高中一轮复习课件-第二章 2.1函数及其表示

题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
第1课时 函数的概念及表示法 第2课时 函数的定义域与值域
课时精练 课时精练
第1课时 函数的概念及表示法
题型一 自主演练 函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
√
2.(2019·武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是___④_____.(填序号) x2－1
④当2x＋x>10>，0， 即 x>0 时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意. 综上，不等式f (x＋1)<f (2x)的解集为(－∞，0). 方法二 ∵f(x)＝21－ ，x，x>x0≤，0， ∴函数f (x)的图象如图所示. 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f (x)为减函数，故f (x＋1)<f (2x)转化为x ＋1>2x.此时x≤－1. 当2x<0且x＋1>0时，f (2x)>1，f (x＋1)＝1，满足f (x＋1)<f (2x). 此时－1<x<0. 综上，不等式f (x＋1)<f (2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0).
概念方法微思考
1.分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数. 2.请你概括一下求函数定义域的类型. 提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型.
3.请思考以下常见函数的值域：
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R .
题组二 教材改编
2.以下属于函数的有___④_____.(填序号)
①y＝± x；②y2＝x－1；③y＝ x－2＋ 1－x；④y＝x2－2(x∈N). 3.函数y＝f (x)的图象如图所示，那么，f (x)的定义域是_[_－__3_,0_]_∪__[_2_,3_]_；值域是 __[1_,_5_] _；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_[_1_,_2_)∪__(_4_,5_]__.
|log2x|，x>0，
则使 f(x)＝12的 x 的集合为__－__1_，___2_，___2_2_ .
解析 由题意知，若 x≤0，则 2x＝12，解得 x＝－1；
若
x>0，则|log2x|＝12，解得
x＝
1
22
或
x＝
2
1 2
.
故所求 x 的集合为－1，
2，
2
2
.
引申探究 本例中，则使 f (x)>21的 x 的集合为_x__－__1_<_x_<__2_2_或__x>___2___.
√A.f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝ －x3与 g(x)＝x －x
√C.f (x)＝xx与 g(x)＝x10
D.f(x)＝x 与 g(x)＝ x2
6.函数 y＝ x－2· x＋2的定义域是__[_2_，__＋__∞__)_. 7.已知 f( x)＝x－1，则 f(x)＝_x_2_－__1_(_x_≥__0_)_.
则满足 f(x＋1)<f(2x)的 x 的
解析 方法一 ①当x2＋x≤1≤ 0，0， 即 x≤－1 时，f (x＋1)<f (2x)即为 2－(x＋1)<2－2x， 即－(x＋1)<－2x， 解得x<1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]. ②当x＋1≤0， 时，不等式组无解.
2x>0
③当2x＋x≤10>，0， 即－1<x≤0 时，f(x＋1)<f(2x)即 1<2－2x，解得 x<0. 因此不等式的解集为(－1,0).
(4)定义在(－1,1)内的函数f (x)满足2f (x)－f (－x)＝lg(x＋1)，求f (x)的解析式.
解 (消去法)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).
①
以－x代替x得，2f (－x)－f (x)＝lg(－x＋1).
②
由①②消去 f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1).
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函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取
值范围.
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后
以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.
解析
1 f(x)＝1－x 1x＝x－1 1(x≠0 且 x≠1).
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝_12_x_2_－__32_x_＋__2__.
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
x＋1，x≥0，
跟踪训练 2 (1)设函数 f(x)＝21x，x<0，
则 f(f(－1))＝___3____.
解析 ∵f(－1)＝ 1 ＝2， 2－1
∴f (f (－1))＝f (2)＝3.
(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数
2－x，x≤0， f (x)＝
1，x>0，
取值范围是__(－__∞__，__0_)__.
题组三 易错自纠 4.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的 函数的图象是
√
解析 A选项中的值域不满足， B选项中的定义域不满足， D选项不是函数的图象， 由函数的定义可知选项C正确.
5.(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是
(4)消去法：已知f
(x)与
f
1 x
或f
(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另
外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x).
