抛物型方程有限差分法
微分方程数值解法课程设计---抛物型方程问题的差分格式[9页].doc
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目录一、问题的描述 (1)二、算法设计及流程图 (1)2.1 算法设计 (1)2.2 流程图 (2)三、算法的理论依据及其推导 (2)3.1 截断误差分析 (2)3.2 稳定性分析 (3)四、数值结果及分析 (3)五、总结 (5)六、附件（源代码） (6)抛物型方程问题的差分格式一、问题的描述有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题，其定解问题为各种边值问题， 即要求解在某个区域内满足微分方程，在边界上满足给定的边界条件。
常系数扩散方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格，建立差分格式求解。
常系数扩散问题的有限差分格式求常系数扩散问题为正常数其中a ,0,,22>∈∂∂=∂∂t R x xua t u （1.1） 的近似解，其初始条件为R x x g x u ∈=),()0,(二、算法设计及流程图2.1 算法设计运用加权隐式格式求解常系数扩散问题（1.1）02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 10≤≤θ,h τ其中分为时间步长和空间步长。
步骤1 输入初始值，确定加权隐式格式的参数；步骤2 定义向量A ，把初边值条件离散，得到0j u ，j=0,1,…,J 的值存入向量A 步骤3 利用加权隐式差分格式由第n 层计算第n+1层，建立相应线性方程组，求解并且存入向量A;步骤4 计算到t=1，输出u2.2 流程图三、算法的理论依据及其推导3.1 截断误差分析常系数扩散问题（1.1）的加权隐式格式如下：02)1(22111112111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++-------+-+-h u u u h u u u a u u n j n j n j n j n j n j n jn j θθτ，（1.6） 其中10≤≤θ，,h τ其中分为时间步长和空间步长。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
(十二章)抛物型方程有限差分法
（3.3a） （3.3b）
； 其中
， LOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令，。 2） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。 3） 若，则增加1，转步骤4）。否则转4）。 4） 令。 5） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。 6） 若，则增加1，转步骤5）。否则转7）。 7） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。
,
及边值条件
，
假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,
则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近
取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，
,； ,
将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；
表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；
表示位于闭矩形中的网格节点的集合；
时我们简单地称差分格式稳定。
冯诺依曼稳定性分析估量了误差的放大或扩大。对一
种稳定的方法，必须选取步长使误差的放大因子不大于1.
前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就
意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向
后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳
+=+ ，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐 层算出所有，。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格 式。并视为的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但 是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分 格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式：
抛物方程的有限差分法
抛物方程的有限差分法作者：李娜来源：《科技视界》2014年第32期【摘要】抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，其中差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要方法。
本文主要介绍有限元方法中的向前差分法，首先简单介绍向前差分法，给出稳定性和收敛性的概念，然后以一维热传导方程为例进行求解，同时给出收敛性和稳定性分析，并利用Matlab软件做出了误差分析图。
【关键词】抛物方程;有限元方法;向前差分法;误差分析0 引言由于抛物型方程与时间t有关，称为非驻定问题。
非驻定问题可用差分法，也可用有限元法求解。
热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
热传导在三维等方向均匀介质里的传播可用方程式u■=kΔu表示，其中u■=u （t，x，y，z）表示温度，它是时间变量t与空间变量（x，y，z）的函数，■是空间中一点的温度对时间的变化率，uxx、uyy和uzz是温度对三个空间坐标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
求解方程时，如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一解，必须假定解的增长速度有一个指数型的上界，并且此假定与实验结果相吻合。
1 本文研究的方程本文主要研究一维热传导方程的有限差分解法，下面给出了各向同性介质中无热源的一维热传导方程及初始条件：■=a（x，t）■a>0 0<x<1，0<t<Tux，0=？覫x=sin（πx） 0<x<1u0，t=u（1，t）=0 0≤t≤T （1）在此，本文利用有限元方法中的向前差分法求解偏微分方程式（1），首先需要建立差分格式，而在建立差分格式时通常取空间步长和时间步长为常量。
下面介绍向前差分的概念以及如何利用该方法对其进行收敛性、精确性和稳定性分析。
1.1 向前差分格式有限差分法和有限元方法是求解偏微分方程的两种主要的数值方法。
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1)1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4)1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7)2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15)3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15)3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16)4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17)4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t∂=∂ (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
有限差分法求解抛物型方程说明
有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。
偏微分课程课件8_抛物型方程的有限差分方法(II)
2 x
2）unjl1
y
2
unjl
利用Taylor展式得
（1
1 4
2a2 h4
x2
2）u(
y
xj
,
yl
,
tn1
)
u(
x
j
,
yl
,
tn
)
ha2（
2 x
2）u(
y
x
j
,
yl
,
tn1 ) 2
u( x
j
,
yl
,
tn
)
O(
2
h2
).
