中国人民大学《统计学》考研笔记

a. X ~ N (, 2 / n) ；
b. (n 1)S 2 / 2 ~ 2 (n 1) ；
c. X 与 S 2 相互独立；
d. X ~ t(n 1) ； S/ n
e.
S12
2 1
/ S22
/
2 2
~
F (n1 1, n2
1)
(独立样本) ；
f.
(X
Y Sp
) (1
1 n1
1 n2
2 )
4.单因素方差分析 ①数据结构
C1 C2 Ck
x11 x12 x1k
x21 x22 x2k
xn11
x x n21
nk k
表1
6.假设检验流程图（见图 1）
3 方差分析
1.基本思想：表面上是检验多总体均值是否相等，本质上是研究变量间的关系， 即通过各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响，其 中需要分析数据变异的来源。观察到的数据一般是参差不齐的，我们用 SST 度量数据 总的变异，将它分解为可追溯到来源的部分变异 SSE 与 SSA 之和，若后者的平均 MSA 明显比前者的平均 MSE 大，
~
t (n1
n2
2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(独立样本，
2 1
=
2 2
)
。
10.单总体参数估计
1
①目标量： ， ， 2 。
②影响因素：a.是否是正态总体；b.总体方差是否已知；c.是大样本还是小 样本。
③抽样分布
a. Z X ~ N (0,1) ； / n
b.
t X S/ n
~
~ ~
t(n 1) N (0,1)
率稳定性），辛钦大数定律（简单随机样本均值依概率收敛于总体均值），切比雪夫大 数定律。是用样本估计总体的理论基础。
②中心极限定理：揭示了独立同分布随机变量之和的极限分布是正态分布。常 见的有伯努利试验场合、独立同分布试验场合的中心极限定理。是区间估计和假设检 验的理论基础。
③抽样分布基本定理（正态假定）
3
图1
就认为自变量对因变量有显著影响。在方差分析的基本假定下，上述问题形式上就转 化为检验各总体均值是否相等的问题。
2.基本假定：a.各总体服从正态分布；b.各总体方差相同；c.各观测值相互独立。
3. 方 差 分 析 与 两 两 均 值 检 验 ： 两 两 均 值 检 验 会 增 加 犯 第 Ⅰ 累 错 误 的 概 率 （ 1 (1 )n(n1)/2 ），而且随着检验次数的增多，偶然因素导致差别的可能性也会增 加；方差分析是同时考虑所有样本，排除了错误的累积，减少了偶然因素的不利影响， 也简化了检验的过程。
p1 (1 n1
p1 )
p2 (1 n2
p2 )
g.
F
S12
2 1
/ S22
/
2 2
~
F (n 1, n 2)
(独立样本) 。
2
12.确定样本量： E z /2
n
n
z2 /2 2 E2
(1表示可靠性，E表示精度) 。
2 假设检验
1.假设检验：统计推断的重要内容之一，先对总体参数提出一个假设，然后利用 样本来检验该假设是否成立。
t (n1
n2
2)
(独立样本，12
=
2 2
)
；
d. Z d (1 2 ) ~ N (0,1) (匹配样本) ； d / n
e. Z d (1 2 ) ~ N (0,1) (匹配大样本) ； Sd / n
f. Z
( p1 p2 ) (1 2 ) ~ N (0,1) (独立大样本) ；
4.小概率原理：发生概率很小的随机事件在一次试验中几乎不可能发生。
5.统计量检验与 P 值检验 ①否定域：由一个直观上有明确意义的统计量确定。 ②P 值：当原假设为真时，得到所观测结果或更极端结果的概率。 ③比较：统计量检验是先确定一个显著性水平 从而获得一个否定域，进行决
策的界限清晰但面临的风险是笼统的，确定临界值要查表，检验统计量一般与自由度 有关因而可比性较差；P 值是检验的真实显著性水平，可利用 P 值直接决策或将 P 值 与 进行比较，不需要查表，具有可比性。
， (大样本)
；
c. Z
p ~ N (0,1) (大样本，np 5，n(n p) 5) ； p( p 1)
n
d. 2 (n 1)S 2 / 2 ~ 2 (n 1) 。
11.两总体参数估计
①目标量：
1
2
，
1
2
，
2 1
2 2
。
②影响因素：a.是否是正态总体；b.两总体总体方差是否已知、是否相等；c. 是大样本还是小样本，两样本量是否相等；d.是独立样本还是匹配样本。
6.置信区间：总体参数的估计区间。统计学家在某种程度上确信它会包含总体参 数真值，是随机区间。
7.置信水平（置信度）：重复构造置信区间多次，其中包含总体参数真值的区间 个数所占的比例。它是针对随机区间而言的。
8.估计量评价标准：无偏性、有效性、一致性。
9.理论基础 ①大数定律：揭示了大量随机现象均值的稳定性。常见的有伯努利大数定律（频
③抽样分布
a. Z ( X1 X 2 ) (1 2 ) ~ N (0,1) (独立样本) ；
2 1
n1
2 2
n2
b. Z ( X1 X 2 ) (1 2 ) ~ N (0,1) (独立大样本) ；
S12 n1
S
2 2
n2
c.
t
(X1
X 2 ) (1
Sp
12 n1 n2
2 )
~
2.原假设与备择假设：假设检验是围绕原假设是否成立展开的，若拒绝原假设， 就用备择假设来替换。推翻原假设需要样本落入否定域，这是小概率事件，故在一次 试验中原假设具有优势而备择假设不易发生，一旦发生，我们就有足够的理由推翻原 假设，这意味着新结论的诞生。
3.弃真错误（ 错误）与取伪错误（ 错误）：前者是原假设为真却被拒绝所犯 的错误，后者是原假设为假却没被拒绝所犯的错误。样本量一定时，两者是此消彼长 的关系；若增大样本量，则两者同时变小。假设检验中遵循“首先控制犯 错误”的 原则。
中国人民大学《统计学》笔记
1 参数估计
1.参数估计：统计推断的重要内容之一，以抽样和抽样分布为基础，用样本统计 量来估计未知总体参数。
2.估计量：估计总体参数的统计量。
3.估计值：用具体样本计算出的估计量的值，即估计量的实现。
4.点估计：用某个估计值作为总体参数的估计。
5.区间估计：以点估计为基础，给出总体参数估计的一个区间范围，由点估计量 加减边际误差得到。能由抽样分布给出估计量与总体参数接近程度的概率度量，即置 信水平。