微积分的基本操作

第5章 微积分的基本操作

5.1极限

Mathematica 计算极限的命令是Limit 它的使用方法主要有：

Limit[expr,x->x 0] 当x 趋向于x 0时求expr 的极限

Limit[expr,x->x 0,Direction->1] 当x 趋向于x 0时求expr 的左极限

Limit[expr,x->x 0,Direction->-1] 当x 趋向于x 0时求expr 的右极限

趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 例如：

1

．求lim 36

x x →∞-In[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2]/(3x-6),x->Infinity] Out[1]=13

2．求22

0sin lim x x x → In[2]:=Limit[Sin[x]^2/x^2,x->0]

Out[2]=1

3．求0ln lim x x x

→+ In[3]:=Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1]

Out[3]= -∞

5.2微分

1.函数的微分

在Mathematica 中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x 求函数f 的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种

D[f,x] 计算导数df dx 或f x

∂∂ D[f,x 1,x 2,…] 计算多重偏导数12n n f x x x ∂∂∂∂ D[f,{x,n}] 计算n 阶导数n n

d f dx D[f,x,NonConstants->{v 1,v 2,…}] 计算导数

df dx

，其中v 1,v 2…依赖于x 例如：

(1) 求函数sinx 的导数

In[1]:=D[Sin[x],x]

Out[1]=Cos[x]

(2) 求函数e x sinx的2阶导数

In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]

Out[2]=2e x Cos[x]

(3) 假设a是常数，对sinax求导

In[3]:=D[Sin[a*x],x]

Out[3]=aCos[ax]

(4) 二元函数f(x,y)=x 2 y+y 2 求f对x,y 的一阶和二阶偏导

In[4]:=f[x_,y_]=x^2*y+y^2

Out[4]= x 2 y+y 2

In[5]:=D[f[x,y],x]

Out[5]=2xy

In[6]:=D[f[x,y],y]

Out[6]=x 2 + 2y

In[7]:=D[f[x,y],x,y]

Out[7]=2x

In[8]:=D[f[x,y],{x,2}]

Out[8]=2y

In[9]:=D[f[x,y],{y,2}]

Out[9]=2

Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。

例如：

In[10]:=D[x*g[x],x]

Out[10]=g[x]+xg′[x]

In[11]:=D[x*g[x],{x,4}]

Out[11]=4g (3)[x]+xg (4)[x]

对复合函数求导法则同样可用：

In[12]:=D[g[h[x]],x]

Out[12]=g′[h[x]] h′[x]

如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如：

In[13]:=D[Exp[x]*Sin[x],x]/.x->2

Out[13]=e 2 Cos[2]+e 2 Sin[2]

In[14]:=N[%]

Out[14]=3.64392

2.全微分

在Mathematica中，D[f,x]给出f的偏导数，其中假定f中的其他变量与x无关。当f 为单变量时，D[f,x]计算f对x的导数。函数Dt[f,x]给出f的全微分形式，并假定f中所有变量依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义

Dt[f] 求全微分df

Dt[f,x] 求f对x的微分

Dt[f,x1,x2,…]求f对x i多重全微分

Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}] 求全微分df，其中c1,c2..是常数

下面我们求x 2 +y 2的偏微分和全微分

In[1]:=D[x^2+y^2,x]

Out[1]=2x

In[2]:=Dt[x^2+y^2,x]

Out[2]=2x+2yDt[y,x]

可以看出第一种情况y 与x 没有关系，第二种情况y 是x 的函数。再看下列求多项式 x 2 +xy 3+yz 的全微分并假定z 保持不变是常数。

In[3]:=Dt[x^2+x*y^3+y*z,Constants->{z}]

Out[3]=2Dt[x,Constants →{z}]+y 3 Dt[x, Constants →{z}]

+3xy 2 Dt[y,Constants →{z}]+zDt[y, Constants →{z}]

如果y 是x 的函数，那么y 被看成是常数

In[4]:=Dt[x^2+x*y[x]+y[x]*z]

Out[4]=2xDt[x]+Dt[x]y[x]+Dt[z]y[x]+xDt[x]y ′[x]+zDt[x] y ′[x]

5.3计算积分

1.不定积分

在Mathematica 中计算不定积分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。

例如若求sin sin xdx ⎰ Mathematica 就无能为力：

In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x]

Out[1]= sin[sin[x]]dx ⎰

但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica 还是能轻易求得，例如求

In[2]:= ⎰

Out[2]=

11积分变量的形式也可以是一函数，例如：

In[3]:=Sin[Sin[x]]dSin[x]⎰

Out[3]= -Cos[Sin[x]]

输入命令也可求得正确结果：

In[4]:=Integrate[Sin[Sin[x]],Sin[x]]

Out[4]= -Cos[Sin[x]]

对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子： In[5]:=2

(a*x +b*x+c)dx ⎰