考察格式稳定性，将
（1
1 4
2a2
h4
x2
2）unjl1
y
unjl
ha2（
无条件稳定（绝对稳定）
O( 2 h2 h2 )
unjl
un1 jl
a
1 h2
(
2 x
unjl
u2 n
y jl
)
un1 jl
u
n jl
a 2h2
[
2 x
(unjl1
unjl
)
2 y
(unjl1
unjl
)]
显格式：稳定性限制严格 a 1
2p
一维隐格式：绝对稳定，系数矩阵为三对角矩阵 并可用追赶法求解
x jl
u2 n
y jl
), 其中
h2
截断误差 O( h2 h2 )
Fourier方法分析稳定性： unjl =vneik1 jheik2lh vn+1 ={1+2a( cos k1h 1)+2a( cos k2h 1)}vn
3-抛物型方程的有限差分法
中都是精确的，则初始 误差的传递情况如表 1：
表1 r=1/2时Richardson格式的误差传播
-4
0 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
2
4 7 4
24 17 6
6 17
于( x j , t
1 k 2
)(t
k
1 2
1 ( k ) )展开，则得 2
2 2 Rk ( u ) 0 ( h ). (1.9) j
(四)
Richardson 格式，即 a
k k uk 2 u u j 1 j j 1 2
1 k 1 uk u j j
2 h 1 k k k k 1 或u k 2 r ( u 2 u u ) u 2f j .(1.10) j j 1 j j 1 j
例1 写出向前差分格式的矩 阵形式。
1 k uk u j j
解
a
k k uk 2 u u j 1 j j 1
h
2
fj
1 k k k uk ru ( 1 2 r ) u u j j 1 j j 1 f j
显然A I (( N 1)阶单位矩阵， B (1 2r ) I rS , 其中 0 1 0 1 0 0 S 0 0 0 1 0 0 1 0 故C (1 2r ) I rS .
( 2.4)
同理：对于向后差分格 式，即
抛物方程的有限差分法
图1
,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []
k j
=u (x j ,t k )。
建立差分格式
j =1, (1)
-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的
一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:
-u k j =u k j+1-2u k j +u k
j-1
h
2
变形有:
(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。
【参考文献】
[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:
图2
真解与数值解的误差剖分图如图3:
图3
3数值实验及结果分析
我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当
u 0
(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )
从表中我们可以看出。
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抛物型方程有限差分法显—隐格式比较分析
抛物型方程有限差分法显—隐格式比较分析杨建宏【摘要】比较分析了抛物型偏微分方程有限差分法的显—隐两种基本格式,发现显格式计算简单、快捷,但格式条件稳定；隐格式计算复杂、工作量大,而格式却绝对稳定.对一维抛物型方程进行了数值求解,数值结果进一步证明了上述结论.%In this article, explicit and implicit schemes of the parabolic equation finite difference method is compared. It is discoveried that the explicit scheme calculate simply and quickly, but its scheme conditionally stable; the implicit scheme calculate complexly and its work load is big, but its scheme absolutely stable.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】4页(P407-410)【关键词】抛物型方程;有限差分法;显格式;隐格式【作者】杨建宏【作者单位】宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O241.1抛物型方程描述了自然界和工程领域中许多重要的客观现象，要认识和掌握其规律就必须对它们进行精细的数值计算.