重庆大学机械工程测试技术习题答案

利用FT的奇偶虚实性，若 是实偶函数，那么 也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，
即当 是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。
2-24．帕斯瓦尔定理
证明：
第五章习题解
5-1.画出信号数字分析流程框图，简述各部分的功能。
解：下图为信号数字分析流程框图，整个系统由三部分组成：模拟信号予处理，模数转换和数字运算分析。
5-6.已知某信号的截频fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔 ＝1Hz。问：
1)采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)数据块点数N应满足什么条件？3)原模拟信号的记录长度T＝?
解:
1)信号的带宽为125Hz，采样频率应该大于等于它的两倍，所以
Hz， ms。
2)频率分辨间隔 ＝1Hz，所以 s。如果取 ，则
令 ，代入上式可得
因此有
同理可证
证毕！
2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度
解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数
则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有
此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频 以及所有谐频处，其脉冲强度为 被 的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。
若N值取基2数，则N＝256。
3)模拟信号记录长度 理论上至少应在1.024秒以上。.
下面分析一下所求的结果。
当 时，由罗彼塔法则可以求得 ，因此 ，是单个矩形脉冲频谱 的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当 （m不是N的倍数）时， ，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。
可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点 处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当 时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点 处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。
当n0时，
最后可得
注意上式中的括号中的项即sin (n0T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为
其幅值谱为： ，相位谱为： 。频谱图如下：
2-6．设cn为周期信号x(tFra Baidu bibliotek的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。
即：若有
则
证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t-t0)，则其对应的傅立叶系数为
注意到x(t)为实偶函数，t>0时 ，t<0时 ，所以 ，根据线性叠加特性
又根据时间比例特性有 ，所以
最后得
在实际应用中，一般 为 的实数
则
2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(2t)的傅里叶变换
解：由例可知x(t)的傅里叶变换为
根据傅里叶变换的比例特性可得
如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。
若要识别2mV的信号，则
，得
若要识别1mV的信号，则
，得
5-3.模数转换时，采样间隔 分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，要求抗频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为理想低通）？
解:
采样间隔 取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别对应的采样频率为1000Hz，2000Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（理想低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。
题图2-17时间尺度展缩特性示意图
2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数
解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：
2-19．求信号 的自相关函数。
解：由定义
其中积分的被积函数的非零区间为 的交集，即 。因此，当 时，上式为
5-4.连续信号 的频谱如下图所示。取采样间隔 =2.5ms，求离散信号 在的频谱 。
解:
此题的关键是要掌握在不满足采样定理时，信号超出奈魁斯特频率的频谱部分将以奈魁斯特频率为分界线，向低频端折叠这一频混现象。
采样间隔 =2.5ms，采样频率400Hz，奈魁斯特频率200Hz。信号频谱超出200Hz的部分（200Hz～300Hz）将以200Hz为分界向内折叠并叠加在原频谱的200Hz～100Hz的范围之上。下左图是原连续信号的频谱，下右图是经400Hz采样后的离散信号的频谱（只画出 Hz的一个周期）。
2-8．求符号函数的频谱。
解：符号函数为
可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况
解
2-9．求单位阶跃函数的频谱：
解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即
所以：
2-10．求指数衰减振荡信号 的频谱。
解：
2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性
即：若
则
证明：因为
5-5．某信号 的幅值频谱如下图。试画出当采样频率fs分别为1)2500Hz，2) 2200Hz，3)1500Hz时离散信号 在0～fN之间的幅值频谱。
解原理同题4
1)当fs=2500Hz时，fN=1250Hz，大于信号的最高频率，满足采样定理。离散信号的频谱在0～fN的频率范围内与原信号的频谱相同。
解：
代入概率密度函数公式得：
2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱
解在x(t)的一个周期中可表示为
该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn
当n=0时，常值分量c0：
图5-2信号数字分析框图
1)模拟信号予处理主要有抗频混滤波和幅值适调，也可能包括抗频混滤波前的去直流分量。输入模拟电压信号 经抗频混滤波，变为有限带宽为fc的信号，为离散采样作准备；幅值调节经过放大或衰减，将信号的幅值调整一定值（一般是 ）的 ，与量化器的输入电平相适应。这一予处理虽然仍采用模拟手段实现，但由于是信号数字分析系统中特有的和不可缺少的部分，通常也把它归于信号数字分析系统。
3)运算分析单元接收数字序列xn，将其分为点数固定的一系列数据块，实现信号的时域截断和加窗，进而完成各种分析运算，显示、输出分析结果。
5-2 .模数转换器的输入电压为0～10V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？
解:
设量化装置的位数为m。
当 时，则有
综合有
2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。
（1） （30）
（2） （12 ）
（3） （ ）
（4） （8）
2-21．如图所示，有 个脉宽为 的单位矩形脉冲等间隔（间隔为 ）地分布在原点两侧，设这个信号为 ，求其FT。
解：由题意，
其中 ，其FT为 。根据FT的时移特性，可以求得
上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以
2-15．所示信号的频谱
式中x1(t),x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。
解：根据前面例2-15求得x1(t),x2(t)的频谱分别为
和
根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：
图2-31
2-16．求信号x(t)的傅里叶变换
解：由例2-16已知
又因为
证毕！
2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性
即：若
则
式中x*(t)为x(t)的共轭。
证明：
由于
上式两端用-f替代f得
上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！
特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)=x(t)，可得X(f)共轭对称，即
2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性
2-22．“时域相关性定理”可描述如下
试证明。
下面给出两种证明方法。
证明1：
这里利用式： ，是FT的“反褶共轭”性质。
证明2：
根据相关运算与卷积运算之间的关系
利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。
在式中，令 ，则可得
自相关的傅里叶变换
式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。
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By饿的神仙
第二章习题解答
2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？
2-2．信号分类的方法有哪些？
2-3．求正弦信号 的均方值 。
解：
也可先求概率密度函数： 则： 。
2-4．求正弦信号 的概率密度函数p(x)。
2)模拟数字转换完成模拟电压离散采样和幅值量化，将模拟电压信号转换为数字码。首先，采样保持器根据电压信号 的带宽，按照采样定理选定适当的采样频率fs>2fc（要考虑抗频混滤波器的截止特性）将 采样为离散序列 ，这样的时间轴上离散而幅值模拟的信号通常称为采样信号。而后，量化装置将每一个采样信号的电压幅值转换为数字码，最终把电压信号 变为数字序列xn。
即：若
则
证明：
由于
以-t替换t得
上式t与f互换即可得
即
证毕。
特殊情况,当 为偶函数时，
2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：
且已知
解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有
等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得
交换变量t和f得
2)当fs=2200Hz时，fN=1100Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，变为1000Hz,产生频混。此时离散信号的频谱如下：
3)当fs=1500Hz时，fN=750Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的800Hz和1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700Hz和300Hz，产生频混。此时离散信号的频谱如下：