第11章 机械波

相位 tg -1
2π 2π A1 sin 10 r1 A2 sin 20 r2 2π 2π A1 cos 10 r1 A2 cos 20 r2
相位差 - - 2π r2 - r1 20 10
横波
固体
u

E

纵波
液、气体
u
K

343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土
5
如声音的传播速度
11.2 平面简谐波
11.2.1 平面简谐波的表达式
简谐波：简谐振动在媒质中的传播 平面简谐波：波面是平面的简谐波 1)一维平面简谐波的波函数
设一维平面简谐波以相速 u 沿 x 轴正向传播, y t时刻波形如图 u
单位时间内通过垂直于波线上单位面积的平均能量
P I S
wu
1 I 2 A2 u 2
17
11.2 平面简谐波
例: 证明球面波的振幅与离开 其波源的距离成反比，并求球面 简谐波的波函数. 证: 介质无吸收，通过两个 球面的平均能流相等.s2Βιβλιοθήκη s1r1r2
1uS1 2uS2
即
λ反映了波的空间周期性
--- t0 时刻各点振动周相不同
y
t0时刻的波形
10
11.2 平面简谐波
2π 当 0 = 0 y A cos ( t0 0 ) - x 2π (1) t0= 0 y A cos - x --- t=0 时各质点的位移 T T 2π (2) t0 y A cos x 4 4 T T 2π t0 y A cos x (3) 2 2 t0 = T 波形恢复原样, 而在一个 T 内波形向右移动了
1 1 s 1 dx 2 2 2 dEp K dy E dy dy Es 2 2 2 dx 2 dx
1 y 1 E dV Ek 2 A2 sin 2 t - kx dV 2 x 2
2
15
11.2 平面简谐波
1 1 2 A12 2 u4πr12 A2 2 u4πr22 2 2 A1 r2 A0 r0 r y cos ( t - ) A2 r1 r u
式中 r 为离开波源的距离， A0 为 r
r0 处的振幅.
18
11.3 惠更斯原理 波的衍射
11. 3.1 惠更斯原理
波的衍射 波在传播过程中，绕 过障碍物传播的现象. 惠更斯原理 介质中任一波阵面上 的各点,都可以看作是发射 子波的波源，其后任一时 刻，这些子波的包迹就是 新的波阵面.
x
x y( x , t ) A cos t - 0 u
波函数
7
11.2 平面简谐波
x y( x , t ) A cos t - 0 u
因为： 2π / T 波函数
u

T
k
8
11.2 平面简谐波
x y( x , t ) A cos t 0 u
波函数
波函数的物理意义 1) 当 x 一定时, 例: x = x0 = 常数
x0 0 1 令常数 - u
x0 y A cos t - 0 u
11.1.2 描述机械波常用概念 波长： 波的传播方向上，一个完整波形的长度
空间频率： 1/
波数：
A O y
u
k
2π


x
-A

周期： T 传播一个波长所需的时间 (时间)频率： 1/ T
波速(相速)：
2π / T
u

T
v

2π
3
11.1 机械波的产生和传播
波面：波的传播方向上相位相同的各点组成的曲面 波前：某一时刻波所到达的最前面的波面 球面波： 平面波：
波线：波的传播方向 各向同性介质，波线与波面垂直
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
4
11.1 机械波的产生和传播
波速 u 与介质的性质有关, 为介质的密度.
u G
切变模量 弹性模量 体积模量
2π
波函数还可以表示为 t x y( x , t ) A cos 2π - 0 T

y( x, t ) A cos( t - kx 0 )
沿负方向传播的波的方程 x y( x , t ) A cos t 0 u
1 2 2 2 动能 ： Ek A sin t - kx dV 2 1 2 2 2 弹性势能: Ep Ek A sin t - kx dV 2 2π 2πv k v 1 u E T T 1 dEp 2 A2 sin2 t - kx dV dEk 2 以绳波为例
100π t
oM 10 1 s s与0点t 0状态相同 u 1200 120
A
t=0 M处
φM= -π/2
uT u
2π