有限差分法[1-5]（Finite Difference Method，简称FDM）是偏微分方程数值计算常用且理论比较成熟完善的方法之一，是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用.有限差分法在数值计算中占重要的地位，它的差分格式丰富多样，熟练掌握并能灵活运用这些格式直接决定着对问题的求解程度.本文从最基本的显格式和隐格式入手，以一维抛物型方程为例，对显、隐格式的计算效率和稳定性两个方面进行了比较分析，得到了它们各自的优缺点.算例结果进一步表明：显格式条件稳定，计算高效；隐格式绝对稳定，但算法复杂，工作量较大.最简单的一维抛物型方程是一维热传导方程以下在导出差分方程时，总是假设方程（1）式的解充分光滑.下面对方程（1）式直接用差分方法进行离散，用适当的差商代替方程中的偏微商，就得到以下两种最简单差分格式.1.1 显式差分格式在结点（ j，n）上用 u（xj，tn）在 t方向的向前差商和在x方向的二阶中心差商似代替方程（1）中的偏导数，得以r=τ/h2表示网格步长比，（2）式即为其中0≤n≤N=［T/τ］，j∈Z.格式（3）式通常称为方程（1）式的古典显式差分格式.1.2 隐式差分格式格式（5）通常称为方程（1）的古典隐式差分格式.2.1 计算效率比较显格式（3）中不同时间层网格结点间关系如图1所示.可见第n+1时间层上任一网格结点xj=jh处的差分解unj+1完全由第n时间层上三个相邻结点xj±1和xj处的初值｛unj±1 ，ujn｝决定，因此采用显式差分格式计算时，逐层递推上一层，计算简便快捷.隐格式（5）中不同时间层网格结点间关系如图2所示.可见ujn+1的计算需要用到unj±+11的值，而它们也是未知数，也就是说，方程（5）仅仅给出ujn+1所满足的方程，通常需要求解它与初边值条件耦合形成的代数方程组.所以用隐式差分格式进行计算时，计算复杂，计算量较大.2.2 稳定性比较显格式（3）是条件稳定的[2-3]，其稳定条件为r=τ/h2≤1/2.这要求在运用此格式时一定要注意网格比例，如果不满足稳定性条件，计算结果将会失真.而且要求时间步长尽量小，当空间维数越高时，时间步长要越小.隐格式（5）是绝对稳定的[2-5]，对网格比没有任何限制，因此利用它进行数值计算时，可以将r取得大一些，以减少时间步数，但是每一个时间层都需要解线性代数方程组，计算复杂，计算量很大.为了进一步证明上述结论的正确性，考虑满足如下初边值条件的一维热传导方程. 在t=0.5时，分别用有限差分法显，隐格式求解方程（6）式.方程（6）式的解析解为 u（x，t）=e－π2tsin（πx）.取空间步长 h=0.1，r=τ/h2＝0.05 和 1，即时间步长τ分别取为 0.000 5 和 0.01.方程（6）式的显格式如下取 h=0.1，取r=τ/h2＝1，即τ取为 0.01.方程（6）式的隐格式如下在表1和图3中给出了t=0.5时，方程（6）式的有限差分显格式在步长比r分别为0.05和1时，不同节点处的数值解和方程精确解的比较.1000=│u（xj，0.5）-uj1000│为绝对误差.在表2和图4中给出了t=0.5时，方程（6）的有限差分隐格式在步长比r为1时不同节点处的数值解和方程精确解的比较.其中：uj1000（r=0.05）表示r=0.05时的数值解，uj50（r=1）表示r=1时的数值解，u（xj，0.5）为精确解，εj其中：uj50（1）表示用古典隐格式计算出的在 t=0.5 时的数值解，u（xj，0.5）为精确解，εj50（1）为它与精确解的绝对误差.由表1和图3可见，r=0.05时的数值解逼近方程的精确解，而r=1时的数值解却严重失真.表明有限差分显格式是条件稳定的.由表2和图4可见，当r=1时，有限差分隐格式的数值解逼近方程的精确解，表明隐格式是绝对稳定的.而且，进一步发现显格式的计算精度优于隐格式.当然，可通过减小时间步长和加大迭代次数来提高隐格式的计算精度.本文对抛物型偏微分方程有限差分方法显，隐两种格式进行了比较分析.发现，显格式条件稳定，计算高效、快捷；隐格式绝对稳定，但计算复杂、工作量大.【相关文献】［1］余德浩，汤华中.微分方程数值解法［M］.北京：科学出版社，2003.［2］李荣华.偏微分方程数值解法［M］.北京：高等教育出版社，2005.［3］李瑞遐，何志庆.微分方程数值解法［M］.上海：华东理工大学出版社，2005.［4］南京大学数学系计算数学专业.偏微分方程数值解法［M］.北京：科学出版社，1979. ［5］孙志忠.偏微分方程数值解法［M］.北京：科学出版社，2005.。
2.2 抛物型方程的差分解法
u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j
（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2
1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2
u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
第四章 抛物型方程的有限差分方法
2 h 称为Du Fort -Frankel格式，仍为三层显式格式．
2
a
n 1 n 1 n un ( u u ) u j 1 j j j 1
0
