最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-3

同济大学第六版高等数学上下册课后习题

答案5-3

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习题5-3

1. 计算下列定积分: (1)⎰+π

ππ

2

)3

sin(dx x ;

解 02

1

2132cos 34cos

)

3

cos()3sin(2

=-=+-=+-=+⎰πππ

πππ

π

πx dx x . (2)⎰-+1

23

)

511(x dx ;

解 512

51

110116101)

511(2

151)511(2212

21

2

3=

⋅+⋅-

=+-⋅=+-----⎰x x dx

. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;

解 ⎰⎰-=20

320

3sin cos cos sin π

πϕϕϕϕϕd s d

4

10cos 412cos 41cos 4144204

=+-=-=πϕπ

.

(4)⎰-π

θθ03)sin 1(d ;

解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-π

ππππθθθθθθθθ020

02003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d

3

4)cos 3

1(cos 0

3-=-+=πθθππ

.

(5)⎰26

2cos π

πudu ;

解 222626

2

2sin 4

1

21

)2cos 1(21cos ππ

ππ

πππ

πu u

du u udu +=+=⎰⎰

8

36

)3

sin (sin 4

1)6

2(21-

=-+-=π

ππππ. (6)dx x ⎰-2

022;

解 dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-20202

2

)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ

令

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2

)

2sin 2

1

(20

π

π

=

+=t t .

(7)dy y ⎰--22

228; 解 ⎰⎰⎰--

-

⋅=-=-44

22

2

22

2

cos 2cos 22sin 24228π

πxdx x x

y dy

y dy y 令

)2(2)

2sin 2

1

(22)2cos 1(22444

+=+=+=--⎰

ππ

ππ

πy x dx x .

(8)⎰

-12

1221dx x x ;

解 4

1)

cot ()1sin 1(cos sin cos sin 1224

224212

12

2π

ππ

ππππ-

=--=-=⋅=-⎰⎰⎰

t t dt t tdt t t t x dx x

x 令.

(9)⎰-a

dx x a x 0222; 解 ⎰⎰⎰=⋅⋅=-202

4202202

2

2

2sin

4

cos cos sin sin π

πtdt a tdt a t a t a t a x dx x a x

a

令

16

4sin 32

8)4cos 1(8

420

4

20

4

204

π

π

π

πa t a t

a

dt t a =-=-=

⎰. (10)⎰+3

1

2

2

1x x

dx ;

解 ⎰⎰⋅⋅=+34

2

23

1

2

2

sec

sec tan 1

tan 1π

πtdt t t t

x x

x

dx

令

3

3

22sin 1

sin cos 33

42-

=-

==⎰πππ

πt dt t

t

. (11)⎰--1

145x

xdx ;

解 6

1

)315(81)5(8145451

31332

1

1=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x

xdx 令. (12) ⎰+41

1x

dx ;

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解 )3

2

ln 1(2|)1|ln (2)11

1(2211121

212

14

1

+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x

dx 令.

(13)⎰--1

4

3

11x dx ;

解 2ln 21|)1|ln (2)11

1(2)2(1

111

1210210021

14

3-=-+=-+=-⋅-=---⎰

⎰

⎰

u u du u du u u u

x x dx 令.

(14)⎰-a

x a xdx 202

2

3;

解 )13(3)3(3121320

20

2

2222

220

22

-=--=---

=-⎰⎰a x a x a d x a x

a xdx a a a

.

(15)dt te t ⎰-

1

02

2;

解 2

1

10

102

2

2

1

02

1)2

(2

22---

-

-=-=--=⎰⎰e e t d e

dt te t t t .

(16)⎰+21

ln 1e x x dx

;

解 )13(2ln 12ln ln 11

ln 12221

11-=+=+=+⎰⎰e e e x

x d x x x dx .

(17)⎰-++02

2

2

2x x dx

;

解 2

)1arctan(1arctan )

1arctan()1(11

2202

022

022π

=

--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .

(18)⎰-22

2cos cos π

πxdx x ;

解 3

2)

sin 32

(sin sin )sin 21(2cos cos 2

322

2

22=-=-=---⎰⎰π

ππ

πππx x x d x xdx x . (19)⎰--22

3cos cos π

πdx x x ;

解 ⎰⎰---=-22

222

3cos 1cos cos cos π

πππdx x x dx x x