24m
13
11.2 平面简谐波
11.2.2 平面简谐波的能量、能流
设在棒中传播的一维简谐波的表达式
2π y A cos t x A cos t - kx
第11章
振动是激发波动的波源.
1. 机械波产生的条件 振源 弹性介质 2. 电磁波 只需振源 可在真空中传播 3. 物质波 微观粒子波动性 物质的固有性质
机械波
波动是振动在空间的传播过程.
波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.
1
11.1 机械波的产生和传播
x 处点质元 dm dV sdx 的动能:
dE k 1 1 y dm 2 dV 2 2 t
2
1 2 2 2 A sin t - kx dV 2
14
11.2 平面简谐波
1 2 2 2 动能 ： Ek A sin t - kx dV 2 1 2 弹性势能: dEp K dy 2 因为： K Es K Es 1 l dx
22
11.4 波的干涉
11. 4.2 波的干涉
相干波
r1 s1
p

频率相同 振动方向相同 有恒定相位差
s2
r2
波源 s1 和 s2 振动方程
y10 A10 cos t 10
y20 A20 cos t 20
2π y2 A2 cos t 20 - r2
19
11.3 惠更斯原理 波的衍射
用惠更斯原理确定新的波阵面
t时刻，波阵面 S1, 以 S1上各点为中心，以 r=uΔt 为 半径画球形子波波阵面，包迹面 S2 就是新波阵面。
20
11.3 惠更斯原理 波的衍射
波的反射 波的折射
i' i
sin i u1 n2 n21 sin u2 n1
波函数不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时 刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状 态的传播，波形的传播，能量的传播。
12
例：正向波在t =0时的波形图，波速u=1200m/s y/cm 求：波函数和波长 t =0时 u x 解： 设 y A cos[ (t - ) 0 ] 0.05 M u 由图 A 0.10cm O 10 如何确定 ω φ0 ? ω ? ΦM= -π/2
O
P
x
波函数：波线上各点相对于自身平衡位置的 位移随时间的变化规律
6
11.2 平面简谐波
找出波函数： y y( x , t ) O 点的振动方程为
y
O
u
P
x
y(0, t ) A cos( t 0 )
波线上任意点P的相位落后于O点，即：P点在t
时刻的振动和O点在 t - u 时刻的振动状态相同 x y(0, 0) y( x , ) A cos 0 u 即：P 点的振动位移为 ( op = x )
2π y A cos t 1 T
y A cos t 1 ----x0处振动运动方程
t每增加T，y、v不变 T反映了振动的时间周期性
9
11.2 平面简谐波
x y( x , t ) A cos t 0 u
2) 当 t =t0=常数时 x 令 t0 0 1 y A cos t0 - 0 u 2π 2 y A cos ( t0 0 ) - x A cos 1 x x每增加λ，y、v不变
O
x
16
11.2 平面简谐波
dE dEp dEk 2 A2 sin2 t - kx dV
dE 能量密度 w 2 A2 sin2 t - kx dV T 1 平均能量密度 w 1 wdt 2 A2 T 0 2 平均能流 单位时间内通过垂直于波线上某一面积的平均能量 w S u dt P w S u dt 平均能流密度 --- 波的强度
23
P 点振动方程 2π y1 A1 cos t 10 - r1
y y1 y2 A cos t
11.4 波的干涉
y A cos t
式中 A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos
21
11.4 波的干涉
11. 4.1 波的叠加原理
1) 内容： （1）几列波同时在一介质中传播，每列波都 将独立地保持自己原有的特性传播，就象在各自 的路程中，没有遇到其它波一样，这称为波传播 的独立性。
（2）在波相遇的区域内，任一点的合振动是 各列波在该点分振动的矢量和。
2) 成立条件： 强度较小时，相应的波动方程为线性时才成立； 当强度甚大时，各列波之间相互影响明显，叠加原 理失效。
O t =0 x=0 A A/2
x /m
-0.10
由初始条件：y0=A/2 v0<0 如何确定 由M点状态 yM=0 vM>0 π π 5π 0 - M 3 2 6
M点经t
Φ0=π/3
Φ0= π/3
y
x π y 0.10cos[100π( t ) ] 1200 3

t T /4
T 这个物理量从 时间上反映了波的 周期性
y
O
t 0
t 2T / 4
t 3T / 4
x
11
11.2 平面简谐波
x y( x , t ) A cos t 0 u 3) x , t 都变
表示波线上不同质点在不同时刻的位移 ---- 行波

24
11.4 波的干涉
I I1 I 2 2 I1 I 2 cos
相位差
20 - 10 - 2π
r2 - r1


2nπ
A A1 A2
加强
( n = 0 1 2…)
2n 1 π
11.1.1 机械波分类
机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 机械波分类： 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
（可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部.
2
11.1 机械波的产生和传播