二次根式的性质1.2

a (a 0)
a2 a a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
例3 计算：
(3 2)2 | 4 2 | 53 53
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x 1 y 3 0 ，求x＋y的值 解：∵ x 1 ≥０， y 3 ≥０，
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
3)
a 0,b 0 a 0,b 0
题型:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
a
a
2
, (a
0。)
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写
成一个数的平方的形式。如 4= 4 2 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
2
3=
3 2，
5 2
5 2
0.04
2
0.04
( a )2 a (a 0) 面积a a
2
(
2 )2 7
7
a2 5
求自然数n的值.
n≤12 n = 3，8，11，12
二次根式的性质（２）
想一想 a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２： a 2 a,(a 0)
试一试（3）计算:
2
3
=
3
2
5 2
=
5 2
0.04
2
=
0.04
我们已经得到:
2
a a, (a 0)
根据等式的定义，可得
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
练习
１.已知 y x 2 2 x 3，求x、y的值. x=2，y=3
２.已知 a≥4
a 4 | 3 a | a ，求a的值.
a 4 a 3 a，即 a 4 3
a-4=9，则 a=13
12 n为一个整数,
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
1. 求式子 x＋1－ 5－x 有意义时X的取值范围。
解:由题意得,
x 1 0 5 | x | 0
x 5
|
1得 x|
x 5
1 x 5
5 x 1
知识结构
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
有理化因式
--不要求，只 需了解
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
(其中 -1 x 3)
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(4) 1 2a a2 (a＞1 )
(5) (x 1)2 9 6x x2
(1＜x＜3 )
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a2与( a）2
二次根式
二次根式的性质
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
(
2 )2 3
-
2 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简: x2 6x 9 x2 2x 1
解：(1) (3 )2 | 3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x 1 (x 1)2 | x 1|
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x 1 1 x 1 3
∴当x＝ 3时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a b 0 a 0,b 0
a |b| 0 a2 | b | 0 ......