截断误差： T x j , tn a u x j , tn u x j , tn 2 u x j h, tn u x j , tn u x j , tn u x j h, tn h2
1 2a G , k 0
0 4a cos kh 1 2a 1 1 0 4a cos kh 1 2a 1 2a 1 2a 0 1
2
1
4a cos kh 2a 1 G , k 的特征方程： 0 1 2a 1 2a
修正 Richardson：无条件不稳定显格式
Du Fort Frankel：无条件稳定的三层显格式． 但后者的相容性是有条件的．事实上， 显格式中，无条件相容和无条件稳定是无法同时成立的．
4 三层隐式格式
先考虑
n 1 n u u 3 j j n n 1 u u 1 j j 1 n1 n1 un 2 u u j 1 j j 1
引理1.1实系数二次方程 2 b c 0的根： c 1． 模 1 b 1 c， " "设1 , 2是方程两根，且 i 1 i 1, 2 证： c b 则12 c1 2 b a a 12 c c 1 2 1 1 2 b 1 c b 1 12 1 2 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若 1 2 0 1 12 1 2 1 1 1 2 0, 若1 2 0 b 1 c
第三章_抛物型方程的有限差分法(1)
1 1 ek ek j j
a
fj
k
k e k 用 ekj u j u j 表示相应节点处差分解的误差，则 j 满足
2
a
h2
以上是误差传播方程。设误差只在初始层的原点(j=0)发生，
0 1 即 e j j 0 ( 0, 00 1, j 0 0,当j 0 ） ， e j 0 ，而在以后的
u 2u a 2 f ( x), t x 0t T
(1)
其中 a 是正常数，f(x)是给定的连续函数。 x 称作空间变量，
t 称作时间变量。
（1)的定解问题有以下几类： 初值问题(也称 Cauchy 问题)：求函数 u(x,t)，满足方程(1) 和初始条件：
u( x,0) ( x), x
k1
a u ( x j 1,tk ) 2u ( x j ,tk ) u ( x j 1,tk ) [ 2 h2 u ( x j 1,tk 1 ) 2u ( x j ,tk 1 ) u ( x j 1,tk 1 ) k1 2 ] [ u au ] t xx j 2 h
1
k 1 j
1
占优且是三对角的，方程总是可解的，可采用追赶法 求得方程的解。 截断误差：
1 Rk j (u ) Lh u ( x j , t k 1 ) Lu ( x j , t k 1 )
u ( x j 1,tk 1 ) 2u ( x j ,tk 1 ) u ( x j 1,tk 1 ) u ( x j , tk 1 ) u ( x j , tk ) k 1 a ut au xx j 2 h ut au xx j
h2
抛物型方程的有限差分解法及其在复杂电磁环境中的应用
II
with the results of Fourier method and AREPS. The research achievements are the use of FDM to solve parabolic equation with accurate and available results, which is demonstrated through the comparison with other algorithms. The new ideas are proposed as follows: a method to improve the existing absorbing layer, establishment of some GPS initial field models which are suitable in different conditions with circular polarization wave included. In addition, conclusions of low gazing GPS signals propagation on sea surface are summarized. Key Words: Parabolic wave equation, Finite difference method, Inverse algorithm, Atmospheric duct, GPS initial field
研究生姓名 指导教师 姓名 单位名称 申请学位级别 论文提交日期 学位授予单位 答辩委员会主席
430070 无线电物理 2010 年 5 月 2010 年 5 月 王嘉赋 徐晓英
学科专业名称 论文答辩日期 学位授予日期 评阅人
抛物型方程差分法
2m
从而要求 4rsin2i2, 1im1
2m
a 1
易见，只要 r h 2 2 就可以保证数值格式稳定。 称为稳定性条件
对于非齐次方程、非零边界条件的情形，其稳定性 分析仿上，只是差分格式现在变成
u r k 1 A u r k b r k r 其中向量 b k 依赖于方程的右端项和边界条件。
u ( 0 ,tk )( tk ) ,u ( 1 ,tk )( tk ) , 0kn.
