴上的射影为'P ，'P 的横坐标为0x ，则0tan x 的值为（ ） A ．12B ．43C ．45D ．81511．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．2C ．33D ．212．已知函数()()()12x f x m x x e e =----(e 为自然对数底数)，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e -B ．22e e -C ．32e e +D ．22e e +第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知,a b rr 为互相垂直的单位向量，若c a b =-r r r ，则cos ,b c =r r ．14．已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是． 15．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为．16．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =，将ADC △沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D ABC -，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．①三棱锥D ABC -的体积的最大值为13；②三棱锥D ABC -的外接球体积不变；③三棱锥D ABC -的体积最大值时，二面角D AC B --的大小是60︒； ④异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90︒．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c C a b 21cos +=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3=•，求a 的最小值． 18．（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版)
2020高考模拟考试数学（理）试题、单选题1,设集合A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3，则AI B （）A. {-1,0,1,2} B, 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或x 3【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.【详解】因为A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以AI B {0,1,2}.故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若向量a 4,2 , b 6,k ,则a//b的充要条件是（）A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到.【详解】因为向量a 4,2 , b 6,k ,所以a//b 4k 2 6 0 k 3.故选:D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，充要条件，属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n （）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽样比，再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.【详解】依题意可得抽样比为-------- --- ,30 6 36所以有6 — 1,解得n 6.36故选：B【点睛】本题考查了分层抽样，利用抽样比解决是解题关键，属于基础题.4.己知直线a , b , l ,平面，，下列结论中正确的是（）A.若a,b ,l a,l b,则lB.若a ,b//a,则b//C.若，a ，则aD.若// ,l ，则l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直，直线与平面平行，平面与平面平行和垂直的的判定，性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理，还差直线a与直线b相交这个条件，故A不正确；对于B，直线b也有可能在平面内，故B不正确；对于C ,直线a可能在平面内，可能与平面平行，可能与平面相交但不垂直；故C不正确；对于D在平面内取两条相交直线m,n ,则l m,l n ,过m, n分别作平面与平面相交于m',n',则m'//m,n'//n，且m',n'必相交，所以l m',l n',所以l ，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了直线与平面平行，垂直，平面与平面平行，垂直的判定，性质，熟练掌握线面，面面平行与垂直的判定与性质是解题关键，属于基础题.5.若a 0.30.2, b log 0.1 2 , c 0.3 0.1,则a , b, c的大小关系为（）A. cabB. bacC. acbD. bca【答案】A【解析】根据对数的性质可得b 0,根据指数函数y 0.3x的单调性可得c a 0,由此可得答案.【详解】因为0 0.1 1,2>1,所以b log o.i2 0 ,因为0 0.3 1,所以指数函数y 0.3x为递减函数又-0.1<0.2，所以0.3 0.10.30.20,即c a 0,综上所述，c a b.故选:A【点睛】本题考查了利用对数的性质指数函数的单调性比较大小属于基础题61 ... ......... .6.二项式x 1的展开式中，常数项是( )xA. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后，令x=0，解得r 3,再根据通项公式可求得常数项. 【详解】6因为二项式X - 的展开式的通项公式为T r1 C6x6 r (1)r C6x6 2r x x(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3,1 6......... o 6 5 4所以二项式x - 的展开式中的常数项为C；-------------------- 20.x 3 2 1故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项，利用通项公式是解题关键，属于基础题.7 .已知直线y x 3与圆x2y22x 2y 0相交于A, B两点，则AB ()A . B. 33 C. 6B D . 2【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离根据勾股定理可求得答案.【详解】由x 2 y 2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圆心为（1,1）,半径为J2, 由 y x3 得 x y 3 0,由圆心到直线的距离公式得|11 3|二.1 12 '由勾股定理可得 §（2）2（22）2 /，所以| AB | 6 .故选:C. 【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径 ，点到直线的距离公式，圆中的勾股定理 利用圆中的勾股定理是解题关键.8 .斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实 物图，图三是斗拱构件之一的 斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体） 组成.若棱台两底面面积分别是 400cm2, 900cm 2,高为9cm, 长方体形凹槽的体积为 4300cm 3,斗的密度是0.70g/cm 3 .那么这个斗的质量是 （） 注：台体体积公式是 V 1 S SS S h .3S-图二图三A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积，再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积，然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量 【详解】1C-(400400 900 900) 9 5700 cm 33所以这个斗的质量为 5700 4300 10000 cm 3, 所以这个斗的质量为10000 0.70 7000 g . 故选:C.本题考查了棱台的体积公式，属于基础题x 0,9,若实数x, y 满足y 1, ，则2x y 的最大值为（）x 5y 1 0.【解析】作出可行域，根据斜率关系找到最优解，代入最优解的坐标可得答案 【详解】所以 M(4, 1),故选:D根据棱台的体积公式可得棱台的体积为A . 2B. 0C. 7D. 9将目标函数化为斜截式为y 2x z ,由图可知最优解为M ，联立 x 5y 1 y 1，得 x 4, y 1 ,将 x 4, y1代入z 2x y ,得4所2 4 ( 1) 9.作出可行域如图所示1 210 .已知函数f x —ax 2ax In x 在区间0,上为增函数，则实数 a 的取值2范围是（ ）A. 0,1B.0,C.1,D. 1,1【答案】B1【解析】将问题转化为f'（x ） 0,即a ----------- ------ 在区间（0,）上恒成立，再根据x 2 2x二 ---- 0可得答案.x 2 2x【详解】1 2 _ 因为 f x ax 2ax In x , 2“一 1 所以 f '(x) ax 2a —, x1 2因为函数f x -ax 2ax In x 在区间 0, 上为增函数 2所以a 0. 