1997B题截断切割(南昌大学全国一等奖)

截断切割

李湖南 李浩来 杨 娥

指导教师：陈涛

（南昌大学 330047）

摘要 本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题，利用重心偏移法，考虑了第七及第k+1次切割之间的联系，建立了动态规划的数学模型，并用直接搜索法进行了求解。

本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价，并给了当e=0时的简明优化准则，最后用具体实例验证了模型的可靠性，并对一些初值进行了详细的讨论，给出了所有的最优解。本文还对模型进行了误差分析，并对模型进行了推广。 关键词 动态规划 切割方式 f-原则

一、问题的提出与分析

某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸，位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。并对某部门用的如下准则作出评论：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。 该问题可以采用重心偏移法。在切割之前，长方体的重心是确定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的规律，它只是沿着长、宽或高的方向偏移。待原长方体加工成成品长方体之后，长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。这就是长方体的重心偏移过程。

该问题是一个动态规划问题，是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。首先是建立分级决策的模型。用d k 表示第k 次决策，J k 表示第k 级的级收益，现在一定条件下，寻求一组可行决策变量{}621,,,d d d ，使问题的总收益J 为最佳。

二、基本假设与符号约定

（一） 基本假设

1． 由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。

2． 刀具的磨损情况很小，可忽略不计。

3． 切割热量对长方体所产生的影响很小，可忽略不计。

4． 我们称切割后的那些不含成品长方体的小长方体为切块，考虑切块的可应用性，设切块是带状切块。

5． 在切割过程中，设刀具对切块和待切割长方体不产生任何影响。

6． 设水平切割单位面积费用是垂直切割单位费用的r 倍。

7． 设先后两次垂直切割的平面不平行时，不管它们是否穿插水平切割，因调整刀

具所需额外费用e 。

（二） 符号约定

d k ：第k 次决策；

J ：总收益，即总加工费用；

P ：垂直切割单位面积费用；

r ：水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比；

e ：调整刀具所需额外费用；

δ(k)：第k 次切割时垂直待切割平面在水平面上的投影值；

()

)1()1()1,,+++k k k z y x （：第k+1次切割后长方体的重心座标； t k ：第k 次决策时的状态；

a 2,

b 2,

c 2：成品长方体的长、宽、高；

a 1,a 3：成品长方体距待加工长方体左侧面和右侧面的距离；

b 1,b 3：成品长方体距待加工长方体正前面和正后面的距离；

c 1,c 3：成品长方体距待加工长方体底面和顶面的距离；

∑∑∑===313131,,k k k k

k k c b a ：待加工长方体的长、宽、高；

n ：刀具被调整的次数；

y x ⊕：⊕定义了一种运算法则，即x 、y 同奇同偶时表达式取值为0, x 、y 奇偶相异时表达式取值为1。

三、模型的建立

（一） 确定切割方式的总数

待加工长方体共需截断切割6次，在横垂直方向、竖垂直方向、水平方向上各

两次，其总的不同切割方式的总数为!66

6=P =720种。

下面证明一个定理。 定理 在同一方向上（横垂直方向、竖垂直方向或水平方向），在总收益最小的

条件下，先切割下来的应该是切块厚度较大的那块长方体。

证明 如右图所示，长方体高为h ，不妨设在竖垂直方向

先后切割两次，在横垂直方向上切割一次，切块T 1，T 2

的厚度分别为a 1和a 3，中间那块包着成品长方体，厚度为a 2,

31a a >,

先切T 1时，待切割面积S 1 =（a 2+a 3）h,

先切T 2时，待切割面积S 2 =（a 1+a 2）h>S 1.

在同种情况下，S 2>S 1，则切T 2比切T 1花的费用高，不符合总收益最小的原则。 所以，在同等情况下应切割T 1，即先切割厚度较大的那块长方体。证毕。

实际上，切割六次以后，所有切块的总体积是一定的，先把体积大的切块切割下来，

后面浪费的面积就少一些，费用也就小一点，这一点与实际情况是相符的。

因此，在这个原则下，不同切割方式的总数为

种901

11113121513=C C C C C C

这比原来缩减了87。5%，大大减少了计算机的工作量。

这条原则我们称之为f —原则。使总收益达到最小时的决策方案总是90种的一种或几种。 （二）模型一

首先，建立一个三维直角坐标系，以待加工长方体的正前左下顶点为原点，长方体长、宽、高方向为x 、y 、z 轴。

上述问题如果用非线性规划解，则其模型为：

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∙≤≤=∙∙≤≤≤≤==∙+∙⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∙+=∑∑∑∑∑∑∑∑========)6,5()()()4,3,2,1()

,max(S )c b ,c min(a 3n 1s.t 5,6;

j ,1,2,3,4;

i ,min 31312231313131i 22224165j b a S b a i c b c a S S e n p r S S J k k k k j k k k k k k k k j i i j j i 为水平切割的面积为垂直切割的面积

可以看出，它有三个约束条件，现转化为动态规划问题，则它是三维的。

用(1,0,0)表示刀具沿垂直于x 轴方向（即竖垂直方向）切割；

(0,1,0)表示刀具沿垂直于y 轴方向（即横垂直方向）切割；

(0,0,1)表示刀具沿垂直于z 轴方向（即水平方向）切割；

第k 次切割时刀具方向在水平上的投影值函数定义为：

⎩

⎨⎧=;0;1)(或水平方向 刀具沿横垂直方向刀具沿竖垂直方向k δ 根据第k 次切割及第k+1次切割之间的重心偏移关系，我们得出动态规划的数学模型： t k+1的状态传递函数为

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎩

⎪

⎨⎧-=+====+++++++)

()1(313)()1(311)()1()()1()()1(1)1(2121:,)1,0,0(k k k k k k k k k k k k c c c z z

c c c z z y y x x t

d δδ＜＞时