3.处理方程 u
t
2u ax2
f(xi, tk)中的偏导数
(xi,tk)
(xi,tk)
关于时间的一阶偏导数用向前差商近似，
u u(xi,tk1)u(xi,tk)
t (xi,tk)
r 12r
0
r O
O r
0
12r r
1r2ruuuum m kkM 12kk12Auuuum m kkM 12kk12
也可以简写成 u rk1A u rk ，从而有
u r k 1 A ( A u r k 1 ) L A k 1 u r 0
( xi , tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用
u
k i
表示温度分布函
数 u( x , t ) 在点 ( xi , tk )
处的网格函数 , 相当于
x x i 1 x i x i 1
u( x , t ) 在该点的近似 .
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程 离散方程
u 2u tax2f(x,t), 0x1 , 0tT
将数值解 u
k i
代替精确解 u( xi , tk )
抛物形扩散方程的有限差分法与数值实例
偏微分方程数值解所在学院：数学与统计学院课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例1.1抛物型扩散方程抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。
考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x∂∂=+<≤∂∂ (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。
按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x (1.1.2)第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4)假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
1.2抛物线扩散方程的求解下面考虑如下热传导方程22()(0.)(,)0(,0)()u ua f x t x u t u L t u x x ϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩(1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。
取N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族平行直线jh x x j ==,()N j ,,1,0Λ=和k t t k τ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
一类抛物型方程的有限差分法
一类抛物型方程的有限差分法刘相国;徐富强【摘要】This paper uses finite difference method to solve the boundary value problem of parabolic equation, obtaining the corresponding stability analysis and numerical simulation. Simulation results show that the method is feasible and effective.%利用有限差分法求解了抛物型方程边值问题，得到了相应的稳定性分析，并进行了数值模拟。
模拟结果表明该方法是可行的、有效的。
【期刊名称】《铜仁学院学报》【年(卷),期】2011(013)004【总页数】5页(P139-143)【关键词】抛物型方程;有限差分法;稳定性【作者】刘相国;徐富强【作者单位】巢湖学院数学系,安徽巢湖238000;巢湖学院数学系,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】H319现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可用偏微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是偏微分方程。
人们一直用微分方程来描述、解释遇见的各种自然现象，但绝大部分偏微分方程的定解不能以实用的解析形式来表示，这就给一些自然现象的定量描述带来了很大的困难。
随着计算机的出现和发展，一门新兴的学科——微分方程的数值[1][2][3] 方法得到了前所未有的发展和应用，并形成了一个专门的数学分支，成为理论和应用研究的热点课题。
本文利用有限差分法研究了热传导方程边值问题，[4] 并进行了稳定性分析[5][6][7] 和相应的数值模拟，取得了较满意的数值试验结果。
设一类最简单的抛物型方程——热传导方程，表示为：热传导方程是初始温度分布函数为f（ x），端点有恒温c1和c2的绝缘杆上温度的数学模型。
抛物型方程的有限差分方法
抛物型方程的有限差分方法一，求解问题考虑一维非齐次热传导方程的定解问题22(,),0,0(,0)(),0(0,)(),(1,)(),0u ua f x t x l t T t xu x t x l u t t u t t t T ϕαβ∂∂-=<<<≤∂∂=≤≤==<≤......(1)..................(2) (3)其中α为正长数，(,)f x t ,()t ϕ,()t α,()t β为已知函数，(0)(0),(1)(0)ϕαϕβ==,式（2）为初值条件，（3）为边值条件。
二，网格剖分取空间步长/h l M =和时间步长/T N τ=，其中M 、N 都是整数。
用两族平行直线,(0,1,,)i x x ih i M ===和(0,1,,)k t t k i N τ===将矩形域{0;0}Gx l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格结点为(,)i k x t 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h G G Γ=-是网格界点集合。
其次，用ki u 表示定义在网点(,)i k x t 的函数，11,01i Mk N ≤≤-≤≤-。
用适当的差商代替方程（1）中相应的偏微商。
三， 差分格式 1， 向前差分 向前差分格式111202()(),11,01k kk k kiii i i ii i kki i i M u u u u u af hf f x u x u u i M k N ττϕϕ++---+=+====≤≤-≤≤-以2/ra h τ=为网比。
将上式改写为便于计算的形式，则得以下向量形式111(12)()(,)11,01k k k kii i i i k u r u r u u f x t i M k N τ+-+=-+++≤≤-≤≤-上式表示第k 层的值显示表示出来。
已知第k 层的值{|1}k i u i M ≤≤，则可以直接得到第k+1的值1{|1}k i u i M +≤≤。
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抛物型方程有限差分法1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) )(22x f xua t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。
)(x f 是给定的连续函数。
（1.1）的定解问题分两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：()13.1 ()()x x u ϕ=0,,l x l <<-及边值条件()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，T t ≤≤0假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 ()j i y x ,表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。
注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)kj k ju u x t t t ∂∂⎛⎫≡ ⎪∂∂⎝⎭）：()()()ττO t u t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-+,,1 ()()()2112,,ττO t u t x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+ ()()()h O x u h t x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-+,,1()()()h O x u ht x u t x u kj k j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--,,1 ()()()2112,,h O x u ht x u t x u k jk j k j +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=--+ ()()()()222211,,2,h O x u h t x u t x u t x u kjk j k j k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+ 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式()14.1=-+τk jk j u u 1j kj k j k j f h u u u a++--+2112 ()()j j x f f =()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。
