齐次式法及圆锥曲线斜率有关的一类问题.doc

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，

通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

例题、（ 07 山东）

已知椭圆 C ：

x 2

y 2 1 若与 x 轴不垂直的直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点（ A ，B 不是左右顶点） ，

4 3 l 过定点，并求出该定点的坐标。 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线

解 法 一 （ 常 规 法 ） ： l : y kx m

设 A(x 1, y 1 ), B( x 2, y 2 ) y kx m ， 由

3x 2 4 y 2

得

12

(3 4k 2 )x 2

8mkx 4( m 2 3) 0 ，

64m 2k 2 16(3 4k 2 )(m 2 3) 0 ， 3 4k 2 m 2 0

x 1 x 2

8mk , x 1 x 2

4( m 2 3)

3 4k 2

3 4k 2

3(m 2 4k 2 )

y 1 y 2 ( kx 1

m) (kx 2 m) k 2 x 1 x 2 mk (x 1 x 2 ) m 2

3 4k 2

Q 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), 且 k AD k

BD 1 ，

y 1 y 2 1， y 1 y 2 x 1 x 2 2( x 1 x 2 ) 4 0 ，（ * ）

x 1 2 x 2 2

3(m 2 4k 2 ) 4(m 2 3) 16mk

4

0 ，（ ** ）

3 4k

2

3

4k

2

3 4k

2

2k 整理得： 7m 2 16mk 4k 2

0 ，解得： m 1

2k, m 2

，且满足 3 4k 2 m 2 0

当 m 2k 时， l : y

7

k( x 2) ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾；

当 m

2k 时， l : y k (x

2

) ，直线过定点 ( 2

,0)

7

7

2 7

综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 (

,0).

7

P 做相互垂直的直

◆方法总结： 本题为 “弦对定点张直角” 的一个例子 ：圆锥曲线如椭圆上任意一点 线交圆锥曲线于 AB ，则 AB 必过定点 ( x 0

( a 2

b 2

) , y 0 (a 2

b 2 )

) 。（参考百度文库文章： “圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质” ）

a 2

b 2 a 2 b 2

◆模型拓展： 本题还可以拓展为 ：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 k AP ? k BP 定值或 k AP

k

BP

定值），直线 AB 依然会过定点。

此模型解题步骤：

Step1 ：设 AB 直线 y kx m ，联立曲线方程得根与系数关系，

求出参数范围；

Step2 ：由 AP 与 BP 关系（如 k AP ? k BP 1 ），得一次函数 k

f ( m)或者 m f ( k) ；

Step3 ：将 k

f ( m)或者 m f (k) 代入 y kx

m ，得 y k ( x

x 定 ) y 定 。

方法评估：此方法求解过程中 （* ）（ ** ）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。

（上述方法改

进还有“点乘双根法” ）

解法二（齐次式法）

由以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 P ，知 PA

PB ，即 k PA k PB

1 。（ k PA k PB 为定值）

依题意直线 l 不过椭圆的右焦点 P(2,0) 设直线 l : m( x

2) ny 1 ，

由

3x 2

4 y 2 12 得 3( x 2 2)2 4 y

2

12 （

凑出因式 ( x

2), ( y 0) ）

故

3(x 2)2 12( x 2) 4 y 2

（

此式不是齐次式，有 2 次式和 1 次式，下面齐次化）

故

3(x 2)2 4 y 2 12( x 2)[ m( x 2) ny] 0 （

1 的代换）

即

3( x 2)2 4 y 2

12m( x 2) 2 12n( x 2) y

0（

下面凑出斜率 k PA , k PB 。两边同除 ( x 2)2 ） 故 4( y

) 2 12 n y

(12m 3) 0 ，

（

因为 A, B 是直线与曲线的交点，故

A, B 的坐

x 2

x 2

y 1 , y 2 2 是相应方程 4t 2

12nt (12m 3) 0 的解）

标满足此式，即 x 1 2 x 2

k PA k PB y 1 y 2

12m 3 1 7

故 x 1 2 x 2 2 4

， 解 得 m ， 代 入 l : m(x 2) ny 1 得

12

7 2 7 7 0 得 2 2 ,0) 。

12 x 17 ny 0 ，由 12 x

12 x 7 ，故 l 过定点 (

y 0

y 0

7

变式此题若改为： 已知椭圆 C ：

x 2

y 2 1 的右顶点 P ，若直线与椭圆 C 相交于 A ，B 两点（ A ，B 不

4

3

是左右顶点），且 k PA k PB

3，, 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。

此题用传统法解得时要计算，

y 1

y 2

3 ，化简变形比原题更难，

用齐次式法， 与原题类似。

x 1 2 x 2

2

解：由原题齐次式解法得

4( x y 2 )2 12n x y 2 (12m 3)

0 ，故 k PA k

PB

3n 3 解得 n

1 ，

代入 l : m( x 2) ny 1 ，知 l : m(x 2) y 1 ，过定点 (2, 1) 。

2

2

3 )

已知椭圆 C ：

x

y

P(1,

变式此题若改为：

1上一点

2 ，若直线与椭圆 C 相交于 A ，B 两点（ A ，B

4

3

不是左右顶点） ，且 k PA

k

PB

1

， , 求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。

◆迁移训练

练习 1：过抛物线 M: y 2 2 px 上一点 P （ 1,2 ）作倾斜角互补的直线

PA 与 PB ，交 M 于 A 、 B 两点，求

证：直线 AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习 2：过抛物线 M: y 2 4x 的顶点任意作两条互相垂直的弦

OA 、OB ，求证：直线 AB 过定点。（经典

例题，多种解法）

练习 3：过 2x 2

y 2

1

上的点 A(1, 1) 作动弦 AB 、AC 且 k AB ?k AC

3，证明 BC 恒过定点。（本题参考

答案： ( 1 ,

1

) ）

5 5

练习 :4 ：设 A 、B 是轨迹 C ： y 2 2 px( P 0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线

OA 和 OB 的倾斜角

分别为

和 ，当 , 变化且

时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（参考答案

4

2 p,2 p ）

【答案】设 A x 1, y 1

, B x 2 , y 2 ，由题意得 x 1 , x 2 0 ，又直线 OA,OB 的倾斜角

, 满足

，

4

故 0 ,

，所以直线

AB 的斜率存在，否则， OA,OB 直线的倾斜角之和为

从而设 AB 方程为

4