跟踪训练 1 (1)(2020·济南月考)若 f 1x＝1－x x，则当 x≠0，且 x≠1 时，f(x)
等于
A.1x
√B. 1 x－1
C. 1 1－x
D.1x－1
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
(2)已知
f
cos (x)＝
π2x，x≤0，
f x－1＋1，x>0，
则 f(2)＝____3____.
解析 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cosπ2×0＋2＝1＋2＝3.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例3
2x，x≤0， 设函数 f(x)＝
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.( × ) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.( √ )
名称
称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素 (1)定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 . (2)值域 与x的值相对应的y值叫做函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (3)对应关系f：A→B. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数.
解析 对于⑤，当x＝1时，x2＋1∉A，故⑤错误， 由函数定义可知①②③④均正确.
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(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有 一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在 与A中元素不对应的元素. (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
高中数学一轮复习
大一轮复习讲义
§2.1 函数及其表示
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.函数
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集___
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个
A→B
数x，在集wk.baidu.comB中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应
解析 当 x≤0 时，由 2x>12得－1<x≤0；
当 x>0 时，由|log2x|>12得 0<x< 22或 x> 2.
综上，所求 x 的集合是x－1<x< 22或x>
2
.
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(1)分段函数的求值问题的解题思路 ①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相 应自变量的值，切记要代入检验. (2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.
∴2aa＋＝b1＝，－1，
即a＝12， b＝－32.
∴f (x)＝12x2－32x＋2.
(3)已知 f(x)满足 2f(x)＋f 1x＝3x－1，求 f(x).
解 已知 2f(x)＋f 1x＝3x－1，
①
以1x代替①中的 x(x≠0)，得
2f 1x＋f(x)＝3x－1，
②
①×2－②，得 3f(x)＝6x－3x－1，
解析 令 t＝ x， 则t≥0，x＝t2， 所以f(t)＝t2－1(t≥0)， 即f(x)＝x2－1(x≥0).
x＋1，x≤0，
8.(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数 f(x)＝
则 f(f(0))的值为
2x－1，x>0，
___1__；方程 f(－x)＝1 的解是__0_或__－__1_.
解析 ∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1. 当－x≤0时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得x＝0； 当－x>0时，f(－x)＝2－x－1＝1，解得x＝－1.
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式；
解 (配凑法)∵f x2＋x12＝x2＋x122－2，
∴f (x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).
(3)已知f (x)是一次函数且3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式；
解 (待定系数法)因为f(x)是一次函数， 可设f (x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a5＝ a＋2， b＝17， 解得ab＝ ＝27.， ∴f (x)的解析式是f (x)＝2x＋7.
4ac－b2
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为____4_a___，__＋__∞__；当a<0时，
4ac－b2
值域为 －∞，
4a
.
(3)y＝kx(k≠0)的值域是 {y|y≠0} . (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 (0，＋∞) .
(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 R .
故 f(x)＝2x－1x－13(x≠0).
题型三 多维探究 分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
3x＋1，x<2， 例 2 (1)已知函数 f(x)＝
x2＋ax，x≥2， __－__5__，f (2)＝_－__6___.
若 f f 23＝－6，则实数 a 的值为
解析 由题意得，f 23＝3·32＋1＝3， 所以 f f 32＝f(3)＝9＋3a＝－6，
题型二 师生共研 求函数的解析式
例1 求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
解 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]. 即f (x)＝2x－x2，x∈[0,2].
①f(x)＝x－1 与 g(x)＝ ； x＋1
②f(x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x； ③f(x)＝x＋2，x∈R 与 g(x)＝x＋2，x∈Z；
④f (u)＝
1＋u 1－u与 f(v)＝
1＋v 1－v；
⑤y＝f (x)与y＝f (x＋1).
3.已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式： ①f (x)＝x；②f (x)＝x2；③f (x)＝x3；④f (x)＝x4；⑤f (x)＝x2＋1，其中能够表示 函数f：A→A的是__①__②__③__④___.