最新大学高等数学第五章定积分及其应用答案
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大学高等数学第五章定积分及其应用答案
第五章 定积分及其应用
习 题 5-1
1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...», （2）«Skip Record If...», （3）«Skip Record If...», （4）«Skip Record If...».
解：若«Skip Record If...»在几何上表示由曲线«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»及«Skip Record If...»轴所围成平面图形的面积. 若«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»在几何
上表示由曲线«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»及«Skip
Record If...»轴所围平面图形面积的负值.
（1）由下图（1）所示，«Skip Record If...».
（2）由上图（2）所示，«Skip Record If...».
（3）由上图（3）所示，«Skip Record If...».
( 2 )
(
1 ) ( 3 ) (4)
（4）由上图（4）所示，«Skip Record If...».
2. 设物体以速度«Skip Record If...»作直线运动，用定积分表示时间«Skip Record If...»从0到5该物体移动的路程S.
解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»
3. 用定积分的定义计算定积分«Skip Record If...»,其中«Skip Reco rd If...»为一定常数.
解：任取分点«Skip Record If...»,把«Skip Record If...»分成«Skip Record If...»个小区间«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，小区间长度记为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»-«Skip Record
If...»«Skip Record If...»,在每个小区间«Skip Record If...»
上任取一点«Skip Record If...»作乘积«Skip Record If...»的和式：«Skip Record If...»,
记«Skip Record If...», 则«Skip Record If...».
4. 利用定积分定义计算«Skip Record If...»«Skip Record If...».
解：«Skip Record If...»连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对
«Skip Record If...»«Skip Record If...»等分，分点«Skip Record If...»取相应小区间的右端点，故
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...» =«Skip Record If...»
当«Skip Record If...»（即«Skip Record If...»），由定积分的定义得：
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．
5. 利用定积分的估值公式，估计定积分«Skip Record If...»«Skip Record If...»的值.
解：先求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最值，由«Skip Record If...», 得«Skip Record If...»或«Skip Record If...».
比较«Skip Record If...»的大小，知
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
由定积分的估值公式，得«Skip Record If...»,
即«Skip Record If...».
6. 利用定积分的性质说明«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，哪个积分值较大？
解：在«Skip Record If...»区间内：«Skip Record If...»由性质定理知道：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
7. 证明：«Skip Record If...»。
证明：考虑«Skip Record If...»上的函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»
当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
∴«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最小值«Skip Record If...».
故«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
8. 求函数«Skip Record If...»在闭区间[-1，1]上的平均值.