定积分与原函数的关系.ppt

记
x
( x) a
f (t)dt.
积分变上限函数
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积分上限函数的性质
定理1
若f
(
x)在[a
,
b]上可积,则(
x
)
x
a
f (t)dt
在[a , b]上连续.
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x) ax f (t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
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牛顿(Newton)—莱布尼茨(Lebniz)公式
ab f ( x)dx
F(b) F(a)
F ( x)ba
F
(
x
)
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任 意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
解 面积
A
0
sin
xdx
y
o
cos x0 2.
x
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小结
1.积分上限函数
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的
关系．
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注意 当a b时，ab f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.
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例5 求 例6 设
02(2cos x sin x 1)dx.
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f ( x)dx.
y
o 12x
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例7 求
2
2
max{
x
,
x
2
}dx.
的一个原函数，则
b
a
f
(
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x )dx
F
(b)
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又 ( x) ax f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F (a) (a) C ,
(a) aa f (t )dt 0 F (a) C ,
sin u du u
,求
dy dx
.
例 3 设 f ( x)在[0,)内连续，且 f ( x) 0.证明函数
F(x)
x
0
tf
0x f
(t )dt
在(0,)内为单调增加函数.
(t )dt
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例4
已知F
(
x)
x
0
(
x
2
t
2
)
sin
tdt
,
求F
(
x).
定理4（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{ x, x2 }
y x
x2, 2 x 0
x
,
0 x1 ,
2
o 1 2x
x2 , 1 x 2
原式
0
2
x
2dx
1
0
xdx
2
1
x
2dx
11. 2
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例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x 轴所围
成的平面图形的面积.
b( x)
a( x)
f
(t)dt 的导数F( x)
为
F (
x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
特别
d dx
b
x
f
(t )dt
f
(
x)
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F( x)
d dx
b( x)
a( x)
f
(t )dt
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
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f ( x)在[a,b]上连续, x [a,b]
( x)
d dx
ax
f (t)dt
f (x)
一般地 如果 f (t)连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x)
数是( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
( x)
x
a
f
(t )dt为f
( x)在[a,b]上的一个原函数.
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定理3（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a,b] 上连续，则积分上限的函数
( x)
x
a
f
(t )dt 就是 f
( x) 在[a,b] 上的一个原函数.
定积分与原函数的关系 微积分基本公式
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设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
[a, b]上定义了一个函数，
证
F ( x)
0
a( x)
b( x) 0
f (t)dt
b( x)
0
f
(t )dt
a( x)
f (t)dt,
0
F( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
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例1 求
lim
x
0
cos
t
2dt
.
x0 x
例2
已知
x y
t2
2
2
t 3
cos u du u
思考题
设
f
(
x
)
在[a,
b]上连续，则
x
a
f
(t )dt 与
b
x
f
(u)du是
x
的函数还是
t
与
u
的函数？它们的
导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与
b
x
f
(u)du都是 x的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
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