故选:B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性 ，考查了不等式恒成立问题，考查了转化划归思想属于中档题211 .已知A 是双曲线D ： x 2— 1右支上一点，B 、C 分别是双曲线 D 的左、右焦 35 ...... 一 一 sin 2B点。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (81)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x∈N｜｜x≤2}，B＝{y｜y＝1－x2}，则A∩B的子集个数为A．2 B．4 C．8 D．162．复数z＝1ii＋在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．定义在R上的函数f（x）＝1()3x m－2为偶函数，a＝f（21log2），b＝f（131()2），c＝f（m），则A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ．185C ．10D ．3256．已知向量a 与b 夹角为3，且｜a ｜＝1，｜2a －b b ｜＝A BC ．1D ．27．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入 的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A ．5B ．4C ．3D ．28．函数f （x ）＝2121x x ＋－·cosx 的图象大致是9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．60B ．90C ．120D ．15010．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若PF uu u r ＝3MF uuu r，则｜MN ｜＝A ．163 B ．83C ．2 D11．已知三棱锥P —ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，球O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A．7 B．5 C．2 D．1012．f （x ）＝221(1)1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，＜1，log －，＞，g （x ）＝54x 3－154x 2＋m ＋2，若y ＝f （g （x ））－m 有9个零点，则m 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，53） D ．（53，3） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线y ＝x x e －2x 2＋1在点（0，1）处的切线方程为________．14．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则105S S ＝_______． 15．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若OM uuu r ＝32ON uuu r（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．16．已知数列{n a }满足：对任意n ∈N *均有1n a ＋＝p n a ＋2p －2（p 为常数，p ≠0且p ≠1），若a 2，a 3，a 4，a 5∈{－18，－6，－2，6，11，30}，则a 1的所有可能取值的集合是_________． 三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知△ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设2R （sin 2A－sin 2B ）＝（a －c ）sinC ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b ＝12，c ＝8，求sinA 的值． 18．（12分）已知三棱锥M —ABC 中，MA ＝MB ＝MC ＝AC ＝，AB ＝BC ＝2，O 为AC 的中点，点N 在棱BC 上，且BN uuu r ＝23BC uu u r．（Ⅰ）证明：BO ⊥平面AMC ；（Ⅱ）求二面角N —AM —C 的正弦值． 19．（12分）已知椭圆E：22221y xa b＋＝（a＞b＞0）的离心率为2，且过点C（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点（－13，0）的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有｜AB｜＝2｜CM｜．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优”．（Ⅰ）若p，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；（Ⅱ）（ⅰ）若p＝3，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”?（ⅱ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x－lnx－xex．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）＋（x＋1x）x e－bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P（1，32），其参数方程为cosx ayαα⎧⎪⎨⎪⎩＝，，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：21OA＋21OB为定值，并求出这个定值．23．[选修4—5不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x －1｜－｜2x ＋1｜＋m ． （Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．数学（理科） 参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA 二、填空题13. 10;x y -+= 14.4; 15.;53016.{}.66,2,0-- 三、解答题17.解析：（I ）222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-=……3分∴2221cos .22a cb B ac +-== 因为0,B π<<所以3B π∠=……6分（II ）若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C=,sin C =,NOACM由b c >，故C ∠为锐角，6cos .3C =……9分 3613323sin sin()sin().32A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18. 解析：（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分 由23BN BC =u u u r u u u r 所以，22(,33N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则252252(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r u u u u r r 令3y =(53,3,1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以2,0,0)OB =u u u r为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =--u r 与(2,0,0)OB =u u u r 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB <>==u r u u u u r ． 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1()797979m OB -<>=-==u r u u u u r.……12分19．（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分又因为222a b c =+解得，a =分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u r u u u r .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20. 解析：（I）该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 （II ）（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯== 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 （ii ）方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21解析：（I ）()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分（II ）1()()e 1xf x x bx x++-≥ e e ln e 1x x xx x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0xh x x e x =+=001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001lnln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：（I ）将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分 （Ⅱ）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分 2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分 23. 解：（I ）由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分（Ⅱ）设g （x ）＝|x －1|－|2x ＋1|， ……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥， 所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。