取2ha r τ=为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到1j u =01+j ru +()r 21-0j u +01-j ru +j f τ于是，利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j 。
再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=kN u =0算出2j u ，1,,1,0-=N j 。
如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k ）。
由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。
并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。
若记()TkN k k k u u u 121,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=ϕϕϕϕ ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1'可写成向量形式⎩⎨⎧=-=+=+ϕ11,,1,0,u f Au u M k k k 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r r r r r r rr r21002100210021A若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j k j h u u u L 112112h u u u akj k j k j -++-那末截断误差（1.5） ()=u R kj()()[]k jk j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2h O +τ。
其中(,)j k x t 是矩形11+-<<j j x x x ，1+<<j k t t t 中某一点。
事实上，()=u R kj kj x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂222τ+()2τO kjx u h a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12=k j x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂222τ+()2τO ()22222ˆ112τO t u a h a kj +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅⋅- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()222~τO t u kj +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()222~τO t u kj+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2h O +τ。
这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂222244x u xa x u a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂=t u a x a 122⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=t u x 22tx u ∂∂∂=23 22tu ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=t u t 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=22x u a t t x u∂∂∂=23 故22t u ∂∂44244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 221t u a ∂∂⋅（二） 向后差分格式()16.1=-+τk jk j u u 1j k j k j k j f h u u u a++-+-+++2111112 ()()j j x f f =()26.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0其中 1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。
取2ha r τ=为网比，则进一步有 ()16.1'r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =kj u +j f τ按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()jj j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ1,,1,0-=N j ，k u 0=kN u =0。
求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。
如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。
并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。
但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson 法将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson 格式：()18.1=-+τk jk j u u 1j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222 ()()j j x f f = ()28.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=kN u =0进一步，()18.1'2r -11++k j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1kju 2r +k j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=kN u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：2r -11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10ju 2r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j ，k u 0=kN u =0。
求出1j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j 。
如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。
若记22xua t u Lu ∂∂-∂∂=()--=+τk jk j kjh u u u L 13j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-+-+++-+211111211222 在1(,)(,()/2)j k k x t x t t +=+处作Taylor 展开，可以算出截断误差为（1.7） ()=u R k j ()()[]kj k j h Lu t x u L -,3=()22h O +τ。
（四）Richardson 格式（1.10）=--+τ211k jk j u u 2112hu u u akj k j k j -++-+j f进一步()110.1' 1+k j u =r 2（k j u 1+k j u 2-+k j u 1-）+1+k j u +2j f τ这是三层显式差分格式。
显然截断误差的阶为()22h O +τ。
为使计算能够逐层进行，除初值0j u 外，还要用到1j u 。
它可以用其他双层格式提供。
Richardson 格式的矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=-+另算10111,,1,u u f u u C u ϕτM k k k k 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⋅-=21001210012100122r C2 稳定性与收敛性抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式: (2.1) 1k k AU BU F τ+=+其中1111(,), (,,)k kk T N N U u u F f f --==，A 和B 是1N -阶矩阵。