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2020高考数学模拟试题
（理科）
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1、设集合}03|{2<-=x x x A ，}41|{<<=x x B ，则=B A I
.A )4,0( .B ），（41 .C ）
，（43 .D )3,1( 2、若复数z 满足i i
i z 311--+=（其中i 为虚数单位），则=z .A 2 .B 3 .C
10 .D 4 3、已知n m ,是两条不同的直线，γβα，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 .A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若γβγα⊥⊥,，则βα//
.C 若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα//
.D 若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥
4、设6.02=a ，6.0log 3.0=b ，6.0log 3=c ，则有
.A a b c << .B c b a << .C a c b << .D b a c << 5、已知向量b a ρρ，满足3,2==b a ρρ，且a ρ与b ρ的夹角为3
π，则=-+)2)(2(b a b a ρρρρ .A 3- .B 1- .C 1 .D 3
6、已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，B 为虚轴的一个端点，且︒=∠12021BF F ，则双曲线的离心率为
.A 2 .B 3 .C 2
3 .D 26 7、执行如右图所示的程序框图，则输出的=n
.A 3 .B 4 .C 5 .D 6
8、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为 .A 51 .B 52 .C 53 .D 5
4 9、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列，若11=a ，则=5S .A 1
5 .B 1
6 .C 31 .D 32
10、将奇函数)2cos(2sin 3)(ϕϕ+-+=x x x f ）（（πϕ<<0）的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数)(x g y =的图象，则下列关于)(x g 的一个单调递减区间是
.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππ .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛127,12ππ .D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1211,125ππ 11、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛>
2)66,(00p x x M 是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =
交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若7
5sin =∠MFA ，则抛物线C 的方程为 .A x y 42
= .B x y 82= .C x y 122= .D x y 162=
12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x f 00<≥x x ，，，若对任意]32,2[+∈m m x ，都有)(3)(x f m x f ≥+，则实数m 的取值范围是
.A ),4[+∞ .B ),32[+∞ .C ),3[+∞ .D ),22[+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分
13、若实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为_______
14、已知543cos
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πα，α为锐角，则=αsin _______ 15、已知数列}{n a 满足：⎩⎨⎧+=+221n n n a a a 1
1a a a a n n <≥，，（*N n ∈），若33=a ，则=1a ____ 16.如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3,AD =4,AA 1=5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题：
①四棱锥B 1-BED 1F 的体积为20；
②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值742；
③当E 点不与C ，C 1重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得CG//平面BED 1
④存在唯一一点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1，且5
61=CE 其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤
17、△ABC 的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且b a A b C c B A ++=
+sin 3sin sin sin （Ⅰ）求∠C 的值
（Ⅱ）若2=
c ，求△ABC 面积的最大值；
18、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠BAD=90°，AD=2BC ，M 为PD 的中点
（Ⅰ）证明：CM//平面PAB
（Ⅱ）若△PBD 是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值
19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据
（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；
（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y
与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b y
ˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量
附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：
∑∑==--
=n i i
n i i i x n x
y
x n y x b 1221
ˆ，x b y a ˆˆ-=
20、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 过点()
22，，左焦点F )0,2(- （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4-=x 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由
21、已知函数)(ln 12)(2R a x a x
x x f ∈--= （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若方程x x f 2)(=有两个不相等的实数根，求证：2)(2+<
e a a f
选考题：共10分，二选一
22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：0422=-+x y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos t y t x
（t 为参数），其中⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈6,
0πα，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设)0,4(M ，2C 的极坐标方程θρsin 34=，A ，B 分别为直线l 与曲线21,C C 异于原点的公共点，当︒=∠30AMB 时，求直线l 的斜率；
23、函数322)(++-=x x x f
（Ⅰ）求不等式52)(+≥x x f 的解集；
（Ⅱ）若)(x f 的最小值为k ，且实数c b a ,,满足k c b a =+)(，求证：822
22≥++c b a。